7.2: Trinômios quadráticos fatoriais com coeficiente principal 1
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Ao final desta seção, você poderá:
- Trinômios fatoriais da forma\(x^{2}+b x+c\)
- Trinômios fatoriais da forma\(x^{2}+b x y+c y^{2}\)
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
- Multiplique: (x+4) (x+5).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 6.3.31. - Simplifique: ⓐ −9+ (−6) ⓑ −9+6.
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.4.18. - Simplifique: ⓐ −9 (6) ⓑ −9 (−6).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.5.1. - Simplifique: ⓐ |−5| ⓑ |3|.
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.4.2.
Trinômios fatoriais da forma \(x^{2}+b x+c\)
Você já aprendeu como multiplicar binômios usando FOIL. Agora você precisará “desfazer” essa multiplicação, para começar com o produto e terminar com os fatores. Vejamos um exemplo de multiplicação de binômios para refrescar sua memória.
Fatorar o trinômio significa começar com o produto e terminar com os fatores,\((x+2)(x+3)\).\(x^{2}+5 x+6\) Você precisa pensar de onde veio cada um dos termos do trinômio.
O primeiro termo veio da multiplicação do primeiro termo em cada binômio. Então, para entrar\(x^{2}\) no produto, cada binômio deve começar com um x.
\[\begin{array}{l}{x^{2}+5 x+6} \\ {(x\quad)(x\quad)}\end{array}\]
O último termo no trinômio veio da multiplicação do último termo em cada binômio. Portanto, os últimos termos devem se multiplicar por 6.
Quais são os dois números que se multiplicam por 6?
Os fatores de 6 podem ser 1 e 6, ou 2 e 3. Como você sabe qual par usar?
Considere o médio prazo. Veio da adição dos termos externo e interno.
Portanto, os números que devem ter um produto de 6 precisarão de uma soma de 5. Vamos testar as duas possibilidades e resumir os resultados na Tabela \(\PageIndex{1}\)— a tabela será muito útil quando você trabalha com números que podem ser fatorados de várias maneiras diferentes.
| Fatores de 6 | Soma dos fatores |
|---|---|
| 1,6 | \(1+6=7\) |
| 2,3 | \(2+3=5\) |
Tabela \(\PageIndex{1}\)
Vemos que 2 e 3 são os números que se multiplicam por 6 e somam 5. Portanto, temos os fatores de\(x^{2}+5 x+6\). Eles são\((x+2)(x+3)\).
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {\text { product }} \\ {(x+2)(x+3)} & {\text { factors }}\end{array}\]
Você deve verificar isso multiplicando.
Olhando para trás\(x^{2}+5 x+6\), começamos com, que é da forma\(x^{2}+b x+c\), onde b=5 e c=6. Nós o fatoramos em dois binômios da forma (x+m) e (x+n).
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {x^{2}+b x+c} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
Para obter os fatores corretos, encontramos dois números m e n cujo produto é c e soma é b.
Fator:\(x^{2}+7 x+12\)
- Responda
-
Fator:\(x^{2}+6 x+8\)
Fator:\(y^{2}+8 y+15\)
Vamos resumir as etapas que usamos para encontrar os fatores.
Trinômios fatoriais da forma\(x^{2}+b x+c\).
Etapa 1. Escreva os fatores como dois binômios com os primeiros termos x:\((x \quad)(x \quad )\)
Etapa 2. Encontre dois números m e n que
se multiplicam para c,\(m \cdot n=c\)
adicionam a b,\(m+n=b\)
Etapa 3. Use m e n como os últimos termos dos fatores:\((x+m)(x+n)\)
Etapa 4. Verifique multiplicando os fatores.
Fator:\(u^{2}+11 u+24\)
- Responda
-
Observe que a variável é u, então os fatores terão os primeiros termos u.
\(\begin{array}{ll} & u^{2}+11 u+24\\ {\text { Write the factors as two binomials with first terms } u \text { . }} & (u \quad)(u\quad) \\ {\text { Find two numbers that: multiply to } 24 \text { and add to } 11 .} & \end{array}\)
Fatores de 24 Soma dos fatores 1,24 1+24 = 25 2,12 2+12 = 14 3,8 3+8 = 11* 4,6 4+6=10 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 3 \text { and } 8 \text { as the last terms of the binomials. } & (u+3)(u+8)\\ \\ \text { Check. } \\ \\ \begin{array}{l}{(u+3)(u+8)} \\ {u^{2}+3 u+8 u+24} \\ {u^{2}+11 u+24 v} \checkmark\end{array}\end{array}\)
Fator:\(q^{2}+10 q+24\)
Fator:\(t^{2}+14 t+24\)
Fator:\(y^{2}+17 y+60\)
- Resposta
-
\(\begin{array}{ll} & y^{2}+17 y+60\\ \text { Write the factors as two binomials with first terms y. } & (y \quad)(y\quad)\end{array}\)
Encontre dois números que se multiplicam por 60 e somam 17.
