3.2: Terminologia

Last updated
Save as PDF

Page ID: 190037

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

A probabilidade é uma medida associada à certeza de que temos dos resultados de um determinado experimento ou atividade. Um experimento é uma operação planejada realizada sob condições controladas. Se o resultado não for predeterminado, o experimento é considerado um experimento casual. Jogar uma moeda justa duas vezes é um exemplo de experimento.

O resultado de um experimento é chamado de resultado. O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis. Três formas de representar um espaço de amostra são: listar os resultados possíveis, criar um diagrama de árvore ou criar um diagrama de Venn. A letra maiúscula S é usada para indicar o espaço amostral. Por exemplo, se você jogar uma moeda justa,\(S = \{\text{H, T}\}\) onde\(\text{H} =\) cabeça e\(\text{T} =\) coroa são os resultados.

Um evento é qualquer combinação de resultados. Letras maiúsculas gostam\(\text{A}\) e\(\text{B}\) representam eventos. Por exemplo, se o experimento for jogar uma moeda justa, o evento\(\text{A}\) pode estar ficando no máximo com uma cabeça. A probabilidade de um evento\(\text{A}\) é escrita\(P(\text{A})\).

Definição: Probabilidade

A probabilidade de qualquer resultado é a frequência relativa de longo prazo desse resultado. As probabilidades estão entre zero e um, inclusive (ou seja, zero e um e todos os números entre esses valores).

\(P(\text{A}) = 0\)significa que o evento nunca\(\text{A}\) pode acontecer.
\(P(\text{A}) = 1\)significa que o evento\(\text{A}\) sempre acontece.
\(P(\text{A}) = 0.5\)significa que o evento\(\text{A}\) tem a mesma probabilidade de ocorrer ou não ocorrer. Por exemplo, se você jogar uma moeda justa repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 vezes), a frequência relativa das cabeças se aproxima de 0,5 (a probabilidade de cabeças).

Igualmente provável significa que cada resultado de um experimento ocorre com a mesma probabilidade. Por exemplo, se você lançar um dado justo de seis lados, cada face (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) tem a mesma probabilidade de ocorrer como qualquer outra face. Se você jogar uma moeda justa, uma cabeça (\(\text{H}\)) e uma cauda (\(\text{T}\)) têm a mesma probabilidade de ocorrer. Se você adivinhar aleatoriamente a resposta para uma pergunta verdadeira/falsa em um exame, é igualmente provável que você selecione uma resposta correta ou uma resposta incorreta.

Para calcular a probabilidade de um evento A quando todos os resultados no espaço amostral são igualmente prováveis, conte o número de resultados do evento\(\text{A}\) e divida pelo número total de resultados no espaço amostral. Por exemplo, se você jogar um centavo justo e um níquel justo, o espaço da amostra é\(\{\text{HH, TH, HT,TT}\}\) onde as\(\text{T} =\) caudas e as\(\text{H} =\) cabeças. O espaço amostral tem quatro resultados. \(\text{A} =\)recebendo uma cabeça. Existem dois resultados que atendem a essa condição\(\text{\{HT, TH\}}\), então\(P(\text{A}) = \frac{2}{4} = 0.5\).

Suponha que você lance um dado justo de seis lados, com os números {1, 2, 3, 4, 5, 6} em suas faces. Deixe o evento\(\text{E} =\) rolar um número que seja pelo menos cinco. Existem dois resultados {5, 6}. \(P(\text{E}) = \frac{2}{6}\). Se você lançasse o dado apenas algumas vezes, não ficaria surpreso se os resultados observados não correspondessem à probabilidade. Se você lançasse o dado um número muito grande de vezes, esperaria que, no geral,\(\frac{2}{6}\) os lançamentos resultassem em um resultado de “pelo menos cinco”. Você não esperaria exatamente\(\frac{2}{6}\). A frequência relativa de longo prazo de obtenção desse resultado se aproximaria da probabilidade teórica de, à\(\frac{2}{6}\) medida que o número de repetições se tornasse cada vez maior.

