Skip to main content
Global

9.8: Expoentes racionais

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    184059

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Simplifique expressões com\(a^{\frac{1}{n}}\)
    • Simplifique expressões com\(a^{\frac{m}{n}}\)
    • Use as Leis dos Expoentes para simplesmente expressões com expoentes racionais
    Esteja preparado

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Adicionar:\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    2. Simplifique:\((4x^{2}y^{5})^3\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    3. Simplifique:\(5^{−3}\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].

    Simplifique as expressões com\(a^{\frac{1}{n}}\)

    Os expoentes racionais são outra forma de escrever expressões com radicais. Quando usamos expoentes racionais, podemos aplicar as propriedades dos expoentes para simplificar as expressões.

    A propriedade de potência para expoentes diz que\((a^m)^n=a^{m·n}\) quando m e n são números inteiros. Vamos supor que agora não estamos limitados a números inteiros.

    Suponha que queiramos encontrar um número p tal que\((8^p)^3=8\). Usaremos a propriedade de potência dos expoentes para encontrar o valor de p.

    \[\begin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8}\\ {\text{Multiply the exponents on the left.}}&{8^{3p}=8}\\ {\text{Write the exponent 1 on the right.}}&{8^{3p}=8^1}\\ {\text{The exponents must be equal.}}&{3p=1}\\ {\text{Solve for p.}}&{p=\frac{1}{3}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Mas nós também sabemos\((\sqrt[3]{8})^3=8\). Então deve ser isso\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\)

    Essa mesma lógica pode ser usada para qualquer expoente inteiro positivo n para mostrar isso\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

    Definição: EXPOENTE RACIONAL\(a^{\frac{1}{n}}\)

    Se\(\sqrt[n]{a}\) for um número real e\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

    Haverá momentos em que trabalhar com expressões será mais fácil se você usar expoentes racionais e momentos em que será mais fácil usar radicais. Nos primeiros exemplos, você praticará a conversão de expressões entre essas duas notações.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    Escreva como uma expressão radical:

    1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(z^{\frac{1}{4}}\).
    Resposta

    Queremos escrever cada expressão no formulário\(\sqrt[n]{a}\).

    1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    O denominador do expoente é 2, então o índice do radical é 2. Não mostramos o índice quando ele é 2. \(\sqrt{x}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    O denominador do expoente é 3, então o índice é 3. \(\sqrt[3]{y}\)
    3. \(z^\frac{1}{4}}\)
    O denominador do expoente é 4, então o índice é 4. \(\sqrt[4]{z}\)
    Exemplo\(\PageIndex{2}\)

    Escreva como uma expressão radical:

    1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(r^{\frac{1}{4}}\).
    Resposta
    1. \(\sqrt{t}\)
    2. \(\sqrt[3]{m}\)
    3. \(\sqrt[4]{r}\)
    Exemplo\(\PageIndex{3}\)

    Escreva como uma expressão radical:

    1. \(b^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(z^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(p^{\frac{1}{4}}\).
    Resposta
    1. \(\sqrt{b}\)
    2. \(\sqrt[3]{z}\)
    3. \(\sqrt[4]{p}\)
    Exemplo\(\PageIndex{4}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt{x}\)
    2. \(\sqrt[3]{y}\)
    3. \(\sqrt[4]{z}\).
    Resposta

    Queremos escrever cada radical no formulário\(a^{\frac{1}{n}}\).

