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7.6: Equações quadráticas

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

  • Resolva equações quadráticas usando a Propriedade do Produto Zero
  • Resolva a fatoração de equações quadráticas
  • Resolva aplicações modeladas por equações quadráticas
Nota

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Resolver:5y3=0.
    Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.3.1.
  2. Resolver:10a=0.
    Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.2.1.
  3. Combine termos semelhantes:12x26x+4x.
    Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.3.37.
  4. Fatorn39n222n completamente.
    Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 7.3.10.

Já resolvemos equações lineares, equações da formaax+by=c. Em equações lineares, as variáveis não têm expoentes. Equações quadráticas são equações nas quais a variável é quadrada. Listados abaixo estão alguns exemplos de equações quadráticas:

x2+5x+6=03y2+4y=1064u281=0n(n+1)=42

A última equação não parece ter a variável ao quadrado, mas quando simplificarmos a expressão à esquerda, obteremosn2+n.

A forma geral de uma equação quadrática éax2+bx+c=0, coma0.

EQUAÇÃO QUADRÁTICA

Uma equação da formaax2+bx+c=0 é chamada de equação quadrática.

a,b, and c are real numbers and a0

Para resolver equações quadráticas, precisamos de métodos diferentes dos que usamos na solução de equações lineares. Examinaremos um método aqui e, em seguida, vários outros em um capítulo posterior.

Resolva equações quadráticas usando a propriedade de produto zero

Primeiro, resolveremos algumas equações quadráticas usando a Propriedade do Produto Zero. A Propriedade do Produto Zero diz que se o produto de duas quantidades for zero, deve ser que pelo menos uma das quantidades seja zero. A única maneira de obter um produto igual a zero é multiplicar pelo próprio zero.

PROPRIEDADE DE PRODUTO ZERO

 If ab=0, then either a=0 or b=0 or both. 

Agora usaremos a Propriedade do Produto Zero para resolver uma equação quadrática.

Exercício7.6.1: How to Use the Zero Product Property to Solve a Quadratic Equation

Resolver:(x+1)(x4)=0

Resposta

Esta tabela fornece as etapas para resolver (x + 1) (x — 4) = 0. O primeiro passo é definir cada fator igual a 0. Como é um produto igual a 0, pelo menos um fator deve ser igual a 0. x + 1 = 0 ou x — 4 = 0.O próximo passo é resolver cada equação linear. Isso dá duas soluções, x = −1 ou x = 4.A última etapa é verificar as duas respostas substituindo os valores de x na equação original.

Exercício7.6.2

Resolver:(x3)(x+5)=0

Resposta

x=3,x=5

Exercício7.6.3

Resolver:(y6)(y+9)=0

Resposta

y=6,y=9

Normalmente, trabalharemos um pouco mais do que neste último exemplo para resolver as equações lineares resultantes do uso da Propriedade do Produto Zero.

Exercício7.6.4

Resolver:(5n2)(6n1)=0

Resposta
  (5n2)(6n1)=0
Use a Propriedade do Produto Zero para definir
cada fator como 0.

5n2=0

6n1=0
Resolva as equações. n=25 n=16
Verifique suas respostas.    
.
Exercício7.6.5

Resolver:(3m2)(2m+1)=0

Resposta

m=23,m=12

Exercício7.6.6

Resolver:(4p+3)(4p3)=0

Resposta

p=34,p=34

Observe, quando verificamos as soluções, que cada uma delas produziu apenas um fator igual a zero. Mas o produto foi zero para ambas as soluções.

Exercício7.6.7

Resolver:3p(10p+7)=0

Resposta
  3p(10p+7)=0
Use a Propriedade do Produto Zero para definir
cada fator como 0.
3p=0 10p+7 = 0
Resolva as equações. p=0 10p=−7
    p=710
Verifique suas respostas.    
.
Exercício7.6.8

Resolver:2u(5u1)=0

Resposta

u=0,u=15

Exercício7.6.9

Resolver:w(2w+3)=0

Resposta

w=0,w=32

Pode parecer que há apenas um fator no próximo exemplo. Lembre-se, no entanto, que isso(y8)2 significa(y8)(y8).

Exercício7.6.10

Resolver:(y8)2=0

Resposta
  (y8)2=0
Reescreva o lado esquerdo como um produto. (y−8) (y−8) =0
Use a Propriedade do Produto Zero e
defina cada fator como 0.
y−8=0 y−8=0
Resolva as equações. y = 8 y = 8
Quando uma solução se repete, nós a chamamos
de raiz dupla.
   
