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2.7: Resolver desigualdades lineares

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Representar graficamente desigualdades na reta numérica
    • Resolva desigualdades usando as propriedades de subtração e adição da desigualdade
    • Resolva desigualdades usando as propriedades de divisão e multiplicação da desigualdade
    • Resolva desigualdades que exigem simplificação
    • Traduza para uma desigualdade e resolva
    Nota

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Traduzir da álgebra para o inglês:\(15>x\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.3.1.
    2. Resolver:\(n−9=−42\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.1.7.
    3. Resolver:\(−5p=−23\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.2.1.
    4. Resolver:\(3a−12=7a−20\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.3.22.

    Gráfico de desigualdades na reta numérica

    Você se lembra do que significa um número ser uma solução para uma equação? A solução de uma equação é o valor de uma variável que faz uma afirmação verdadeira quando substituída pela equação.

    E a solução de uma desigualdade? Qual número tornaria a desigualdade\(x > 3\) verdadeira? Você está pensando, 'x poderia ser 4'? Isso está correto, mas x também pode ser 5, ou 20, ou até 3.001. Qualquer número maior que 3 é uma solução para a desigualdade\(x > 3\).

    Mostramos as soluções para a desigualdade\(x > 3\) na reta numérica sombreando todos os números à direita de 3, para mostrar que todos os números maiores que 3 são soluções. Como o número 3 em si não é uma solução, colocamos um parêntese aberto em 3. O gráfico de\(x > 3\) é mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\). Observe que a seguinte convenção é usada: setas azuis claras apontam na direção positiva e setas azuis escuras apontam na direção negativa.

    Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior que 3 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a 3 e uma linha vermelha se estendendo à direita do parêntese.
    Figura\(\PageIndex{1}\): A desigualdade\(x > 3\) é representada graficamente nessa reta numérica.

    O gráfico da desigualdade\(x \geq 3\) é muito parecido com o gráfico de\(x > 3\), mas agora precisamos mostrar que 3 também é uma solução. Fazemos isso colocando um colchete em\(x = 3\), conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\).

    Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior ou igual a 3 é representada graficamente na reta numérica, com um colchete aberto em x igual a 3 e uma linha vermelha se estendendo à direita do colchete.
    Figura\(\PageIndex{2}\): A desigualdade\(x \geq 3\) é representada graficamente nessa reta numérica.

    Observe que o símbolo de parênteses abertos, (, mostra que o ponto final da desigualdade não está incluído. O símbolo de colchete aberto, [, mostra que a extremidade está incluída.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Gráfico na reta numérica:

    1. \(x\leq 1\)
    2. \(x<5\)
    3. \(x>−1\)
    Resposta

    1. \(x\leq 1\)Isso significa todos os números menores ou iguais a 1. Sombreamos todos os números na reta numérica à esquerda de 1 e colocamos um colchete em x = 1 para mostrar que ele está incluído.
    Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor ou igual a 1 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em x igual a 1 e uma linha vermelha se estendendo à esquerda do colchete.

    2. \(x<5\)Isso significa todos os números menores que 5, mas não incluindo 5. Sombreamos todos os números na reta numérica à esquerda de 5 e colocamos um parêntese em x = 5 para mostrar que não está incluído.
    Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor que 5 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a 5 e uma linha vermelha se estendendo à direita do parêntese.

    3. \(x>−1\)Isso significa todos os números maiores que −1, mas não incluindo −1. Sombreamos todos os números na reta numérica à direita de −1 e, em seguida, colocamos um parêntese em x=−1 para mostrar que não está incluído.
    Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior que menos 1 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a menos 1 e uma linha vermelha se estendendo à direita do parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Gráfico na reta numérica:

    1. \(x\leq −1\)
    2. \(x>2\)
    3. \(x<3\)
    Resposta
    1. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor ou igual a menos 1 é representada graficamente na reta numérica, com um colchete aberto em x igual a menos 1 e uma linha escura se estendendo à esquerda do colchete.
    2. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior que 2 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a 2 e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese.
    3. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor que 3 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a 3 e uma linha escura se estendendo à esquerda do parêntese.
    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Gráfico na reta numérica:

