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2.5: Resolver equações com frações ou decimais

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Resolva equações com coeficientes de fração
    • Resolva equações com coeficientes decimais
    Nota

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Multiplique:\(8\cdot 38\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.6.16.
    2. Encontre o LCD de\(\frac{5}{6}\)\(\frac{1}{4}\) e.
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.7.16.
    3. Multiplique 4,78 por 100.
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.8.22.

    Resolva equações com coeficientes de fração

    Vamos usar a estratégia geral para resolver equações lineares introduzidas anteriormente para resolver a equação,\(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

      .
    Para isolar o termo x, subtraia\(\frac{1}{2}\) dos dois lados. .
    Simplifique o lado esquerdo. .
    Altere as constantes para frações equivalentes com o LCD. .
    Subtrair. .
    Multiplique os dois lados pelo inverso de\(\frac{1}{8}\). .
    Simplifique. .
    Tabela\(\PageIndex{1}\)

    Esse método funcionou bem, mas muitos estudantes não se sentem muito confiantes quando veem todas essas frações. Então, vamos mostrar um método alternativo para resolver equações com frações. Esse método alternativo elimina as frações.

    Aplicaremos a Propriedade de Multiplicação da Igualdade e multiplicaremos os dois lados de uma equação pelo denominador menos comum de todas as frações na equação. O resultado dessa operação será uma nova equação, equivalente à primeira, mas sem frações. Esse processo é chamado de “limpar” a equação das frações.

    Vamos resolver uma equação similar, mas desta vez use o método que elimina as frações.

    Exercício\(\PageIndex{1}\): How to Solve Equations with Fraction Coefficients

    Resolver:\(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)

    Responda

    Essa figura é uma tabela que tem três colunas e três linhas. A primeira coluna é uma coluna de cabeçalho e contém os nomes e números de cada etapa. A segunda coluna contém mais instruções escritas. A terceira coluna contém matemática. Na linha superior da tabela, a primeira célula à esquerda diz: “Etapa 1. Encontre o denominador menos comum de todas as frações na equação.” O texto na segunda célula diz: “Qual é o LCD de 1/6, 1/3 e 5/6?” A terceira célula contém a equação um sexto y menos 1/3 é igual a 5/6, com LCD igual a 6 escrita ao lado dela.Na segunda linha da tabela, a primeira célula diz: “Etapa 2. Multiplique os dois lados da equação por esse LCD. Isso limpa as frações.” Na segunda célula, as instruções dizem: “Multiplique os dois lados da equação pelo LCD 6. Use a propriedade distributiva. Simplifique — e observe, chega de frações!” A terceira célula contém a equação 6 vezes um sexto y menos 1/3, com um sexto y menos 1/3 entre colchetes, igual a 6 vezes 5/6, com “6 vezes” escrito em vermelho nos dois lados. Abaixo está a mesma equação com o 6 distribuído em ambos os lados: 6 vezes um sexto y menos 6 vezes 1/3 é igual a 6 vezes 5/6. Abaixo disso está a equação y menos 2 é igual a 5.Na terceira linha da tabela, a primeira célula diz: “Etapa 3. Resolva usando a estratégia geral para resolver equações lineares.” Na segunda célula, as instruções dizem: “Isole o termo x, adicione 2. Simplifique.” A terceira célula contém a equação com 2 adicionado aos dois lados: y menos 2 mais 2 é igual a 5 mais 2, com “mais 2” escrito em vermelho nos dois lados. Abaixo disso está a equação y é igual a 7.

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Resolver:\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}\)

    Responda

    \(x= \frac{1}{2}\)

    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Resolver:\(\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

    Responda

    \(x = -2\)

    Observe no Exercício que\(\PageIndex{1}\), uma vez que limpamos a equação das frações, a equação era como as que resolvemos anteriormente neste capítulo. Mudamos o problema para um que já sabíamos como resolver! Em seguida, usamos a Estratégia Geral para Resolver Equações Lineares.

    ESTRATÉGIA PARA RESOLVER EQUAÇÕES COM COEFICIENTES DE FRAÇÃO.
    1. Encontre o denominador menos comum de todas as frações na equação.
    2. Multiplique os dois lados da equação por esse LCD. Isso limpa as frações.
    3. Resolva usando a estratégia geral para resolver equações lineares.
    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Resolver:\(6 = \frac{1}{2}v + \frac{2}{5}v - \frac{3}{4}v\)

    Responda

    Queremos limpar as frações multiplicando os dois lados da equação pelo LCD de todas as frações na equação.

    Encontre o LCD de todas as frações na equação. .
    O LCD é 20.  
    Multiplique os dois lados da equação por 20. .
    Distribuir. .
    Simplifique — observe, não há mais frações! .
    Combine termos semelhantes. .
    Divida por 3. .
    Simplifique. .
    Confira: .  
    Seja v=40. .  
      .  
      .  
    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Resolver:\(7 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x - \frac{2}{3}x\)

    Responda

    \(x = 12\)

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Resolver:\(-1 = \frac{1}{2}u + \frac{1}{4}u - \frac{2}{3}u\)

    Responda

    \(u = -12\)

    No próximo exemplo, novamente temos variáveis em ambos os lados da equação.

