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5.6: Representação gráfica de sistemas de desigualdades lineares

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Determine se um par ordenado é uma solução de um sistema de desigualdades lineares
    • Resolva um sistema de desigualdades lineares representando graficamente
    • Resolver aplicações de sistemas de desigualdades
    Nota

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Gráfico x>2 em uma reta numérica.
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.7.1.
    2. Resolva a desigualdade 2a<5a+12.
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.7.22.
    3. Determine se o par pedido\((3,\frac{1}{2})\) é uma solução para o sistema\(\left\{\begin{array}{l}{x+2 y=4} \\ {y=6 x}\end{array}\right.\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 5.1.1.

    Determine se um par ordenado é uma solução de um sistema de desigualdades lineares

    A definição de um sistema de desigualdades lineares é muito semelhante à definição de um sistema de equações lineares.

    SISTEMA DE DESIGUALDADES LINEARES

    Duas ou mais desigualdades lineares agrupadas formam um sistema de desigualdades lineares.

    Um sistema de desigualdades lineares parece um sistema de equações lineares, mas tem desigualdades em vez de equações. Um sistema de duas desigualdades lineares é mostrado abaixo.

    \[\left\{\begin{array}{l}{x+4 y \geq 10} \\ {3 x-2 y<12}\end{array}\right.\]

    Para resolver um sistema de desigualdades lineares, encontraremos valores das variáveis que são soluções para ambas as desigualdades. Resolvemos o sistema usando os gráficos de cada desigualdade e mostramos a solução como um gráfico. Encontraremos a região no plano que contém todos os pares ordenados (x, y) (x, y) que tornam ambas as desigualdades verdadeiras.

    SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE DESIGUALDADES LINEARES

    As soluções de um sistema de desigualdades lineares são os valores das variáveis que tornam todas as desigualdades verdadeiras.

    A solução de um sistema de desigualdades lineares é mostrada como uma região sombreada no sistema de coordenadas x-y que inclui todos os pontos cujos pares ordenados tornam as desigualdades verdadeiras.

    Para determinar se um par ordenado é uma solução para um sistema de duas desigualdades, substituímos os valores das variáveis em cada desigualdade. Se o par ordenado tornar as duas desigualdades verdadeiras, é uma solução para o sistema.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Determine se o par pedido é uma solução para o sistema. \(\left\{\begin{array}{l}{x+4 y \geq 10} \\ {3 x-2 y<12}\end{array}\right.\)

    1. (−2, 4)
    2. (3,1)
    Responda

    1. O par ordenado (−2, 4) é uma solução?
    Essa figura diz: “Substituímos x = -2 e y = 4 em ambas as desigualdades. A primeira desigualdade, x + 4 y é maior ou igual a 10 se torna -2 mais 4 vezes 4 é maior ou menor que 10 ou 14 é maior ou menor que 10, o que é verdade. A segunda desigualdade, 3x — 2y é menor que 12 se torna 3 vezes -2 — 2 vezes 4 é menor que 12 ou -14 é menor que 12, o que é verdade.

    O par ordenado (−2, 4) tornou ambas as desigualdades verdadeiras. Portanto, (−2, 4) é uma solução para esse sistema.

    2. O par ordenado (3,1) é uma solução?
    Essa figura diz: “Substituímos x 3 e y = 1 em ambas as desigualdades”. A primeira desigualdade, x + 4y é maior ou igual a 10, torna-se 3 + 4 vezes 1 é maior ou igual a 10 ou y é maior ou igual a 10, o que é falso. A segunda desigualdade, 3x -2y é menor que 12, torna-se 3 vezes 3 — duas vezes 1 é menor que 12 ou 7 é menor que 12, o que é verdade.

    O par ordenado (3,1) tornou uma desigualdade verdadeira, mas a outra falsa. Portanto, (3,1) não é uma solução para esse sistema.

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Determine se o par pedido é uma solução para o sistema. \(\left\{\begin{array}{l}{x-5 y>10} \\ {2 x+3 y>-2}\end{array}\right.\)

    1. (3, −1)
    2. (6, −3)
    Responda
    1. não
    2. sim
    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Determine se o par pedido é uma solução para o sistema. \(\left\{\begin{array}{l}{y>4 x-2} \\ {4 x-y<20}\end{array}\right.\)

    1. (2,1)
    2. (4, −1)
    Responda
    1. não
    2. não

    Resolva um sistema de desigualdades lineares por meio de gráficos

    A solução para uma única desigualdade linear é a região em um lado da linha limite que contém todos os pontos que tornam a desigualdade verdadeira. A solução para um sistema de duas desigualdades lineares é uma região que contém as soluções para ambas as desigualdades. Para encontrar essa região, representaremos graficamente cada desigualdade separadamente e, em seguida, localizaremos a região onde ambas são verdadeiras. A solução é sempre mostrada como um gráfico.

