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2.6: Resolver uma fórmula para uma variável específica

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Use a fórmula de Distância, Taxa e Tempo
    • Resolver uma fórmula para uma variável específica
    Questionário

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Resolver:\(15t=120\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.2.1.
    2. Resolver:\(6x+24=96\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.3.1.

    Use a fórmula de distância, taxa e tempo

    Uma fórmula que você usará frequentemente em álgebra e na vida cotidiana é a fórmula para a distância percorrida por um objeto que se move a uma taxa constante. Taxa é uma palavra equivalente para “velocidade”. A ideia básica de tarifa pode já ser familiar para você. Você sabe qual distância percorre se dirigir a uma taxa constante de 60 milhas por hora por 2 horas? (Isso pode acontecer se você usar o controle de cruzeiro do seu carro enquanto dirige na rodovia.) Se você disse 120 milhas, você já sabe como usar essa fórmula!

    DISTÂNCIA, TAXA E TEMPO

    Para um objeto que se move a uma taxa uniforme (constante), a distância percorrida, o tempo decorrido e a taxa são relacionados pela fórmula:

    \[\begin{array} {lllll}{ d = r t} &{\text { where }} &{ d} &{=} &{\text{distance}} \\ {} &{} &{ r} &{=} &{\text{rate}} \\{} &{} &{ t} &{=} &{\text{time}} \end{array}\]

    Usaremos a estratégia para resolver aplicativos que usamos anteriormente neste capítulo. Quando nosso problema exige uma fórmula, mudamos a Etapa 4. Em vez de escrever uma frase, escrevemos a fórmula apropriada. Escrevemos as etapas revisadas aqui para referência.

    RESOLVA UM APLICATIVO (COM UMA FÓRMULA).
    1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
    2. Identifique o que estamos procurando.
    3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
    4. Traduza em uma equação. Escreva a fórmula apropriada para a situação. Substitua as informações fornecidas.
    5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
    6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
    7. Responda à pergunta com uma frase completa.

    Talvez você queira criar um mini-gráfico para resumir as informações do problema. Veja o gráfico neste primeiro exemplo.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Jamal anda de bicicleta a uma taxa uniforme de 12 milhas por hora durante\(3\frac{1}{2}\) horas. Que distância ele percorreu?

    Resposta
    Etapa 1. Leia o problema.  
    Etapa 2. Identifique o que você está procurando. distância percorrida
    Etapa 3. Nome. Escolha uma variável para representá-la. Seja d = distância.
    Etapa 4. Traduzir: escreva a fórmula apropriada. \(d=rt\)
      .
    Substitua as informações fornecidas. \(d = 12\cdot 3\frac{1}{2}\)
    Etapa 5. Resolva a equação. \(d=42\text{ miles}\)
    Etapa 6. Verifique  
    42 milhas fazem sentido?  
    Jamal monta:  
    .  
    Etapa 7. Responda à pergunta com uma frase completa. Jamal andou 42 milhas.
    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Lindsay dirigiu por\(5\frac{1}{2}\) horas a 60 milhas por hora. Quanta distância ela percorreu?

    Resposta

    330 milhas

    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Trinh caminhou por\(2\frac{1}{3}\) horas a 3 milhas por hora. Até onde ela andou?

    Resposta

    7 milhas

    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Rey planeja ir de carro de sua casa em San Diego para visitar sua avó em Sacramento, a uma distância de 520 milhas. Se ele puder dirigir a uma taxa constante de 65 milhas por hora, quantas horas a viagem levará?

    Resposta
    Etapa 1. Leia o problema.  
    Etapa 2. Identifique o que você está procurando. Quantas horas (hora)
    Etapa 3. Nome.
    Escolha uma variável para representá-la.    		 Deixe t = tempo.
      .
    Etapa 4. Traduzir.
    Escreva a fórmula apropriada.    		 \(d=rt\)
    Substitua as informações fornecidas. \(520 = 65t\)
    Etapa 5. Resolva a equação. \(t = 8\)
    Etapa 6. Verifique. Substitua os números
    na fórmula e certifique-se de que o resultado seja uma afirmação
    verdadeira.    		  
    \(\begin{array}{lll} {d} &{=} &{rt} \\ {520} &{\stackrel{?}{=}} &{65\cdot 8}\\ {520} &{=} &{520\checkmark} \end{array}\)  
    Etapa 7. Responda à pergunta com uma frase completa. A viagem de Rey levará 8 horas.
    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Lee quer dirigir de Phoenix até o apartamento de seu irmão em San Francisco, a uma distância de 770 milhas. Se ele dirigir a uma taxa constante de 70 milhas por hora, quantas horas a viagem levará?

