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4.2: Representar graficamente equações lineares em duas variáveis

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Reconheça a relação entre as soluções de uma equação e seu gráfico.
    • Faça um gráfico de uma equação linear traçando pontos.
    • Faça um gráfico de linhas verticais e horizontais
    Nota

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Avalie\(3x+2\) quando\(x=−1\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.5.34.
    2. Resolva\(3x+2y=12\) para y em geral.
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.6.16.

    Reconhecer a relação entre as soluções de uma equação e seu gráfico

    Na seção anterior, encontramos várias soluções para a equação\(3x+2y=6\). Eles estão listados na Tabela\(\PageIndex{1}\). Então, os pares ordenados (0,3), (2,0) e\((1,\frac{3}{2})\) são algumas soluções para a equação\(3x+2y=6\). Podemos traçar essas soluções no sistema de coordenadas retangulares, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\).

    Tabela\(\PageIndex{1}\)
    3x+2y=6
    x y (x, y)
    0 3 (0,3)
    2 0 (2,0)
    1 \(\frac{3}{2}\) \((1, \frac{3}{2})\)
    A figura mostra quatro pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os quatro pontos em (0, 3), (1, três metades), (2, 0) e (4, menos 3). Os quatro pontos parecem se alinhar ao longo de uma linha reta.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Percebe como os pontos se alinham perfeitamente? Conectamos os pontos com uma linha para obter o gráfico da equação 3x+2y=6. Veja a Figura\(\PageIndex{2}\). Observe as setas nas extremidades de cada lado da linha. Essas setas indicam que a linha continua.

    A figura mostra uma linha reta traçada através de quatro pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os quatro pontos em (0, 3), (1, três metades), (2, 0) e (4, menos 3). Uma linha reta com inclinação negativa passa por todos os quatro pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a borda da figura. A linha é rotulada com a equação 3x mais 2y é igual a 6.
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Cada ponto na linha é uma solução da equação. Além disso, toda solução dessa equação é um ponto nessa linha. Pontos que não estão em jogo não são soluções.

    Observe que o ponto cujas coordenadas são (−2,6) está na linha mostrada na Figura\(\PageIndex{3}\). Se você substituir x=−2 e y=6 na equação, verá que é uma solução para a equação.

    A figura mostra uma linha reta e dois pontos e no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os dois pontos e são rotulados pelas coordenadas “(menos 2, 6)” e “(4, 1)”. A linha reta passa pelo ponto (menos 2, 6), mas não passa pelo ponto (4, 1).
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    A figura mostra uma série de equações para verificar se o par ordenado (menos 2, 6) é uma solução para a equação 3x mais 2y é igual a 6. A primeira linha diz “Teste (menos 2, 6)”. O negativo 2 é colorido em azul e o 6 é vermelho. A segunda linha afirma que a equação de duas variáveis 3x mais 2y é igual a 6. A terceira linha mostra o par ordenado substituído na equação de duas variáveis, resultando em 3 (menos 2) mais 2 (6) igual a 6, onde o menos 2 é colorido em azul para mostrar que é o primeiro componente no par ordenado e o 6 é vermelho para mostrar que é o segundo componente no par ordenado. A quarta linha é a equação simplificada menos 6 mais 12 é igual a 6. A quinta linha é a equação ainda mais simplificada 6igual6. Uma marca de verificação é escrita ao lado da última equação para indicar que é uma afirmação verdadeira e mostrar que (menos 2, 6) é uma solução para a equação 3x mais 2y é igual a 6.

    Portanto, o ponto (−2,6) é uma solução para a equação\(3x+2y=6\). (A frase “o ponto cujas coordenadas são (−2,6)” geralmente é abreviada para “o ponto (−2,6).”)