    1. \(x>−2\)
    2. \(x<−3\)
    3. \(x\geq −1\)
    Resposta
    1. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior que menos 2 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a menos 2 e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese.
    2. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor que menos 3 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a menos 3 e uma linha escura se estendendo à esquerda do parêntese.
    3. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior ou igual a menos 1 é representada graficamente na reta numérica, com um colchete aberto em x igual a menos 1 e uma linha escura se estendendo à direita do colchete.

    Também podemos representar desigualdades usando a notação de intervalo. Como vimos acima, a desigualdade\(x>3\) significa todos os números maiores que 3. Não há limite para a solução dessa desigualdade. Na notação de intervalo, expressamos\(x>3\) como\((3, \infty)\). O símbolo\(\infty\) é lido como “infinito”. Não é um número real. A figura\(\PageIndex{3}\) mostra a linha numérica e a notação do intervalo.

    Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior que 3 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a 3 e uma linha vermelha se estendendo à direita do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parênteses, 3 vírgulas infinitas, parênteses.
    Figura\(\PageIndex{3}\): A desigualdade\(x>3\) é representada graficamente nessa reta numérica e escrita em notação de intervalo.

    A desigualdade\(x\leq 1\) significa todos os números menores ou iguais a 1. Não há limite inferior para esses números. Escrevemos\(x\leq 1\) em notação de intervalo como\((-\infty, 1]\). O símbolo\(-\infty\) é lido como “infinito negativo”. A figura\(\PageIndex{4}\) mostra a linha numérica e a notação de intervalo.

    Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor ou igual a 1 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em x igual a 1 e uma linha vermelha se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita negativa 1, colchete.
    Figura\(\PageIndex{4}\): A desigualdade\(x\leq 1\) é representada graficamente nessa reta numérica e escrita em notação de intervalo.
    DESIGUALDADES, LINHAS NUMÉRICAS E NOTAÇÃO INTERVALAR

    Esta figura mostra quatro linhas numéricas, todas sem marcas de verificação. A desigualdade x é maior do que a é representada graficamente na primeira reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a a e uma linha vermelha se estendendo à direita do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita, parêntese. A desigualdade x é maior ou igual a a é representada graficamente na segunda linha numérica, com um colchete aberto em x igual a a e uma linha vermelha se estendendo à direita do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como colchete, vírgula infinita, parêntese. A desigualdade x é menor que a é representada graficamente na terceira reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a a e uma linha vermelha se estendendo à esquerda do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, infinito negativo, vírgula a, parêntese. A desigualdade x é menor ou igual a a é representada graficamente na última linha numérica, com um colchete aberto em x igual a a e uma linha vermelha se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, infinito negativo, vírgula a, colchete.

    Você notou como o parêntese ou o colchete na notação de intervalo coincide com o símbolo na extremidade da seta? Essas relações são mostradas na Figura\(\PageIndex{5}\).

    Esta figura mostra as mesmas quatro linhas numéricas acima, com os mesmos rótulos de notação de intervalo. Abaixo da notação de intervalo para cada linha numérica, há um texto indicando como a notação nas linhas numéricas é semelhante à notação de intervalo. A primeira reta numérica é um gráfico de x maior que a, e a notação do intervalo é parêntese, uma vírgula infinita, parêntese. O texto abaixo diz: “Ambos têm um parêntese esquerdo”. A segunda reta numérica é um gráfico de x maior ou igual a a a, e a notação do intervalo é colchete, uma vírgula infinita, parêntese. O texto abaixo diz: “Ambos têm um colchete esquerdo”. A terceira reta numérica é um gráfico de x é menor que a, e a notação de intervalo é parêntese, infinito negativo, vírgula a, parêntese. O texto abaixo diz: “Ambos têm um parêntese direito”. A última reta numérica é um gráfico de x menor ou igual a a a, e a notação de intervalo é parêntese, infinito negativo, vírgula a, colchete. O texto abaixo diz: “Ambos têm um colchete direito”.
    Figura\(\PageIndex{5}\): A notação para desigualdades em uma reta numérica e em notação de intervalo usa símbolos semelhantes para expressar os pontos finais dos intervalos.
    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Faça um gráfico na reta numérica e escreva em notação de intervalo.

