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9.7E: Exercícios

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    A prática leva à perfeição

    Simplifique expressões com raízes mais altas

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    Exemplo\(\PageIndex{46}\)
    1. \(\sqrt[3]{216}\)
    2. \(\sqrt[4]{256}\)
    3. \(\sqrt[5]{32}\)
    Exemplo\(\PageIndex{47}\)
    1. \(\sqrt[3]{27}\)
    2. \(\sqrt[4]{16}\)
    3. \(\sqrt[5]{243}\)
    Responda
    1. 3
    2. 2
    3. 3
    Exemplo\(\PageIndex{48}\)
    1. \(\sqrt[3]{512}\)
    2. \(\sqrt[4]{81}\)
    3. \(\sqrt[5]{1}\)
    Exemplo\(\PageIndex{49}\)
    1. \(\sqrt[5]{125}\)
    2. \(\sqrt[4]{1296}\)
    3. \(\sqrt[5]{1024}\)
    Responda
    1. 5
    2. 6
    3. 4
    Exemplo\(\PageIndex{50}\)
    1. \(\sqrt[3]{−8}\)
    2. \(\sqrt[4]{−81}\)
    3. \(\sqrt[5]{−32}\)
    Exemplo\(\PageIndex{51}\)
    1. \(\sqrt[3]{−64}\)
    2. \(\sqrt[4]{−16}\)
    3. \(\sqrt[5]{−243}\)
    Responda
    1. −4
    2. não é real
    3. −3
    Exemplo\(\PageIndex{52}\)
    1. \(\sqrt[3]{−125}\)
    2. \(\sqrt[4]{−1296}\)
    3. \(\sqrt[5]{−1024}\)
    Exemplo\(\PageIndex{53}\)
    1. \(\sqrt[3]{−512}\)
    2. \(\sqrt[4]{−81}\)
    3. \(\sqrt[5]{−1}\)
    Responda
    1. −8
    2. não é um número real
    3. −1
    Exemplo\(\PageIndex{54}\)
    1. \(\sqrt[5]{u^5}\)
    2. \(\sqrt[8]{v^8}\)
    Exemplo\(\PageIndex{55}\)
    1. \(\sqrt[3]{a^3}\)

    .

    Responda
    1. uma
    2. |b|
    Exemplo\(\PageIndex{56}\)
    1. \(\sqrt[4]{y^4}\)
    2. \(\sqrt[7]{m^7}\)
    Exemplo\(\PageIndex{57}\)
    1. \(\sqrt[8]{k^8}\)
    2. \(\sqrt[6]{p^6}\)
    Responda
    1. |k|
    2. p
    Exemplo\(\PageIndex{58}\)
    1. \(\sqrt[3]{x^9}\)
    2. \(\sqrt[4]{y^{12}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{59}\)
    1. \(\sqrt[5]{a^{10}}\)
    2. \(\sqrt[3]{b^{27}}\)
    Responda
    1. \(a^2\)
    2. \(b^9\)
    Exemplo\(\PageIndex{60}\)
    1. \(\sqrt[4]{m^8}\)
    2. \(\sqrt[5]{n^{20}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{61}\)
    1. \(\sqrt[6]{r^{12}}\)
    2. \(\sqrt[3]{s^{30}}\)
    Responda
    1. \(r^2\)
    2. \(s^{10}\)
    Exemplo\(\PageIndex{62}\)
    1. \(\sqrt[4]{16x^8}\)
    2. \(\sqrt[6]{64y^{12}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{63}\)
    1. \(\sqrt[3]{−8c^9}\)
    2. \(\sqrt[3]{125d^{15}}\)
    Responda
    1. \(−2c^3\)
    2. \(5d^5\)
    Exemplo\(\PageIndex{64}\)
    1. \(\sqrt[3]{216a^6}\)
    2. \(\sqrt[5]{32b^{20}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{65}\)
    1. \(\sqrt[7]{128r^{14}}\)
    2. \(\sqrt[4]{81s^{24}}\)
    Responda
    1. \(2r^2\)
    2. \(3s^6\)