    A figura mostra uma série de equações para verificar se o par ordenado (4, 1) é uma solução para a equação 3x mais 2y é igual a 6. A primeira linha diz “E quanto a (4, 1)?”. O 4 é colorido em azul e o 1 é vermelho. A segunda linha afirma que a equação de duas variáveis 3x mais 2y é igual a 6. A terceira linha mostra o par ordenado substituído na equação de duas variáveis, resultando em 3 (4) mais 2 (1) igual a 6, onde o 4 é colorido em azul para mostrar que é o primeiro componente no par ordenado e o 1 é vermelho para mostrar que é o segundo componente no par ordenado. A quarta linha é a equação simplificada 12 mais 2 é igual a 6. Um ponto de interrogação é colocado acima do sinal de igual para indicar que não se sabe se a equação é verdadeira ou falsa. A quinta linha é a declaração simplificada adicional 14 não igual a 6. Um sinal de “não é igual” é escrito entre os dois números e parece um sinal de igual com uma barra cruzada.
    Figura\(\PageIndex{3}\). Este é um exemplo do ditado: “Uma imagem vale mais que mil palavras”. A linha mostra todas as soluções para a equação. Cada ponto na linha é uma solução da equação. E, cada solução dessa equação está nessa linha. Essa linha é chamada de gráfico da equação\(3x+2y=6\).
    GRÁFICO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
    O gráfico de uma equação linear Ax+By=C é uma linha.
    • Cada ponto na linha é uma solução da equação.
    • Cada solução dessa equação é um ponto nessa linha.
    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    O gráfico de y=2x−3 é mostrado.

    A figura mostra uma linha reta no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. A linha reta tem uma inclinação positiva e passa pelo eixo y no (0, menos 3). A linha é rotulada com a equação y igual a 2x menos 3.

    Para cada par pedido, decida:

    1. O par ordenado é uma solução para a equação?
    2. O ponto está na linha?

    A (0, −3) B (3,3) C (2, −3) D (−1, −5)

    Resposta

    Substitua os valores x e y na equação para verificar se o par ordenado é uma solução para a equação.

    1.
    A figura mostra uma série de equações para verificar se os pares ordenados (0, menos 3), (3, 3), (2, menos 3) e (menos 1, menos 5) são soluções para a equação y é igual a 2x menos 3. A primeira linha indica os pares ordenados com os rótulos A: (0, menos 3), B: (3, 3), C: (2, menos 3) e D: (menos 1, menos 5). Os primeiros componentes são de cor azul e os segundos componentes são vermelhos. A segunda linha afirma que a equação y de duas variáveis é igual a 2x menos 3. A terceira linha mostra os quatro pares ordenados substituídos na equação de duas variáveis, resultando em quatro equações. A primeira equação é menos 3 igual a 2 (0) menos 3, onde o 0 é a pista colorida e o menos 3 no lado esquerdo da equação é colorido em vermelho. A segunda equação é 3 igual a 2 (3) menos 3, onde o 3 entre parênteses é uma pista colorida e o 3 no lado esquerdo da equação é colorido em vermelho. A terceira equação é menos 3 igual a 2 (2) menos 3, onde o 2 entre parênteses é uma pista colorida e o menos 3 no lado esquerdo da equação é colorido em vermelho. A quarta equação é menos 5 igual a 2 (menos 1) menos 3, onde o menos 1 é uma pista colorida e o menos 5 é colorido em vermelho. Os pontos de interrogação são colocados acima de todos os sinais iguais para indicar que não se sabe se as equações são verdadeiras ou falsas. A quarta linha mostra as versões simplificadas das quatro equações. O primeiro é menos 3 igual a menos 3 com uma marca de verificação indicando que (0, menos 3) é uma solução. O segundo é 3 igual a 3 com uma marca de verificação indicando que (3, 3) é uma solução. O terceiro é menos 3 e não é igual a 1, indicando que (2, menos 3) não é uma solução. O quarto é menos 5 igual a menos 5 com uma marca de verificação indicando que (menos 1, menos 5) é uma solução.
    2. Faça um gráfico dos pontos A (0,3), B (3,3), C (2, −3) e D (−1, −5).
    A figura mostra uma linha reta e quatro pontos e no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os dois pontos e são rotulados pelas coordenadas (menos 1, menos 5), (0, menos 3), (2, menos 3) e (3, 3). A linha reta, rotulada com a equação y igual a 2x menos 3, passa pelos três pontos (menos 1, menos 5), (0, menos 3) e (3, 3), mas não passa pelo ponto (2, menos 3).

    Os pontos que são soluções para y=2x−3 estão na linha, mas o ponto que não é uma solução não está na linha.

    Os pontos (0,3), (3,3) e (−1, −5) estão na linha y=2x−3, e o ponto (2, −3) não está na linha.

