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7.5: Estratégia geral para fatorar polinômios

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Reconheça e use o método apropriado para fatorar completamente um polinômio
    Nota

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Fator\(y^{2}-2 y-24\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 7.2.19.
    2. Fator\(3 t^{2}+17 t+10\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 7.3.28.
    3. Fator\(36 p^{2}-60 p+25\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 7.4.1.
    4. Fator\(5 x^{2}-80\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 7.4.31.

    Reconhecer e usar o método apropriado para fatorar completamente um polinômio

    Agora você se familiarizou com todos os métodos de fatoração necessários neste curso. (Em seu próximo curso de álgebra, mais métodos serão adicionados ao seu repertório.) A figura abaixo resume todos os métodos de fatoração que abordamos. A figura\(\PageIndex{1}\) descreve uma estratégia que você deve usar ao fatorar polinômios.

    Esta figura apresenta uma estratégia geral para fatorar polinômios. Primeiro, no topo, há o GCF, que é onde começa a fatoração. Abaixo disso, há três opções, binomial, trinomial e mais de três termos. Para binomial, há a diferença de dois quadrados, a soma dos quadrados, a soma dos cubos e a diferença dos cubos. Para trinômios, existem duas formas, x ao quadrado mais bx mais c e ax ao quadrado 2 mais b x mais c. Há também a soma e a diferença de fórmulas de dois quadrados, bem como o método “a c”. Finalmente, para mais de três termos, o método é agrupamento.
    Figura\(\PageIndex{1}\)
    POLINÔMIOS FATORIAIS.
    1. Existe um fator comum maior?
      • Considere isso.
    2. O polinômio é binomial, trinomial ou há mais de três termos?
      • Se for um binômio:
        é uma soma?
        • De quadrados? As somas dos quadrados não levam em consideração.
        • De cubos? Use o padrão de soma de cubos.
        É uma diferença?
        • De quadrados? Fator como produto dos conjugados.
        • De cubos? Use a diferença do padrão de cubos.
      • Se for um trinômio:
        é da forma\(x^{2}+b x+c ?\)? Desfaça FOIL.
        É do formulário\(a x^{2}+b x+c\)?
        • Se aa e cc forem quadrados, verifique se eles se encaixam no padrão do quadrado trinomial.
        • Use o método de tentativa e erro ou “ac”.
      • Se tiver mais de três termos:
        use o método de agrupamento.
    3. Verifique.
      • É totalmente fatorado?
      • Os fatores se multiplicam de volta ao polinômio original?

    Lembre-se de que um polinômio é completamente fatorado se, além dos monômios, seus fatores forem primos!

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Fator completamente:\(4 x^{5}+12 x^{4}\)

    Responda

    \ (\ begin {array} {lll}\ text {Existe um GCF? } &\ text {Sim,} 4 x^ {4} e 4 x^ {5} +12 x^ {4}\\\ text {Fator out the GCF.} & &4 x^ {4} (x+3)\\ text {Entre parênteses, é um binômio, um} & & &\\\ text {trinomial, ou há mais de três termos? } &\ text {Binomial.} &\\\ quad\ text {É uma soma? } & &\ text {Sim.}\\\ quad\ text {De quadrados? De cubos? } & &\ text {Não.}\\\ text {Verificar.}
    \\\\\ quad\ text {A expressão foi totalmente fatorada? } & &\ text {Sim.}\\\ quad\ text {Multiplicar.}\\\ begin {array} {l} {4 x^ {4} (x+3)}\\ {4 x^ {4}\ cdot x+4 x^ {4}\ cdot 3}\\ {4}\ {4} +12 x^ {4}}\ marca de verificação\ end {matriz}\ fim {array}\)

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Fator completamente:\(3 a^{4}+18 a^{3}\)

    Responda

    3\(a^{3}(a+6)\)

    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Fator completamente:\(45 b^{6}+27 b^{5}\)

    Responda

    9\(b^{5}(5 b+3)\)