    1. \(\sqrt{x}\)
    Nenhum índice é exibido, então é 2. O denominador do expoente será 2. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{y}\)
    O índice é 3, então o denominador do expoente é 3. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(\sqrt[4]{z}\)
    O índice é 4, então o denominador do expoente é 4. \(z^{\frac{1}{4}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{5}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt{s}\)
    2. \(\sqrt[3]{x}\)
    3. \(\sqrt[4]{b}\).
    Resposta
    1. \(s^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(x^{\frac{1}{3}}\)
    3. \ (b^ {\ frac {1} {4}}\
    Exemplo\(\PageIndex{6}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt{v}\)
    2. \(\sqrt[3]{p}\)
    3. \(\sqrt[4]{p}\).
    Resposta
    1. \(v^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(p^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(p^{\frac{1}{4}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{7}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt{5y}\)
    2. \(\sqrt[3]{4x}\)
    3. \(3\sqrt[4]{5z}\).
    Resposta
    1. \(\sqrt{5y}\)
    Nenhum índice é exibido, então é 2. O denominador do expoente será 2. \((5y)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{4x}\)
    O índice é 3, então o denominador do expoente é 3. \((4x)^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(3\sqrt[4]{5z}\)
    O índice é 4, então o denominador do expoente é 4. \(3(5z)^{\frac{1}{4}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{8}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt{10m}\)
    2. \(\sqrt[5]{3n}\)
    3. \(3\sqrt[4]{6y}\).
    Resposta
    1. \((10^m)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \((3n)^{\frac{1}{5}}\)
    3. \((486y)^{\frac{1}{4}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{9}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt[7]{3k}\)
    2. \(\sqrt[4]{5j}\)
    3. \(\sqrt[3]{82a}\).
    Resposta
    1. \((3k)^{\frac{1}{7}}\)
    2. \((5j)^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((1024a)^{\frac{1}{3}}\)

    No próximo exemplo, você pode achar mais fácil simplificar as expressões se primeiro as reescrever como radicais.

    Exemplo\(\PageIndex{10}\)

    Simplifique:

    1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(256^{\frac{1}{4}}\).
    Resposta
    1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
    Reescreva como uma raiz quadrada. \(\sqrt{25}\)
    Simplifique. 5
    2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
    Reescreva como uma raiz cúbica. \(\sqrt[3]{64}\)
    Reconheça que 64 é um cubo perfeito. \(\sqrt[3]{4^3}\)
    Simplifique. 4
    3. \(256^{\frac{1}{4}}\)
    Reescreva como uma quarta raiz. \(\sqrt[4]{256}\)
    Reconhecer 256 é uma quarta potência perfeita. \(\sqrt[4]{4^4}\)
    Simplifique. 4
    Exemplo\(\PageIndex{11}\)

    Simplifique:

    1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(16^{\frac{1}{4}}\).
    Resposta
    1. 6
    2. 2
    3. 2
    Exemplo\(\PageIndex{12}\)

    Simplifique:

    1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(81^{\frac{1}{4}}\).
    Resposta
    1. 10
    2. 3
    3. 3

    Tenha cuidado com a colocação dos sinais negativos no próximo exemplo. Precisaremos usar a propriedade\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\) em um caso.

    Exemplo\(\PageIndex{13}\)

    Simplifique:

    1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
    2. \(−64^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\).
    Resposta
    1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
    Reescreva como uma raiz cúbica. \(\sqrt[3]{−64}\)
    Reescreva-64 como um cubo perfeito. \(\sqrt[3]{(−4)^3}\)
    Simplifique. −4
    2. \(−64^{\frac{1}{3}}\)
    O expoente se aplica somente ao 64. \(−(64^{\frac{1}{3}})\)
    Reescreva como uma raiz cúbica. \(−\sqrt[3]{64}\)
    Reescreva 64 como\(4^3\). \(−\sqrt[3]{4^3}\)
    Simplifique. −4
    3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\)

    Reescreva como uma fração com um expoente positivo, usando a propriedade,\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).

    Escreva como uma raiz cúbica.

    		 \(\frac{1}{\sqrt[3]{64}}\)
    Reescreva 64 como\(4^3\). \(\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}\)
    Simplifique. \(\frac{1}{4}\)
    Exemplo\(\PageIndex{14}\)

    Simplifique:

    1. \((−125)^{\frac{1}{3}}\)
    2. \(−125^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((125)^{−\frac{1}{3}}\).
    Resposta
    1. −5
    2. −5
    3. \(\frac{1}{5}\)
    Exemplo\(\PageIndex{15}\)

    Simplifique:

    1. \((−32)^{\frac{1}{5}}\)
    2. \(−32^{\frac{1}{5}}\)
    3. \((32)^{−\frac{1}{5}}\).
    Resposta
    1. −2
    2. −2
    3. \(\frac{1}{2}\)
    Exemplo\(\PageIndex{16}\)

    Simplifique:

    1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
    2. \(−16^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\).
    Resposta
    1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
    Reescreva como uma quarta raiz. \(\sqrt[4]{−16}\)
    Não existe um número real cuja quarta potência seja −16.  
    2. \(−16^{\frac{1}{4}}\)
    O expoente se aplica somente ao 16. \(−(16^{\frac{1}{4}})\)
    Reescreva como uma quarta raiz. \(−\sqrt[4]{16}\)
    Reescreva 16 como\(2^4\) \(−\sqrt[4]{2^4}\)
    Simplifique. −2
    3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\)

    Reescreva como uma fração com um expoente positivo, usando a propriedade,\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).