Definição: Lei dos Grandes Números

Essa característica importante dos experimentos de probabilidade é conhecida como a lei dos grandes números, que afirma que, à medida que o número de repetições de um experimento aumenta, a frequência relativa obtida no experimento tende a se aproximar cada vez mais da probabilidade teórica. Mesmo que os resultados não ocorram de acordo com nenhum padrão ou ordem definida, em geral, a frequência relativa observada a longo prazo se aproximará da probabilidade teórica. (A palavra empírica é frequentemente usada em vez da palavra observada.)

É importante perceber que, em muitas situações, os resultados não são igualmente prováveis. Uma moeda ou dado pode ser injusto ou tendencioso. Dois professores de matemática na Europa fizeram com que seus alunos de estatística testassem a moeda belga de um euro e descobriram que em 250 tentativas, uma cabeça foi obtida 56% das vezes e uma cauda foi obtida 44% das vezes. Os dados parecem mostrar que a moeda não é uma moeda justa; mais repetições seriam úteis para tirar uma conclusão mais precisa sobre esse viés. Alguns dados podem ser tendenciosos. Veja os dados em um jogo que você tem em casa; as manchas em cada face geralmente são pequenos orifícios esculpidos e pintados para torná-los visíveis. Seus dados podem ou não ser tendenciosos; é possível que os resultados sejam afetados pelas pequenas diferenças de peso devido aos diferentes números de buracos nas faces. Os cassinos de apostas ganham muito dinheiro dependendo dos resultados do lançamento de dados, então os dados do cassino são feitos de forma diferente para eliminar o preconceito. Os dados do cassino têm faces planas; os buracos são completamente preenchidos com tinta com a mesma densidade do material do qual os dados são feitos, de modo que cada face tem a mesma probabilidade de ocorrer. Posteriormente, aprenderemos técnicas a serem usadas para trabalhar com probabilidades de eventos que não são igualmente prováveis.

O evento “OR”

Um resultado ocorre quando\(\text{A OR B}\) o resultado está em\(\text{A}\), está em\(\text{B}\) ou está em ambos\(\text{A}\)\(\text{B}\) e. Por exemplo, deixe\(\text{A} = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)\(\text{B} = \{4, 5, 6, 7, 8\}\) e. \(\text{A OR B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Observe que 4 e 5 NÃO estão listados duas vezes.

O evento “AND”

Um resultado ocorre no evento\(\text{A AND B}\) se o resultado for em ambos\(\text{A}\) e ao\(\text{B}\) mesmo tempo. Por exemplo,\(\text{B}\) seja\(\text{A}\) {1, 2, 3, 4, 5} e {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Então\(\text{A AND B} = {4, 5}\).

O complemento do evento\(\text{A}\) é indicado\(\text{A'}\) (leia “A prime”). \(\text{A'}\)consiste em todos os resultados que NÃO estão presentes\(\text{A}\). Observe que

\[P(\text{A}) + P(\text{A′}) = 1. \nonumber\]

Por exemplo, deixe\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) e deixe\(\text{A} = {1, 2, 3, 4}\). Em seguida,\(\text{A′} = {5, 6}\) e\(P(A) = \frac{4}{6}\),\(P(\text{A′}) = \frac{2}{6}\), e

\[P(\text{A}) + P(\text{A′}) = \frac{4}{6} + \frac{2}{6} = 1. \nonumber\]

A probabilidade condicional de\(\text{A}\) dado\(\text{B}\) é escrita\(P(\text{A|B})\). \(P(\text{A|B})\)é a probabilidade de que o evento\(\text{A}\) ocorra, desde que o evento já\(\text{B}\) tenha ocorrido. Um condicional reduz o espaço da amostra. Calculamos a probabilidade de\(\text{A}\) a partir do espaço amostral reduzido\(\text{B}\). A fórmula a ser calculada\(P(\text{A|B})\) é

\[P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}} \nonumber\]

onde\(P(\text{B})\) é maior que zero.

Por exemplo, suponha que lançemos um dado justo de seis lados. O espaço da amostra\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Deixe que o\(\text{A} =\) rosto seja 2 ou 3 e o\(\text{B} =\) rosto seja uniforme (2, 4, 6). Para calcular\(P(\text{A|B})\), contamos o número de resultados 2 ou 3 no espaço amostral\(\text{B} = \{2, 4, 6\}\). Em seguida, dividimos isso pelo número de resultados\(\text{B}\) (em vez de\(\text{S}\)).

