Skip to main content
Global

10.4: Resolver aplicações modeladas por equações quadráticas

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    184103

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Resolva aplicações modeladas por equações quadráticas
    Esteja preparado

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. A soma de dois números ímpares consecutivos é −100. Encontre os números.
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    2. A área do mural triangular é de 64 pés quadrados. A base tem 16 pés. Encontre a altura.
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    3. Encontre o comprimento da hipotenusa de um triângulo reto com pernas de 5 polegadas e 12 polegadas.
      Se você perdeu esse problema, revise [link].

    Resolva aplicações da fórmula quadrática

    Resolvemos algumas aplicações que foram modeladas por equações quadráticas anteriormente, quando o único método que tínhamos para resolvê-las era a fatoração. Agora que temos mais métodos para resolver equações quadráticas, daremos outra olhada nas aplicações. Para começar, copiaremos nossa estratégia usual de solução de problemas aqui para que possamos seguir as etapas.

    Definição: USE A ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
    1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
    2. Identifique o que estamos procurando.
    3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
    4. Traduza em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação de álgebra.
    5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
    6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
    7. Responda à pergunta com uma frase completa.

    Resolvemos aplicações numéricas que envolviam números inteiros pares consecutivos e números inteiros ímpares consecutivos modelando a situação com equações lineares. Lembre-se de que notamos que cada número inteiro par é 2 a mais do que o número anterior. Se chamarmos o primeiro de n, então o próximo é\(n+2\). The next one would be \(n+2+2\) or \(n+4\). This is also true when we use odd integers. One set of even integers and one set of odd integers are shown below.

    \[\begin{array}{cccc} {}&{\textbf{Consecutive even integers}}&{}&{\textbf{Consecutive odd integers}}\\ {}&{64, 66, 68}&{}&{77, 79, 81}\\ {n}&{1^{st} \text{even number}}&{n}&{1^{st} \text{odd number}}\\ {n+2}&{2^{nd} \text{even number}} &{n+2}&{2^{nd} \text{odd number}}\\ {n+4}&{3^{rd} \text{even number}}&{n+4}&{3^{rd} \text{odd number}}\\ \end{array}\]

    Algumas aplicações de números inteiros ímpares consecutivos ou números inteiros pares consecutivos são modeladas por equações quadráticas. A notação acima será útil ao nomear as variáveis.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    O produto de dois números inteiros ímpares consecutivos é 195. Encontre os números inteiros.

    Responda
    Etapa 1. Leia o problema.  
    Etapa 2. Identifique o que estamos procurando. Estamos procurando por dois números inteiros ímpares consecutivos.
    Etapa 3. Diga o que estamos procurando. Deixe\(n=\) o primeiro número inteiro ímpar.
    \(n+2=\)o próximo número inteiro ímpar
    Etapa 4. Traduza em uma equação. Indique o problema em uma frase. “O produto de dois números inteiros ímpares consecutivos é 195.” O produto do primeiro inteiro ímpar e do segundo inteiro ímpar é 195.
    Traduza em uma equação. .
    Etapa 5. Resolva a equação. Distribuir. .
    Subtraia 195 para obter a equação na forma padrão. .
    Identifique os valores a, b, c. .
    Escreva a equação quadrática. .
    Em seguida, substitua os valores de a, b, c. .
    Simplifique. .
    .
    Simplifique o radical. .
    Reescreva para mostrar duas soluções. .
    Resolva cada equação. .
    .
    Existem dois valores de n que são soluções. Isso nos dará dois pares de números inteiros ímpares consecutivos para nossa solução.

    Primeiro inteiro ímpar n=13

    próximo número inteiro ímpar n+2
    13+2
    15
     

    Primeiro inteiro ímpar n=−15

    próximo inteiro ímpar n+2
    −15+2
    −13
    Etapa 6. Verifique a resposta.
    Esses pares funcionam?
    Eles são números inteiros ímpares consecutivos?
    O produto deles é 195?

    13, 15, sim −13, −15, sim

    13⋅15=195, sim −13 (−15) =195, sim
    Etapa 7. Responda à pergunta. Os dois inteiros ímpares consecutivos cujo produto é 195 são 13, 15 e −13, −15.
    Exemplo\(\PageIndex{2}\)

    O produto de dois números inteiros ímpares consecutivos é 99. Encontre os números inteiros.

    Responda

    Dois números ímpares consecutivos cujo produto é 99 são 9 e 11 e −9 e −11.

    Exemplo\(\PageIndex{3}\)

    O produto de dois números inteiros ímpares consecutivos é 168. Encontre os números inteiros.