    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Fator completamente:\(12 x^{2}-11 x+2\)

    Responda
        .
    Existe um GCF? Não.  
    É um binômio, um trinômio ou
    há mais de três termos?    		 Trinomial.  
    A e c são quadrados perfeitos? Não, a = 12,
    não é um quadrado perfeito.    		  
    Use tentativa e erro ou o método “ac”.
    Usaremos tentativa e erro aqui.    		   .
    Esta tabela tem o título de 12 x ao quadrado menos 11 x mais 2 e fornece os possíveis fatores. A primeira coluna é rotulada como possíveis fatores e a segunda coluna é rotulada como produto. Quatro linhas não têm uma opção na coluna do produto. Isso é explicado pelo texto: “se o trinômio não tem fatores comuns, nenhum dos fatores pode conter um fator comum”. Os últimos fatores, 3 x - 2 entre parênteses e 4 x - 1 entre parênteses, dão o produto de 12 x ao quadrado menos 11 x mais 2.
    Verifique. \(\begin{array}{l}{(3 x-2)(4 x-1)} \\ {12 x^{2}-3 x-8 x+2} \\ {12 x^{2}-11 x+2 }\checkmark \end{array}\)
    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Fator completamente:\(10 a^{2}-17 a+6\)

    Responda

    \((5 a-6)(2 a-1)\)

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Fator completamente:\(8 x^{2}-18 x+9\)

    Responda

    \((2 x-3)(4 x-3)\)

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Fator completamente:\(g^{3}+25 g\)

    Responda

    \(\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, g.} &g^{3}+25 g \\\text { Factor out the GCF. } & &g\left(g^{2}+25\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } &\text { Binomial. } & \\ \quad \text { Is it a sum? Of squares? } & \text { Yes. } & \text { Sums of squares are prime. } \\\text { Check. } \\ \\ \quad \text { Is the expression factored completely? } &\text { Yes. } \\ \quad \text { Multiply. } \\ \qquad \begin{array}{l}{g\left(g^{2}+25\right)} \\ {g^{3}+25 g }\checkmark \end{array} \end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Fator completamente:\(x^{3}+36 x\)

    Responda

    \(x\left(x^{2}+36\right)\)

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Fator completamente:\(27 y^{2}+48\)

    Responda

    3\(\left(9 y^{2}+16\right)\)

    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Fator completamente:\(12 y^{2}-75\)

    Responda

    \(\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 3.} &12 y^{2}-75 \\\text { Factor out the GCF. } & &3\left(4 y^{2}-25\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } &\text { Binomial. } & \\ \text { Is it a sum?} & \text { No. } & \\ \text { Is it a difference? Of squares or cubes? } &\text { Yes, squares. } & 3\left((2 y)^{2}-(5)^{2}\right) \\ \text { Write as a product of conjugates. } & &3(2 y-5)(2 y+5)\\\text { Check. } \\ \\ \text { Is the expression factored completely? } & \text{ Yes.}& \\ \text { Neither binomial is a difference of } \\ \text { squares. } \\ \text{ Multiply.} \\ \quad \begin{array}{l}{3(2 y-5)(2 y+5)} \\ {3\left(4 y^{2}-25\right)} \\ {12 y^{2}-75}\checkmark \end{array} \end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Fator completamente:\(16 x^{3}-36 x\)

    Responda

    4\(x(2 x-3)(2 x+3)\)

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Fator completamente:\(27 y^{2}-48\)

    Responda

    3\((3 y-4)(3 y+4)\)

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Fator completamente:\(4 a^{2}-12 a b+9 b^{2}\)