Obtemos o mesmo resultado usando a fórmula. Lembre-se de que\(\text{S}\) tem seis resultados.

\[ \begin{align*} P(\text{A|B}) &= \dfrac{ \text{ P(A AND B) } } {P(\text{B})} \\[4pt] &= \dfrac{\dfrac{\text{the number of outcomes that are 2 or 3 and even in S}}{6}}{\dfrac{\text{the number of outcomes that are even in S}}{6}} \\[4pt] &= \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \dfrac{1}{3} \end{align*}\]

Entendendo terminologia e símbolos

É importante ler cada problema cuidadosamente para pensar e entender quais são os eventos. Entender o texto é o primeiro passo muito importante na solução de problemas de probabilidade. Releia o problema várias vezes, se necessário. Identifique claramente o evento de interesse. Determine se há uma condição declarada no texto que indicaria que a probabilidade é condicional; identifique cuidadosamente a condição, se houver.

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

O espaço amostral\(S\) são os números inteiros começando em um e menores que 20.

\(S =\)_____________________________
Deixe\(A =\) o evento os números pares e os\(B =\) números do evento maiores que 13.
\(A =\)_____________________,\(B =\) _____________________
\(P(\text{A}) =\)_____________,\(P(\text{B}) =\) ________________
\(\text{A AND B} =\)____________________,\(\text{A OR B} =\) ________________
\(P(\text{A AND B}) =\)_________,\(P(\text{A OR B}) =\) _____________
\(\text{A′} =\)_____________,\(P(\text{A′}) =\) _____________
\(P(\text{A}) + P(\text{A′}) =\)____________
\(P(\text{A|B}) =\)___________,\(P(\text{B|A}) =\) _____________; as probabilidades são iguais?

Responda

\(\text{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
\(\text{A} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18\}, \text{B} = \{14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
\(P(\text{A}) = \frac{9}{19}\),\(P(\text{B}) = \frac{6}{19}\)
\(\text{A AND B} = \{14,16,18\}\),\(\text{A OR B} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}\)
\(P(\text{A AND B}) = \frac{3}{19}\),\(P(\text{A OR B}) = \frac{12}{19}\)
\(\text{A′} = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\);\(P(\text{A′}) = \frac{10}{19}\)
\(P(\text{A}) + P(\text{A′}) = 1\left((\frac{9}{19} + \frac{10}{19} = 1\right)\)
\(P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}} = \frac{3}{6}, P(\text{B|A}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(A)}} = \frac{3}{9}\), Não

Exercício\(\PageIndex{1}\)

O espaço amostral S são os pares ordenados de dois números inteiros, o primeiro de um a três e o segundo de um a quatro (Exemplo: (1, 4)).

\(S =\)_____________________________
Deixe que\(A =\) a soma seja par e evento\(B =\) o primeiro número seja primo.
\(A =\)_____________________,\(B =\) _____________________
\(P(\text{A}) =\)_____________,\(P(\text{B}) =\) ________________
\(\text{A AND B} =\)____________________,\(\text{A OR B} =\) ________________
\(P(\text{A AND B}) =\)_________,\(P(\text{A OR B}) =\) _____________
\(\text{B′} =\)_____________,\(P(\text{B′)} =\) _____________
\(P(\text{A}) + P(\text{A′}) =\)____________
\(P(\text{A|B}) =\)___________,\(P(\text{B|A}) =\) _____________; as probabilidades são iguais?

Responda

\(\text{S} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
\(\text{A} = \{(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3)\}\)
\(\text{B} = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
\(P(\text{A}) = \frac{1}{2}\),\(P(\text{B}) = \frac{2}{3}\)
\(\text{A AND B} = \{(2,2), (2,4), (3,1), (3,3)\}\)
\(\text{A OR B} = \{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)\}\)
\(P(\text{A AND B}) = \frac{1}{3}, P(\text{A OR B}) = \frac{5}{6}\)
\(\text{B′} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)\}, P(\text{B′}) = \frac{1}{3}\)
\(P(\text{B}) + P(\text{B′}) = 1\)
\(P(\text{A|B}) = \frac{P(\text{A AND B})}{P(\text{B})} = \frac{1}{2}, P(\text{B|A}) = \frac{P(\text{A AND B})}{P(\text{B})} = \frac{2}{3}\), Não.