    Responda

    Dois números pares consecutivos cujo produto é 168 são 12 e 14, e −12 e −14.

    Usaremos a fórmula da área de um triângulo para resolver o próximo exemplo.

    Definição: ÁREA DE UM TRIÂNGULO

    Para um triângulo com base b e altura h, a área, A, é dada pela fórmula\(A=\frac{1}{2}bh\).

    A imagem mostra um triângulo com um lado horizontal na parte inferior chamado b e uma linha vertical subindo do lado b até o vértice dos outros dois lados do triângulo. Essa linha vertical é rotulada como h.

    Lembre-se de que, quando resolvemos aplicações de geometria, é útil desenhar a figura.

    Exemplo\(\PageIndex{4}\)

    Um arquiteto está projetando a entrada de um restaurante. Ela quer colocar uma janela triangular acima da porta. Devido às restrições de energia, a janela pode ter uma área de 120 pés quadrados e o arquiteto quer que a largura seja 4 pés a mais do que o dobro da altura. Encontre a altura e a largura da janela.

    Responda
    Etapa 1. Leia o problema.
    Faça um desenho.    		 .
    Etapa 2. Identifique o que estamos procurando. Estamos procurando a altura e a largura.
    Etapa 3. Diga o que estamos procurando. Deixe\(h=\) a altura do triângulo.
    \(2h+4=\)a largura do triângulo
    Etapa 4. Traduzir. Conhecemos a área. Escreva a fórmula para a área de um triângulo.
    .
    Etapa 5. Resolva a equação. Substitua os valores. .
    Distribuir. .
    Esta é uma equação quadrática, reescreva-a na forma padrão. .
    Resolva a equação usando a fórmula quadrática. Identifique os valores a, b, c. .
    Escreva a equação quadrática. .
    Em seguida, substitua os valores de a, b, c. .
    Simplifique. .
    .
    Simplifique o radical. .
    Reescreva para mostrar duas soluções. .
    Simplifique. .
    Como h é a altura de uma janela, um valor de não\(h=−12\) faz sentido. .
      A altura do triângulo:\(h=10\)

    A largura do triângulo:\(2h+4\)
    \(2⋅10+4\)
    \(24\)
    Etapa 6. Verifique a resposta. Um triângulo com altura 10 e largura 24 tem área 120? Sim.  
    Etapa 7. Responda à pergunta. A altura da janela triangular é de 10 pés e a largura é de 24 pés.

    Observe que as soluções eram números inteiros. Isso nos diz que poderíamos ter resolvido a equação fatorando.

    Quando escrevemos a equação na forma padrão\(h^2+2h−120=0\), poderíamos tê-la fatorado. Se tivéssemos feito isso, teríamos resolvido a equação\((h+12)(h−10)=0\).

    Exemplo\(\PageIndex{5}\)

    Encontre as dimensões de um triângulo cuja largura é quatro a mais que seis vezes sua altura e tem uma área de 208 polegadas quadradas.

    Responda

    A altura do triângulo é de 8 polegadas e a largura é de 52 polegadas.

    Exemplo\(\PageIndex{6}\)

    Se um triângulo com uma área de 110 pés quadrados tem uma altura de dois pés a menos que o dobro da largura, quais são suas dimensões?

    Responda

    A altura do triângulo é de 20 pés e a largura é de 11 pés.

    Nos dois exemplos anteriores, o número no radical na Fórmula Quadrática era um quadrado perfeito e, portanto, as soluções eram números racionais. Se obtivermos um número irracional como solução para um problema de aplicação, usaremos uma calculadora para obter um valor aproximado.

    O Teorema de Pitágoras fornece a relação entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo reto. Usaremos o Teorema de Pitágoras para resolver o próximo exemplo.

    Definição: TEOREMA DE PITÁGORAS

    Em qualquer triângulo reto, onde a e b são os comprimentos das pernas e c é o comprimento da hipotenusa,\(a^2+b^2=c^2\)

    A imagem mostra um triângulo reto com um lado horizontal na parte inferior rotulado b, um lado vertical à esquerda rotulado como a e a hipotenusa conectando os dois é rotulada c.

    Exemplo\(\PageIndex{7}\)

    Rene está montando um display de luzes natalinas. Ele quer fazer uma 'árvore' na forma de dois triângulos retos, como mostrado abaixo, e tem duas cordas de luzes de 10 pés para usar nas laterais. Ele colocará as luzes no topo de um poste e em duas estacas no chão. Ele quer que a altura do poste seja a mesma que a distância da base do poste até cada estaca. Qual deve ser a altura do poste?