    Exercício\(\PageIndex{4}\): How to Solve a System of Linear inequalities

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{y \geq 2 x-1} \\ {y<x+1}\end{array}\right.\)

    Responda

    Esta é uma tabela com três colunas e várias linhas. A primeira linha diz: “Etapa 1: Faça um gráfico da primeira desigualdade. Vamos representar graficamente que y é maior ou igual a 2x — 1.” Existem duas equações dadas, y é maior ou igual a 2x — 1 e y é menor que x + 1. A tabela então diz: “Faça um gráfico da linha limite. Representamos graficamente a linha y = 2x — 1. É uma linha sólida porque o sinal de desigualdade é maior ou igual a. Sombreie o lado da linha limite onde a desigualdade é verdadeira. Escolhemos (0, 0) como ponto de teste. É uma solução para y ser maior ou igual a 2x — 1, então sombreamos no lado esquerdo da linha limite.” Há uma figura de uma linha representada graficamente em um plano de coordenadas x y. A área à esquerda da linha está sombreada.A segunda linha então diz: “Etapa 2: Na mesma grade, represente graficamente a segunda desigualdade. Vamos representar graficamente y é menor que x + 1 na mesma grade. Faça um gráfico da linha limite. Representamos graficamente a linha y = x + 1. É uma linha tracejada porque o sinal de desigualdade é menor que. Há um gráfico que mostra duas linhas representadas graficamente em um plano de coordenadas x y. A área à esquerda de uma linha está sombreada. A área à direita da segunda linha está sombreada. Há uma pequena área onde as áreas sombreadas se sobrepõem. A tabela então diz: “Sombreie o lado da linha limite onde a desigualdade é verdadeira. Novamente, usamos (0, 0) como ponto de teste. É uma solução, então sombreamos nesse lado da linha y = x + 1.A terceira linha então diz: “Etapa 3: A solução é a região onde o sombreamento se sobrepõe. O ponto em que as linhas limite se cruzam não é uma solução porque não é uma solução para y é menor que x + 1. A solução são todos os pontos na região sombreada de roxo.”A quarta linha então diz: “Etapa 4: Verifique escolhendo um ponto de teste. Usaremos (-1, -1) como ponto de teste. (-1, -1) uma solução para y é maior ou igual a 2x — 1? -1 é maior ou igual a 2 vezes -1 — 1 ou -1 é maior ou igual a -3 verdadeiro.”

    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{y<3 x+2} \\ {y>-x-1}\end{array}\right.\)

    Responda

    Esta figura mostra que um gráfico em um plano de coordenadas x y de y é menor que 3x +2 e y é maior que —x — 1. A área à direita de cada linha é sombreada com cores ligeiramente diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor ligeiramente diferente. Ambas as linhas são pontilhadas.

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{y<-\frac{1}{2} x+3} \\ {y<3 x-4}\end{array}\right.\)

    Responda

    Esta figura mostra que um gráfico em um plano de coordenadas x y de y é menor que — (1/2) x + 3 e y é menor que 3x — 4. A área à direita ou abaixo de cada linha é sombreada com cores ligeiramente diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor ligeiramente diferente. Ambas as linhas são pontilhadas.

    RESOLVA UM SISTEMA DE DESIGUALDADES LINEARES REPRESENTANDO GRAFICAMENTE.
    1. Faça um gráfico da primeira desigualdade.
      • Faça um gráfico da linha limite.
      • Sombreie o lado da linha limite onde a desigualdade é verdadeira.
    2. Na mesma grade, represente graficamente a segunda desigualdade.
      • Faça um gráfico da linha limite.
      • Sombreie o lado dessa linha limite onde a desigualdade é verdadeira.
    3. A solução é a região onde o sombreamento se sobrepõe.
    4. Verifique escolhendo um ponto de teste.
    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{x-y>3} \\ {y<-\frac{1}{5} x+4}\end{array}\right.\)

    Responda
    Faça um gráfico de x − y > 3, representando graficamente x − y = 3 e
    testando um ponto.

    Os interceptos são x = 3 e y = −3 e a
    linha limite será tracejada.