    Responda
    Existe um GCF? Não. .
    É um binômio, um trinômio ou existem
    mais termos?    		    
    Trinomial com\(a\neq 1\). Mas o primeiro termo é um quadrado
    perfeito.    		    
    O último termo é um quadrado perfeito? Sim. .
    Isso se encaixa no padrão,\(a^{2}-2 a b+b^{2}\)? Sim. .
    Escreva como um quadrado.   .
    Verifique sua resposta.    
    A expressão é totalmente considerada?    
    Sim.    
    O binômio não é uma diferença de quadrados.    
    Multiplique.    
    \((2 a-3 b)^{2}\)    
    \((2 a)^{2}-2 \cdot 2 a \cdot 3 b+(3 b)^{2}\)    
    \(4 a^{2}-12 a b+9 b^{2} \checkmark\)
    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Fator completamente:\(4 x^{2}+20 x y+25 y^{2}\)

    Responda

    \((2 x+5 y)^{2}\)

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Fator completamente:\(9 m^{2}+42 m n+49 n^{2}\)

    Responda

    \((3 m+7 n)^{2}\)

    Exercício\(\PageIndex{16}\)

    Fator completamente:\(6 y^{2}-18 y-60\)

    Responda

    \(\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 6.} &6 y^{2}-18 y-60 \\\text { Factor out the GCF. } & \text { Trinomial with leading coefficient } 1&6\left(y^{2}-3 y-10\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more terms? } & & \\ \text { "Undo' FOIL. } & 6(y\qquad )(y\qquad ) &6(y+2)(y-5) \\ \text { Check your answer. } \\ \text { Is the expression factored completely? } & & \text{ Yes.} \\ \text { Neither binomial is a difference of squares. } \\ \text { Multiply. } \\ \\\qquad \begin{array}{l}{6(y+2)(y-5)} \\ {6\left(y^{2}-5 y+2 y-10\right)} \\ {6\left(y^{2}-3 y-10\right)} \\ {6 y^{2}-18 y-60} \checkmark \end{array} \end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Fator completamente:\(8 y^{2}+16 y-24\)

    Responda

    8\((y-1)(y+3)\)

    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Fator completamente:\(5 u^{2}-15 u-270\)

    Responda

    5\((u-9)(u+6)\)

    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    Fator completamente:\(24 x^{3}+81\)

    Responda
    Existe um GCF? Sim, 3. \(24 x^{3}+81\)
    Considere isso.   3\(\left(8 x^{3}+27\right)\)
    Entre parênteses, é um binômio, um trinômio
    ou há mais de três termos?    		 Binomial.  
    É uma soma ou diferença? Soma.  
    De quadrados ou cubos? Soma dos cubos. .
    Escreva-o usando o padrão de soma de cubos.   .
    A expressão é totalmente considerada? Sim. 3\((2 x+3)\left(4 x^{2}-6 x+9\right)\)
    Verifique multiplicando.   Deixamos o cheque para você.
    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    Fator completamente:\(250 m^{3}+432\)

    Responda

    2\((5 m+6)\left(25 m^{2}-30 m+36\right)\)

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    Fator completamente:\(81 q^{3}+192\)

    Responda

    \(3(3q+4)\left(9q^{2}-12 q+16\right)\)

    Exercício\(\PageIndex{22}\)

    Fator completamente:\(2 x^{4}-32\)

    Responda

    \(\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 2.} &2 x^{4}-32 \\\text { Factor out the GCF. } & &2\left(x^{4}-16\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } & \text { Binomial. }& \\ \text { Is it a sum or difference? } &\text { Yes. }& \\\text { Of squares or cubes? } & \text { Difference of squares. } & 2\left(\left(x^{2}\right)^{2}-(4)^{2}\right) \\ \text { Write it as a product of conjugates. } & & 2\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { The first binomial is again a difference of squares. } & & 2\left((x)^{2}-(2)^{2}\right)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { Write it as a product of conjugates. } & & 2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { Is the expression factored completely? } &\text { Yes. } & \\ \\ \text { None of these binomials is a difference of squares. } \\ \text { Check your answer. } \\ \text{ Multiply. }\\ \\ \qquad \qquad \begin{array}{l}{2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ {2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ {2(x-10)} \\ {2 x^{4}-32} \checkmark \end{array} \end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    Fator completamente:\(4 a^{4}-64\)