Verifique sua resposta.    
.
Exercício7.6.11

Resolver:(x+1)2=0

Resposta

x=1

Exercício7.6.12

Resolver:(v2)2=0

Resposta

v=2

Resolva equações quadráticas por fatoração

Cada uma das equações que resolvemos nesta seção até agora tinha um lado na forma fatorada. Para usar a Propriedade do Produto Zero, a equação quadrática deve ser fatorada, com zero em um lado. Portanto, certifique-se de começar com a equação quadrática na forma padrão,ax2+bx+c=0. Em seguida, fatoramos a expressão à esquerda.

Exercício7.6.13

Resolver:x2+2x8=0

Resposta

Esta tabela fornece as etapas para resolver a equação x ao quadrado + 2 x — 8 = 0. O primeiro passo é escrever a equação na forma quadrática padrão, o que é.A segunda etapa é fatorar a expressão quadrática x ao quadrado + 2 x — 8. Os fatores são (x + 4), (x — 2).A próxima etapa é usar a propriedade do produto zero e definir cada fator igual a 0, x + 4 = 0 e x — 2 = 0.A próxima etapa é resolver as duas equações lineares, x = −4 ou x = 2.A última etapa é verificar as duas soluções substituindo-as pela equação original.

Exercício7.6.14

Resolver:x2x12=0

Resposta

x=4,x=3

Exercício7.6.15

Resolver:b2+9b+14=0

Responda

b=2,b=7

RESOLVA UMA EQUAÇÃO QUADRÁTICA POR FATORAÇÃO.
  1. Escreva a equação quadrática na forma padrão,ax2+bx+c=0.
  2. Fator a expressão quadrática.
  3. Use a propriedade Zero Product.
  4. Resolva as equações lineares.
  5. Verifique.

Antes de fatorar, devemos garantir que a equação quadrática esteja na forma padrão.

Exercício7.6.16

Resolver:2y2=13y+45

Responda
  2y2=13y+45  
Escreva a equação quadrática na forma padrão. 2y213y45=0  
Fator a expressão quadrática. (2y+5)(y9)=0  
Use a Propriedade do Produto Zero
para definir cada fator como 0.
2y+5=0 y9=0
Resolva cada equação. y=52 y=9
Verifique suas respostas.    
.
Exercício7.6.17

Resolver:3c2=10c8

Responda

c=0,c=43

Exercício7.6.18

Resolver:2d25d=3

Responda

d=3,d=12

Exercício7.6.19

Resolver:5x213x=7x

Responda
  5x213x=7x  
Escreva a equação quadrática na forma padrão. 5x220x=0  
Fatize o lado esquerdo da equação. 5x(x4)=0  
Use a Propriedade do Produto Zero
para definir cada fator como 0.
5x=0 x4=0
Resolva cada equação. x=0 x=4
Verifique suas respostas.    
.
Exercício7.6.20

Resolver:6a2+9a=3a

Responda

a=0,a=1

Exercício7.6.21

Resolver:45b22b=17b

Responda

b=0,b=13

Resolver equações quadráticas por fatoração fará uso de todas as técnicas de fatoração que você aprendeu neste capítulo! Você reconhece o padrão especial do produto no próximo exemplo?

Exercício7.6.22

Resolver:144q2=25

Responda

144q2=25 Write the quadratic equation in standard form. 144q225=0 Factor. It is a difference of squares. (12q5)(12q+5)=0 Use the Zero Product Property to set each factor to 0.12q5=012q+5=0 Solve each equation. 12q=512q=5q=512q=512 Check your answers. 

Exercício7.6.23

Resolver:25p2=49

Responda

p=75,p=75

Exercício7.6.24

Resolver:36x2=121

Responda

x=116,x=116

O lado esquerdo no próximo exemplo é fatorado, mas o lado direito não é zero. Para usar a Propriedade do Produto Zero, um lado da equação deve ser zero. Multiplicaremos os fatores e, em seguida, escreveremos a equação na forma padrão.

Exercício7.6.25

Resolver:(3x8)(x1)=3x

Responda

(3x8)(x1)=3x Multiply the binomials. 3x211x+8=3x Write the quadratic equation in standard form. 3x214x+8=0 Factor the trinomial. (3x2)(x4)=0 Use the Zero Product Property to set each factor to 0.3x2=0x4=0 Solve each equation. 3x=2x=4x=23 Check your answers. The check is left to you! 

Exercício7.6.26

Resolver:(2m+1)(m+3)=12m

Responda

m=1,m=32

Exercício7.6.27

Resolver:(k+1)(k1)=8

Responda

k=3,k=3

A Propriedade do Produto Zero também se aplica ao produto de três ou mais fatores. Se o produto for zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Podemos resolver algumas equações de grau superior a dois usando a Propriedade do Produto Zero, assim como resolvemos equações quadráticas.