Exemplo\(\PageIndex{2A}\)

Uma matriz justa de seis lados é lançada. Descreva o espaço amostral S, identifique cada um dos seguintes eventos com um subconjunto de S e calcule sua probabilidade (um resultado é o número de pontos que aparecem).

Evento:\(\text{T} =\) o resultado é dois.
Evento em\(\text{A} =\) que o resultado é um número par.
Evento em que\(\text{B} =\) o resultado seja inferior a quatro.
O complemento do\(\text{A}\).
\(\text{A GIVEN B}\)
\(\text{B GIVEN A}\)
\(\text{A AND B}\)
\(\text{A OR B}\)
\(\text{A OR B′}\)
Caso\(\text{N} =\) o resultado seja um número primo.
Evento:\(\text{I} =\) o resultado é sete.

Solução

\(\text{T} = \{2\}\),\(P(\text{T}) = \frac{1}{6}\)
\(A = \{2, 4, 6\}\),\(P(\text{A}) = \frac{1}{2}\)
\(\text{B} = \{1, 2, 3\}\),\(P(\text{B}) = \frac{1}{2}\)
\(\text{A′} = \{1, 3, 5\}, P(\text{A′}) = \frac{1}{2}\)
\(\text{A|B} = \{2\}\),\(P(\text{A|B}) = \frac{1}{3}\)
\(\text{B|A} = \{2\}\),\(P(\text{B|A}) = \frac{1}{3}\)
\(\text{A AND B} = {2}, P(\text{A AND B}) = \frac{1}{6}\)
\(\text{A OR B} = \{1, 2, 3, 4, 6\}\),\(P(\text{A OR B}) = \frac{5}{6}\)
\(\text{A OR B′} = \{2, 4, 5, 6\}\),\(P(\text{A OR B′}) = \frac{2}{3}\)
\(\text{N} = \{2, 3, 5\}\),\(P(\text{N}) = \frac{1}{2}\)
Um dado de seis lados não tem sete pontos. \(P(7) = 0\).

Exemplo\(\PageIndex{2B}\)

A tabela descreve a distribuição de uma amostra aleatória\(S\) de 100 indivíduos, organizada por sexo e se são destros ou canhotos.

	Destro	Canhoto
Machos	43	9
Mulheres	44	4

Vamos indicar os eventos em que\(M =\) o sujeito é masculino,\(F =\) o sujeito é feminino,\(R =\) o sujeito é destro,\(L =\) o sujeito é canhoto. Calcule as seguintes probabilidades:

\(P(\text{M})\)
\(P(\text{F})\)
\(P(\text{R})\)
\(P(\text{L})\)
\(P(\text{M AND R})\)
\(P(\text{F AND L})\)
\(P(\text{M OR F})\)
\(P(\text{M OR R})\)
\(P(\text{F OR L})\)
\(P(\text{M'})\)
\(P(\text{R|M})\)
\(P(\text{F|L})\)
\(P(\text{L|F})\)

Responda

\(P(\text{M}) = 0.52\)
\(P(\text{F}) = 0.48\)
\(P(\text{R}) = 0.87\)
\(P(\text{L}) = 0.13\)
\(P(\text{M AND R}) = 0.43\)
\(P(\text{F AND L}) = 0.04\)
\(P(\text{M OR F}) = 1\)
\(P(\text{M OR R}) = 0.96\)
\(P(\text{F OR L}) = 0.57\)
\(P(\text{M'}) = 0.48\)
\(P(\text{R|M}) = 0.8269\)(arredondado para quatro casas decimais)
\(P(\text{F|L}) = 0.3077\)(arredondado para quatro casas decimais)
\(P(\text{L|F}) = 0.0833\)

Referências

“Lista de países por continente”. Atlas mundial, 2013. Disponível on-line em http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (acessado em 2 de maio de 2013).

Revisão

Neste módulo, aprendemos a terminologia básica da probabilidade. O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento é chamado de espaço amostral. Os eventos são subconjuntos do espaço amostral e recebem uma probabilidade que é um número entre zero e um, inclusive.