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Use o gráfico de y=3x−1 para decidir se cada par ordenado é:

    • uma solução para a equação.
    • na linha.
    1. (0, −1)
    2. (2,5)

    A figura mostra uma linha reta no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. A linha reta passa pelo ponto (menos 2, menos 7) e para cada 3 unidades que sobe, vai uma unidade para a direita. A linha é rotulada com a equação y igual a 3x menos 1.

    Resposta
    1. sim, sim
    2. sim, sim
    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Use o gráfico de y=3x−1 para decidir se cada par ordenado é:

    • uma solução para a equação
    • na linha
    1. (3, −1)
    2. (−1, −4)

    A figura mostra uma linha reta no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. A linha reta passa pelo ponto (menos 2, menos 7) e para cada 3 unidades que sobe, vai uma unidade para a direita. A linha é rotulada com a equação y igual a 3x menos 1.

    Resposta
    1. não, não
    2. sim, sim

    Representar graficamente uma equação linear traçando pontos

    Existem vários métodos que podem ser usados para representar graficamente uma equação linear. O método que usamos para representar graficamente 3x+2y=6 é chamado de plotagem de pontos ou método de plotagem de pontos.

    Exercício\(\PageIndex{4}\): How To Graph an Equation By Plotting Points

    Faça um gráfico da equação y=2x+1 representando graficamente os pontos.

    Resposta

    A figura mostra o procedimento de três etapas para representar graficamente uma linha da equação usando o exemplo de equação y igual a 2x menos 1. O primeiro passo é “Encontrar três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação”. Organize as soluções em uma tabela”. A observação é feita: “Você pode escolher qualquer valor para x ou y. Nesse caso, como y está isolado no lado esquerdo da equação, é mais fácil escolher valores para x”. O trabalho da primeira etapa do exemplo é mostrado por meio de uma série de equações alinhadas verticalmente. De cima para baixo, as equações são y igual a 2x mais 1, x é igual a 0 (onde o 0 é azul), y é igual a 2x mais 1, y é igual a 2 (0) mais 1 (onde o 0 é azul), y é igual a 0 mais 1, y é igual a 1, x é igual a 1 (onde o 1 é azul), y é igual a 2x mais 1, y é igual a 2 (1) mais 1 (onde o 1 é azul), y é igual a 2 mais 1, y é igual a 3, x é igual a menos 2 (onde o menos 2 é azul), y é igual a 2x mais 1, y é igual a 2 (menos 2) mais 1 (onde o negativo 2 é azul), y é igual a menos 4 mais 1, y é igual a menos 3. O trabalho é então organizado em uma tabela. A tabela tem 5 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de título com a equação y igual a 2x mais 1. A segunda linha é uma linha de cabeçalho e rotula cada coluna. O cabeçalho da primeira coluna é “x”, o segundo é “y” e o terceiro é “(x, y)”. Sob a primeira coluna estão os números 0, 1 e menos 2. Sob a segunda coluna estão os números 1, 3 e menos 3. Abaixo da terceira coluna estão os pares ordenados (0, 1), (1, 3) e (menos 2, menos 3).O segundo passo é “Traçar” os pontos em um sistema de coordenadas retangulares. Verifique se os pontos estão alinhados. Se não o fizerem, verifique cuidadosamente seu trabalho!” Para o exemplo, os pontos são (0, 1), (1, 3) e (menos 2, menos 3). Um gráfico mostra os três pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos em (0, 1), (1, 3) e (menos 2, menos 3). A pergunta “Os pontos se alinham?” é declarado e seguido pela resposta “Sim, os pontos se alinham”.A terceira etapa do procedimento é “Desenhe a linha através dos três pontos. Estenda a linha para preencher a grade e coloque setas nas duas extremidades da linha.” Um gráfico mostra uma linha reta traçada através de três pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos em (0, 1), (1, 3) e (menos 2, menos 3). Uma linha reta passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a borda da figura. A linha é rotulada com a equação y igual a 2x mais 1. A declaração “Esta linha é o gráfico de y igual a 2x mais 1” está incluída ao lado do gráfico.

    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Faça um gráfico da equação traçando pontos: y=2x−3.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. A linha reta passa pelos pontos (menos 2, menos 7), (menos 1, menos 5), (0, menos 3), (1, menos 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5) e (5, 7). Há setas nas extremidades da linha apontando para a parte externa da figura.