Exercício7.6.28

Resolver:9m3+100m=60m2

Responda

9m3+100m=60m2 Bring all the terms to one side so that the other side is zero. 9m360m2+100m=0 Factor the greatest common factor first. m(9m260m+100)=0 Factor the trinomial. m(3m10)(3m10)=0 Use the Zero Product Property to set each factor to 0. m=03m10=03m10=0 Solve each equation. m=0m=103m=103 Check your answers.  The check is left to you. 

Exercício7.6.29

Resolver:8x3=24x218x

Responda

x=0,x=32

Exercício7.6.30

Resolver:16y2=32y3+2y

Responda

y=0,y=14

Quando fatorarmos a equação quadrática no próximo exemplo, obteremos três fatores. No entanto, o primeiro fator é uma constante. Sabemos que esse fator não pode ser igual a 0.

Exercício7.6.31

Resolver:4x2=16x+84

Responda

4x2=16x+84 Write the quadratic equation in standard form. 4x216x84=0 Factor the greatest common factor first. 4(x24x21)=0 Factor the trinomial. 4(x7)(x+3)=0 Use the Zero Product Property to set each factor to 0. 40x7=0x+3=0 Solve each equation. 40x=7x=3 Check your answers.  The check is left to you. 

Exercício7.6.32

Resolver:18a230=33a

Responda

a=52,a=23

Exercício7.6.33

Resolver:123b=660b2

Responda

b=2,b=120

Resolva aplicações modeladas por equações quadráticas

A estratégia de resolução de problemas que usamos anteriormente para aplicativos que se traduzem em equações lineares também funcionará bem para aplicativos que se traduzem em equações quadráticas. Vamos copiar a estratégia de resolução de problemas aqui para que possamos usá-la como referência.

USE UMA ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PALAVRAS
  1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identifique o que estamos procurando.
  3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduza em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação de álgebra.
  5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
  6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
  7. Responda à pergunta com uma frase completa.

Começaremos com um problema numérico para praticar a tradução de palavras em uma equação quadrática.

Exercício7.6.34

O produto de dois números inteiros consecutivos é132. Encontre os números inteiros.

Responda

 Step 1. Read the problem.  Step 2. Identify what we are looking for.  We are looking for two consecutive integers.  Step 3. Name what we are looking for.  Let n= the first integer  n+1= the next consecutive integer  Step 4. Translate into an equation. Restate the  The product of the two consecutive integers is 132. problem in a sentence.  Translate to an equation.  The first integer times the next integer is 132.n(n+1)=132 Step 5. Solve the equation. n2+n=132 Bring all the terms to one side. n2+n132=0 Factor the trinomial. (n11)(n+12)=0 Use the zero product property. n11=0n+12=0 Solve the equations. n=11n=12

Exercício7.6.35

O produto de dois números inteiros consecutivos é240. Encontre os números inteiros.

Responda

15,16e15,16

Exercício7.6.36

O produto de dois números inteiros consecutivos é420. Encontre os números inteiros.

Responda

21,20e20,21

Você ficou surpreso com o par de números inteiros negativos que é uma das soluções para o exemplo anterior? O produto dos dois inteiros positivos e o produto dos dois números inteiros negativos fornecem 132.

Em algumas aplicações, soluções negativas resultarão da álgebra, mas não serão realistas para a situação.

Exercício7.6.37

Um jardim retangular tem uma área de 15 pés quadrados. O comprimento do jardim é dois pés a mais do que a largura. Encontre o comprimento e a largura do jardim.

Responda
Etapa 1. Leia o problema. Em problemas envolvendo figuras geométricas, um esboço pode ajudar você a visualizar a situação. .
Etapa 2. Identifique o que você está procurando. Estamos procurando o comprimento e a largura.
Etapa 3. Diga o que você está procurando.
O comprimento é dois pés a mais do que a largura.
Seja W = a largura do jardim.
W + 2 = o comprimento do jardim
Etapa 4. Traduza em uma equação.
Reafirme as informações importantes em uma frase.

A área do jardim retangular é de 15 pés quadrados.
Use a fórmula para a área de um retângulo. A=LW
Substitua as variáveis. 15=(W+2)W
Etapa 5. Resolva a equação. Distribua primeiro. 15=W2+2W
Obtenha zero em um lado. 0=W2+2W15
Considere o trinômio. 0=(W+5)(W3)
Use a propriedade Zero Product. 0=W+5 0=W3
Resolva cada equação. 5=W 3=W
Como W é a largura do jardim, não
faz sentido que seja
negativo. Eliminamos esse valor para W.
W=5 cannot be the width, since it's negative.