    1. \(x \geq -3\)
    2. \(x<2.5\)
    3. \(x\leq \frac{3}{5}\)
    Resposta

    1.

      .
    Sombreie à direita de −3 e coloque um colchete em −3. .
    Escreva em notação de intervalo. .
    2.
      .
    Sombreie à esquerda de 2,5 e coloque um parêntese em 2,5. .
    Escreva em notação de intervalo. .
    3.
      .
    Sombreie à\(-\frac{3}{5}\) esquerda e coloque um suporte em\(-\frac{3}{5}\). .
    Escreva em notação de intervalo. .
    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Faça um gráfico na reta numérica e escreva em notação de intervalo:

    1. \(x>2\)
    2. \(x\leq −1.5\)
    3. \(x\geq \frac{3}{4}\)
    Resposta
    1. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior que 2 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a 2 e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parênteses, 2 vírgulas infinitas, parênteses.
    2. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor ou igual a menos 1,5 é representada graficamente na reta numérica, com um colchete aberto em x igual a menos 1,5 e uma linha escura se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita negativa 1,5, colchete.
    3. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior ou igual a 3/4 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em x igual a 3/4 e uma linha escura se estendendo à direita do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como colchete, 3/4 vírgula infinito, parêntese.
    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Faça um gráfico na reta numérica e escreva em notação de intervalo:

    1. \(x\leq −4\)
    2. \(x\geq 0.5\)
    3. \(x<-\frac{2}{3}\)
    Resposta
    1. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor ou igual a menos 4 é representada graficamente na reta numérica, com um colchete aberto em x igual a menos 4 e uma linha escura se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita negativa 4, colchete.
    2. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior ou igual a 0,5 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em x igual a 0,5 e uma linha escura se estendendo à direita do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como colchete, o.5 vírgula infinito, parêntese.
    3. Esta figura é uma linha numérica que varia de menos 5 a 5 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é menor que menos 2/3 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a menos 2/3 e uma linha escura se estendendo à esquerda do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita negativa 2/3, parêntese.

    Resolva desigualdades usando as propriedades de subtração e adição da desigualdade

    As propriedades de igualdade de subtração e adição afirmam que, se duas quantidades forem iguais, quando somarmos ou subtrairmos a mesma quantidade de ambas as quantidades, os resultados serão iguais.

    PROPRIEDADES DA IGUALDADE

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Equality } } & { \textbf { Addition Property of Equality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if } \qquad \quad a = b , } & { \text { if } \qquad \quad a = b } \\ { \text { then } a - c = b - c . } & { \text { then } a + c = b + c } \end{array}\]

    Propriedades similares são válidas para desigualdades.

    Por exemplo, sabemos que −4 é menor que 2. .
    Se subtrairmos 5 de ambas as quantidades, o lado esquerdo ainda é menor que o lado direito? .
    Obtemos −9 à esquerda e −3 à direita. .
    E sabemos que −9 é menor que −3. .
     

    O sinal de desigualdade permaneceu o mesmo.

    Tabela\(\PageIndex{1}\)

    Da mesma forma, poderíamos mostrar que a desigualdade também permanece a mesma para a adição.

    Isso nos leva às propriedades de subtração e adição da desigualdade.