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Faça um gráfico da equação traçando pontos: y=−2x+4.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. A linha reta passa pelos pontos (menos 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, menos 2), (4, menos 4) e (5, menos 6). Há setas nas extremidades da linha apontando para a parte externa da figura.

    As etapas a serem seguidas ao representar graficamente uma equação linear traçando pontos estão resumidas abaixo.

    REPRESENTAR GRAFICAMENTE UMA EQUAÇÃO LINEAR TRAÇANDO PONTOS
    1. Encontre três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Organize-os em uma mesa.
    2. Faça um gráfico dos pontos em um sistema de coordenadas retangular. Verifique se os pontos estão alinhados. Se não o fizerem, verifique cuidadosamente seu trabalho.
    3. Desenhe a linha através dos três pontos. Estenda a linha para preencher a grade e coloque setas nas duas extremidades da linha.

    É verdade que são necessários apenas dois pontos para determinar uma linha, mas é um bom hábito usar três pontos. Se você traçar apenas dois pontos e um deles estiver incorreto, você ainda poderá desenhar uma linha, mas ela não representará as soluções para a equação. Será a linha errada.

    Se você usar três pontos e um estiver incorreto, os pontos não se alinharão. Isso indica que algo está errado e você precisa verificar seu trabalho. Veja a diferença entre a parte (a) e a parte (b) na Figura\(\PageIndex{4}\).

    A Figura a mostra três pontos com uma linha reta passando por eles. A Figura b mostra três pontos que não estão na mesma linha.
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Vamos fazer outro exemplo. Desta vez, mostraremos as duas últimas etapas em uma grade.

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Faça um gráfico da equação y=−3x.

    Resposta

    Encontre três pontos que são soluções para a equação. Aqui, novamente, é mais fácil escolher valores para x. Você entende por quê?

    A figura mostra três conjuntos de equações usados para determinar pares ordenados a partir da equação y igual a menos 3x. O primeiro conjunto tem as equações: x é igual a 0 (onde o 0 é azul), y é igual a menos 3x, y é igual a menos 3 (0) (onde o 0 é azul), y é igual a 0. O segundo conjunto tem as equações: x é igual a 1 (onde o 1 é azul), y é igual a menos 3x, y é igual a menos 3 (1) (onde o 1 é azul), y é igual a menos 3. O terceiro conjunto tem as equações: x é igual a menos 2 (onde o menos 2 é azul), y é igual a menos 3x, y é igual a menos 3 (menos 2) (onde o menos 2 é azul), y é igual a 6.

    Listamos os pontos na Tabela\(\PageIndex{2}\).

    Tabela\(\PageIndex{2}\)
    y=−3x
    x y (x, y)
    0 0 (0,0)
    1 −3 (1, −3)
    −2 6 (−2,6)

    Faça um gráfico dos pontos, verifique se eles estão alinhados e desenhe a linha.

    A figura mostra uma linha reta traçada através de três pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (menos 2, 6), (0, 0) e (1, menos 3). Uma linha reta passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação y igual a menos 3x.

    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Faça um gráfico da equação traçando pontos: y=−4x.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 2, 8), (0, 0) e (2, menos 8). A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Faça um gráfico da equação traçando pontos: y=x.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 8, menos 8), (menos 6, menos 6), (menos 4, menos 4), (menos 2, menos 2), (0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6) e (8, 8). A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Quando uma equação inclui uma fração como coeficiente de x, ainda podemos substituir qualquer número por x. Mas a matemática é mais fácil se fizermos “boas” escolhas para os valores de x. Dessa forma, evitaremos respostas fracionárias, que são difíceis de representar graficamente com precisão.

    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Faça um gráfico da equação\(y = \frac{1}{2}x + 3\).

    Resposta

    Encontre três pontos que são soluções para a equação. Como essa equação tem a fração\(\frac{1}{2}\) como coeficiente de x, escolheremos os valores de x com cuidado. Usaremos zero como uma opção e múltiplos de 2 para as outras opções. Por que múltiplos de 2 são uma boa opção para valores de x?