    Teste (0, 0). Isso torna a desigualdade falsa. Então,
    sombreie o lado que não contém (0, 0) vermelho.    		 .
    Faça um gráfico de y<−15x+4 representando graficamente y=−15x+4
    usando a inclinação m=−15 e y −intercept
    b = 4. A linha limite será tracejada.

    Teste (0, 0). Isso torna a desigualdade verdadeira, então sombreie o lado que contém (0, 0) azul.

    Escolha um ponto de teste na solução e verifique se é uma solução para ambas as desigualdades.    		 .
    O ponto de interseção das duas linhas não está incluído, pois ambas as linhas limite foram tracejadas. A solução é a área sombreada duas vezes, que é a região mais escura.
    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{x+y \leq 2} \\ {y \geq \frac{2}{3} x-1}\end{array}\right.\)

    Responda

    Esta figura mostra um gráfico em um plano de coordenadas x y de x + y é menor ou igual a 2 e y é maior ou igual a (2/3) x — 1. A área à esquerda de cada linha é sombreada com cores diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor diferente.

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y \leq 6} \\ {y>-\frac{1}{4} x+5}\end{array}\right.\)

    Responda

    Esta figura mostra um gráfico em um plano de coordenadas x y 3 de 3x — 2y é menor ou igual a 6 e y é maior que — (1/4) x + 5. A área à esquerda ou acima de cada linha é sombreada com cores ligeiramente diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor ligeiramente diferente. Uma linha está pontilhada.

    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{x-2 y<5} \\ {y>-4}\end{array}\right.\)

    Responda



    Faça um gráfico de x−2y<5, representando graficamente x−2y=5 e testando um ponto.
    Os interceptos são x = 5 e y = −2,5 e a linha limite será tracejada.

    Teste (0, 0). Isso torna a desigualdade verdadeira. Então, sombreie o lado
    que contém (0, 0) vermelho.    		 .



    Faça um gráfico de y > −4, representando graficamente y = −4 e reconhecendo que é uma linha
    horizontal que passa por y = −4. A linha limite será tracejada.

    Teste (0, 0). Isso torna a desigualdade verdadeira. Então, sombreie (azul)
    o lado que contém (0, 0) azul.    		 .

    O ponto (0, 0) está na solução e já descobrimos que é uma solução para cada desigualdade. O ponto de interseção das duas linhas não está incluído, pois ambas as linhas limite foram tracejadas.

    A solução é a área sombreada duas vezes, que é a região mais escura.

    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{y \geq 3 x-2} \\ {y<-1}\end{array}\right.\)

    Responda

    Esta figura mostra que um gráfico em um plano de coordenadas x y de y é maior ou igual a 3x - 2 e y é menor que -1. A área à esquerda ou abaixo de cada linha é sombreada com cores diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor diferente. Uma linha está pontilhada.

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{x>-4} \\ {x-2 y \leq-4}\end{array}\right.\)

    Responda

    Esta figura mostra um gráfico em um plano de coordenadas x y de x é maior que menos 4 e x — 2y é menor ou igual a menos 4. A área à direita ou abaixo de cada linha é sombreada com cores ligeiramente diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor ligeiramente diferente. Uma linha está pontilhada.

    Sistemas de desigualdades lineares em que as linhas limite são paralelas podem não ter solução. Veremos isso em Example\(\PageIndex{13}\).

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{4 x+3 y \geq 12} \\ {y<-\frac{4}{3} x+1}\end{array}\right.\)

    Responda
    Faça um gráfico\(4x+3y\geq 12\), representando graficamente 4x+3y=12 e testando um ponto.
    Os interceptos são x = 3 e y = 4 e a linha limite será sólida.

    Teste (0, 0). Isso torna a desigualdade falsa. Então,
    sombreie o lado que não contém (0, 0) vermelho.    		 .
    Faça um gráfico\(y<−\frac{4}{3}x+1\) representando graficamente\(y=−\frac{4}{3}x+1\) usando a
    inclinação\(m = \frac{4}{3}\) e o intercepto y b = 1. A linha limite será tracejada.

    Teste (0, 0). Isso torna a desigualdade verdadeira. Então,
    sombreie o lado que contém (0, 0) azul.    		 .
    Não adianta nas duas regiões sombreadas, então o sistema não tem solução. Esse sistema não tem solução.
    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y \leq 12} \\ {y \geq \frac{3}{2} x+1}\end{array}\right.\)

    Responda

    sem solução

    Esta figura mostra um gráfico em um plano de coordenadas x y de 3x — 2y é menor ou igual a 12 e y é maior ou igual a (3/2) x + 1. A área à esquerda ou à direita de cada linha tem cores diferentes sombreadas. Não há área sobreposta.