    		 \(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)
    Reescreva como uma quarta raiz. \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)
    Reescreva 16 como\(2^4\). \(\frac{1}{\sqrt[4]{2^4}}\)
    Simplifique. \(\frac{1}{2}\)
    Exemplo\(\PageIndex{17}\)

    Simplifique:

    1. \((−64)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(−64^{\frac{1}{2}}\)
    3. \((64)^{−\frac{1}{2}}\).
    Resposta
    1. −8
    2. −8
    3. \(\frac{1}{8}\)
    Exemplo\(\PageIndex{18}\)

    Simplifique:

    1. \((−256)^{\frac{1}{4}}\)
    2. \(−256^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((256)^{−\frac{1}{4}}\).
    Resposta
    1. −4
    2. −4
    3. \(\frac{1}{4}\)

    Simplifique as expressões com\(a^{\frac{m}{n}}\)

    Vamos trabalhar um pouco mais com a propriedade de potência para expoentes.

    Suponha que aumentemos\(a^{\frac{1}{n}}\) para a potência m.

    \[\begin{array}{ll} {}&{(a^{\frac{1}{n}})^m}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{\frac{1}{n}·m}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

    Agora, suponha que\(a^m\) tomemos o\(\frac{1}{n}\) poder.

    \[\begin{array}{ll} {}&{(a^m)^{\frac{1}{n}}}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{m·\frac{1}{n}}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

    Qual forma usamos para simplificar uma expressão? Normalmente pegamos a raiz primeiro — dessa forma, mantemos os números no radical e menores.

    Definição: EXPOENTE RACIONAL\(a^{\frac{m}{n}}\)

    Para quaisquer números inteiros positivos m e n,

    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)

    \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

    Exemplo\(\PageIndex{19}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt{y^3}\)
    2. \(\sqrt[3]{x^2}\)
    3. \(\sqrt[4]{z^3}\)
    Resposta

    Queremos usar\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) para escrever cada radical no formulário\(a^{\frac{m}{n}}\).

    1. Essa figura diz: “O numerador do expoente é o expoente de y, 3”. Em seguida, mostra a raiz quadrada de y ao cubo. A figura então diz: “O denominador do expoente é o índice do radical, 2”. Em seguida, mostra y para a potência 3/2.
    2. Essa figura diz: “O numerador do expoente é o expoente de x, 2”. Em seguida, mostra a raiz cúbica de x ao quadrado. A figura então diz: “O denominador do expoente é o índice do radical, 3”. Em seguida, mostra y para a potência 2/3.
    3. Esta figura diz: “O numerador do expoente é o expoente de z, 3”. Em seguida, mostra a quarta raiz de um cubo. A figura então diz: “O denominador do expoente é o índice do radical, 4”. Em seguida, mostra z na potência 3/4.
    Exemplo\(\PageIndex{20}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt{x^5}\)
    2. \(\sqrt[4]{z^3}\)
    3. \(\sqrt[5]{y^2}\).
    Resposta
    1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
    2. \(z^{\frac{3}{4}}\)
    3. \(y^{\frac{2}{5}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{21}\)

    Escreva com um expoente racional:

    1. \(\sqrt[5]{a^2}\)
    2. \(\sqrt[3]{b^7}\)
    3. \(\sqrt[4]{m^5}\).
    Resposta
    1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
    2. \(b^{\frac{7}{3}}\)
    3. \(m^{\frac{5}{4}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{22}\)

    Simplifique:

    1. \(9^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(125^{\frac{2}{3}}\)
    3. \(81^{\frac{3}{4}}\).
    Resposta

    Vamos reescrever cada expressão como radical primeiro usando a propriedade,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). Essa forma nos permite pegar a raiz primeiro e, portanto, mantemos os números no radicando menores do que se usássemos a outra forma.

