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9.8: Expoentes racionais

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

  • Simplifique expressões coma1n
  • Simplifique expressões comamn
  • Use as Leis dos Expoentes para simplesmente expressões com expoentes racionais
Esteja preparado

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Adicionar:715+512.
    Se você perdeu esse problema, revise [link].
  2. Simplifique:(4x2y5)3.
    Se você perdeu esse problema, revise [link].
  3. Simplifique:53.
    Se você perdeu esse problema, revise [link].

Simplifique as expressões coma1n

Os expoentes racionais são outra forma de escrever expressões com radicais. Quando usamos expoentes racionais, podemos aplicar as propriedades dos expoentes para simplificar as expressões.

A propriedade de potência para expoentes diz que(am)n=am·n quando m e n são números inteiros. Vamos supor que agora não estamos limitados a números inteiros.

Suponha que queiramos encontrar um número p tal que(8p)3=8. Usaremos a propriedade de potência dos expoentes para encontrar o valor de p.

(8p)3=8Multiply the exponents on the left.83p=8Write the exponent 1 on the right.83p=81The exponents must be equal.3p=1Solve for p.p=13

Mas nós também sabemos(38)3=8. Então deve ser isso813=38

Essa mesma lógica pode ser usada para qualquer expoente inteiro positivo n para mostrar issoa1n=na.

Definição: EXPOENTE RACIONALa1n

Sena for um número real en2,a1n=na.

Haverá momentos em que trabalhar com expressões será mais fácil se você usar expoentes racionais e momentos em que será mais fácil usar radicais. Nos primeiros exemplos, você praticará a conversão de expressões entre essas duas notações.

Exemplo9.8.1

Escreva como uma expressão radical:

  1. x12
  2. y13
  3. z14.
Resposta

Queremos escrever cada expressão no formuláriona.

1. x12
O denominador do expoente é 2, então o índice do radical é 2. Não mostramos o índice quando ele é 2. x
2. y13
O denominador do expoente é 3, então o índice é 3. 3y
3. z^\frac{1}{4}}
O denominador do expoente é 4, então o índice é 4. 4z
Exemplo9.8.2

Escreva como uma expressão radical:

  1. t12
  2. m13
  3. r14.
Resposta
  1. t
  2. 3m
  3. 4r
Exemplo9.8.3

Escreva como uma expressão radical:

  1. b12
  2. z13
  3. p14.
Resposta
  1. b
  2. 3z
  3. 4p
Exemplo9.8.4

Escreva com um expoente racional:

  1. x
  2. 3y
  3. 4z.
Resposta

Queremos escrever cada radical no formulárioa1n.

1. x
Nenhum índice é exibido, então é 2. O denominador do expoente será 2. x12
2. 3y
O índice é 3, então o denominador do expoente é 3. y13
3. 4z
O índice é 4, então o denominador do expoente é 4. z14
Exemplo9.8.5

Escreva com um expoente racional:

  1. s
  2. 3x
  3. 4b.
Resposta
  1. s12
  2. x13
  3. \ (b^ {\ frac {1} {4}}\
Exemplo9.8.6

Escreva com um expoente racional:

  1. v
  2. 3p
  3. 4p.
Resposta
  1. v12
  2. p13
  3. p14
Exemplo9.8.7

Escreva com um expoente racional:

  1. 5y
  2. 34x
  3. 345z.
Resposta
1. 5y
Nenhum índice é exibido, então é 2. O denominador do expoente será 2. (5y)12
2. 34x
O índice é 3, então o denominador do expoente é 3. (4x)13
3. 345z
O índice é 4, então o denominador do expoente é 4. 3(5z)14
Exemplo9.8.8

Escreva com um expoente racional:

  1. 10m
  2. 53n
  3. 346y.
Resposta
  1. (10m)12
  2. (3n)15
  3. (486y)14
Exemplo9.8.9

Escreva com um expoente racional:

  1. 73k
  2. 45j
  3. 382a.
Resposta
  1. (3k)17
  2. (5j)14
  3. (1024a)13

No próximo exemplo, você pode achar mais fácil simplificar as expressões se primeiro as reescrever como radicais.