    PROPRIEDADES DA DESIGUALDADE

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Inequality } } & { \textbf { Addition Property of Inequality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if }\qquad \quad a < b } & { \text { if } \qquad \quad a < b } \\ { \text { then } a - c < b - c . } & { \text { then } a + c < b + c } \\\\ { \text { if } \qquad \quad a > b } & { \text { if } \qquad \quad a > b } \\ { \text { then } a - c > b - c . } & { \text { then } a + c > b + c } \end{array}\]

    Usamos essas propriedades para resolver desigualdades, seguindo os mesmos passos que usamos para resolver equações. Resolvendo a desigualdade\(x+5>9\), as etapas ficariam assim:

    \[\begin{array}{rrll} {} &{x + 5} &{ >} &{9} \\ {\text{Subtract 5 from both sides to isolate }x.} &{x + 5 - 5} &{ >} &{9 - 5} \\{} &{x} &{ >} &{4} \\ \end{array}\]

    Qualquer número maior que 4 é uma solução para essa desigualdade.

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Resolva a desigualdade\(n - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8}\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
      .
    Adicione\(\frac{1}{2}\) aos dois lados da desigualdade. .
    Simplifique. .
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo.  
    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Resolva a desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(p - \frac{3}{4} \geq \frac{1}{6}\)

    Resposta

    Essa figura mostra que a desigualdade p é maior ou igual a 11/12. Abaixo dessa desigualdade está a desigualdade representada graficamente em uma linha numérica que varia de 0 a 4, com marcas de verificação em cada número inteiro. Há um colchete em p igual a 11/12, e uma linha escura se estende para a direita a partir de 11/12. Abaixo da reta numérica está a solução escrita em notação de intervalo: colchete, 11/12 vírgula infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Resolva a desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(r - \frac{1}{3} \leq \frac{7}{12}\)

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade r é menor ou igual a 11/12. Abaixo dessa desigualdade está a desigualdade representada graficamente em uma linha numérica que varia de 0 a 4, com marcas de verificação em cada número inteiro. Há um colchete em r igual a 11/12, e uma linha escura se estende para a esquerda a partir de 11/12. Abaixo da reta numérica está a solução escrita em notação de intervalo: parêntese, infinito negativo, vírgula 11/12, colchete.

    Resolva desigualdades usando as propriedades de divisão e multiplicação da desigualdade

    As propriedades de divisão e multiplicação da igualdade afirmam que, se duas quantidades forem iguais, quando dividirmos ou multiplicarmos as duas quantidades pela mesma quantidade, os resultados também serão iguais (desde que não dividimos por 0).

    PROPRIEDADES DA IGUALDADE

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{Division Property of Equality}} &{\textbf{MUltiplication Property of Equality}} \\ {\text{For any numbers a, b, c, and c} \neq 0} &{\text{For any numbers a, b, c}} \\ {\text{if } \qquad a = b} &{\text{if} \qquad \quad a = b} \\ {\text{then }\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}} &{\text{then } \quad ac = bc} \end{array}\]

    Existem propriedades semelhantes para desigualdades? O que acontece com uma desigualdade quando dividimos ou multiplicamos os dois lados por uma constante?

    Considere alguns exemplos numéricos.

      .   .
    Divida os dois lados por 5. . Multiplique os dois lados por 5. .
    Simplifique. .   .
    Preencha os sinais de desigualdade. .   .
    Tabela\(\PageIndex{2}\)

    Os sinais de desigualdade permaneceram os mesmos.

    A desigualdade permanece a mesma quando dividimos ou multiplicamos por um número negativo?

      .   .
    Divida os dois lados por -5. . Multiplique os dois lados por -5. .
    Simplifique. .   .
    Preencha os sinais de desigualdade. .   .
    Tabela\(\PageIndex{3}\)

    Os sinais de desigualdade inverteram sua direção.

    Quando dividimos ou multiplicamos uma desigualdade por um número positivo, o sinal de desigualdade permanece o mesmo. Quando dividimos ou multiplicamos uma desigualdade por um número negativo, o sinal de desigualdade se inverte.