    1. \(9^{\frac{3}{2}}\)
    A potência do radical é o numerador do expoente, 3. Como o denominador do expoente é 2, essa é uma raiz quadrada. \((\sqrt{9})^3\)
    Simplifique. \(3^3\)
      27
    2. \(125^{\frac{2}{3}}\)
    A potência do radical é o numerador do expoente, 2. Como o denominador do expoente é 3, essa é uma raiz quadrada. \((\sqrt[3]{125})^2\)
    Simplifique. \(5^2\)
      25
    3. \(81^{\frac{3}{4}}\)
    A potência do radical é o numerador do expoente, 2. Como o denominador do expoente é 3, essa é uma raiz quadrada. \((\sqrt[4]{81})^3\)
    Simplifique. \(3^3\)
      27
    Exemplo\(\PageIndex{23}\)

    Simplifique:

    1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
    3. \(625^{\frac{3}{4}}\).
    Resposta
    1. 8
    2. 9
    3. 125
    Exemplo\(\PageIndex{24}\)

    Simplifique:

    1. \(8^{\frac{5}{3}}\)
    2. \(81^{\frac{3}{2}}\)
    3. \(16^{\frac{3}{4}}\).
    Resposta
    1. 32
    2. 729
    3. 8

    Lembre-se disso\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). O sinal negativo no expoente não altera o sinal da expressão.

    Exemplo\(\PageIndex{25}\)

    Simplifique:

    1. \(16^{−\frac{3}{2}}\)
    2. \(32^{−\frac{2}{5}}\)
    3. \(4^{−\frac{5}{2}}\)
    Resposta

    Vamos reescrever cada expressão primeiro usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\) e depois mudar para a forma radical.

    1. \(16^{−\frac{3}{2}}\)
    Reescreva usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)
    Mudança para uma forma radical. A potência do radical é o numerador do expoente, 3. O índice é o denominador do expoente, 2. \(\frac{1}{(\sqrt{16})^3}\)
    Simplifique. \(\frac{1}{4^3}\)
      \(\frac{1}{64}\)
    2. \(32^{−\frac{2}{5}}\)
    Reescreva usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)
    Mudança para uma forma radical. \(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2}\)
    Reescreva o radicand como um poder. \(\frac{1}{(\sqrt[5]{2^5})^2}\)
    Simplifique. \(\frac{1}{2^2}\)
      \(\frac{1}{4}\)
    3. \(4^{−\frac{5}{2}}\)
    Reescreva usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}\)
    Mudança para uma forma radical. \(\frac{1}{(\sqrt{4})^5}\)
    Simplifique. \(\frac{1}{2^5}\)
      \(\frac{1}{32}\)
    Exemplo\(\PageIndex{26}\)

    Simplifique:

    1. \(8^{−\frac{5}{3}}\)8
    2. \(81^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \(16^{−\frac{3}{4}}\).
    Resposta
    1. \(\frac{1}{32}\)
    2. \(\frac{1}{729}\)
    3. \(\frac{1}{8}\)
    Exemplo\(\PageIndex{27}\)

    Simplifique:

    1. \(4^{−\frac{3}{2}}\)
    2. \(27^{−\frac{2}{3}}\)
    3. \(625^{−\frac{3}{4}}\).
    Resposta
    1. \(\frac{1}{8}\)
    2. \(\frac{1}{9}\)
    3. \(\frac{1}{125}\)
    Exemplo\(\PageIndex{28}\)

    Simplifique:

    1. \(−25^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\).
    Resposta
    1. \(−25^{\frac{3}{2}}\)
    Reescreva de forma radical. \(−(\sqrt{25})^3\)
    Simplifique o radical \(−5^3\)
    Simplifique. −125
    2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
    Reescreva usando\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(−(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})\)
    Reescreva de forma radical. \(−(\frac{1}{(\sqrt{25})^3})\)
    Simplifique o radical. \(−(\frac{1}{5^3})\)
    Simplifique. \(−\frac{1}{125}\)
    3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\).
    Reescreva de forma radical. \((\sqrt{−25})^3\)
    Não existe um número real cuja raiz quadrada seja −25. Não é um número real.
    Exemplo\(\PageIndex{29}\)

    Simplifique:

    1. \(−16^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−16^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−16)^{−\frac{3}{2}}\).
    Resposta
    1. −64
    2. \(−\frac{1}{64}\)
    3. não é um número real
    Exemplo\(\PageIndex{30}\)

    Simplifique:

    1. \(−81^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−81^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−81)^{−\frac{3}{2}}\).
    Resposta
    1. −729
    2. \(−\frac{1}{729}\)
    3. não é um número real

    Use as leis dos expoentes para simplificar expressões com expoentes racionais

    As mesmas leis de expoentes que já usamos também se aplicam aos expoentes racionais. Listaremos as propriedades do expoente aqui para tê-las como referência à medida que simplificamos as expressões.