\(\begin{array} {ll} \text { Use } 5 \text { and } 12 \text { as the last terms. } & (y+5)(y+12) \\ \text{ Check.} & \\ \\ \begin{array}{l}{(y+5)(y+12)} \\ {\left(y^{2}+12 y+5 y+60\right)} \\ {\left(y^{2}+17 y+60\right) }\checkmark \end{array} \end{array}\)Fatores de 60 Soma dos fatores 1,60 1+60 = 61 2,30 2+30 = 32 3,20 3+20 = 23 4,15 4+15 = 19 5,12 5+12 = 17* 6,10
Fator:\(x^{2}+19 x+60\)
Fator:\(v^{2}+23 v+60\)
Fator Trinômios da Forma x 2 + bx + c com b Negativo, c Positivo
Nos exemplos até agora, todos os termos no trinômio foram positivos. O que acontece quando há termos negativos? Bem, depende de qual termo é negativo. Vejamos primeiro os trinômios com apenas o termo médio negativo.
Lembre-se: para obter uma soma negativa e um produto positivo, os números devem ser negativos.
Novamente, pense em FOIL e de onde veio cada termo no trinômio. Assim como antes,
- o primeiro termo,\(x^2\), vem do produto dos dois primeiros termos em cada fator binomial, x e y;
- o último termo positivo é o produto dos dois últimos termos
- o termo médio negativo é a soma dos termos externo e interno.
Como você obtém um produto positivo e uma soma negativa? Com dois números negativos.
Fator:\(t^{2}-11 t+28\)
- Resposta
-
Novamente, com o último termo positivo, 28, e o termo médio negativo, −11t, precisamos de dois fatores negativos. Encontre dois números que multiplicam 28 e somem −11.
\(\begin{array} {ll} & t^{2}-11 t+28 \\ \text {Write the factors as two binomials with first terms } t & (t\qquad)(t\qquad)\end{array}\)
Encontre dois números que: multiplique para 28 e adicione a −11.
\(\begin{array} {ll} \text { Use }-4,-7 \text { as the last terms of the binomials. }& (t-4)(t-7) \\ \text { Check. } \\\\ \begin{array}{l}{(t-4)(t-7)} \\ {t^{2}-7 t-4 t+28} \\ {t^{2}-11 t+28}\checkmark\end{array}\end{array}\)Fatores de 28 Soma dos fatores −1, −28 −1+ (−28) =−29 −2, −14 −2+ (−14) =−16 −4, −7 \(-4+(-7)=-11^{*}\)
Fator:\(u^{2}-9 u+18\)
Fator:\(y^{2}-16 y+63\)
Trinômios de fatores da forma x2+bx+c com c negativo
Agora, e se o último termo no trinômio for negativo? Pense em FOIL. O último termo é o produto dos últimos termos nos dois binômios. Um produto negativo resulta da multiplicação de dois números por sinais opostos. Você deve ter muito cuidado ao escolher fatores para garantir que também obtenha o sinal correto para o médio prazo.
Lembre-se: para obter um produto negativo, os números devem ter sinais diferentes.
Fator:\(z^{2}+4 z-5\)
- Resposta
-
Para obter um último termo negativo, multiplique um positivo e um negativo. Precisamos de fatores de −5 que se somam a positivo 4.
Fatores de −5 Soma dos fatores 1, −5 1+ (−5) =−4 −1,5 −1+5=4* Aviso: Listamos 1, −5 e −1,5 para garantir que o sinal do termo intermediário esteja correto.
\(\begin{array} {ll} &z^{2}+4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }-1,5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z-1)(z+5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z-1)(z+5)} \\ {z^{2}+5 z-1 z-5} \\ {z^{2}+4 z-5 }\checkmark\end{array} \end{array}\)
Fator:\(h^{2}+4 h-12\)
- Resposta
-
\((h-2)(h+6)\)
Fator:\(: 2^{2}+k-20\)
- Resposta
-
\((k-4)(k+5)\)
Vamos fazer uma pequena alteração no último trinômio e ver o efeito que isso tem sobre os fatores.