Revisão da fórmula

\(\text{A}\)e\(\text{B}\) são eventos

\(P(\text{S}) = 1\)onde\(\text{S}\) está o espaço amostral

\(0 \leq P(\text{A}) \leq 1\)

\(P(\text{A|B}) = \frac{\text{P(A AND B)}}{\text{P(B)}}\)

Glossário

Probabilidade condicional: a probabilidade de que um evento ocorra, uma vez que outro evento já ocorreu

Igualmente provável: Cada resultado de um experimento tem a mesma probabilidade.

Evento: um subconjunto do conjunto de todos os resultados de um experimento; o conjunto de todos os resultados de um experimento é chamado de espaço amostral e geralmente é denotado por\(S\). Um evento é um subconjunto arbitrário em\(S\). Ele pode conter um resultado, dois resultados, nenhum resultado (subconjunto vazio), todo o espaço amostral e similares. As notações padrão para eventos são letras maiúsculas\(A, B, C\), como e assim por diante.

Experimento: uma atividade planejada realizada sob condições controladas

Resultado: um resultado específico de um experimento

Probabilidade

um número entre zero e um, inclusive, que dá a probabilidade de que um evento específico ocorra; a base da estatística é dada pelos seguintes 3 axiomas (por A.N. Kolmogorov, 1930): Vamos\(S\) denotar o espaço amostral\(A\) e e\(B\) são dois eventos em S. Então:

\(0 \leq P(\text{A}) \leq 1\)
Se\(\text{A}\) e\(\text{B}\) houver dois eventos mutuamente exclusivos, então\(\text{P}(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B})\).
\(P(\text{S}) = 1\)

Espaço de amostra: o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento

O evento AND: Um resultado ocorre\(\text{A AND B}\) se o resultado estiver em ambos\(\text{A AND B}\) ao mesmo tempo.

O evento Complement: O complemento do evento\(\text{A}\) consiste em todos os resultados que NÃO estão presentes\(\text{A}\).

A probabilidade condicional de A DADO B: \(P(\text{A|B})\)é a probabilidade de que o evento\(\text{A}\) ocorra, desde que o evento já\(\text{B}\) tenha ocorrido.

O evento Or: Um resultado ocorre quando\(\text{A OR B}\) o resultado está em\(\text{A}\), está em\(\text{B}\) ou está em ambos\(\text{A}\)\(\text{B}\) e.

Exercício 3.2.2

Em uma determinada classe universitária, há estudantes do sexo masculino e feminino. Alguns estudantes têm cabelo comprido e outros têm cabelo curto. Escreva os símbolos para as probabilidades dos eventos das partes de a a j. (Observe que você não pode encontrar respostas numéricas aqui. Você ainda não recebeu informações suficientes para encontrar nenhum valor de probabilidade; concentre-se em entender os símbolos.)

\(\text{F}\)Seja o caso de uma estudante ser mulher.
\(\text{M}\)Seja o caso de um estudante ser do sexo masculino.
\(\text{S}\)Seja o caso de um aluno ter cabelo curto.
\(\text{L}\)Seja o caso de um aluno ter cabelos compridos.

A probabilidade de um aluno não ter cabelos compridos.
A probabilidade de um estudante ser do sexo masculino ou ter cabelo curto.
A probabilidade de um estudante ser do sexo feminino e ter cabelos compridos.
A probabilidade de um aluno ser do sexo masculino, uma vez que o aluno tem cabelo comprido.
A probabilidade de um aluno ter cabelo comprido, visto que o aluno é do sexo masculino.
De todas as alunas, a probabilidade de uma estudante ter cabelo curto.
De todos os estudantes com cabelos compridos, a probabilidade de um estudante ser do sexo feminino.
A probabilidade de um estudante ser do sexo feminino ou ter cabelos compridos.
A probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ser um estudante do sexo masculino com cabelo curto.
A probabilidade de um estudante ser do sexo feminino.

Responda

\(P(\text{L′)} = P(\text{S})\)
\(P(\text{M OR S})\)
\(P(\text{F AND L})\)
\(P(\text{M|L})\)
\(P(\text{L|M})\)
\(P(\text{S|F})\)
\(P(\text{F|L})\)
\(P(\text{F OR L})\)
\(P(\text{M AND S})\)
\(P(\text{F})\)

Use as informações a seguir para responder aos próximos quatro exercícios. Uma caixa está cheia de várias lembrancinhas. Ele contém 12 chapéus, 15 barulhentos, dez armadilhas para dedos e cinco sacos de confetes.