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{x+3 y>8} \\ {y<-\frac{1}{3} x-2}\end{array}\right.\)

    Responda

    sem solução

    Esta figura mostra um gráfico em um plano de coordenadas x y de x + 3y é maior que 8 e y é menor que — (1/3) x — 2. A área acima ou abaixo de cada linha está sombreada com cores ligeiramente diferentes. Não há área sobreposta. Ambas as linhas são pontilhadas.

    Exercício\(\PageIndex{16}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{y>\frac{1}{2} x-4} \\ {x-2 y<-4}\end{array}\right.\)

    Responda
    Faça um gráfico\(y>\frac{1}{2}x−4\) representando graficamente\(y=\frac{1}{2}x−4\)
    usando a inclinação\(m=\frac{1}{2}\) e o intercepto
    b = −4. A linha limite será tracejada.
    Teste (0, 0). Isso torna a desigualdade verdadeira. Então,
    sombreie o lado que contém (0, 0) vermelho.    		 .
    Grafe x−2y<−4x−2y<−4 representando graficamente x−2y=−4x−2y=−4 e testando um ponto.
    Os interceptos são x = −4 e y = 2 e a
    linha limite será tracejada.

    Escolha um ponto de teste na solução e
    verifique se é uma solução para ambas as desigualdades.    		 .

    Nenhum ponto nas linhas de limite está incluído na solução, pois ambas as linhas são tracejadas.

    A solução é a região sombreada duas vezes, que também é a solução para x−2y<−4.

    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{y \geq 3 x+1} \\ {-3 x+y \geq-4}\end{array}\right.\)

    Responda

    \(y \geq 3 x+1\)

    Esta figura mostra que um gráfico em um plano de coordenadas x y de y é maior ou igual a 3x + 1 e -3x + y é maior ou igual a -4. A área à esquerda de cada linha é sombreada com a área sobreposta sombreada com uma cor ligeiramente diferente.

    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Resolva o sistema representando graficamente. \(\left\{\begin{array}{l}{y \leq-\frac{1}{4} x+2} \\ {x+4 y \leq 4}\end{array}\right.\)

    Responda

    \(x+4 y \leq 4\)

    Esta figura mostra que um gráfico em um plano de coordenadas x y de y é menor ou igual a — (1/4) x + 2 e x + 4y é menor ou igual a 4. A área abaixo de cada linha é sombreada com a área sobreposta sombreada com uma cor ligeiramente diferente.

    Resolva aplicações de sistemas de desigualdades

    A primeira coisa que precisaremos fazer para resolver aplicações de sistemas de desigualdades é traduzir cada condição em uma desigualdade. Em seguida, representamos graficamente o sistema como fizemos acima para ver a região que contém as soluções. Muitas situações serão realistas somente se ambas as variáveis forem positivas, então seus gráficos mostrarão apenas o Quadrante I.

    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    Christy vende suas fotos em um estande em uma feira de rua. No início do dia, ela quer ter pelo menos 25 fotos para exibir em seu estande. Cada foto pequena que ela exibe custa $4 e cada foto grande custa $10. Ela não quer gastar mais do que $200 em fotos para exibir.

    1. Escreva um sistema de desigualdades para modelar essa situação.
    2. Faça um gráfico do sistema.
    3. Ela poderia exibir 15 fotos pequenas e 5 grandes?
    4. Ela poderia exibir 3 fotos grandes e 22 pequenas?
    Responda

    1. Seja x = o número de fotos pequenas.

    y= o número de fotos grandes
    Para encontrar o sistema de desigualdades, traduza as informações.
    \(\begin{array}{c}{\text { She wants to have at least } 25 \text { photos. }} \\ {\text { The number of small plus the number of large should be at least } 25 .} \\ {x+y \geq 25} \\ {\$ 4 \text { for each small and } \$ 10 \text { for each large must be no more than } \$ 200} \\ {4 x+10 y \leq 200}\end{array}\)
    Temos nosso sistema de desigualdades. \(\left\{\begin{array}{l}{x+y \geq 25} \\ {4 x+10 y \leq 200}\end{array}\right.\)

    2.

    Para representar graficamente\(x+y\geq 25\), represente graficamente x + y = 25 como uma linha sólida.
    Escolha (0, 0) como ponto de teste. Como isso não torna a desigualdade
    verdadeira, sombreie o lado que não inclui o ponto (0, 0) em vermelho.