    Use a propriedade Product para simplificar expressões com raízes mais altas

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    Exercício\(\PageIndex{66}\)
    1. \(\sqrt[3]{r^5}\)
    2. \(\sqrt[4]{s^{10}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{67}\)
    1. \(\sqrt[5]{u^7}\)
    2. \(\sqrt[6]{v^{11}}\)
    Responda
    1. \(u\sqrt[5]{u^2}\)
    2. \(v\sqrt[6]{v^5}\)
    Exemplo\(\PageIndex{68}\)
    1. \(\sqrt[4]{m^5}\)
    2. \(\sqrt[8]{n^{10}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{69}\)
    1. \(\sqrt[5]{p^8}\)
    2. \(\sqrt[3]{q^8}\)
    Responda
    1. \(p\sqrt[5]{p^3}\)
    2. \(q^2\sqrt[3]{q^2}\)
    Exemplo\(\PageIndex{70}\)
    1. \(\sqrt[4]{32}\)
    2. \(\sqrt[5]{64}\)
    Exemplo\(\PageIndex{71}\)
    1. \(\sqrt[3]{625}\)
    2. \(\sqrt[6]{128}\)
    Responda
    1. \(5\sqrt[3]{5}\)
    2. \(2\sqrt[6]{2}\)
    Exemplo\(\PageIndex{72}\)
    1. \(\sqrt[6]{64}\)
    2. \(\sqrt[3]{256}\)
    Exemplo\(\PageIndex{73}\)
    1. \(\sqrt[4]{3125}\)
    2. \(\sqrt[3]{81}\)
    Responda
    1. \(5\sqrt[4]{5}\)
    2. \(3\sqrt[3]{3}\)
    Exemplo\(\PageIndex{74}\)
    1. \(\sqrt[3]{108x^5}\)
    2. \(\sqrt[4]{48y^6}\)
    Exemplo\(\PageIndex{75}\)
    1. \(\sqrt[5]{96a^7}\)
    2. \(\sqrt[3]{375b^4}\)
    Responda
    1. \(2a\sqrt[5]{3a^2}\)
    2. \(5b\sqrt[3]{3b}\)
    Exemplo\(\PageIndex{76}\)
    1. \(\sqrt[4]{405m^{10}}\)
    2. \(\sqrt[5]{160n^8}\)
    Exemplo\(\PageIndex{77}\)
    1. \(\sqrt[3]{512p^5}\)
    2. \(\sqrt[4]{324q^7}\)
    Responda
    1. \(8p\sqrt[3]{p^2}\)
    2. \(3q\sqrt[4]{4q^3}\)
    Exemplo\(\PageIndex{78}\)
    1. \(\sqrt[3]{−864}\)
    2. \(\sqrt[4]{−256}\)
    Exemplo\(\PageIndex{79}\)
    1. \(\sqrt[5]{−486}\)
    2. \(\sqrt[6]{−64}\)
    Responda
    1. \(−3\sqrt[5]{2}\)
    2. não é real
    Exemplo\(\PageIndex{80}\)
    1. \(\sqrt[5]{−32}\)
    2. \(\sqrt[8]{−1}\)
    Exemplo\(\PageIndex{81}\)
    1. \(\sqrt[3]{−8}\)
    2. \(\sqrt[4]{−16}\)
    Responda
    1. −2
    2. não é real
    Use a propriedade quociente para simplificar expressões com raízes mais altas

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    Exemplo\(\PageIndex{82}\)
    1. \(\sqrt[3]{\frac{p^{11}}{p^2}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\frac{q^{17}}{q^{13}}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{83}\)
    1. \(\sqrt[5]{\frac{d^{12}}{d^7}}\)
    2. \(\sqrt[8]{\frac{m^{12}}{m^4}}\)
    Responda
    1. d
    2. |m|
    Exemplo\(\PageIndex{84}\)
    1. \(\sqrt[5]{\frac{u^{21}}{u^{11}}}\)
    2. \(\sqrt[6]{\frac{v^{30}}{v^{12}}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{85}\)
    1. \(\sqrt[3]{\frac{r^{14}}{r^5}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\frac{c^{21}}{c^9}}\)
    Responda
    1. \(r^2\)
    2. \(∣c^3∣\)
    Exemplo\(\PageIndex{86}\)
    1. \(\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{2}}\)
    2. \(\frac{\sqrt[5]{128x^8}}{\sqrt[5]{2x^2}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{87}\)
    1. \(\frac{\sqrt[3]{−625}}{\sqrt[3]{5}}\)
    2. \(\frac{\sqrt[4]{80m^7}}{\sqrt[4]{5m}}\)
    Responda
    1. −5
    2. \(4m\sqrt[4]{m^2}\)
    Exemplo\(\PageIndex{88}\)
    1. \(\sqrt[3]{\frac{1050}{2}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\frac{486y^9}{2y^3}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{89}\)
    1. \(\sqrt[3]{\frac{162}{6}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\frac{160r^{10}}{5r^3}}\)
    Responda
    1. \(3\sqrt[3]{6}\)
    2. \(2|r|\sqrt[4]{2r^3}\)
    Exemplo\(\PageIndex{90}\)
    1. \(\sqrt[3]{\frac{54a^8}{b^3}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\frac{64c^5}{d^2}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{91}\)
    1. \(\sqrt[5]{\frac{96r^{11}}{s^{3}}}\)
    2. \(\sqrt[6]{\frac{128u^7}{v^3}}\)
    Responda
    1. \(\frac{2r^2\sqrt[5]{3r}}{s^3}\)
    2. \(\frac{2u\sqrt[6]{2uv^3}}{v}\)
    Exemplo\(\PageIndex{92}\)
    1. \(\sqrt[3]{\frac{81s^8}{t^3}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\frac{64p^{15}}{q^{12}}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{93}\)
    1. \(\sqrt[3]{\frac{625u^{10}}{v^3}}\)
    2. \(\sqrt[4]{\frac{729c^{21}}{d^8}}\)
    Responda
    1. \(\frac{5u^3\sqrt[3]{5u}}{v}\)
    2. \(\frac{3c^5\sqrt[4]{9c}}{d^2}\)
    Adicione e subtraia raízes superiores