W=3
3=W

A largura é de 3 pés.
Encontre o valor do comprimento. length=W+2  
  length=3+2  
  length=5 O comprimento é de 5 pés.
Etapa 6. Verifique a resposta.
A resposta faz sentido?
   
.    
  Sim, isso faz sentido.
Etapa 7. Responda à pergunta. A largura do jardim é de 3 pés
e o comprimento é de 5 pés.
Exercício7.6.38

Uma placa retangular tem uma área de 30 pés quadrados. O comprimento da placa é um pé a mais do que a largura. Encontre o comprimento e a largura da placa.

Responda

55 pés e 66 pés

Exercício7.6.39

Um pátio retangular tem uma área de 180 pés quadrados. A largura do pátio é três pés menor que o comprimento. Encontre o comprimento e a largura do pátio.

Responda

12 pés e 15 pés

Em um capítulo anterior, usamos o Teorema de Pitágoras(a2+b2=c2). Ele deu a relação entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo reto.

Essa figura é um triângulo reto.

Usaremos essa fórmula para no próximo exemplo.

Exercício7.6.40

Justine quer colocar um baralho no canto de seu quintal em forma de triângulo reto, conforme mostrado abaixo. A hipotenusa terá 17 pés de comprimento. O comprimento de um lado será 7 pés a menos que o comprimento do outro lado. Encontre os comprimentos das laterais do baralho.

Essa figura é um triângulo reto. A perna vertical é rotulada como “x — 7”. a perna horizontal, a base, é rotulada como “x”. A hipotenusa é rotulada como “17”.

Responda
Etapa 1. Leia o problema.      
Etapa 2. Identifique o que você está procurando. Estamos procurando os comprimentos das laterais
do convés.
Etapa 3. Diga o que você está procurando.
Um lado é 7 a menos que o outro.
Seja x = comprimento de um lado do convés
x − 7 = comprimento do outro lado
Etapa 4. Traduza em uma equação.
Como esse é um triângulo reto, podemos usar o Teorema
de Pitágoras.
a2+b2=c2
Substitua as variáveis. x2+(x7)2=172  
Etapa 5. Resolva a equação. x2+x214x+49=289  
Simplifique. 2x214x+49=289  
É uma equação quadrática, então obtenha zero em um lado. 2x214x240=0  
Considere o maior fator comum. 2(x27x120)=0  
Considere o trinômio. 2(x15)(x+8)=0  
Use a propriedade Zero Product. 20 x15=0 x+8=0
Resolver. 20 x=15 x=8
Comox é um lado do triângulo, nãox=8
faz sentido.
20 x=15 x=8
Encontre o comprimento do outro lado.      
Se o comprimento de um lado for x=15  
então o comprimento do outro lado é x7  
    157=8  
  8 é o comprimento do outro lado.
Etapa 6. Verifique a resposta.
Esses números fazem sentido?
     
.      
Etapa 7. Responda à pergunta. As laterais do convés são de 8, 15 e 17 pés.
Exercício7.6.41

A vela de um barco é um triângulo reto. O comprimento de um lado da vela é 7 pés a mais do que o outro lado. A hipotenusa é 13. Encontre os comprimentos dos dois lados da vela.

Responda

5 pés e 12 pés

Exercício7.6.42

Um jardim de meditação tem a forma de um triângulo reto, com uma perna de 7 pés. O comprimento da hipotenusa é um a mais do que o comprimento de uma das outras pernas. Encontre o comprimento da hipotenusa e da outra perna.

Responda

24 pés e 25 pés

Conceitos chave

  • Propriedade do produto zero Seab=0, então a=0 ou b=0 ou ambos. Veja o exemplo.
  • Resolva uma equação quadrática fatorando Para resolver uma equação quadrática fatorando: Veja o exemplo.
    1. Escreva a equação quadrática na forma padrão,ax2+bx+c=0.
    2. Fator a expressão quadrática.
    3. Use a propriedade Zero Product.
    4. Resolva as equações lineares.
    5. Verifique.
  • Use uma estratégia de resolução de problemas para resolver problemas de palavras. Veja o exemplo.
    1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
    2. Identifique o que estamos procurando.
    3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
    4. Traduza em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação de álgebra.
    5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
    6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
    7. Responda à pergunta com uma frase completa.

Glossário

equações quadráticas
são equações nas quais a variável é quadrada.
Propriedade de produto zero
A Propriedade do Produto Zero afirma que, se o produto de duas quantidades for zero, pelo menos uma das quantidades será zero.