Exemplo9.8.10

Simplifique:

  1. 2512
  2. 6413
  3. 25614.
Resposta
1. 2512
Reescreva como uma raiz quadrada. 25
Simplifique. 5
2. 6413
Reescreva como uma raiz cúbica. 364
Reconheça que 64 é um cubo perfeito. 343
Simplifique. 4
3. 25614
Reescreva como uma quarta raiz. 4256
Reconhecer 256 é uma quarta potência perfeita. 444
Simplifique. 4
Exemplo9.8.11

Simplifique:

  1. 3612
  2. 813
  3. 1614.
Resposta
  1. 6
  2. 2
  3. 2
Exemplo9.8.12

Simplifique:

  1. 10012
  2. 2713
  3. 8114.
Resposta
  1. 10
  2. 3
  3. 3

Tenha cuidado com a colocação dos sinais negativos no próximo exemplo. Precisaremos usar a propriedadean=1an em um caso.

Exemplo9.8.13

Simplifique:

  1. (64)13
  2. 6413
  3. (64)13.
Resposta
1. (64)13
Reescreva como uma raiz cúbica. 364
Reescreva-64 como um cubo perfeito. 3(4)3
Simplifique. −4
2. 6413
O expoente se aplica somente ao 64. (6413)
Reescreva como uma raiz cúbica. 364
Reescreva 64 como43. 343
Simplifique. −4
3. (64)13

Reescreva como uma fração com um expoente positivo, usando a propriedade,an=1an.

Escreva como uma raiz cúbica.

1364
Reescreva 64 como43. 1343
Simplifique. 14
Exemplo9.8.14

Simplifique:

  1. (125)13
  2. 12513
  3. (125)13.
Resposta
  1. −5
  2. −5
  3. 15
Exemplo9.8.15

Simplifique:

  1. (32)15
  2. 3215
  3. (32)15.
Resposta
  1. −2
  2. −2
  3. 12
Exemplo9.8.16

Simplifique:

  1. (16)14
  2. 1614
  3. (16)14.
Resposta
1. (16)14
Reescreva como uma quarta raiz. 416
Não existe um número real cuja quarta potência seja −16.  
2. 1614
O expoente se aplica somente ao 16. (1614)
Reescreva como uma quarta raiz. 416
Reescreva 16 como24 424
Simplifique. −2
3. (16)14

Reescreva como uma fração com um expoente positivo, usando a propriedade,an=1an.

1(16)14
Reescreva como uma quarta raiz. 1416
Reescreva 16 como24. 1424
Simplifique. 12
Exemplo9.8.17

Simplifique:

  1. (64)12
  2. 6412
  3. (64)12.
Resposta
  1. −8
  2. −8
  3. 18
Exemplo9.8.18

Simplifique:

  1. (256)14
  2. 25614
  3. (256)14.
Resposta
  1. −4
  2. −4
  3. 14

Simplifique as expressões comamn

Vamos trabalhar um pouco mais com a propriedade de potência para expoentes.

Suponha que aumentemosa1n para a potência m.

(a1n)mMultiply the exponents.a1n·mSimplify.amnSoamn=(na)malso.

Agora, suponha queam tomemos o1n poder.

(am)1nMultiply the exponents.am·1nSimplify.amnSoamn=namalso.

Qual forma usamos para simplificar uma expressão? Normalmente pegamos a raiz primeiro — dessa forma, mantemos os números no radical e menores.

Definição: EXPOENTE RACIONALamn

Para quaisquer números inteiros positivos m e n,

amn=(na)m

amn=nam

Exemplo9.8.19

Escreva com um expoente racional:

  1. y3
  2. 3x2
  3. 4z3
Resposta

Queremos usaramn=nam para escrever cada radical no formulárioamn.

  1. Essa figura diz: “O numerador do expoente é o expoente de y, 3”. Em seguida, mostra a raiz quadrada de y ao cubo. A figura então diz: “O denominador do expoente é o índice do radical, 2”. Em seguida, mostra y para a potência 3/2.
  2. Essa figura diz: “O numerador do expoente é o expoente de x, 2”. Em seguida, mostra a raiz cúbica de x ao quadrado. A figura então diz: “O denominador do expoente é o índice do radical, 3”. Em seguida, mostra y para a potência 2/3.
  3. Esta figura diz: “O numerador do expoente é o expoente de z, 3”. Em seguida, mostra a quarta raiz de um cubo. A figura então diz: “O denominador do expoente é o índice do radical, 4”. Em seguida, mostra z na potência 3/4.
Exemplo9.8.20

Escreva com um expoente racional:

  1. x5
  2. 4z3
  3. 5y2.
Resposta
  1. x52
  2. z34
  3. y25
Exemplo9.8.21

Escreva com um expoente racional:

  1. 5a2
  2. 3b7
  3. 4m5.
Resposta
  1. a25
  2. b73
  3. m54
Exemplo9.8.22

Simplifique:

  1. 932
  2. 12523
  3. 8134.
Resposta

Vamos reescrever cada expressão como radical primeiro usando a propriedade,amn=(na)m. Essa forma nos permite pegar a raiz primeiro e, portanto, mantemos os números no radicando menores do que se usássemos a outra forma.