    RESUMO DAS PROPRIEDADES DO EXPOENTE

    Se a, b são números reais e m, n são números racionais, então

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{Product Property}}&{a^m·a^n=a^{m+n}}\\ {\textbf{Power Property}}&{(a^m)^n=a^{m·n}}\\ {\textbf{Product to a Power}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}}\\ {\textbf{Quotient Property}}&{\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n}\\ {}&{\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m}\\ {\textbf{Zero Exponent Definition}}&{a^0=1, a \ne 0}\\ {\textbf{Quotient to a Power Property}}&{(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0}\\ \nonumber \end{array}\]

    Quando multiplicamos a mesma base, adicionamos os expoentes.

    Exemplo\(\PageIndex{31}\)

    Simplifique:

    1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
    2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
    3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\).
    Resposta
    1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
    As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. \(2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}\)
    Adicione as frações. \(2^{\frac{6}{2}}\)
    Simplifique o expoente. \(2^3\)
    Simplifique. 8
    2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
    As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. \(x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\)
    Adicione as frações. \(x^{\frac{6}{3}}\)
    Simplifique. \(x^2\)
    3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\)
    As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes. \(z^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}\)
    Adicione as frações. \(z^{\frac{8}{4}}\)
    Simplifique. \(z^2\)
    Exemplo\(\PageIndex{32}\)

    Simplifique:

    1. \(3^{\frac{2}{3}}·3^{\frac{4}{3}}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{8}{3}}\)
    3. \(m^{\frac{1}{4}}·m^{\frac{3}{4}}\).
    Resposta
    1. 9
    2. \(y^3\)
    3. m
    Exemplo\(\PageIndex{33}\)

    Simplifique:

    1. \(5^{\frac{3}{5}}·5^{\frac{7}{5}}\)
    2. \(z^{\frac{1}{8}}·z^{\frac{7}{8}}\)
    3. \(n^{\frac{2}{7}}·n^{\frac{5}{7}}\).
    Resposta
    1. 25
    2. z
    3. n

    Usaremos a propriedade de energia no próximo exemplo.

    Exemplo\(\PageIndex{34}\)

    Simplifique:

    1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\).
    Resposta
    1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
    Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. \(x^{4·\frac{1}{2}}\)
    Simplifique. \(x^2\)
    2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
    Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. \(y^{6·\frac{1}{3}}\)
    Simplifique. \(y^2\)
    3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\)
    Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. \(z^{9·\frac{2}{3}}\)
    Simplifique. \(z^6\)
    Exemplo\(\PageIndex{35}\)

    Simplifique:

    1. \((p^{10})^{\frac{1}{5}}\)
    2. \((q^8)^{\frac{3}{4}}\)
    3. \((x^6)^{\frac{4}{3}}\)
    Resposta
    1. \(p^\)
    2. \(q^6\)
    3. \(x^8\)
    Exemplo\(\PageIndex{36}\)

    Simplifique:

    1. \((r^6)^{\frac{5}{3}}\)
    2. \((s^{12})^{\frac{3}{4}}\)
    3. \((m^9)^{\frac{2}{9}}\)
    Resposta
    1. \(r^{10}\)
    2. \(s^9\)
    3. \(m^2\)

    A propriedade do quociente nos diz que quando dividimos com a mesma base, subtraímos os expoentes.