Deixe\(H =\) o evento de comprar um chapéu.

Deixe\(N =\) o evento de fazer barulho.

Deixe\(F =\) o evento de pegar uma armadilha para os dedos.

Deixe\(C =\) o evento de pegar um saco de confete.

Exercício 3.2.3

Encontre\(P(\text{H})\).

Exercício 3.2.4

Encontre\(P(\text{N})\).

Responda

\(P(\text{N}) = \frac{15}{42} = \frac{5}{14} = 0.36\)

Exercício 3.2.5

Encontre\(P(\text{F})\).

Exercício 3.2.6

Encontre\(P(\text{C})\).

Responda

\(P(\text{C}) = \frac{5}{42} = 0.12\)

Use as informações a seguir para responder aos próximos seis exercícios. Um frasco de 150 jujubas contém 22 jujubas vermelhas, 38 amarelas, 20 verdes, 28 roxas, 26 azuis e o resto é laranja.

Deixe\(B =\) o evento de obter uma jujuba azul

Deixe\(G =\) o evento de obter uma jujuba verde.

Deixe\(O =\) o evento de obter uma jujuba de laranja.

Deixe\(P =\) o evento de obter uma jujuba roxa.

Deixe\(R =\) o evento de obter uma jujuba vermelha.

Deixe\(Y =\) o evento de obter uma jujuba amarela.

Exercício 3.2.7

Encontre\(P(\text{B})\).

Exercício 3.2.8

Encontre\(P(\text{G})\).

Resposta

\(P(\text{G}) = \frac{20}{150} = \frac{2}{15} = 0.13\)

Exercício 3.2.9

Encontre\(P(\text{P})\).

Exercício 3.2.10

Encontre\(P(\text{R})\).

Resposta

\(P(\text{R}) = \frac{22}{150} = \frac{11}{75} = 0.15\)

Exercício 3.2.11

Encontre\(P(\text{Y})\).

Exercício 3.2.12

Encontre\(P(\text{O})\).

Resposta

\(P(text{O}) = \frac{150-22-38-20-28-26}{150} = \frac{16}{150} = \frac{8}{75} = 0.11\)

Use as informações a seguir para responder aos próximos seis exercícios. Existem 23 países na América do Norte, 12 países na América do Sul, 47 países na Europa, 44 países na Ásia, 54 países na África e 14 na Oceania (região do Oceano Pacífico).

Deixe\(\text{A} =\) o evento de um país estar na Ásia.

Deixe\(\text{E} =\) o evento de um país estar na Europa.

Deixe\(\text{F} =\) o evento de um país estar na África.

Deixe\(\text{N} =\) o evento de um país estar na América do Norte.

Deixe\(\text{O} =\) o evento de um país estar na Oceania.

Deixe\(\text{S} =\) o evento de um país estar na América do Sul.

Exercício 3.2.13

Encontre\(P(\text{A})\).

Exercício 3.2.14

Encontre\(P(\text{E})\).

Resposta

\(P(\text{E}) = \frac{47}{194} = 0.24\)

Exercício 3.2.15

Encontre\(P(\text{F})\).

Exercício 3.2.16

Encontre\(P(\text{N})\).

Resposta

\(P(\text{N}) = \frac{23}{194} = 0.12\)

Exercício 3.2.17

Encontre\(P(\text{O})\).

Exercício 3.2.18

Encontre\(P(\text{S})\).

Resposta

\(P(\text{S}) = \frac{12}{194} = \frac{6}{97} = 0.06\)

Exercício 3.2.19

Qual é a probabilidade de comprar uma carta vermelha em um baralho padrão de 52 cartas?

Exercício 3.2.20

Qual é a probabilidade de sortear um taco em um baralho padrão de 52 cartas?

Resposta

\(\frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0.25\)

Exercício 3.2.21

Qual é a probabilidade de rolar um número par de pontos com um dado justo de seis lados numerado de um a seis?

Exercício 3.2.22

Qual é a probabilidade de rolar um número primo de pontos com um dado justo de seis lados numerado de um a seis?

