10.1: Resolva equações quadráticas usando a propriedade de raiz quadrada
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Ao final desta seção, você poderá:
- Resolva equações quadráticas da forma\(ax^2=k\) usando a propriedade de raiz quadrada
- Resolva equações quadráticas da forma\(a(x−h)^2=k\) usando a propriedade de raiz quadrada
- Simplifique:\(\sqrt{75}\).
- Simplifique:\(\sqrt{\dfrac{64}{3}}\)
- Fator:\(4x^{2} − 12x + 9\).
Equações quadráticas são equações da forma\(ax^{2} + bx + c = 0\), onde\(a \neq 0\). Eles diferem das equações lineares ao incluir um termo com a variável elevada à segunda potência. Usamos métodos diferentes para resolver equações quadráticas s do que equações lineares, porque apenas adicionar, subtrair, multiplicar e dividir termos não isolará a variável.
Vimos que algumas equações quadráticas podem ser resolvidas por fatoração. Neste capítulo, usaremos outros três métodos para resolver equações quadráticas.
Resolva equações quadráticas da forma\(ax^2=k\) usando a propriedade de raiz quadrada
Já resolvemos algumas equações quadráticas por fatoração. Vamos analisar como usamos a fatoração para resolver a equação quadrática\(x^{2} = 9\).
\[\begin{array}{ll} {}&{x^2=9}\\ {\text{Put the equation in standard form.}}&{x^2−9=0}\\ {\text{Factor the left side.}}&{(x - 3)(x + 3) = 0}\\ {\text{Use the Zero Product Property.}}&{(x - 3) = 0, (x + 3) = 0}\\ {\text{Solve each equation.}}&{x = 3, x = -3}\\ {\text{Combine the two solutions into} \pm \text{form}}&{x=\pm 3}\\ \nonumber \end{array}\]
(A solução é lida como\(x\) 'é igual a positivo ou negativo'\(3\).)
Podemos facilmente usar a fatoração para encontrar as soluções de equações semelhantes, como\(x^{2}=16\) e\(x^{2} = 25\), porque\(16\) e\(25\) são quadrados perfeitos. Mas o que acontece quando temos uma equação como essa\(x^{2}=7\)? Como não\(7\) é um quadrado perfeito, não podemos resolver a equação fatorando.
Essas equações são todas da forma\(x^{2}=k\).
Definimos a raiz quadrada de um número desta forma:
Se\(n^{2} = m\), então\(n\) é uma raiz quadrada de\(m\).
Isso leva à propriedade Square Root.
Se\(x^{2}=k\), e\(k \geq 0\), então\(x = \sqrt{k}\) ou\(x = -\sqrt{k}\).
Observe que a propriedade de raiz quadrada fornece duas soluções para uma equação da forma\(x^2=k\): a raiz quadrada principal de k e sua oposta. Também poderíamos escrever a solução como\(x=\pm \sqrt{k}\)
Agora, resolveremos a equação\(x^{2} = 9\) novamente, desta vez usando a propriedade de raiz quadrada.
\[\begin{array}{ll} {}&{x^{2} = 9}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{x = \pm\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify the radical.}}&{x = \pm 3}\\ {\text{Rewrite to show the two solutions.}}&{x = 3, x = −3}\\ \nonumber \end{array}\]
O que acontece quando a constante não é um quadrado perfeito? Vamos usar a propriedade de raiz quadrada para resolver a equação\(x^2=7\).
