9.8: Expoentes racionais
Ao final desta seção, você poderá:
- Simplifique expressões coma1n
- Simplifique expressões comamn
- Use as Leis dos Expoentes para simplesmente expressões com expoentes racionais
Simplifique as expressões coma1n
Os expoentes racionais são outra forma de escrever expressões com radicais. Quando usamos expoentes racionais, podemos aplicar as propriedades dos expoentes para simplificar as expressões.
A propriedade de potência para expoentes diz que(am)n=am·n quando m e n são números inteiros. Vamos supor que agora não estamos limitados a números inteiros.
Suponha que queiramos encontrar um número p tal que(8p)3=8. Usaremos a propriedade de potência dos expoentes para encontrar o valor de p.
(8p)3=8Multiply the exponents on the left.83p=8Write the exponent 1 on the right.83p=81The exponents must be equal.3p=1Solve for p.p=13
Mas nós também sabemos(3√8)3=8. Então deve ser isso813=3√8
Essa mesma lógica pode ser usada para qualquer expoente inteiro positivo n para mostrar issoa1n=n√a.
Sen√a for um número real en≥2,a1n=n√a.
Haverá momentos em que trabalhar com expressões será mais fácil se você usar expoentes racionais e momentos em que será mais fácil usar radicais. Nos primeiros exemplos, você praticará a conversão de expressões entre essas duas notações.
Escreva como uma expressão radical:
- x12
- y13
- z14.
- Resposta
-
Queremos escrever cada expressão no formulárion√a.
1. x12 O denominador do expoente é 2, então o índice do radical é 2. Não mostramos o índice quando ele é 2. √x 2. y13 O denominador do expoente é 3, então o índice é 3. 3√y 3. z^\frac{1}{4}} O denominador do expoente é 4, então o índice é 4. 4√z
Escreva como uma expressão radical:
- t12
- m13
- r14.
- Resposta
-
- √t
- 3√m
- 4√r
Escreva como uma expressão radical:
- b12
- z13
- p14.
- Resposta
-
- √b
- 3√z
- 4√p
Escreva com um expoente racional:
- √x
- 3√y
- 4√z.
- Resposta
-
Queremos escrever cada radical no formulárioa1n.
1. √x Nenhum índice é exibido, então é 2. O denominador do expoente será 2. x12 2. 3√y O índice é 3, então o denominador do expoente é 3. y13 3. 4√z O índice é 4, então o denominador do expoente é 4. z14
Escreva com um expoente racional:
- √s
- 3√x
- 4√b.
- Resposta
-
- s12
- x13
- \ (b^ {\ frac {1} {4}}\
Escreva com um expoente racional:
- √v
- 3√p
- 4√p.
- Resposta
-
- v12
- p13
- p14
Escreva com um expoente racional:
- √5y
- 3√4x
- 34√5z.
- Resposta
-
1. √5y Nenhum índice é exibido, então é 2. O denominador do expoente será 2. (5y)12 2. 3√4x O índice é 3, então o denominador do expoente é 3. (4x)13 3. 34√5z O índice é 4, então o denominador do expoente é 4. 3(5z)14
Escreva com um expoente racional:
- √10m
- 5√3n
- 34√6y.
- Resposta
-
- (10m)12
- (3n)15
- (486y)14
Escreva com um expoente racional:
- 7√3k
- 4√5j
- 3√82a.
- Resposta
-
- (3k)17
- (5j)14
- (1024a)13
No próximo exemplo, você pode achar mais fácil simplificar as expressões se primeiro as reescrever como radicais.
Simplifique:
- 2512
- 6413
- 25614.
- Resposta
-
1. 2512 Reescreva como uma raiz quadrada. √25 Simplifique. 5 2. 6413 Reescreva como uma raiz cúbica. 3√64 Reconheça que 64 é um cubo perfeito. 3√43 Simplifique. 4 3. 25614 Reescreva como uma quarta raiz. 4√256 Reconhecer 256 é uma quarta potência perfeita. 4√44 Simplifique. 4
Simplifique:
- 3612
- 813
- 1614.
- Resposta
-
- 6
- 2
- 2
Simplifique:
- 10012
- 2713
- 8114.
- Resposta
-
- 10
- 3
- 3
Tenha cuidado com a colocação dos sinais negativos no próximo exemplo. Precisaremos usar a propriedadea−n=1an em um caso.
Simplifique:
- (−64)13
- −6413
- (64)−13.
- Resposta
-
1. (−64)13 Reescreva como uma raiz cúbica. 3√−64 Reescreva-64 como um cubo perfeito. 3√(−4)3 Simplifique. −4 2. −6413 O expoente se aplica somente ao 64. −(6413) Reescreva como uma raiz cúbica. −3√64 Reescreva 64 como43. −3√43 Simplifique. −4 3. (64)−13 Reescreva como uma fração com um expoente positivo, usando a propriedade,a−n=1an.
Escreva como uma raiz cúbica.