    Aqui estão as propriedades de divisão e multiplicação da desigualdade para facilitar a referência.

    PROPRIEDADES DE DIVISÃO E MULTIPLICAÇÃO DA INEQUAÇÃO

    Para qualquer número real a, b, c

    \[\begin{array}{ll} {\text{if } a < b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a < b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \end{array}\]

    Quando dividimos ou multiplicamos uma desigualdade por a:

    • número positivo, a desigualdade permanece a mesma.
    • número negativo, a desigualdade se inverte.
    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Resolva a desigualdade\(7y<​​42\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
      .
    Divida os dois lados da desigualdade por 7.
    Desde então\(7>0\), a desigualdade permanece a mesma.    		 .
    Simplifique. .
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo. .
    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Resolva a desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(9c>72\)

    Resposta

    \(c>8\)

    Esta figura é uma linha numérica que varia de 6 a 10 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade c é maior que 8 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em c igual a 8 e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese.

    \((8, \infty)\)

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Resolva a desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(12d\leq 60\)

    Resposta

    \(d\leq 5\)

    Esta figura é uma linha numérica que varia de 3 a 7 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade d é menor ou igual a 5 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em d igual a 5 e uma linha escura se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita negativa 5, colchete.

    \((-\infty, 5]\)

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Resolva a desigualdade\(−10a\geq 50\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
      .
    Divida os dois lados da desigualdade por −10.
    Desde então\(−10<0\), a desigualdade se inverte.    		 .
    Simplifique. .
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo. .
    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Resolva cada desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(−8q<32\)

    Resposta

    \(q>−4\)

    Essa figura é uma linha numérica que varia de menos 6 a menos 3 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade q é maior que menos 4 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em q igual a menos 4 e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, menos 4 vírgula infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Resolva cada desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(−7r\leq −70\)

    Resposta

    Esta figura é uma linha numérica que varia de 9 a 13 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade r é maior ou igual a 10 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em r igual a 10 e uma linha escura se estendendo à direita do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como colchete, 10 vírgulas infinitas, parênteses.

    RESOLVENDO DESIGUALDADES
    Às vezes, ao resolver uma desigualdade, a variável acaba à direita. Podemos reescrever a desigualdade ao contrário para colocar a variável à esquerda.

    \[\begin{array}{l} x > a\text{ has the same meaning as } a < x \end{array}\]

    Pense nisso como “Se Xavier é mais alto que Alex, então Alex é mais baixo que Xavier”.

    Exercício\(\PageIndex{16}\)

    Resolva a desigualdade\(-20 < \frac{4}{5}u\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
      .
    Multiplique os dois lados da desigualdade por\(\frac{5}{4}\).
    Desde então\(\frac{5}{4} > 0\), a desigualdade permanece a mesma.    		 .
    Simplifique. .
    Reescreva a variável à esquerda. .
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo. .
    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Resolva a desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(24 \leq \frac{3}{8}m\)

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade m é maior ou igual a 64. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de 63 a 67 com marcas de escala para cada inteiro. A desigualdade m é maior ou igual a 64 é representada graficamente na reta numérica, com um colchete aberto em m igual a 64 e uma linha escura se estendendo à direita do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como colchete, 64 vírgula infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Resolva a desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(-24 < \frac{4}{3}n\)

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade n é maior que menos 18. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de menos 20 a menos 16 com marcas de escala para cada inteiro. A desigualdade n é maior que menos 18 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em n igual a menos 18 e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, menos 18 vírgula infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    Resolva a desigualdade\(\frac{t}{-2} \geq 8\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
      .
    Multiplique os dois lados da desigualdade por −2.
    Desde então\(−2<0\), a desigualdade se inverte.    		 .
    Simplifique. .
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo. .
    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    Resolva a desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(\frac{k}{-12}\leq 15\)

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade k é maior ou igual a menos 180. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de menos 181 a menos 177 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade k é maior ou igual a menos 180 é representada graficamente na reta numérica, com um colchete aberto em n igual a menos 180 e uma linha escura se estendendo à direita do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como colchete, menos 180 vírgula infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    Resolva a desigualdade, represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    \(\frac{u}{-4}\geq -16\)

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade u é menor ou igual a 64. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de 62 a 66 com marcas de escala para cada inteiro. A desigualdade u é menor ou igual a 64 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em u igual a 64 e uma linha escura se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita negativa 64, colchete.