    Resposta

    11 horas

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Yesenia fica a 270 km de Chicago. Se ela precisar estar em Chicago em 3 horas, a que ritmo ela precisa dirigir?

    Resposta

    56 mph

    Resolver uma fórmula para uma variável específica

    Você provavelmente está familiarizado com algumas fórmulas de geometria. Uma fórmula é uma descrição matemática da relação entre as variáveis. As fórmulas também são usadas nas ciências, como química, física e biologia. Na medicina, eles são usados para cálculos para dispensar medicamentos ou determinar o índice de massa corporal. Os programas de planilhas dependem de fórmulas para fazer cálculos. É importante estar familiarizado com as fórmulas e ser capaz de manipulá-las facilmente.

    Em Exercício\(\PageIndex{1}\) e Exercício\(\PageIndex{4}\), usamos a fórmula\(d=rt\). Essa fórmula fornece o valor de d, distância, quando você substitui os valores de r e t, a taxa e o tempo. Mas no Exercício\(\PageIndex{4}\), tivemos que encontrar o valor de t. Substituímos os valores de d e r e depois usamos a álgebra para resolver tt. Se você tivesse que fazer isso com frequência, talvez se perguntasse por que não existe uma fórmula que forneça o valor de t quando você substitui os valores de d e r. Podemos criar uma fórmula como essa resolvendo a fórmula\(d=rt\) para t.

    Resolver uma fórmula para uma variável específica significa isolar essa variável em um lado do sinal de igual com um coeficiente de 1. Todas as outras variáveis e constantes estão do outro lado do sinal de igual. Para ver como resolver uma fórmula para uma variável específica, começaremos com a fórmula de distância, taxa e tempo.

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Resolva a fórmula d=rt para t:

    1. quando d=520 e r=65
    2. em geral
    Resposta

    Escreveremos as soluções lado a lado para demonstrar que a resolução de uma fórmula em geral usa as mesmas etapas de quando temos números para substituir.

    1. quando d=520 e r=65 2. em geral
    Escreva a fórmula. \(d=rt\) Escreva a fórmula. \(d=rt\)
    Substituto. \(520=65t\)    
    Divida, para isolar t. \(\frac{520}{65} = \frac{65t}{65}\) Divida, para isolar tt. \(\frac{d}{r} = \frac{rt}{t}\)
    Simplifique. \(8 = t\) Simplifique. \(\frac{d}{r}=t\)

    Dizemos que a fórmula\(t = \frac{d}{r}\) está resolvida para t.

    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Resolva a fórmula\(d=rt\) para r:

    1. quando d=180 e t=4
    2. em geral
    Resposta
    1. \(r = 45\)
    2. \(r = \frac{d}{t}\)
    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Resolva a fórmula\(d=rt\) para r:

    1. quando d=780 e t=12
    2. em geral
    Resposta
    1. \(r = 65\)
    2. \(r = \frac{d}{rt\)
    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Resolva a fórmula\(A = \frac{1}{2}bh\) para h:

    1. quando\(A = 90\) e\(b = 15\)
    2. em geral
    Resposta
    1. quando\(A = 90\) e\(b = 15\) 2. em geral
    Escreva a fórmula. . Escreva a fórmula. .
    Substituto. .    
    Limpe as frações. . Limpe as frações. .
    Simplifique. . Simplifique. .
    Resolva para h. . Resolva para hh. .
    Agora podemos encontrar a altura de um triângulo, se soubermos a área e a base, usando a fórmula\(h = \frac{2A}{b}\)
    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Resolva a fórmula\(A = \frac{1}{2}bh\) para h:

    1. quando\(A = 170\) e\(b = 17\)
    2. em geral
    Resposta
    1. \(h = 20\)
    2. \(h = \frac{2A}{b}\)
    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Resolva a fórmula\(A = \frac{1}{2}bh\) para h:

    1. quando\(A = 62\) e\(h = 31\)
    2. em geral
    Resposta
    1. \(b = 4\)
    2. \(b = \frac{2A}{h}\)

    A fórmula\(I=Prt\) é usada para calcular juros simples, I, para um principal, P, investido à taxa, r, por t anos.