1. 932
A potência do radical é o numerador do expoente, 3. Como o denominador do expoente é 2, essa é uma raiz quadrada. (9)3
Simplifique. 33
  27
2. 12523
A potência do radical é o numerador do expoente, 2. Como o denominador do expoente é 3, essa é uma raiz quadrada. (3125)2
Simplifique. 52
  25
3. 8134
A potência do radical é o numerador do expoente, 2. Como o denominador do expoente é 3, essa é uma raiz quadrada. (481)3
Simplifique. 33
  27
Exemplo9.8.23

Simplifique:

  1. 432
  2. 2723
  3. 62534.
Resposta
  1. 8
  2. 9
  3. 125
Exemplo9.8.24

Simplifique:

  1. 853
  2. 8132
  3. 1634.
Resposta
  1. 32
  2. 729
  3. 8

Lembre-se dissobp=1bp. O sinal negativo no expoente não altera o sinal da expressão.

Exemplo9.8.25

Simplifique:

  1. 1632
  2. 3225
  3. 452
Resposta

Vamos reescrever cada expressão primeiro usandobp=1bp e depois mudar para a forma radical.

1. 1632
Reescreva usandobp=1bp. 11632
Mudança para uma forma radical. A potência do radical é o numerador do expoente, 3. O índice é o denominador do expoente, 2. 1(16)3
Simplifique. 143
  164
2. 3225
Reescreva usandobp=1bp. 13225
Mudança para uma forma radical. 1(532)2
Reescreva o radicand como um poder. 1(525)2
Simplifique. 122
  14
3. 452
Reescreva usandobp=1bp. 1452
Mudança para uma forma radical. 1(4)5
Simplifique. 125
  132
Exemplo9.8.26

Simplifique:

  1. 8538
  2. 8132
  3. 1634.
Resposta
  1. 132
  2. 1729
  3. 18
Exemplo9.8.27

Simplifique:

  1. 432
  2. 2723
  3. 62534.
Resposta
  1. 18
  2. 19
  3. 1125
Exemplo9.8.28

Simplifique:

  1. 2532
  2. 2532
  3. (25)32.
Resposta
1. 2532
Reescreva de forma radical. (25)3
Simplifique o radical 53
Simplifique. −125
2. 2532
Reescreva usandobp=1bp. (12532)
Reescreva de forma radical. (1(25)3)
Simplifique o radical. (153)
Simplifique. 1125
3. (25)32.
Reescreva de forma radical. (25)3
Não existe um número real cuja raiz quadrada seja −25. Não é um número real.
Exemplo9.8.29

Simplifique:

  1. 1632
  2. 1632
  3. (16)32.
Resposta
  1. −64
  2. 164
  3. não é um número real
Exemplo9.8.30

Simplifique:

  1. 8132
  2. 8132
  3. (81)32.
Resposta
  1. −729
  2. 1729
  3. não é um número real

Use as leis dos expoentes para simplificar expressões com expoentes racionais

As mesmas leis de expoentes que já usamos também se aplicam aos expoentes racionais. Listaremos as propriedades do expoente aqui para tê-las como referência à medida que simplificamos as expressões.

RESUMO DAS PROPRIEDADES DO EXPOENTE

Se a, b são números reais e m, n são números racionais, então

Product Propertyam·an=am+nPower Property(am)n=am·nProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=amn,a0,m>naman=1anm,a0,n>mZero Exponent Definitiona0=1,a0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b0

Quando multiplicamos a mesma base, adicionamos os expoentes.

Exemplo9.8.31

Simplifique:

  1. 212·252
  2. x23·x43
  3. z34·z54.
Resposta
1. 212·252
As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. 212+52
Adicione as frações. 262
Simplifique o expoente. 23
Simplifique. 8
2. x23·x43
As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. x23+43
Adicione as frações. x63
Simplifique. x2
3. z34·z54
As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. z34+54
Adicione as frações. z84
Simplifique. z2
Exemplo9.8.32

Simplifique:

  1. 323·343
  2. y13·y83
  3. m14·m34.
Resposta
  1. 9
  2. y3
  3. m
Exemplo9.8.33

Simplifique:

  1. 535·575
  2. z18·z78
  3. n27·n57.
Resposta
  1. 25
  2. z
  3. n

Usaremos a propriedade de energia no próximo exemplo.