\[\begin{array} {ll} {\text{Use the Square Root Property. }}&{x = \pm\sqrt{7}}\\ {\text{Rewrite to show two solutions.}}&{x = \sqrt{7}, x = −\sqrt{7}}\\ {\text{We cannot simplify} \sqrt{7} \text{ so we leave the answer as a radical.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]
Resolver:\(x^{2} = 169\)
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{x^2=169}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{x=\pm\sqrt{169}}\\ {\text{Simplify the radical.}}&{x = \pm13}\\{\text{Rewrite to show two solutions.}}&{x = 13, x = −13}\\ \nonumber \end{array}\]
Resolver:\(x^2=81\)
- Resposta
-
x=9, x=−9
Resolver:\(y^{2} = 121\)
- Resposta
-
y = 11, y = −11
Como resolver uma equação quadrática da forma\(ax^{2} = k\) usando a propriedade de raiz quadrada
Resolver:\(x^{2} − 48 = 0\)
- Resposta
Resolver:\(x^{2} − 50 = 0\)
- Resposta
-
\(x = 5\sqrt{2}, x = −5\sqrt{2}\)
Resolver:\(y^{2} − 27 = 0\)
- Resposta
-
\(y = 3\sqrt{3}, x = −3\sqrt{3}\)
- Isole o termo quadrático e torne seu coeficiente um.
- Use a propriedade de raiz quadrada.
- Simplifique o radical.
- Verifique as soluções.
Para usar a propriedade de raiz quadrada, o coeficiente do termo variável deve ser igual a 1. No próximo exemplo, devemos dividir os dois lados da equação por 5 antes de usar a propriedade de raiz quadrada.
Resolver:\(5m^2=80\)
- Resposta
-
O termo quadrático é isolado. \(5m^2=80\) Divida por 5 para tornar seu coeficiente 1. \(\frac{5m^2}{5}=\frac{80}{5}\) Simplifique. \(m^2=16\) Use a propriedade Square Root. \(m=\pm\sqrt{16}\) Simplifique o radical. \(m=\pm 4\) Reescreva para mostrar duas soluções. m=4, m=−4 Verifique as soluções.
Resolver:\(2x^2=98\).
- Resposta
-
x=7, x=−7
Resolver:\(3z^2=108\).
- Resposta
-
z=6, z=−6
A propriedade de raiz quadrada começou declarando “Se\(x^2=k\) e\(k\ge 0\)”. O que acontecerá se\(k<0\)? Esse será o caso no próximo exemplo.
Resolver:\(q^2+24=0\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{q^2=24}\\ {\text{Isolate the quadratic term.}}&{q^2=−24}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{q=\pm\sqrt{-24}}\\ {\text{The} \sqrt{-24} \text{is not a real number}}& {\text{There is no real solution}}\\ \nonumber \end{array}\]
Resolver:\(c^2+12=0\).
- Resposta
-
nenhuma solução real
Resolver:\(d^2+81=0\).
- Resposta
-
nenhuma solução real
Resolver:\(\frac{2}{3}u^2+5=17\).
- Resposta
-
\(\frac{2}{3}u^2+5=17\) Isole o termo quadrático. \(\frac{2}{3}u^2=12\)
Multiplique por\(\frac{3}{2}\) para obter o coeficiente 1. \(\frac{3}{2}·\frac{2}{3}u^2=\frac{3}{2}·12\) Simplifique. \(u^2=18\) Use a propriedade Square Root. \(u=\pm\sqrt{18}\) Simplifique o radical. \(u=\pm\sqrt{9}\sqrt{2}\) Simplifique. \(u=\pm3\sqrt{2}\) Reescreva para mostrar duas soluções. \(u=3\sqrt{2}\),\(u=−3\sqrt{2}\) Verifique.
Resolver:\(\frac{1}{2}x^2+4=24\)
- Resposta
-
\(x=2\sqrt{10}\),\(x=−2\sqrt{10}\)
Resolver:\(\frac{3}{4}y^2−3=18\).
- Resposta
-
\(y=2\sqrt{7}\),\(y=−2\sqrt{7}\)
As soluções para algumas equações podem ter frações dentro dos radicais. Quando isso acontece, devemos racionalizar o denominador.
Resolver:\(2c^2−4=45\).