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    Exemplo\(\PageIndex{94}\)
    1. \(\sqrt[7]{8p}+\sqrt[7]{8p}\)
    2. \(3\sqrt[3]{25}−\sqrt[3]{25}\)
    Exemplo\(\PageIndex{95}\)
    1. \(\sqrt[3]{15q}+\sqrt[3]{15q}\)
    2. \(2\sqrt[4]{27}−6\sqrt[4]{27}\)
    Responda
    1. \(2\sqrt[3]{15q}\)
    2. \(−4\sqrt[4]{27}\)
    Exemplo\(\PageIndex{96}\)
    1. \(3\sqrt[5]{9x}+7\sqrt[5]{9x}\)
    2. \(8\sqrt[7]{3q}−2\sqrt[7]{3q}\)
    Exemplo\(\PageIndex{97}\)

    1.

    .

    2.

    .

    Responda

    1.

    .

    2.

    .

    Exemplo\(\PageIndex{98}\)
    1. \(\sqrt[3]{81}−\sqrt[3]{192}\)
    2. \(\sqrt[4]{512}−\sqrt[4]{32}\)
    Exemplo\(\PageIndex{99}\)
    1. \(\sqrt[3]{250}−\sqrt[3]{54}\)
    2. \(\sqrt[4]{243}−\sqrt[4]{1875}\)
    Responda
    1. \(5\sqrt[3]{5}−3\sqrt[3]{2}\)
    2. \(−2\sqrt[4]{3}\)
    Exemplo\(\PageIndex{100}\)
    1. \(\sqrt[3]{128}+\sqrt[3]{250}\)
    2. \(\sqrt[5]{729}+\sqrt[5]{96}\)
    Exemplo\(\PageIndex{101}\)
    1. \(\sqrt[4]{243}+\sqrt[4]{1250}\)
    2. \(\sqrt[3]{2000}+\sqrt[3]{54}\)
    Resposta
    1. \(3\sqrt[4]{3}+5\sqrt[4]{2}\)
    2. \(13\sqrt[3]{2}\)
    Exemplo\(\PageIndex{102}\)
    1. \(\sqrt[3]{64a^{10}}−\sqrt[3]{−216a^{12}}\)
    2. \(\sqrt[4]{486u^7}+\sqrt[4]{768u^3}\)
    Exemplo\(\PageIndex{103}\)
    1. \(\sqrt[3]{80b^5}−\sqrt[3]{−270b^3}\)
    2. \(\sqrt[4]{160v^{10}}−\sqrt[4]{1280v^3}\)
    Resposta
    1. \(2b\sqrt[3]{10b^2}+3b\sqrt[3]{10}\)
    2. \(2v^2\sqrt[4]{10v^2}−4\sqrt[4]{5v^3}\)
    Prática m

    Nos exercícios a seguir, simplifique.

    Exemplo\(\PageIndex{104}\)

    \(\sqrt[4]{16}\)

    Exemplo\(\PageIndex{105}\)

    \(\sqrt[6]{64}\)

    Resposta

    2

    Exemplo\(\PageIndex{106}\)

    \(\sqrt[3]{a^3}\)

    Exemplo\(\PageIndex{107}\)

    .