Exemplo9.8.34

Simplifique:

  1. (x4)12
  2. (y6)13
  3. (z9)23.
Resposta
1. (x4)12
Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. x4·12
Simplifique. x2
2. (y6)13
Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. y6·13
Simplifique. y2
3. (z9)23
Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. z9·23
Simplifique. z6
Exemplo9.8.35

Simplifique:

  1. (p10)15
  2. (q8)34
  3. (x6)43
Resposta
  1. p^
  2. q6
  3. x8
Exemplo9.8.36

Simplifique:

  1. (r6)53
  2. (s12)34
  3. (m9)29
Resposta
  1. r10
  2. s9
  3. m2

A propriedade do quociente nos diz que quando dividimos com a mesma base, subtraímos os expoentes.

Exemplo9.8.37

Simplifique:

  1. x43x13
  2. y34y14
  3. z23z53.
Resposta
1. x43x13
Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. x4313
Simplifique. x
2. y34y14
Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. y3414
Simplifique. y12
3. z23z53
Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. z2353
Reescreva sem um expoente negativo. 1z
Exemplo9.8.38

Simplifique:

  1. u54u14
  2. v35v25
  3. x23x53.
Resposta
  1. u
  2. v15
  3. 1x
Exemplo9.8.39

Simplifique:

  1. c125c25
  2. m54m94
  3. d15d65.
Resposta
  1. c2
  2. 1m
  3. 1d

Às vezes, precisamos usar mais de uma propriedade. Nos próximos dois exemplos, usaremos o Produto para uma Propriedade de Energia e, em seguida, a Propriedade de Energia.

Exemplo9.8.40

Simplifique:

  1. (27u12)23
  2. (8v14)23.
Resposta
1. (27u12)23
Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. (27)23(u12)23
Reescreva 27 como uma potência de 3. (33)23(u12)23
Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. (32)(u13)
Simplifique. 9u13
2. (8v14)23.
Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. (8)23(v14)23
Reescreva 8 como uma potência de 2. (23)23(v14)23
Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. (22)(v16)
Simplifique. 4v16
Exemplo9.8.41

Simplifique:

  1. 32x13)35
  2. (64y23)13.
Resposta
  1. 8x15
  2. 4y29
Exemplo9.8.42

Simplifique:

  1. (16m13)32
  2. (81n25)32.
Resposta
  1. 64m12
  2. 729n35
Exemplo9.8.43

Simplifique:

  1. (m3n9)13
  2. (p4q8)14.
Resposta
1. (m3n9)13
Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. (m3)13(n9)13
Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. mn3
2. (p4q8)14
Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. (p4)14(q8)14
Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. pq2

Usaremos as propriedades do produto e do quociente no próximo exemplo.

Exercício9.8.44

Simplifique:

  1. x34·x14x64
  2. y43·yy23.
Resposta
1. x34·x14x64
Use a propriedade do produto no numerador, adicione os expoentes. x24x64
Use a propriedade do quociente, subtraia os expoentes. x84
Simplifique. x2
2. y43·yy23
Use a propriedade do produto no numerador, adicione os expoentes. y73y23
Use a propriedade do quociente, subtraia os expoentes. y93
Simplifique. y3
Exemplo9.8.45

Simplifique:

  1. m23·m13m53
  2. n16·nn116.
Resposta
  1. m2
  2. n3
Exemplo9.8.46

Simplifique:

  1. u45·u25u135
  2. v12·vv72.
Resposta
  1. u3
  2. v5

Conceitos chave

  • Resumo das propriedades do expoente
  • Se a, b são números reais e m, n são números racionais, então
    • Propriedade do produtoam·an=am+n
    • Propriedade de poder(am)n=am·n
    • Produto em potência(ab)m=ambm
    • Propriedade do quociente:

      aman=amn,a0,m>n

      aman=1anm,a0,n>m

    • Definição de expoente zeroa0=1,a0
    • Quociente de uma propriedade de poder(ab)m=ambm,b0

Glossário

expoentes racionais
  • Sena for um número real en2,a1n=na
  • Para quaisquer números inteiros positivos m e n,amn=(na)m eamn=nam