    Responda
    Etapa 1. Leia o problema. Desenhe uma imagem .
    Etapa 2. Identifique o que estamos procurando. Estamos procurando a altura do poste.
    Etapa 3. Diga o que estamos procurando. A distância da base do poste até qualquer estaca é igual à altura do poste. Deixe\(x=\) a altura do poste.
    \(x=\)a distância do poste até a estaca
    Cada lado é um triângulo reto. Nós desenhamos uma foto de um deles. .
    Etapa 4. Traduza em uma equação. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para resolver x.  
    Escreva o Teorema de Pitágoras. \(a^2+b^2=c^2\)
    Etapa 5. Resolva a equação. Substituto. \(x^2+x^2=10^2\)
    Simplifique. \(2x^2=100\)
    Divida por 2 para isolar a variável. \(\frac{2x^2}{2}=\frac{100}{2}\)
    Simplifique. \(x^2=50\)
    Use a propriedade Square Root. \(x=\pm\sqrt{50}\)
    Simplifique o radical. \(x=\pm5\sqrt{2}\)
    Reescreva para mostrar duas soluções. \(x=5\sqrt{2}\)
    \(\not{x=−5\sqrt{2}}\)
    Aproxime esse número até o décimo mais próximo com uma calculadora. \(x \approx 7.1\)
    Etapa 6. Verifique a resposta.
    Verifique por si mesmo no Teorema de Pitágoras.    		  
    Etapa 7. Responda à pergunta. O poste deve ter cerca de 7,1 pés de altura.
    Exemplo\(\PageIndex{8}\)

    O sol projeta uma sombra de um mastro de bandeira. A altura do mastro da bandeira é três vezes o comprimento de sua sombra. A distância entre a extremidade da sombra e o topo do mastro da bandeira é de 20 pés. Encontre o comprimento da sombra e o comprimento do mastro da bandeira. Arredonde para o décimo de pé mais próximo.

    Responda

    O comprimento da sombra é de 6,3 pés e o comprimento do mastro da bandeira é de 18,9 pés.

    Exemplo\(\PageIndex{9}\)

    A distância entre os cantos opostos de um campo retangular é quatro a mais do que a largura do campo. O comprimento do campo é o dobro da largura. Encontre a distância entre os cantos opostos. Arredonde para o décimo mais próximo.

    Resposta

    A distância até o canto oposto é 3,2.

    Exemplo\(\PageIndex{10}\)

    Mike quer colocar 150 pés quadrados de grama artificial em seu jardim. Esta é a área máxima de grama artificial permitida por sua associação de proprietários. Ele quer ter uma área retangular de relva com comprimento de um pé a menos de três vezes a largura. Encontre o comprimento e a largura. Arredonde para o décimo de pé mais próximo.

    Resposta
    Etapa 1. Leia o problema. Faça um desenho. .
    Etapa 2. Identifique o que estamos procurando. Estamos procurando o comprimento e a largura.
    Etapa 3. Diga o que estamos procurando. Deixe\(w=\) a largura do retângulo.
    \(3w−1=\)o comprimento do retângulo

    Etapa 4. Traduza em uma equação.

    Conhecemos a área. Escreva a fórmula para a área de um retângulo.

    		 .
    Etapa 5. Resolva a equação. Substitua os valores. .
    Distribuir. .
    Esta é uma equação quadrática, reescreva-a na forma padrão. .
    Resolva a equação usando a fórmula quadrática.  
    Identifique os valores a, b, c. .
    Escreva a fórmula quadrática. .
    Em seguida, substitua os valores de a, b, c. .
    Simplifique. .
    .
    Reescreva para mostrar duas soluções. .
    Aproxime as respostas usando uma calculadora.
    Eliminamos a solução negativa para a largura.    		 .
    Etapa 6. Verifique a resposta.
    Certifique-se de que as respostas façam sentido.    		  
    Etapa 7. Responda à pergunta. A largura do retângulo é de aproximadamente 7,2 pés e o comprimento 20,6 pés.
    Exemplo\(\PageIndex{11}\)

    O comprimento de uma horta retangular de 200 pés quadrados é quatro pés a menos que o dobro da largura. Encontre o comprimento e a largura do jardim. Arredonde para o décimo de pé mais próximo..

    Resposta

    A largura do jardim é de 11 pés e o comprimento é de 18 pés.

    Exemplo\(\PageIndex{12}\)

    Uma toalha de mesa retangular tem uma área de 80 pés quadrados. A largura é 5 pés menor que o comprimento. Quais são o comprimento e a largura da toalha de mesa? Arredonde para o décimo de pé mais próximo.