- Resposta
-
\(2c^2−4=45\) Isole o termo quadrático. \(2c^2=49\) Divida por 2 para obter o coeficiente 1. \(\frac{2c^2}{2}=\frac{49}{2}\) Simplifique. \(c^2=\frac{49}{2}\) Use a propriedade Square Root. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}}\) Simplifique o radical. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}}\) Racionalize o denominador. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\) Simplifique. \(c=\pm\frac{7\sqrt{2}}{2}\) Reescreva para mostrar duas soluções. \(c=\frac{7\sqrt{2}}{2}\),\(c=−\frac{7\sqrt{2}}{2}\) Verifique. Deixamos o cheque para você.
Resolver:\(5r^2−2=34\).
- Resposta
-
\(r=\frac{6\sqrt{5}}{5}\),\(r=−\frac{6\sqrt{5}}{5}\)
Resolver:\(3t^2+6=70\).
- Resposta
-
\(t=\frac{8\sqrt{3}}{3}\),\(t=−\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
Resolva equações quadráticas da forma\(a(x-h)^2=k\) usando a propriedade de raiz quadrada
Também podemos usar a propriedade de raiz quadrada para resolver uma equação como\((x−3)^2=16\). Vamos tratar todo o binômio, (x−3), como o termo quadrático.
Resolver:\((x−3)^2=16\).
- Resposta
-
\((x−3)^2=16\) Use a propriedade Square Root. \(x−3=\pm\sqrt{16}\) Simplifique. \(x−3=\pm 4\) Escreva como duas equações. \(x−3=4\),\(x−3=−4\) Resolver. x=7, x=−1 Verifique.
Resolver:\((q+5)^2=1\).
- Resposta
-
q=−6, q=−4
Resolver:\((r−3)^2=25\).
- Resposta
-
r=8, r=−2
Resolver:\((y−7)^2=12\).
- Resposta
-
\((y−7)^2=12\). Use a propriedade Square Root. \(y−7=\pm\sqrt{12}\) Simplifique o radical. \(y−7=\pm2\sqrt{3}\) Resolva para y. \(y=7\pm2\sqrt{3}\) Reescreva para mostrar duas soluções. \(y=7+2\sqrt{3}\),\(y=7−2\sqrt{3}\) Verifique.
Resolver:\((a−3)^2=18\).
- Resposta
-
\(a=3+3\sqrt{2}\),\(a=3−3\sqrt{2}\)
Resolver:\((b+2)^2=40\).
- Resposta
-
\(b=−2+2\sqrt{10}\),\(b=−2−2\sqrt{10}\)
Resolver:\((x−\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}\).
- Resposta
-
\((x−\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}\) Use a propriedade Square Root. \((x−\frac{1}{2})=\pm\sqrt\frac{5}{4}\) Reescreva o radical como uma fração das raízes quadradas. \((x−\frac{1}{2})=\pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}\) Simplifique o radical. \((x−\frac{1}{2})=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\) Resolva para x. \(x=\frac{1}{2}+\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\) Reescreva para mostrar duas soluções. \(x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\),\(x=\frac{1}{2}−\frac{\sqrt{5}}{2}\) Verifique. Deixamos o cheque para você
Resolver:\((x−\frac{1}{3})^2=\frac{5}{9}\).
- Resposta
-
\(x=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}\),\(x=\frac{1}{3}−\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Resolver:\((y−\frac{3}{4})^2=\frac{7}{16}\).
- Resposta
-
\(y=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}\),\(y=\frac{3}{4}−\frac{\sqrt{7}}{4}\),
Começaremos a solução para o próximo exemplo isolando o binômio.
Resolver:\((x−2)^2+3=30\).
- Resposta
-
\((x−2)^2+3=30\) Isole o termo binomial. \((x−2)^2=27\) Use a propriedade Square Root. \(x−2=\pm\sqrt{27}\) Simplifique o radical. \(x−2=\pm3\sqrt{3}\) Resolva para x. \(x=2+\pm3\sqrt{3}\) \(x−2=\pm3\sqrt{3}\) \(x=2+3\sqrt{3}\),\(x=2−3\sqrt{3}\) Verifique. Deixamos o cheque para você
Resolver:\((a−5)^2+4=24\).