    A figura mostra três conjuntos de equações usados para determinar pares ordenados a partir da equação y é igual a (metade) x mais 3. O primeiro conjunto tem as equações: x é igual a 0 (onde o 0 é azul), y é igual a (metade) x mais 3, y é igual a (metade) (0) mais 3 (onde o 0 é azul), y é igual a 0 mais 3, y é igual a 3. O segundo conjunto tem as equações: x é igual a 2 (onde o 2 é azul), y é igual a (metade) x mais 3, y é igual a (metade) (2) mais 3 (onde o 2 é azul), y é igual a 1 mais 3, y é igual a 4. O terceiro conjunto tem as equações: x é igual a 4 (onde o 4 é azul), y é igual a (metade) x mais 3, y é igual a (metade) (4) mais 3 (onde o 4 é azul), y é igual a 2 mais 3, y é igual a 5.

    Os pontos são mostrados na Tabela\(\PageIndex{3}\).

    Tabela\(\PageIndex{3}\)
    y = 12x+3
    x y (x, y)
    0 3 (0,3)
    2 4 (2,4)
    4 5 (4,5)

    Faça um gráfico dos pontos, verifique se eles estão alinhados e desenhe a linha.

    A figura mostra uma linha reta traçada através de três pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (0, 3), (2, 4) e (4, 5). Uma linha reta passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação y igual a (metade) x mais 3.

    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Faça um gráfico da equação\(y = \frac{1}{3}x - 1\).

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 9, menos 4), (menos 6, menos 3), (menos 3, menos 2), (0, menos 1), (3, 0), (6, 1) e (9, 2). A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Faça um gráfico da equação\(y = \frac{1}{4}x + 2\).

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 12, menos 1), (menos 8, 0), (menos 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4) e (12, 5). A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Até agora, todas as equações que graficamos tinham y dado em termos de x. Agora vamos representar graficamente uma equação com x e y no mesmo lado. Vamos ver o que acontece na equação 2x+y=3. Se y = 0, qual é o valor de x?

    A figura mostra um conjunto de equações usadas para determinar um par ordenado da equação 2x mais y é igual a 3. A primeira equação é y igual a 0 (onde o 0 é vermelho). A segunda equação é a equação de duas variáveis 2x mais y é igual a 3. A terceira equação é a equação de uma variável negativa 2x mais 0 é igual a 3 (onde o 0 é vermelho). A quarta equação é 2x igual a 3. A quinta equação é x igual a três metades. A última linha é o par ordenado (três metades, 0).

    Esse ponto tem uma fração para a coordenada x e, embora possamos representar graficamente esse ponto, é difícil representar graficamente frações gráficas precisas. Lembre-se de que, no exemplo y=12x+3, escolhemos cuidadosamente valores para x para não representar graficamente frações. Se resolvermos a equação 2x+y=3 para y, será mais fácil encontrar três soluções para a equação.

    \[\begin{aligned} 2 x+y &=3 \\ y &=-2 x+3 \end{aligned}\]

    As soluções para x=0, x=1 e x=−1 são mostradas na Tabela\(\PageIndex{4}\). O gráfico é mostrado na Figura\(\PageIndex{5}\).

    Tabela\(\PageIndex{4}\)
    2x+y=3
    x y (x, y)
    0 3 (0,3)
    1 1 (1,1)
    −1−1 5 (−1,5)
    A figura mostra uma linha reta traçada através de três pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (menos 1, 5), (0, 3) e (1, 1). Uma linha reta passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação 2x mais y igual a 3.
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Você pode localizar o ponto\((\frac{3}{2}, 0)\) que encontramos deixando y = 0 na linha?

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Faça um gráfico da equação 3x+y=−1.

    Resposta

    \(\begin{array}{lrll} { \text { Find three points that are solutions to the equation. } } & {3 x+y} &{=} &{-1} \\ {\text { First solve the equation for } y.} &{y} &{=} &{-3 x-1} \end{array}\)

    Vamos deixar x ser 0, 1 e −1 para encontrar 3 pontos. Os pares ordenados são mostrados na Tabela\(\PageIndex{5}\). Faça um gráfico dos pontos, verifique se eles estão alinhados e desenhe a linha. Veja a Figura\(\PageIndex{6}\).