    Resposta

    A largura da toalha de mesa é de 6,8 pés e o comprimento é de 11,8 pés.

    A altura de um projétil disparado para cima é modelada por uma equação quadrática. A velocidade inicial,\(v_{0}\), impulsiona o objeto até que a gravidade faça com que o objeto caia novamente.

    Definição: MOVIMENTO DE PROJÉTIL

    A altura em pés, h, de um objeto lançado no ar com velocidade inicial,\(v_{0}\), após t segundos é dada pela fórmula:

    \(h=−16t^2+v_{0}t\)

    Podemos usar a fórmula do movimento do projétil para descobrir quantos segundos serão necessários para um fogo de artifício atingir uma altura específica.

    Exemplo\(\PageIndex{13}\)

    Um fogo de artifício é disparado para cima com velocidade inicial de 130 pés por segundo. Quantos segundos serão necessários para atingir uma altura de 260 pés? Arredonde para o décimo de segundo mais próximo.

    Resposta
    Etapa 1. Leia o problema.  
    Etapa 2. Identifique o que estamos procurando. Estamos procurando o número de segundos, que é o tempo.
    Etapa 3. Diga o que estamos procurando. Deixe\(t=\) o número de segundos.
    Etapa 4. Traduza em uma equação. Use a fórmula.
      \(h=−16t^2+v_{0}t\)
    Etapa 5. Resolva a equação.
    Sabemos que a velocidade\(v_{0}\) é de 130 pés por segundo.    		  
    A altura é de 260 pés. Substitua os valores. .
    Esta é uma equação quadrática, reescreva-a na forma padrão. .
    Resolva a equação usando a fórmula quadrática.  
    Identifique os valores a, b, c. .
    Escreva a fórmula quadrática. .
    Em seguida, substitua os valores de a, b, c. .
    Simplifique. .
    .
    Reescreva para mostrar duas soluções. .
    Aproxime as respostas com uma calculadora. \(t \approx 4.6\)segundos,\(t \approx 3.6\)
    Etapa 6. Verifique a resposta.
    O cheque é deixado para você.    		  
    Etapa 7. Responda à pergunta. Os fogos de artifício subirão e depois cairão novamente.
    À medida que o fogo de artifício aumenta, ele alcançará 260 pés após
    aproximadamente 3,6 segundos. Ele também passará dessa
    altura na descida em 4,6 segundos.
    .
    Exemplo\(\PageIndex{14}\)

    Uma flecha é disparada do solo para o ar a uma velocidade inicial de 108 pés/seg. Use a fórmula\(h=−16t^2+v_{0}t\) para determinar quando a flecha estará a 180 pés do chão. Arredonde o décimo de segundo mais próximo.

    Resposta

    A flecha alcançará 180 ao subir em 3 segundos e ao descer em 3,8 segundos.

    Exemplo\(\PageIndex{15}\)

    Um homem joga uma bola no ar com uma velocidade de 96 pés/seg. Use a fórmula\(h=−16t^2+v_{0}t\) para determinar quando a altura da bola será de 48 pés. Arredonde para o décimo de segundo mais próximo.

    Resposta

    A bola atingirá 48 pés em sua subida em 0,6 segundos e na descida em 5,5 segundos.

    Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais na resolução de problemas de palavras usando a equação quadrática:

    Conceitos-chave

    • Área de um triângulo Para um triângulo com base, b e altura, h, a área, A, é dada pela fórmula:\(A=\frac{1}{2}bh\)
      alt
    • Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo reto, onde a e b são os comprimentos das pernas e c é o comprimento da hipotenusa,\(a^2+b^2=c^2\)
      alt
    • Movimento do projétil A altura em pés, h, de um objeto lançado no ar com velocidade inicial,\(v_{0}\), após tt segundos pode ser modelada pela fórmula

      \(h=−16t^2+v_{0}t\)

    Glossário

    números inteiros pares consecutivos
    Os números inteiros pares consecutivos são números inteiros pares que se seguem um após o outro. Se um inteiro par for representado por n, o próximo inteiro par consecutivo será\(n+2\), e o próximo inteiro depois disso será\(n+4\).
    números inteiros ímpares consecutivos
    Os números inteiros ímpares consecutivos são números inteiros ímpares que se seguem um após o outro. Se um inteiro ímpar for representado por n, o próximo inteiro ímpar consecutivo será\(n+2\), e o próximo inteiro depois disso será\(n+4\).

    ​​​​​​​