- Resposta
-
\(a=5+2\sqrt{5}\),\(a=5−2\sqrt{5}\)
Resolver:\((b−3)^2−8=24\).
- Resposta
-
\(b=3+4\sqrt{2}\),\(b=3−4\sqrt{2}\)
Resolver:\((3v−7)^2=−12\).
- Resposta
-
\((3v−7)^2=−12\) Use a propriedade Square Root. \(3v−7=\pm\sqrt{−12}\) O não\(\sqrt{−12}\) é um número real. Não existe uma solução real.
Resolver:\((3r+4)^2=−8\).
- Resposta
-
nenhuma solução real
Os lados esquerdos das equações nos próximos dois exemplos não parecem ter a forma\(a(x−h)^2\). Mas eles são trinômios quadrados perfeitos, então vamos levá-los em consideração para colocá-los na forma que precisamos.
Resolver:\(p^2−10p+25=18\).
- Resposta
-
O lado esquerdo da equação é um trinômio quadrado perfeito. Vamos considerar isso primeiro.
\(p^2−10p+25=18\) Considere o trinômio quadrado perfeito. \((p−5)^2=18\) Use a propriedade Square Root. \(p−5=\pm\sqrt{18}\) Simplifique o radical. \(p−5=\pm3\sqrt{2}\) Resolva para p. \(p=5\pm3\sqrt{2}\) Reescreva para mostrar duas soluções. \(p=5+3\sqrt{2}\),\(p=5−3\sqrt{2}\) Verifique. Deixamos o cheque para você.
Resolver:\(x^2−6x+9=12\).
- Resposta
-
\(x=3+2\sqrt{3}\),\(x=3−2\sqrt{3}\)
Resolver:\(y^2+12y+36=32\).
- Resposta
-
\(y=−6+4\sqrt{2}\),\(y=−6−4\sqrt{2}\)
Resolver:\(4n^2+4n+1=16\).
- Resposta
-
Novamente, notamos que o lado esquerdo da equação é um trinômio quadrado perfeito. Vamos considerar isso primeiro.
\(4n^2+4n+1=16\) Considere o trinômio quadrado perfeito. \((2n+1)^2=16\) Use a propriedade Square Root. \((2n+1)=\pm\sqrt{16}\) Simplifique o radical. \((2n+1)=\pm4\) Resolva para n. \(2n=−1\pm4\) Divida cada lado por 2. \(\frac{2n}{2}=\frac{−1\pm4}{2}\)
\(n=\frac{−1\pm4}{2}\)
Reescreva para mostrar duas soluções. \(n=\frac{−1+4}{2}\),\(n=\frac{−1−4}{2}\) Simplifique cada equação. \(n=\frac{3}{2}\),\(n=−\frac{5}{2}\) Verifique.
Resolver:\(9m^2−12m+4=25\).
- Resposta
-
\(m=\frac{7}{3}\),\(m=−1\)
Resolver:\(16n^2+40n+25=4\).
- Resposta
-
\(n=−\frac{3}{4}\), \(n=−\frac{7}{4}\)
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais na resolução de equações quadráticas:
- Resolvendo equações quadráticas: resolvendo usando raízes quadradas
- Usando raízes quadradas para resolver equações quadráticas
- Resolvendo equações quadráticas: o método da raiz quadrada
Conceitos chave
- Propriedade de raiz quadrada
Se\(x^2=k\), e\(k\ge 0\), então\(x=\sqrt{k}\) ou\(x=−\sqrt{k}\).
Glossário
- equação quadrática
- Uma equação quadrática é uma equação da forma\(ax^2+bx+c=0\) em que\(a \ne 0\).
- Propriedade de raiz quadrada
- A propriedade de raiz quadrada afirma que\(x^2=k\), se e\(k\ge 0\), então\(x=\sqrt{k}\) ou\(x=−\sqrt{k}\).