    Responda

    4\(\left(a^{2}+4\right)(a-2)(a+2)\)

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    Fator completamente:\(7 y^{4}-7\)

    Responda

    7\(\left(y^{2}+1\right)(y-1)(y+1)\)

    Exercício\(\PageIndex{25}\)

    Fator completamente:\(3 x^{2}+6 b x-3 a x-6 a b\)

    Responda

    \(\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 3.} &3 x^{2}+6 b x-3 a x-6 a b\\\text { Factor out the GCF. } & &3\left(x^{2}+2 b x-a x-2 a b\right)\\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } &\text { More than } 3 & \\ \text { or are there more terms? } &\text { terms. } & \\ \text { Use grouping. } & & \begin{array}{c}{3[x(x+2 b)-a(x+2 b)]} \\ {3(x+2 b)(x-a)}\end{array} \\ \text { Check your answer. } \\ \\ \text { Is the expression factored completely? Yes. } \\ \text { Multiply. } \\\qquad \qquad \begin{array}{l}{3(x+2 b)(x-a)} \\ {3\left(x^{2}-a x+2 b x-2 a b\right)} \\ {3 x^{2}-3 a x+6 b x-6 a b} \checkmark \end{array}\end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{26}\)

    Fator completamente:\(6 x^{2}-12 x c+6 b x-12 b c\)

    Responda

    6\((x+b)(x-2 c)\)

    Exercício\(\PageIndex{27}\)

    Fator completamente:\(16 x^{2}+24 x y-4 x-6 y\)

    Responda

    2\((4 x-1)(x+3 y)\)

    Exercício\(\PageIndex{28}\)

    Fator completamente:\(10 x^{2}-34 x-24\)

    Responda

    \(\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 2.} &10 x^{2}-34 x-24\\\text { Factor out the GCF. } & &2\left(5 x^{2}-17 x-12\right)\\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } &\text { Trinomial with } & \\ \text { or are there more than three terms? } &\space a \neq 1 & \\ \text { Use trial and error or the "ac" method. } & & 2\left(5 x^{2}-17 x-12\right) \\ & & 2(5 x+3)(x-4) \\ \text { Check your answer. Is the expression factored } \\\text { completely? Yes. }\\ \\ \text { Multiply. } \\ \qquad \begin{array}{l}{2(5 x+3)(x-4)} \\ {2\left(5 x^{2}-20 x+3 x-12\right)} \\ {2\left(5 x^{2}-17 x-12\right)} \\ {10 x^{2}-34 x-24}\checkmark \end{array}\end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{29}\)

    Fator completamente:\(4 p^{2}-16 p+12\)

    Responda

    4\((p-1)(p-3)\)

    Exercício\(\PageIndex{30}\)

    Fator completamente:\(6 q^{2}-9 q-6\)

    Responda

    3\((q-2)(2 q+1)\)

    Conceitos chave

    • Estratégia geral para fatorar polinômios, veja a figura\(\PageIndex{1}\).
    • Como fatorar polinômios
      1. Existe um fator comum maior? Considere isso.
      2. O polinômio é binomial, trinomial ou há mais de três termos?
        • Se for um binômio:
          é uma soma?
          • De quadrados? As somas dos quadrados não levam em consideração.
          • De cubos? Use o padrão de soma de cubos.
          É uma diferença?
          • De quadrados? Fator como produto dos conjugados.
          • De cubos? Use a diferença do padrão de cubos.
        • Se for um trinômio:
          é da forma\(x^{2}+b x+c\)? Desfaça FOIL.
          É do formulário\(a x^{2}+b x+c\)?
          • Se 'a' e 'c' forem quadrados, verifique se eles se encaixam no padrão do quadrado trinomial.
          • Use o método de tentativa e erro ou 'ac'.
        • Se tiver mais de três termos:
          use o método de agrupamento.
      3. Verifique. É totalmente fatorado? Os fatores se multiplicam de volta ao polinômio original?