13√64 Reescreva 64 como43. 13√43 Simplifique. 14
Simplifique:
- (−125)13
- −12513
- (125)−13.
- Resposta
-
- −5
- −5
- 15
Simplifique:
- (−32)15
- −3215
- (32)−15.
- Resposta
-
- −2
- −2
- 12
Simplifique:
- (−16)14
- −1614
- (16)−14.
- Resposta
-
1. (−16)14 Reescreva como uma quarta raiz. 4√−16 Não existe um número real cuja quarta potência seja −16. 2. −1614 O expoente se aplica somente ao 16. −(1614) Reescreva como uma quarta raiz. −4√16 Reescreva 16 como24 −4√24 Simplifique. −2 3. (16)−14 Reescreva como uma fração com um expoente positivo, usando a propriedade,a−n=1an.
1(16)14 Reescreva como uma quarta raiz. 14√16 Reescreva 16 como24. 14√24 Simplifique. 12
Simplifique:
- (−64)12
- −6412
- (64)−12.
- Resposta
-
- −8
- −8
- 18
Simplifique:
- (−256)14
- −25614
- (256)−14.
- Resposta
-
- −4
- −4
- 14
Simplifique as expressões comamn
Vamos trabalhar um pouco mais com a propriedade de potência para expoentes.
Suponha que aumentemosa1n para a potência m.
(a1n)mMultiply the exponents.a1n·mSimplify.amnSoamn=(n√a)malso.
Agora, suponha queam tomemos o1n poder.
(am)1nMultiply the exponents.am·1nSimplify.amnSoamn=n√amalso.
Qual forma usamos para simplificar uma expressão? Normalmente pegamos a raiz primeiro — dessa forma, mantemos os números no radical e menores.
Para quaisquer números inteiros positivos m e n,
amn=(n√a)m
amn=n√am
Escreva com um expoente racional:
- √y3
- 3√x2
- 4√z3
- Resposta
-
Queremos usaramn=n√am para escrever cada radical no formulárioamn.
Escreva com um expoente racional:
- √x5
- 4√z3
- 5√y2.
- Resposta
-
- x52
- z34
- y25
Escreva com um expoente racional:
- 5√a2
- 3√b7
- 4√m5.
- Resposta
-
- a25
- b73
- m54
Simplifique:
- 932
- 12523
- 8134.
- Resposta
-
Vamos reescrever cada expressão como radical primeiro usando a propriedade,amn=(n√a)m. Essa forma nos permite pegar a raiz primeiro e, portanto, mantemos os números no radicando menores do que se usássemos a outra forma.
1. 932 A potência do radical é o numerador do expoente, 3. Como o denominador do expoente é 2, essa é uma raiz quadrada. (√9)3 Simplifique. 33 27 2. 12523 A potência do radical é o numerador do expoente, 2. Como o denominador do expoente é 3, essa é uma raiz quadrada. (3√125)2 Simplifique. 52 25 3. 8134 A potência do radical é o numerador do expoente, 2. Como o denominador do expoente é 3, essa é uma raiz quadrada. (4√81)3 Simplifique. 33 27
Simplifique:
- 432
- 2723
- 62534.
- Resposta
-
- 8
- 9
- 125
Simplifique:
- 853
- 8132
- 1634.
- Resposta
-
- 32
- 729
- 8
Lembre-se dissob−p=1bp. O sinal negativo no expoente não altera o sinal da expressão.
Simplifique:
- 16−32
- 32−25
- 4−52
- Resposta
-
Vamos reescrever cada expressão primeiro usandob−p=1bp e depois mudar para a forma radical.
1. 16−32 Reescreva usandob−p=1bp. 11632 Mudança para uma forma radical. A potência do radical é o numerador do expoente, 3. O índice é o denominador do expoente, 2. 1(√16)3 Simplifique. 143 164 2. 32−25 Reescreva usandob−p=1bp. 13225 Mudança para uma forma radical. 1(5√32)2 Reescreva o radicand como um poder. 1(5√25)2 Simplifique. 122 14 3. 4−52 Reescreva usandob−p=1bp. 1452 Mudança para uma forma radical. 1(√4)5 Simplifique. 125 132
Simplifique:
- 8−538
- 81−32
- 16−34.
- Resposta
-
- 132
- 1729
- 18
Simplifique:
- 4−32
- 27−23
- 625−34.
- Resposta
-
- 18
- 19
- 1125
Simplifique:
- −2532
- −25−32
- (−25)32.
- Resposta
-
1. −2532 Reescreva de forma radical. −(√25)3 Simplifique o radical −53 Simplifique. −125 2. −25−32 Reescreva usandob−p=1bp. −(12532) Reescreva de forma radical. −(1(√25)3) Simplifique o radical. −(153) Simplifique. −1125 3. (−25)32. Reescreva de forma radical. (√−25)3 Não existe um número real cuja raiz quadrada seja −25. Não é um número real.
Simplifique:
- −1632
- −16−32
- (−16)−32.
- Resposta
-
- −64
- −164
- não é um número real
Simplifique:
- −8132
- −81−32
- (−81)−32.