    Exemplo\(\PageIndex{37}\)

    Simplifique:

    1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
    2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
    3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\).
    Resposta
    1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
    Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. \(x^{\frac{4}{3}−\frac{1}{3}}\)
    Simplifique. x
    2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
    Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. \(y^{\frac{3}{4}−\frac{1}{4}}\)
    Simplifique. \(y^{\frac{1}{2}}\)
    3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\)
    Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes. \(z^{\frac{2}{3}−\frac{5}{3}}\)
    Reescreva sem um expoente negativo. \(\frac{1}{z}\)
    Exemplo\(\PageIndex{38}\)

    Simplifique:

    1. \(\frac{u^{\frac{5}{4}}}{u^{\frac{1}{4}}}\)
    2. \(\frac{v^{\frac{3}{5}}}{v^{\frac{2}{5}}}\)
    3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\).
    Resposta
    1. u
    2. \(v^{\frac{1}{5}}\)
    3. \(\frac{1}{x}\)
    Exemplo\(\PageIndex{39}\)

    Simplifique:

    1. \(\frac{c^{\frac{12}{5}}}{c^{\frac{2}{5}}}\)
    2. \(\frac{m^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{9}{4}}}\)
    3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\).
    Resposta
    1. \(c^2\)
    2. \(\frac{1}{m}\)
    3. \(\frac{1}{d}\)

    Às vezes, precisamos usar mais de uma propriedade. Nos próximos dois exemplos, usaremos o Produto para uma Propriedade de Energia e, em seguida, a Propriedade de Energia.

    Exemplo\(\PageIndex{40}\)

    Simplifique:

    1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
    Resposta
    1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. \((27)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    Reescreva 27 como uma potência de 3. \((3^3)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. \((3^2)(u^{\frac{1}{3}})\)
    Simplifique. \(9u^{\frac{1}{3}}\)
    2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
    Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. \((8)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
    Reescreva 8 como uma potência de 2. \((2^3)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
    Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. \((2^2)(v^{\frac{1}{6}})\)
    Simplifique. \(4v^{\frac{1}{6}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{41}\)

    Simplifique:

    1. \(32x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}\)
    2. \((64y^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}\).
    Resposta
    1. \(8x^{\frac{1}{5}}\)
    2. \(4y^{\frac{2}{9}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{42}\)

    Simplifique:

    1. \((16m^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}\)
    2. \((81n^{\frac{2}{5}})^{\frac{3}{2}}\).
    Resposta
    1. \(64m^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(729n^{\frac{3}{5}}\)
    Exemplo\(\PageIndex{43}\)

    Simplifique:

    1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\).
    Resposta
    1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. \((m^{3})^{\frac{1}{3}}(n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. \(mn^3\)
    2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
    Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia. \((p^{4})^{\frac{1}{4}}(q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
    Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes. \(pq^2\)

    Usaremos as propriedades do produto e do quociente no próximo exemplo.

    Exercício\(\PageIndex{44}\)

    Simplifique:

    1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\).
    Resposta
    1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    Use a propriedade do produto no numerador, adicione os expoentes. \(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    Use a propriedade do quociente, subtraia os expoentes. \(x^{\frac{8}{4}}\)
    Simplifique. \(x^2\)
    2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
    Use a propriedade do produto no numerador, adicione os expoentes. \(\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
    Use a propriedade do quociente, subtraia os expoentes. \(y^{\frac{9}{3}}\)
    Simplifique. \(y^3\)
    Exemplo\(\PageIndex{45}\)

    Simplifique:

    1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}}·m^{−\frac{1}{3}}}{m^{−\frac{5}{3}}}\)
    2. \(\frac{n^{\frac{1}{6}}·n}{n^{−\frac{11}{6}}}\).
    Resposta
    1. \(m^2\)
    2. \(n^3\)
    Exemplo\(\PageIndex{46}\)

    Simplifique:

    1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}}·u^{−\frac{2}{5}}}{u^{−\frac{13}{5}}}\)
    2. \(\frac{v^{\frac{1}{2}}·v}{v^{−\frac{7}{2}}}\).
    Resposta
    1. \(u^3\)
    2. \(v^5\)

    Conceitos chave

    • Resumo das propriedades do expoente
    • Se a, b são números reais e m, n são números racionais, então
      • Propriedade do produto\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
      • Propriedade de poder\((a^m)^n=a^{m·n}\)
      • Produto em potência\((ab)^m=a^{m}b^{m}\)
      • Propriedade do quociente:

        \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n\)

        \(\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m\)

      • Definição de expoente zero\(a^0=1, a \ne 0\)
      • Quociente de uma propriedade de poder\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0\)

    Glossário

    expoentes racionais
    • Se\(\sqrt[n]{a}\) for um número real e\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
    • Para quaisquer números inteiros positivos m e n,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\) e\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)