    ​​​​​

    Resolva desigualdades que exigem simplificação

    A maioria das desigualdades exigirá mais de um passo para ser resolvida. Seguimos os mesmos passos que usamos na estratégia geral para resolver equações lineares, mas não se esqueça de prestar muita atenção durante a multiplicação ou divisão.

    Exercício\(\PageIndex{22}\)

    Resolva a desigualdade\(4m\leq 9m+17\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
      .
    Subtraia 9m de ambos os lados para coletar as variáveis à esquerda. .
    Simplifique. .
    Divida os dois lados da desigualdade por −5 e inverta a desigualdade. .
    Simplifique. .
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo. .
    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    Resolva a desigualdade\(3q\geq 7q−23\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade q é menor ou igual a 23/4. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de 4 a 8 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade q é menor ou igual a 23/4 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em q igual a 23/4 (escrito em) e uma linha escura se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita negativa 23/4, colchete.

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    Resolva a desigualdade\(6x<10x+19\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade x é maior que menos 19/4. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de menos 7 a menos 3, com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade x é maior que menos 19/4 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em x igual a menos 19/4 (escrito em) e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, menos 19/4 vírgula infinita, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{25}\)

    Resolva o\(8p+3(p−12)>7p−28\) gráfico de desigualdade, a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
    Simplifique cada lado o máximo possível. 8p+3 (p−12) >7p−28
    Distribuir. 8p+3p−36>7p−28
    Combine termos semelhantes. 11p−36>7p−28
    Subtraia 7p de ambos os lados para coletar as variáveis à esquerda. 11p−36−7p>7p−28−7p
    Simplifique. 4p−36>−28
    Adicione 36 aos dois lados para coletar as constantes à direita. 4p−36+36>−28+36
    Simplifique. 4p>8
    Divida os dois lados da desigualdade por 4; a desigualdade permanece a mesma. \(\frac{4p}{4}>84\)
    Simplifique. \(p>2\)
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo. \((2, \infty)\)
    Exercício\(\PageIndex{26}\)

    Resolva a desigualdade\(9y+2(y+6)>5y−24\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade y é maior que menos 6. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de menos 7 a menos 3 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade y é maior que menos 6 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em y igual a menos 6 e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, menos 6 vírgula infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{27}\)

    Resolva a desigualdade\(6u+8(u−1)>10u+32\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade u é maior que 10. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de 9 a 13 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade u é maior que 10 é representada graficamente na reta numérica, com um parêntese aberto em u igual a 10 e uma linha escura se estendendo à direita do parêntese. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, 10 vírgula infinita, parêntese.

    Assim como algumas equações são identidades e outras são contradições, as desigualdades também podem ser identidades ou contradições. Reconhecemos essas formas quando ficamos apenas com constantes à medida que resolvemos a desigualdade. Se o resultado for uma afirmação verdadeira, temos uma identidade. Se o resultado for uma declaração falsa, temos uma contradição.