    Resposta

    |b|

    Exemplo\(\PageIndex{108}\)

    \(\sqrt[3]{−8c^9}\)

    Exemplo\(\PageIndex{109}\)

    \(\sqrt[3]{125d^{15}}\)

    Resposta

    \(5d^5\)

    Exemplo\(\PageIndex{110}\)

    \(\sqrt[3]{r^5}\)

    Exemplo\(\PageIndex{111}\)

    \(\sqrt[4]{s^{10}}\)

    Resposta

    \(s^2\sqrt[4]{s^2}\)

    Exemplo\(\PageIndex{112}\)

    \(\sqrt[3]{108x^5}\)

    Exemplo\(\PageIndex{113}\)

    \(\sqrt[4]{48y^6}\)

    Resposta

    \(2y\sqrt[4]{3y^2}\)

    Exemplo\(\PageIndex{114}\)

    \(\sqrt[5]{−486}\)

    Exemplo\(\PageIndex{115}\)

    \(\sqrt[6]{−64}\)

    Resposta

    não é real

    Exemplo\(\PageIndex{116}\)

    \(\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{2}}\)

    Exemplo\(\PageIndex{117}\)

    \(\frac{\sqrt[5]{128x^8}}{\sqrt[5]{2x^2}}\)

    Resposta

    \(2x\sqrt[5]{2x}\)

    Exemplo\(\PageIndex{118}\)

    \(\sqrt[5]{\frac{96r^{11}}{s^3}}\)

    Exemplo\(\PageIndex{119}\)

    \(\sqrt[6]{\frac{128u^7}{v^3}}\)

    Resposta

    \(\frac{2u^3\sqrt[6]{2uv^3}}{v}\)

    Exemplo\(\PageIndex{120}\)

    \(\sqrt[3]{81}−\sqrt[3]{192}\)

    Exemplo\(\PageIndex{121}\)

    \(\sqrt[4]{512}−\sqrt[4]{32}\)

    Resposta

    \(4\sqrt[4]{2}\)

    Exemplo\(\PageIndex{122}\)

    \(\sqrt[3]{64a^{10}}−\sqrt[3]{−216a^{12}}\)

    Exemplo\(\PageIndex{123}\)

    \(\sqrt[4]{486u^7}+\sqrt[4]{768u^3}\)

    Resposta

    \(3u\sqrt[4]{6u^3}+4\sqrt[4]{3u^3}\)

    Matemática cotidiana

    Exemplo\(\PageIndex{124}\)

    Crescimento populacional A expressão\(10·x^n\) modela o crescimento de uma população de fungos após n gerações. Havia 10 esporos no início, e cada um tinha x filhotes. Assim como\(10·x^n\) o número de filhos na quinta geração. Na quinta geração, havia 10.240 filhotes. Simplifique\(\sqrt[5]{\frac{10,240}{10}}\) a expressão para determinar o número de descendentes de cada esporo.

    Exemplo\(\PageIndex{125}\)

    Propagação de um vírus A expressão\(3·x^n\) modela a propagação de um vírus após n ciclos. Havia três pessoas originalmente infectadas com o vírus, e cada uma delas infectou x pessoas. \(3·x^4\)O mesmo acontece com o número de pessoas infectadas no quarto ciclo. No quarto ciclo, 1875 pessoas foram infectadas. Simplifique a expressão\(\sqrt[4]{\frac{1875}{3}}\) para determinar o número de pessoas infectadas por cada pessoa.

    Resposta

    5

    exercícios de escrita

    Exemplo\(\PageIndex{126}\)

    Explique como você sabe disso\(\sqrt[5]{x^{10}}=x^2\).

    Exemplo\(\PageIndex{127}\)

    Explique por que não\(\sqrt[4]{−64}\) é um número real, mas\(\sqrt[3]{−64}\) é.

    Resposta

    As respostas podem variar.

    Verificação automática

    ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Essa tabela tem quatro colunas e cinco linhas. A primeira linha rotula cada coluna: “Eu posso...”, “Confidentemente”, “Com alguma ajuda” e “Não, eu não entendo!” As linhas abaixo da coluna “Eu posso...” dizem: “simplifique expressões com raízes superiores”, “use a propriedade do produto para simplificar expressões com raízes mais altas”, “use a propriedade quociente para simplificar expressões com raízes mais altas” e “adicionar e subtrair raízes mais altas”. O resto das linhas abaixo das colunas estão vazias.

    ⓑ O que essa lista de verificação diz sobre o seu domínio desta seção? Quais etapas você tomará para melhorar?