    Tabela\(\PageIndex{5}\)
    3x+y=−1
    x y (x, y)
    0 −1 (0, −1)
    1 −4 (1, −4)
    −1 2 (−1,2)
    A figura mostra uma linha reta traçada através de três pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (menos 1, 2), (0, menos 1) e (1, menos 4). Uma linha reta passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação 3x mais y igual a menos 1.
    Figura\(\PageIndex{6}\)
    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Faça um gráfico da equação 2x+y=2.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 4, 10), (menos 2, 6), (0, 2), (2, menos 2), (4, menos 6) e (6, menos 10). A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Faça um gráfico da equação 4x+y=−3.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 3, 9), (menos 2, 5), (menos 1, 1), (0, menos 3), (1, menos 7) e (2, menos 10). A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Se você puder escolher três pontos para representar graficamente uma linha, como você saberá se seu gráfico corresponde ao mostrado nas respostas do livro? Se os pontos em que os gráficos cruzam os eixos x e y forem os mesmos, os gráficos coincidem!

    A equação em Exercício\(\PageIndex{13}\) foi escrita na forma padrão, com x e y no mesmo lado. Resolvemos essa equação para y em apenas uma etapa. Mas para outras equações na forma padrão, não é tão fácil resolver para y, então as deixaremos na forma padrão. Ainda podemos encontrar um primeiro ponto para traçar deixando x=0 e resolvendo para y. Podemos traçar um segundo ponto deixando y=0 e depois resolvendo para x. Em seguida, traçaremos um terceiro ponto usando algum outro valor para x ou y.

    Exercício\(\PageIndex{16}\)

    Faça um gráfico da equação\(2x−3y=6\).

    Resposta

    \(\begin{array}{lrll} \text { Find three points that are solutions to the } & 2 x-3 y &= &6 \\ \text { equation. } & 2 x-3 y&=&6 \\ \text { First let } x=0 . & 2(0)-3 y&=&6 \\ \text { Solve for } y . &-3 y&=&6 \\ & y&=&-2 \\\\ \text { Now let } y=0 . & 2 x-3(0)&=&6 \\ \text { Solve for } x . & 2 x&=&6 \\ & x&=& 3 \\ \\ \text{ We need a third point. Remember, we can}&2(6)-3 y &=&6 \\ \text{ choose any value for x or y. We’ll let x = 6.}&12-3 y &=&6 \\ \text{ Solve fory.}&-3 y &=&-6 \\ &y &=&2\end{array}\)

    Listamos os pares ordenados na Tabela\(\PageIndex{6}\). Faça um gráfico dos pontos, verifique se eles estão alinhados e desenhe a linha. Veja a Figura\(\PageIndex{7}\).

    Tabela\(\PageIndex{6}\)
    2x−3y=6
    x Ty (x, y)
    0 −2 (0, −2)
    3 0 (3,0)
    6 2 (6,2)
    A figura mostra uma linha reta traçada através de três pontos no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (0, menos 2), (3, 0) e (6, 2). Uma linha reta passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação 2x menos 3y é igual a 6.
    Figura\(\PageIndex{7}\)
    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Faça um gráfico da equação\(4x+2y=8\).

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. A linha reta passa pelos pontos (menos 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, menos 2) e (4, menos 4). A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Faça um gráfico da equação\(2x−4y=8\).

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. A linha reta passa pelos pontos (menos 6, menos 5), (menos 4, menos 4), (menos 2, menos 3), (0, menos 2), (2, menos 1), (4, 0) e (6, 1). A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Gráfico de linhas verticais e horizontais

    Podemos representar graficamente uma equação com apenas uma variável? Só x e não y, ou apenas y sem x? Como faremos uma tabela de valores para obter os pontos a serem plotados?

    Vamos considerar a equação x=−3. Essa equação tem apenas uma variável, x. A equação diz que x é sempre igual a −3, então seu valor não depende de y. Não importa o que y seja, o valor de x é sempre −3.

    Então, para criar uma tabela de valores, escreva −3 para todos os valores x. Em seguida, escolha qualquer valor para y. Como x não depende de y, você pode escolher qualquer número que desejar. Mas para ajustar os pontos em nosso gráfico de coordenadas, usaremos 1, 2 e 3 para as coordenadas y. Veja a tabela\(\PageIndex{7}\)

    Tabela\(\PageIndex{7}\)
    x=−3
    x y (x, y)
    −3 1 (−3,1)
    −3 2 (−3,2)
    −3 3 (−3,3)

    Faça um gráfico dos pontos da tabela\(\PageIndex{7}\) e conecte-os com uma linha reta. Observe na Figura\(\PageIndex{8}\) que representamos graficamente uma linha vertical.