Resposta

\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5\)

Use as informações a seguir para responder aos próximos dois exercícios. Você vê um jogo em uma feira local. Você tem que jogar um dardo em uma roda de cores. Cada seção na roda de cores tem a mesma área.

Deixe\(\text{B} =\) o evento de aterrissar em azul.

Deixe\(\text{R} =\) o evento de aterrissar no vermelho.

Deixe\(\text{G} =\) o evento de aterrissar no verde.

Deixe\(\text{Y} =\) o evento de aterrissar em amarelo.

Exercício 3.2.23

Se você aterrissar\(\text{Y}\), receberá o maior prêmio. Encontre\(P(\text{Y})\).

Exercício 3.2.24

Se você cair no vermelho, não receberá um prêmio. O que é\(P(\text{R})\)?

Resposta

\(\text{P}(R) = \frac{4}{8} = 0.5\)

Use as informações a seguir para responder aos próximos dez exercícios. Em um time de beisebol, existem jogadores internos e externos. Alguns jogadores são grandes rebatedores e alguns jogadores não são bons rebatedores.

Deixe\(\text{I} =\) o evento em que um jogador está em um jogador de campo.

Deixe\(\text{O} =\) o evento em que um jogador é um defensor externo.

Deixe\(\text{H} =\) o evento em que um jogador é um grande rebatedor.

Deixe\(\text{N} =\) o evento em que um jogador não é um grande rebatedor.

Exercício 3.2.25

Escreva os símbolos da probabilidade de um jogador não ser um defensor externo.

Exercício 3.2.26

Escreva os símbolos da probabilidade de um jogador ser um defensor externo ou um grande rebatedor.

Resposta

\(P(\text{O OR H})\)

Exercício 3.2.27

Escreva os símbolos da probabilidade de um jogador ser um jogador de campo interno e não ser um grande rebatedor.

Exercício 3.2.28

Escreva os símbolos da probabilidade de um jogador ser um grande rebatedor, já que o jogador é um jogador de campo.

Resposta

\(P(\text{H|I})\)

Exercício 3.2.29

Escreva os símbolos da probabilidade de um jogador ser um jogador de campo, já que o jogador é um grande rebatedor.

Exercício 3.2.30

Escreva os símbolos da probabilidade de que, de todos os jogadores externos, um jogador não seja um grande rebatedor.

Resposta

\(P(\text{N|O})\)

Exercício 3.2.31

Escreva os símbolos da probabilidade de que, de todos os grandes rebatedores, um jogador seja um defensor externo.

Exercício 3.2.32

Escreva os símbolos da probabilidade de um jogador ser um jogador de campo interno ou não ser um grande rebatedor.

Resposta

\(P(\text{I OR N})\)

Exercício 3.2.33

Escreva os símbolos da probabilidade de um jogador ser um defensor externo e ser um grande rebatedor.

Exercício 3.2.34

Escreva os símbolos da probabilidade de um jogador ser um jogador de campo.

Resposta

\(P(\text{I})\)

Exercício 3.2.35

Qual é a palavra para o conjunto de todos os resultados possíveis?

Exercício 3.2.36

O que é probabilidade condicional?

Resposta

A probabilidade de que um evento ocorra, considerando que outro evento já ocorreu.

Exercício 3.2.37

Uma prateleira contém 12 livros. Oito são ficção e o resto não é ficção. Cada um é um livro diferente com um título exclusivo. Os livros de ficção são numerados de um a oito. Os livros de não ficção são numerados de um a quatro. Selecione aleatoriamente um livro

Que\(\text{F} =\) aconteça que esse livro seja ficção

\(\text{N} =\)Evento de que esse livro não seja ficção

Qual é o espaço amostral?

Exercício 3.2.38

Qual é a soma das probabilidades de um evento e seu complemento?

Resposta

Use as informações a seguir para responder aos próximos dois exercícios. Você está rolando um cubo numérico justo de seis lados. Deixe que\(\text{E} =\) o evento caia em um número par. Deixe que\(\text{M} =\) o evento caia em um múltiplo de três.

Exercício 3.2.39

O que\(P(\text{E|M})\) significa em palavras?

Exercício 3.2.40

O que\(P(\text{E OR M})\) significa em palavras?

Resposta

a probabilidade de aterrissar em um número par ou múltiplo de três