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Resolva a fórmula I = Prt para encontrar o principal, P:

    1. quando I = $5.600, r = 4%, t = 7 anos
    2. em geral
    Resposta
    1. I = $5.600, r = 4%, t = 7 anos 2. em geral
    Escreva a fórmula. . Escreva a fórmula. .
    Substituto. .    
    Simplifique. . Simplifique. .
    Divida, para isolar P. . Divida, para isolar P. .
    Simplifique. . Simplifique. .
    O diretor é .   .
    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Resolva a fórmula I = Prt para encontrar o principal, P:

    1. quando I = $2160, r = 6%, t = 3 anos
    2. em geral
    Resposta
    1. $12.000
    2. \(P = \frac{1}{rt}\)
    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Resolva a fórmula I = Prt para encontrar o principal, P:

    1. quando I = $5400, r = 12%, t = 5 anos
    2. em geral
    Resposta
    1. $9000
    2. \(P = \frac{1}{rt}\)
    Mais tarde nesta aula e em futuras aulas de álgebra, você encontrará equações que relacionam duas variáveis, geralmente x e y. Você pode receber uma equação resolvida para y e precisar resolvê-la para x, ou vice-versa. No exemplo a seguir, recebemos uma equação com x e y do mesmo lado e a resolveremos para y.
    Exercício\(\PageIndex{16}\)

    Resolva a fórmula 3x+2y=18 para y:

    1. quando x=4
    2. em geral
    Resposta
    1. quando x = 4 2. em geral
      .   .
    Substituto. .    
    Subtraia para isolar o
    termo y.    		 . Subtraia para isolar o
    termo y.    		 .
    Divida. . Divida. .
    Simplifique. . Simplifique. .
    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Resolva a fórmula 3x+4y=10 para y:

    1. quando\(x = \frac{14}{3}\)
    2. em geral
    Resposta
    1. \(y = -1\)
    2. \(y = \frac{10 - 3x}{4}\)
    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Resolva a fórmula 5x+2y=18 para y:

    1. quando\(x = 4\)
    2. em geral
    Resposta
    1. \(y = -1\)
    2. \(y = \frac{18 - 5x}{2}\)
    Em Exercício\(\PageIndex{7}\) por Exercício,\(\PageIndex{18}\) usamos os números na parte 1 como um guia para resolver em geral na parte 2. Agora resolveremos uma fórmula em geral sem usar números como guia.
    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    Resolva a fórmula p=A+b+c para a.

    Resposta
    Isolaremos aa em um lado da equação. .
    Tanto b quanto c são somados a a, então os subtraímos de ambos os lados da equação. .
    Simplifique. .
    .
    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    Resolva a fórmula p=A+b+c para b.

    Resposta

    b=p−A−c

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    Resolva a fórmula p=A+b+c para c.

    Resposta

    C=p−A−b

    Exercício\(\PageIndex{22}\)

    Resolva a fórmula 6x+5y=13 para y.

    Resposta
      .
    Subtraia 6x de ambos os lados para isolar o termo com y. .
    Simplifique. .
    Divida por 5 para obter o coeficiente 1. .
    Simplifique. .

    A fração é simplificada. Não podemos dividir 13−6x por 5.

    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    Resolva a fórmula 4x+7y=9 para y.

    Resposta

    \(y = \frac{9 - 4x}{7}\)

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    Resolva a fórmula 5x+8y=1 para y.

    Resposta

    \(y = \frac{1 - 5x}{8}\)

    Conceitos chave

    • Para resolver um aplicativo (com uma fórmula)
      1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
      2. Identifique o que estamos procurando.
      3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
      4. Traduza em uma equação. Escreva a fórmula apropriada para a situação. Substitua as informações fornecidas.
      5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
      6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
      7. Responda à pergunta com uma frase completa.
    • Distância, taxa e tempo
      Para um objeto que se move a uma taxa uniforme (constante), a distância percorrida, o tempo decorrido e a taxa são relacionados pela fórmula: d=rt, onde d = distância, r = taxa, t = tempo.
    • Resolver uma fórmula para uma variável específica significa obter essa variável sozinha com um coeficiente de 1 em um lado da equação e todas as outras variáveis e constantes no outro lado.