Fator:\(z^{2}-4 z-5\)
- Resposta
-
Desta vez, precisamos de fatores de −5 que se somam a −4.
Fatores de −5 Soma dos fatores 1, −5 1+ (−5) =−4* −1,5 −1+5=4 \(\begin{array} {ll} &z^{2}-4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }1,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z+1)(z-5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z+1)(z-5)} \\z^{2}-5 z+1 z-5 \\ z^{2}-4 z-5\checkmark\end{array} \end{array}\)
Fator:\(x^{2}-4 x-12\)
- Resposta
-
\((x+2)(x-6)\)
Fator:\(y^{2}-y-20\)
- Resposta
-
\((y+4)(y-5)\)
Fator:\(q^{2}-2 q-15\)
- Resposta
-
\(\begin{array} {ll} &q^{2}-2 q-15\\ \text { Factors will be two binomials with first terms q. }& (q\qquad)(q\qquad)\\ \text { You can use }3,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (q+3)(q-5)\\ \end{array}\)
Fatores de −15 Soma dos fatores 1, −15 1+ (−15) =−14 −1,15 −1+15 = 14 3, −5 3+ (−5) =−2* −3,5 \(\begin{array}{ll}\text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(q+3)(q-5)} \\q^{2}-5 q+3 z-15 \\ q^{2}-2q-15\checkmark\end{array} \end{array}\)
Fator:\(r^{2}-3 r-40\)
- Resposta
-
\((r+5)(r-8)\)
Fator:\(s^{2}-3 s-10\)
- Resposta
-
\((s+2)(s-5)\)
Alguns trinômios são primos. A única maneira de ter certeza de que um trinômio é primordial é listar todas as possibilidades e mostrar que nenhuma delas funciona.
Fator:\(y^{2}-6 y+15\)
- Resposta
-
\(\begin{array}{ll}&y^{2}-6 y+15 \\ \text { Factors will be two binomials with first } & (y \qquad)(y\qquad) \\\text { terms y. } \end{array}\)
Fatores de 15 Soma dos fatores −1, −15 −1+ (−15) =−16 −3, −5 −3+ (−5) =−8 Conforme mostrado na tabela, nenhum dos fatores é adicionado a −6; portanto, a expressão é prima.
Fator:\(m^{2}+4 m+18\)
- Resposta
-
primo
Fator:\(n^{2}-10 n+12\)
- Resposta
-
primo
Fator:\(2 x+x^{2}-48\)
- Resposta
-
\(\begin{array}{ll}&2 x+x^{2}-48 \\ \text { First we put the terms in decreasing degree order. } & x^{2}+2 x-48 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms } x \text { . }& (x \qquad)(x\qquad) \end{array}\)
Conforme mostrado na tabela, você pode usar −6,8 como os últimos termos dos binômios.
\[(x-6)(x+8)\]
Fatores de −48 Soma dos fatores −1,48 −1+48 = 47 −2,24
−3,16
−4,12
−6,8−2+24 = 22
−3+16 = 13
−4+12 = 8
−6+8 = 2\(\begin{array}{l}{\text { Check. }} \\ {(x-6)(x+8)} \\ {x^{2}-6 q+8 q-48} \\ {x^{2}+2 x-48}\checkmark \end{array}\)
Fator:\(9 m+m^{2}+18\)
- Resposta
-
\((m+3)(m+6)\)
Fator:\(-7 n+12+n^{2}\)
- Resposta
-
\((n-3)(n-4)\)
Vamos resumir o método que acabamos de desenvolver para fatorar os trinômios da forma\(x^{2}+b x+c\)
Quando consideramos um trinômio, examinamos primeiro os sinais de seus termos para determinar os sinais dos fatores binomiais.
\[\begin{array}{c}{x^{2}+b x+c} \\ {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
Quando c é positivo, m e n têm o mesmo sinal.
\[\begin{array}{cc}{\text { b positive }} & {\text { b negative }} \\ {m, n \text { positive }} & {m, n \text { negative }} \\ {x^{2}+5 x+6} & {x^{2}-6 x+8} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x-4)(x-2)} \\ {\text { same signs }} & {\text { same signs }}\end{array}\]
Quando c é negativo, m e n têm sinais opostos.
\[\begin{array}{cc}{x^{2}+x-12} & {x^{2}-2 x-15} \\ {(x+4)(x-3)} & {(x-5)(x+3)} \\ {\text { opposite signs }} & {\text { opposite signs }}\end{array}\]
Observe que, no caso de m e n terem sinais opostos, o sinal daquele com o maior valor absoluto corresponde ao sinal de b.