    Exercício\(\PageIndex{28}\)

    Resolva a desigualdade\(8x−2(5−x)<4(x+9)+6x\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
    Simplifique cada lado o máximo possível. 8x−2 (5−x) <4 (x+9) +6x
    Distribuir. 8x−10+2x<4x+36+6x
    Combine termos semelhantes. 10x−10<10x+36
    Subtraia 10x de ambos os lados para coletar as variáveis à esquerda. 10x−10−10x<10x+36−10x
    Simplifique. −10<36
    Os xx's sumiram e temos uma afirmação verdadeira. A desigualdade é uma identidade.
    A solução são todos números reais.
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo. \((-\infty, \infty)\)
    Exercício\(\PageIndex{29}\)

    Resolva a desigualdade\(4b−3(3−b)>5(b−6)+2b\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta

    Essa figura mostra uma desigualdade que é uma identidade. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de menos 2 a 2 com marcas de verificação para cada número inteiro. A identidade é representada graficamente na linha numérica, com uma linha escura se estendendo em ambas as direções. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, infinito negativo, vírgula, infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{30}\)

    Resolva a desigualdade\(9h−7(2−h)<8(h+11)+8h\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta

    Essa figura mostra uma desigualdade que é uma identidade. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de menos 2 a 2 com marcas de verificação para cada número inteiro. A identidade é representada graficamente na linha numérica, com uma linha escura se estendendo em ambas as direções. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, infinito negativo, vírgula, infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{31}\)

    Resolva a desigualdade\(\frac{1}{3}a - \frac{1}{8}a > \frac{5}{24}a + \frac{3}{4}\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta
      .
    Multiplique os dois lados pelo LCD, 24, para limpar as frações. .
    Simplifique. .
    Combine termos semelhantes. .
    Subtraia 5a de ambos os lados para coletar as variáveis à esquerda. .
    Simplifique. .
    A afirmação é falsa! A desigualdade é uma contradição.
      Não há solução.
    Faça um gráfico da solução na reta numérica. .
    Escreva a solução em notação de intervalo. Não há solução.
    Exercício\(\PageIndex{32}\)

    Resolva a desigualdade\(\frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x > \frac{1}{6}x + \frac{7}{8}\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta

    Essa figura mostra uma desigualdade que é uma contradição. Abaixo, há uma linha numérica que varia de menos 2 a 2 com marcas de verificação para cada número inteiro. Nenhuma desigualdade é representada graficamente na reta numérica. Abaixo da linha numérica está a declaração: “Sem solução”.

    Exercício\(\PageIndex{33}\)

    Resolva a desigualdade\(\frac{2}{5}z - \frac{1}{3}z < \frac{1}{15}z - \frac{3}{5}\), represente graficamente a solução na reta numérica e escreva a solução em notação de intervalo.

    Resposta

    Essa figura mostra uma desigualdade que é uma contradição. Abaixo, há uma linha numérica que varia de menos 2 a 2 com marcas de verificação para cada número inteiro. Nenhuma desigualdade é representada graficamente na reta numérica. Abaixo da linha numérica está a declaração: “Sem solução”.

    Traduza para uma desigualdade e resolva

    Para traduzir frases em inglês em desigualdades, precisamos reconhecer as frases que indicam a desigualdade. Algumas palavras são fáceis, como “mais que” e “menos que”. Mas outros não são tão óbvios.

    Pense na frase “pelo menos” — o que significa ter “pelo menos 21 anos”? Isso significa 21 ou mais. A frase “pelo menos” é a mesma que “maior ou igual a”.

    A tabela\(\PageIndex{4}\) [1]mostra algumas frases comuns que indicam desigualdades.

    > \(\geq\) < \(\leq\)
    “data-valign="middle” class="lt-math-15134">é maior que \ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">é maior ou igual a é menor que \ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">é menor ou igual a
    “data-valign="middle” class="lt-math-15134">é mais que \ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">é pelo menos é menor do que \ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">é no máximo
    “data-valign="middle” class="lt-math-15134">é maior que \ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">não é menos que tem menos de \ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">não é mais do que
    “data-valign="middle” class="lt-math-15134">excede \ (\ geq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">é o mínimo é menor que \ (\ leq\)” data-valign="middle” class="lt-math-15134">é o máximo
    Tabela\(\PageIndex{4}\)
    Exercício\(\PageIndex{34}\)

    Traduza e resolva. Em seguida, escreva a solução em notação de intervalo e gráfico na reta numérica.