- Resposta
-
- −729
- −1729
- não é um número real
Use as leis dos expoentes para simplificar expressões com expoentes racionais
As mesmas leis de expoentes que já usamos também se aplicam aos expoentes racionais. Listaremos as propriedades do expoente aqui para tê-las como referência à medida que simplificamos as expressões.
Se a, b são números reais e m, n são números racionais, então
Product Propertyam·an=am+nPower Property(am)n=am·nProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=am−n,a≠0,m>naman=1an−m,a≠0,n>mZero Exponent Definitiona0=1,a≠0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b≠0
Quando multiplicamos a mesma base, adicionamos os expoentes.
Simplifique:
- 212·252
- x23·x43
- z34·z54.
- Resposta
-
1. 212·252 As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. 212+52 Adicione as frações. 262 Simplifique o expoente. 23 Simplifique. 8 2. x23·x43 As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. x23+43 Adicione as frações. x63 Simplifique. x2 3. z34·z54 As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. z34+54 Adicione as frações. z84 Simplifique. z2
Simplifique:
- 323·343
- y13·y83
- m14·m34.
- Resposta
-
- 9
- y3
- m
Simplifique:
- 535·575
- z18·z78
- n27·n57.
- Resposta
-
- 25
- z
- n
Usaremos a propriedade de energia no próximo exemplo.
Simplifique:
- (x4)12
- (y6)13
- (z9)23.
- Resposta
-
1. (x4)12 Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. x4·12 Simplifique. x2 2. (y6)13 Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. y6·13 Simplifique. y2 3. (z9)23 Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. z9·23 Simplifique. z6
Simplifique:
- (p10)15
- (q8)34
- (x6)43
- Resposta
-
- p^
- q6
- x8
Simplifique:
- (r6)53
- (s12)34
- (m9)29
- Resposta
-
- r10
- s9
- m2
A propriedade do quociente nos diz que quando dividimos com a mesma base, subtraímos os expoentes.
Simplifique:
- x43x13
- y34y14
- z23z53.
- Resposta
-
1. x43x13 Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. x43−13 Simplifique. x 2. y34y14 Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. y34−14 Simplifique. y12 3. z23z53 Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. z23−53 Reescreva sem um expoente negativo. 1z
Simplifique:
- u54u14
- v35v25
- x23x53.
- Resposta
-
- u
- v15
- 1x
Simplifique:
- c125c25
- m54m94
- d15d65.
- Resposta
-
- c2
- 1m
- 1d
Às vezes, precisamos usar mais de uma propriedade. Nos próximos dois exemplos, usaremos o Produto para uma Propriedade de Energia e, em seguida, a Propriedade de Energia.
Simplifique:
- (27u12)23
- (8v14)23.
- Resposta
-
1. (27u12)23 Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. (27)23(u12)23 Reescreva 27 como uma potência de 3. (33)23(u12)23 Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. (32)(u13) Simplifique. 9u13 2. (8v14)23. Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. (8)23(v14)23 Reescreva 8 como uma potência de 2. (23)23(v14)23 Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. (22)(v16) Simplifique. 4v16
Simplifique:
- 32x13)35
- (64y23)13.
- Resposta
-
- 8x15
- 4y29
Simplifique:
- (16m13)32
- (81n25)32.
- Resposta
-
- 64m12
- 729n35
Simplifique:
- (m3n9)13
- (p4q8)14.
- Resposta
-
1. (m3n9)13 Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. (m3)13(n9)13 Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. mn3 2. (p4q8)14 Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. (p4)14(q8)14 Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. pq2
Usaremos as propriedades do produto e do quociente no próximo exemplo.
Simplifique:
- x34·x−14x−64
- y43·yy−23.
- Resposta
-
1. x34·x−14x−64 Use a propriedade do produto no numerador, adicione os expoentes. x24x−64 Use a propriedade do quociente, subtraia os expoentes. x84 Simplifique. x2 2. y43·yy−23 Use a propriedade do produto no numerador, adicione os expoentes. y73y−23 Use a propriedade do quociente, subtraia os expoentes. y93 Simplifique. y3
Simplifique:
- m23·m−13m−53
- n16·nn−116.
- Resposta
-
- m2
- n3
Simplifique:
- u45·u−25u−135
- v12·vv−72.
- Resposta
-
- u3
- v5
Conceitos chave
- Resumo das propriedades do expoente
- Se a, b são números reais e m, n são números racionais, então
- Propriedade do produtoam·an=am+n
- Propriedade de poder(am)n=am·n
- Produto em potência(ab)m=ambm
- Propriedade do quociente:
aman=am−n,a≠0,m>n
aman=1an−m,a≠0,n>m
- Definição de expoente zeroa0=1,a≠0
- Quociente de uma propriedade de poder(ab)m=ambm,b≠0
Glossário
- expoentes racionais
-
- Sen√a for um número real en≥2,a1n=n√a
- Para quaisquer números inteiros positivos m e n,amn=(n√a)m eamn=n√am