Fator Trinômios da Forma x 2 + bxy + cy 2
Às vezes, você precisará fatorar os trinômios do formulário\(x^{2}+b x y+c y^{2}\) com duas variáveis, como\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\). O primeiro termo\(x^2\),, é o produto dos primeiros termos dos fatores binomiais,\(x \cdot x\). O\(y^2\) no último termo significa que os segundos termos dos fatores binomiais devem conter y. Para obter os coeficientes b e c, você usa o mesmo processo resumido no objetivo anterior.
Fator:\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\)
- Resposta
-
\(\begin{array}{ll }&x^{2}+12 x y+36 y^{2} \\ \text { Note that the first terms are } x, \text { last terms } &\left(x_{-} y\right)\left(x_{-} y\right) \\ \text { contain } y\end{array}\)
Encontre os números que se multiplicam por 36 e somam 12.
Fatores de 36 Soma dos fatores 1, 36 1+36 = 37 2, 18 2+18 = 20 3, 12 3+12 = 15 4, 9 4+9=13 6, 6 6+6=12* \(\begin{array}{ll}{\text { Use } 6 \text { and } 6 \text { as the coefficients of the last terms. }} & (x+6 y)(x+6 y)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(x+6 y)(x+6 y)} \\ {x^{2}+6 x y+6 x y+36 y^{2}} \\ {x^{2}+12 x y+36 y^{2}}\checkmark \end{array}\)
Fator:\(u^{2}+11 u v+28 v^{2}\)
- Resposta
-
\((u+4 v)(u+7 v)\)
Fator:\(x^{2}+13 x y+42 y^{2}\)
- Resposta
-
\((x+6 y)(x+7 y)\)
Fator:\(r^{2}-8 r s-9 s^{2}\)
- Resposta
-
Precisamos\(r\) no primeiro termo de cada binômio e\(s\) no segundo termo. O último termo do trinômio é negativo, então os fatores devem ter sinais opostos.
\(\begin{array}{ll }& r^{2}-8 r s-9 s^{2} \\ \text { Note that the first terms are } r, \text { last terms contain } s &\left(r_{-} s\right)\left(r_{-} s\right) \end{array}\)
Fatores de −9 Soma dos fatores 1, −9 1+ (−9) =−8* −1,9 −1+9=8 3, −3 3+ (−3) =0 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 1,-9 \text { as coefficients of the last terms. }&(r+s)(r-9 s)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(r-9 s)(r+s)} \\ {r^{2}+r s-9 r s-9 s^{2}} \\ {r^{2}-8 r s-9 s^{2}} \checkmark \end{array}\)
Fator:\(a^{2}-11 a b+10 b^{2}\)
- Resposta
-
\((a-b)(a-10 b)\)
Fator:\(m^{2}-13 m n+12 n^{2}\)
- Resposta
-
\((m-n)(m-12 n)\)
Fator:\(u^{2}-9 u v-12 v^{2}\)
- Resposta
-
Precisamos de u no primeiro termo de cada binômio e v no segundo termo. O último termo do trinômio é negativo, então os fatores devem ter sinais opostos.
\(\begin{array}{ll }& u^{2}-9 u v-12 v^{2} \\ \text { Note that the first terms are } u, \text { last terms contain } v &\left(u_{-} v\right)\left(u_{-} v\right) \end{array}\)
Encontre os números que se multiplicam para −12 e somam a −9.
Fatores de −12 Soma dos fatores 1 −12 1+ (−12) =−11 −1,12 −1+12 = 11 2, −6 2+ (−6) =−4 −2,6 −2+6=4 3, −4 3+ (−4) =−1 −3,4 −3+4=1 Observe que não há pares de fatores que nos forneçam −9 como soma. O trinômio é primordial.
Fator:\(x^{2}-7 x y-10 y^{2}\)
- Resposta
-
primo
Fator:\(p^{2}+15 p q+20 q^{2}\)
- Resposta
-
primo
Conceitos-chave
- Trinômios fatoriais da forma\(x^{2}+b x+c\)
- Escreva os fatores como dois binômios com os primeiros termos\(x\):\((x\qquad)(x\qquad)\)
- Encontre dois números\(m\) e\(n\)
multiplique para\(c\),\(m \cdot n=c\)
adicione a\(b\),\(m+n=b\) - Use\(m\) e\(n\) como os últimos termos dos fatores:\((x+m)(x+n)\).
- Verifique multiplicando os fatores.