    Para representar graficamente\(4x+10y\leq 200\), represente graficamente 4 x + 10 y = 200 como uma linha sólida.
    Escolha (0, 0) como ponto de teste. Como isso não torna a desigualdade
    verdadeira, sombreie o lado que inclui o ponto (0, 0) em azul.    		 .

    A solução do sistema é a região do gráfico que tem sombreamento duplo e, portanto, é sombreada de forma mais escura.

    3. Para determinar se 10 fotos pequenas e 20 grandes funcionariam, vemos se o ponto (10, 20) está na região da solução. Não é. Christy não mostraria 10 fotos pequenas e 20 grandes.

    4. Para determinar se 20 fotos pequenas e 10 grandes funcionariam, vemos se o ponto (20, 10) está na região da solução. É isso. Christy pode optar por exibir 20 fotos pequenas e 10 grandes.

    Observe que também podemos testar as soluções possíveis substituindo os valores em cada desigualdade.

    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    Um trailer pode carregar um peso máximo de 160 libras e um volume máximo de 15 pés cúbicos. Um forno de microondas pesa 30 libras e tem 2 pés cúbicos de volume, enquanto uma impressora pesa 20 libras e tem 3 pés cúbicos de espaço.

    1. Escreva um sistema de desigualdades para modelar essa situação.
    2. Faça um gráfico do sistema.
    3. 4 microondas e 2 impressoras poderiam ser transportadas neste trailer?
    4. 7 microondas e 3 impressoras poderiam ser transportadas neste trailer?
    Responda
    1. \(\left\{\begin{array}{l}{30 m+20 p \leq 160} \\ {2 m+3 p \leq 15}\end{array}\right.\)

    Esta figura mostra que um gráfico em um plano de coordenadas x y de 30m + 20p é menor ou igual a 160 e 2m + 3p é menor ou igual a 15. A área à esquerda de cada linha é sombreada com a área sobreposta sombreada com uma cor ligeiramente diferente.

    3. sim

    4. não

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    Mary precisa comprar suprimentos de folhas de respostas e lápis para um teste padronizado a ser dado aos juniores de seu ensino médio. O número de folhas de respostas necessárias é pelo menos 5 a mais do que o número de lápis. Os lápis custam $2 e as folhas de respostas custam $1. O orçamento de Mary para esses suprimentos permite um custo máximo de $400.

    1. Escreva um sistema de desigualdades para modelar essa situação.
    2. Faça um gráfico do sistema.
    3. Mary poderia comprar 100 lápis e 100 folhas de respostas?
    4. Mary poderia comprar 150 lápis e 150 folhas de respostas?
    Responda
    1. \(\left\{\begin{array}{l}{a \geq p+5} \\ {a+2 p \leq 400}\end{array}\right.\)

    Esta figura mostra que um gráfico em um plano de coordenadas x y de a é maior ou igual a p + 5 e a + 2p é menor ou igual a 400. A área à esquerda de cada linha é sombreada com cores diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor diferente.

    3. não

    4. não

    Exercício\(\PageIndex{22}\)

    Omar precisa ingerir pelo menos 800 calorias antes de ir para o treino em equipe. Tudo o que ele quer são hambúrgueres e biscoitos, e ele não quer gastar mais do que $5. No restaurante de hambúrguer perto de sua faculdade, cada hambúrguer tem 240 calorias e custa $1,40. Cada biscoito tem 160 calorias e custa $0,50.

    1. Escreva um sistema de desigualdades para modelar essa situação.
    2. Faça um gráfico do sistema.
    3. Ele poderia comer 1 biscoito e 3 hambúrgueres?
    4. Ele poderia comer 4 biscoitos e 2 hambúrgueres?
    Responda

    Seja h = o número de hambúrgueres.
    c= o número de cookies
    Para encontrar o sistema de desigualdades, traduza as informações.
    As calorias dos hambúrgueres com 240 calorias cada, mais as calorias dos biscoitos com 160 calorias cada, devem ser superiores a 800.

    \[240 h+160 c \geq 800\]

    O valor gasto em hambúrgueres a $1,40 cada, mais o valor gasto em biscoitos de $0,50 cada, não deve ser superior a $5,00.

    \[1.40 h+0.50 c \leq 5\]

    \(\text { We have our system of inequalities. } \quad \left\{\begin{array}{l}{240 h+160 c \geq 800} \\ {1.40 h+0.50 c \leq 5}\end{array}\right.\)

    2.