    A figura mostra uma linha reta vertical desenhada através de três pontos no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (menos 3, 1), (menos 3, 2) e (menos 3, 3). Uma linha reta vertical passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação x igual a menos 3.
    Figura\(\PageIndex{8}\)
    LINHA VERTICAL

    Uma linha vertical é o gráfico de uma equação na forma x=a.

    A linha passa pelo eixo x em (a,0).

    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    Faça um gráfico da equação x=2.

    Resposta

    A equação tem apenas uma variável, x e x é sempre igual a 2. Criamos uma tabela\(\PageIndex{8}\) onde x é sempre 2 e, em seguida, colocamos qualquer valor para y. O gráfico é uma linha vertical passando pelo eixo x em 2. Veja a Figura\(\PageIndex{9}\).

    Tabela\(\PageIndex{8}\)
    x=2
    x y (x, y)
    2 1 (2,1)
    2 2 (2,2)
    2 3 (2,3)
    A figura mostra uma linha reta vertical desenhada através de três pontos no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (2, 1), (2, 2) e (2, 3). Uma linha reta vertical passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação x igual a 2.
    Figura\(\PageIndex{9}\)
    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    Faça um gráfico da equação x=5.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta vertical desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (5, 1), (5, 2), (5, 3) e todos os outros pontos com a primeira coordenada 5. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    Faça um gráfico da equação x=−2.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta vertical desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 2, 1), (menos 2, 2), (menos 2, 3) e todos os outros pontos com a primeira coordenada negativa 2. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    E se a equação tiver y, mas não x? Vamos representar graficamente a equação y=4. Desta vez, o valor y é uma constante, portanto, nessa equação, y não depende de xx. Preencha 4 para todos os y's na Tabela\(\PageIndex{9}\) e, em seguida, escolha qualquer valor para x. Usaremos 0, 2 e 4 para as coordenadas x.

    Tabela\(\PageIndex{9}\)
    y=4
    x y (x, y)
    0 4 (0,4)
    2 4 (2,4)
    4 4 (4,4)

    O gráfico é uma linha horizontal passando pelo eixo y em 4. Veja a Figura\(\PageIndex{10}\).

    A figura mostra uma linha reta horizontal traçada através de três pontos no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (0, 4), (2, 4) e (4, 4). Uma linha reta horizontal passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação y igual a 4.
    Figura\(\PageIndex{10}\)
    LINHA HORIZONTAL
    Uma linha horizontal é o gráfico de uma equação na forma y=b.

    A linha passa pelo eixo y em (0, b).

    Exercício\(\PageIndex{22}\)

    Faça um gráfico da equação y=−1.

    Resposta

    A equação y=−1y=−1 tem apenas uma variável, y. O valor de y é constante. Todos os pares ordenados na Tabela\(\PageIndex{10}\) têm a mesma coordenada y. O gráfico é uma linha horizontal passando pelo eixo y em −1−1, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{11}\).

    Tabela\(\PageIndex{10}\)
    y=−1
    x y (x, y)
      Ta−1 (0, −1)
      −1 (3, −1)
    −3 −1 (−3, −1)
    A figura mostra uma linha reta horizontal traçada através de três pontos no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Os pontos marcam os três pontos que são rotulados por seus pares ordenados (menos 3, menos 1), (0, menos 1) e (3, menos 1). Uma linha reta horizontal passa por todos os três pontos. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura. A linha é rotulada com a equação y igual a menos 1.
    Figura\(\PageIndex{11}\)
    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    Faça um gráfico da equação y=−4.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta horizontal desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 4, menos 4), (0, menos 4), (4, menos 4) e todos os outros pontos com a segunda coordenada negativa 4. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    Representar graficamente a equação y=3.

    Resposta

    A figura mostra uma linha reta horizontal desenhada no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. A linha reta passa pelos pontos (menos 4, 3), (0, 3), (4, 3) e todos os outros pontos com a segunda coordenada 3. A linha tem setas nas duas extremidades apontando para a parte externa da figura.