    Doze vezes c não é mais do que 96.

    Resposta
    Traduzir. .
    Resolver — divida os dois lados por 12. .
    Simplifique. .
    Escreva em notação de intervalo. .
    Gráfico na reta numérica. .
    Exercício\(\PageIndex{35}\)

    Traduza e resolva. Em seguida, escreva a solução em notação de intervalo e gráfico na reta numérica.

    Vinte vezes y é no máximo 100

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade 20y é menor ou igual a 100 e, em seguida, sua solução: y é menor ou igual a 5. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de 4 a 8 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade y é menor ou igual a 5 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em y igual a 5 e uma linha escura se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, vírgula infinita negativa 5, colchete.

    Exercício\(\PageIndex{36}\)

    Traduza e resolva. Em seguida, escreva a solução em notação de intervalo e gráfico na reta numérica.

    Nove vezes z não é menos que 135

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade 9z é maior ou igual a 135 e, em seguida, sua solução: z é maior ou igual a 15. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de 14 a 18 com marcas de escala para cada número inteiro. A desigualdade z é maior ou igual a 15 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto em z igual a 15 e uma linha escura se estendendo à direita do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como colchete, 15 vírgulas infinitas, parênteses.

    Exercício\(\PageIndex{37}\)

    Traduza e resolva. Em seguida, escreva a solução em notação de intervalo e gráfico na reta numérica.

    Trinta a menos que x é pelo menos 45.

    Resposta
    Traduzir. .
    Resolver — adicione 30 aos dois lados. .
    Simplifique. .
    Escreva em notação de intervalo. .
    Gráfico na reta numérica. .
    Exercício\(\PageIndex{38}\)

    Traduza e resolva. Em seguida, escreva a solução em notação de intervalo e gráfico na reta numérica.

    Dezenove menos que p não é menos que 47

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade p menos 19 é maior ou igual a 47, e então sua solução: p é maior ou igual a 66. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de 65 a 69 com marcas de escala para cada inteiro. A desigualdade p é maior ou igual a 66 é representada graficamente na reta numérica, com um colchete aberto em p igual a 66 e uma linha escura se estendendo à direita do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como colchete, 66 vírgula infinito, parêntese.

    Exercício\(\PageIndex{39}\)

    Traduza e resolva. Em seguida, escreva a solução em notação de intervalo e gráfico na reta numérica.

    Quatro a mais que um é no máximo 15.

    Resposta

    Esta figura mostra que a desigualdade a mais 4 é menor ou igual a 15 e, em seguida, sua solução: a é menor ou igual a 11. Abaixo dessa desigualdade está uma linha numérica que varia de 10 a 14 com marcas de verificação para cada número inteiro. A desigualdade a é menor ou igual a 11 é representada graficamente na linha numérica, com um colchete aberto igual a 11 e uma linha escura se estendendo à esquerda do colchete. A desigualdade também é escrita em notação de intervalo como parêntese, infinito negativo 11, colchete.

    Conceitos chave

    • Propriedade de subtração da desigualdade
      Para quaisquer números a, b e c,
      se a<b então a−c<b−c e
      se a>b então a−c>b−c.
    • Propriedade de adição da desigualdade
      Para qualquer número a, b e c,
      se a<b então a+c<b+c e
      se a>b então a+c>b+c.
    • Propriedades de divisão e multiplicação da desigualdade y
      Para qualquer número a, b e c,
      se a <b and c>0, então ac <bc and ac>bc.
      se a>b e c>0, então ac>bc e ac>bc.
      se a<b e cbc<0, then ac> e ac>bc.
      se a>b e c<0, então ac<bc e ac<bc.
    • Quando dividimos ou multiplicamos uma desigualdade por a:
      • número positivo, a desigualdade permanece a mesma.
      • número negativo, a desigualdade se inverte.