    Para representar\(240h+160c\geq 800\) graficamente o gráfico 240h+160c=800 como uma linha sólida.
    Escolha (0, 0) como ponto de teste. Isso não torna a desigualdade verdadeira.
    Então, sombreie (vermelho) o lado que não inclui o ponto (0, 0).


    Para representar graficamente\(1.40 h+0.50 c \leq 5\), represente graficamente 1,40h+0,50c=5 como uma linha sólida.
    Escolha (0,0) como ponto de teste. Isso torna a desigualdade verdadeira. Então, sombreie
    (azul) o lado que inclui o ponto.

    Exemplo 5.58.jpg

    A solução do sistema é a região do gráfico que tem sombreamento duplo e, portanto, é sombreada de forma mais escura.

    3. Para determinar se 1 biscoito e 3 hambúrgueres atenderiam aos critérios de Omar, vemos se o ponto (1, 3) está na região da solução. Não é.
    4. Para determinar se 4 biscoitos e 2 hambúrgueres atenderiam aos critérios de Omar, vemos se o ponto (4, 2) está na região da solução. É isso. Ele pode escolher comer 4 biscoitos e 2 hambúrgueres.

    Também poderíamos testar as soluções possíveis substituindo os valores em cada desigualdade.

    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    A tensão precisa ingerir pelo menos 1.000 calorias extras por dia para se preparar para correr uma maratona. Ele tem apenas $25 para gastar com a comida extra de que precisa e vai gastá-la em donuts de $0,75 com 360 calorias cada e $2 em bebidas energéticas com 110 calorias.

    1. Escreva um sistema de desigualdades que modele essa situação.
    2. Faça um gráfico do sistema.
    3. Ele pode comprar 8 donuts e 4 bebidas energéticas?
    4. Ele pode comprar 1 donut e 3 bebidas energéticas?
    Responda
    1. \(\left\{\begin{array}{l}{0.75 d+2 e \leq 25} \\ {360 d+110 e \geq 1000}\end{array}\right.\)

    Esta figura mostra que um gráfico em um plano de coordenadas x y de 0,75d + 2e é menor ou igual a 25 e 360d + 110e é maior ou igual a 1000. A área à esquerda ou à direita de cada linha é sombreada com cores ligeiramente diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor ligeiramente diferente.

    3. sim

    4. não

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    O médico de Philip diz que ele deve adicionar pelo menos 1000 calorias a mais por dia à sua dieta habitual. Philip quer comprar barras de proteína que custam $1,80 cada e têm 140 calorias e suco que custa $1,25 por garrafa e tem 125 calorias. Ele não quer gastar mais do que $12.

    1. Escreva um sistema de desigualdades que modele essa situação.
    2. Faça um gráfico do sistema.
    3. Ele pode comprar 3 barras de proteína e 5 garrafas de suco?
    4. Ele pode comprar 5 barras de proteína e 3 garrafas de suco?
    Responda
    1. \(\left\{\begin{array}{l}{140 p+125 j \geq 1000} \\ {1.80 p+1.25 j \leq 12}\end{array}\right.\)

    Esta figura mostra um gráfico em um plano de coordenadas x y de 140p + 125j é maior ou igual a 1000 e 1,80p + 1,25j é menor ou igual a 12. A área à esquerda ou à direita de cada linha é sombreada com cores ligeiramente diferentes, com a área sobreposta também sombreada com uma cor ligeiramente diferente.

    3. sim

    4. não

    Nota

    Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com sistemas gráficos de desigualdades lineares.

    • Sistema gráfico de desigualdades
    • Sistemas de desigualdades
    • Resolvendo sistemas de desigualdades lineares por meio de gráficos

    Conceitos-chave

    • Para resolver um sistema de desigualdades lineares por meio de gráficos
      1. Faça um gráfico da primeira desigualdade.
        • Faça um gráfico da linha limite.
        • Sombreie o lado da linha limite onde a desigualdade é verdadeira.
      2. Na mesma grade, represente graficamente a segunda desigualdade.
        • Faça um gráfico da linha limite.
        • Sombreie o lado dessa linha limite onde a desigualdade é verdadeira.
      3. A solução é a região onde o sombreamento se sobrepõe.
      4. Verifique escolhendo um ponto de teste.

    Glossário

    sistema de desigualdades lineares
    Duas ou mais desigualdades lineares agrupadas formam um sistema de desigualdades lineares.