    As equações para linhas verticais e horizontais são muito semelhantes a equações como y = 4x. Qual a diferença entre as equações y=4x e y=4?

    A equação y=4x tem x e y. O valor de y depende do valor de x. A coordenada y muda de acordo com o valor de x. A equação y=4 tem apenas uma variável. O valor de y é constante. A coordenada y é sempre 4. Não depende do valor de x. Veja a Tabela\(\PageIndex{11}\).

    Tabela\(\PageIndex{11}\)
    y = 4x   y=4
    x y (x, y) x y (x, y)
    0 0 (0,0) 0 4 (0,4)
    1 4 (1,4) 1 4 (1,4)
    2 8 (2,8) 2 4 (2,4)
    A figura mostra duas linhas retas desenhadas no mesmo plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Uma linha é uma linha reta horizontal rotulada com a equação y igual a 4. A outra linha é uma linha inclinada rotulada com a equação y igual a 4x.
    Figura\(\PageIndex{12}\)

    Observe, na Figura\(\PageIndex{12}\), que a equação y=4x fornece uma linha inclinada, enquanto y=4 fornece uma linha horizontal.

    Exercício\(\PageIndex{25}\)

    Representa graficamente y=−3x e y=−3 no mesmo sistema de coordenadas retangulares.

    Resposta

    Observe que a primeira equação tem a variável x, enquanto a segunda não. Veja a tabela\(\PageIndex{12}\). Os dois gráficos são mostrados na Figura\(\PageIndex{13}\).

    Tabela\(\PageIndex{12}\)
    y=−3x   y=−3
    x y (x, y) x y (x, y)
        (0,0)   −3 (0, −3)
      −3 (1, −3)   −3 (1, −3)
      −6 (2, −6)   −3 (2, −3)
    A figura mostra duas linhas retas desenhadas no mesmo plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 7 a 7. O eixo y do plano vai de menos 7 a 7. Uma linha é uma linha reta horizontal rotulada com a equação y igual a menos 3. A outra linha é uma linha inclinada rotulada com a equação y igual a menos 3x.
    Figura\(\PageIndex{13}\)
    Exercício\(\PageIndex{26}\)

    Representa graficamente y=−4x e y=−4 no mesmo sistema de coordenadas retangulares.

    Resposta

    A figura mostra duas linhas retas desenhadas no mesmo plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. Uma linha é uma linha reta horizontal passando pelos pontos (menos 4, menos 4), (0, menos 4), (4, menos 4) e todos os outros pontos com a segunda coordenada menos 4. A outra linha é uma linha inclinada que passa pelos pontos (menos 2, 8), (menos 1, 4), (0, 0), (1, menos 4) e (2, menos 8).

    Exercício\(\PageIndex{27}\)

    Faça um gráfico de y=3 e y=3x no mesmo sistema de coordenadas retangulares.

    Resposta

    A figura mostra duas linhas retas desenhadas no mesmo plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 12 a 12. O eixo y do plano vai de menos 12 a 12. Uma linha é uma linha reta horizontal passando pelos pontos (menos 4, 3) (0, 3), (4, 3) e todos os outros pontos com a segunda coordenada 3. A outra linha é uma linha inclinada que passa pelos pontos (menos 2, menos 6), (menos 1, menos 3), (0, 0), (1, 3) e (2, 6).

    Conceitos-chave

    • Representar graficamente uma equação linear traçando pontos
      1. Encontre três pontos cujas coordenadas são soluções para a equação. Organize-os em uma mesa.
      2. Faça um gráfico dos pontos em um sistema de coordenadas retangular. Verifique se os pontos estão alinhados. Se não o fizerem, verifique cuidadosamente seu trabalho!
      3. Desenhe a linha através dos três pontos. Estenda a linha para preencher a grade e coloque setas nas duas extremidades da linha.

    Glossário

    gráfico de uma equação linear
    O gráfico de uma equação linear Ax+By=C é uma linha reta. Cada ponto na linha é uma solução da equação. Cada solução dessa equação é um ponto nessa linha.
    linha horizontal
    Uma linha horizontal é o gráfico de uma equação na forma y=b. A linha passa pelo eixo y em (0, b).
    linha vertical
    Uma linha vertical é o gráfico de uma equação na forma x=a. A linha passa pelo eixo x em (a,0).