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Resolver:\(a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8}a - \frac{1}{2}\)

    Responda
      .
    Encontre o LCD de todas as frações na equação.
    O LCD é 8.    		  
    Multiplique os dois lados pelo LCD. .
    Distribuir. .
    Simplifique — não há mais frações. .
    Subtraia 3a3a de ambos os lados. .
    Simplifique. .
    Subtraia 6 dos dois lados. .
    Simplifique. .
    Divida por 5. .
    Simplifique. .
    Confira: .  
    Seja a=−2. .  
      .  
      .  
      .  
    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Resolver:\(x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}\)

    Responda

    \(x = -1\)

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Resolver:\(c + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\)

    Responda

    \(c = -2\)

    No próximo exemplo, começaremos usando a propriedade distributiva. Esta etapa limpa as frações imediatamente.

    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Resolver:\(-5 = \frac{1}{4}(8x + 4)\)

    Responda
      .
    Distribuir. .
    Simplifique.
    Agora não há frações.    		 .
    Subtraia 1 dos dois lados. .
    Simplifique. .
    Divida por 2. .
    Simplifique. .
    Confira: .  
    Seja x=−3. .  
      .  
      .  
      .  
    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Resolver:\(-11 = \frac{1}{2}(6p + 2)\)

    Responda

    \(p = -4\)

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Resolver:\(8 = \frac{1}{3}(9q + 6)\)

    Responda

    \(q = 2\)

    No próximo exemplo, mesmo após a distribuição, ainda temos frações a serem eliminadas.

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Resolver:\(\frac{1}{2}(y - 5) = \frac{1}{4}(y - 1)\)

    Responda
      .
    Distribuir. .
    Simplifique. .
    Multiplique pelo LCD, 4. .
    Distribuir. .
    Simplifique. .
    Colete as variáveis à esquerda. .
    Simplifique. .
    Colete as constantes à direita. .
    Simplifique. .
    Confira: .  
    Seja y = 9. .  
    Conclua o cheque sozinho.
    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Resolver:\(\frac{1}{5}(n + 3) = \frac{1}{4}(n + 2)\)

    Responda

    \(n = 2\)

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Resolver:\(\frac{1}{2}(m - 3) = \frac{1}{4}(m - 7)\)

    Responda

    \(m = -1\)

    Exercício\(\PageIndex{16}\)

    Resolver:\(\frac{5x - 3}{4} = \frac{x}{2}\)

    Responda
      .
    Multiplique pelo LCD, 4. .
    Simplifique. .
    Colete as variáveis à direita. .
    Simplifique. .
    Divida. .
    Simplifique. .
    Confira: .  
    Seja x = 1. .  
      .  
      .  
    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Resolver:\(\frac{4y - 7}{3} = \frac{y}{6}\)

    Responda

    \(y = 2\)

    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Resolver:\(\frac{-2z - 5}{4} = \frac{z}{8}\)

    Responda

    \(z = -2\)

    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    Resolver:\(\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3\)

    Responda
      .
    Multiplique pelo LCD, 12. .
    Distribuir. .
    Simplifique. .
    Colete as variáveis à direita. .
    Simplifique. .
    Colete as constantes à esquerda. .
    Simplifique. .
    Confira: .  
    Seja a=−12. .  
      .  
      .  
    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    Resolver:\(\frac{b}{10} + 2 = \frac{b}{4} + 5\)

    Responda

    \(b = -20\)

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    Resolver:\(\frac{c}{6} + 3 = \frac{c}{3} + 4\)

    Responda

    \(c= -6\)

    Exercício\(\PageIndex{22}\)

    Resolver:\(\frac{4q + 3}{2}+ 6 = \frac{3q + 5}{4}\)

    Responda
      .
    Multiplique pelo LCD, 4. .
    Distribuir. .
    Simplifique. .
    .
    .
    Colete as variáveis à esquerda. .
    Simplifique. .
    Colete as constantes à direita. .
    Simplifique. .
    Divida por 5. .
    Simplifique. .
    Confira: .  
    Seja q=−5. .  
    Conclua o cheque sozinho.
    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    Resolver:\(\frac{3r + 5}{6}+ 1 = \frac{4r + 3}{3}\)

    Responda

    \(r = 1\)

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    Resolver:\(\frac{2s + 3}{2}+ 1 = \frac{3s + 2}{4}\)

    Responda

    \(s = -8\)

    Resolva equações com coeficientes decimais

    Algumas equações têm decimais. Esse tipo de equação ocorrerá quando resolvermos problemas com dinheiro ou porcentagens. Mas os decimais também podem ser expressos como frações. Por exemplo,\(0.3 = \frac{3}{10}\)\(0.17 = \frac{17}{100}\) e. Então, com uma equação com decimais, podemos usar o mesmo método usado para limpar frações — multiplicar os dois lados da equação pelo denominador menos comum.

    Exercício\(\PageIndex{25}\)

    Resolver:\(0.06x + 0.02 = 0.25x - 1.5\)

    Responda

    Veja os decimais e pense nas frações equivalentes.

    \(0.06 = \frac { 6 } { 100 } \quad 0.02 = \frac { 2 } { 100 } \quad 0.25 = \frac { 25 } { 100 } \quad 1.5 = 1 \frac { 5 } { 10 }\)

    Observe que o LCD é 100.

    Ao multiplicar pelo LCD, eliminaremos os decimais da equação.

      .
    Multiplique os dois lados por 100. .
    Distribuir. .
    Multiplique e agora não temos mais decimais. .
    Colete as variáveis à direita. .
    Simplifique. .
    Colete as variáveis à direita. .
    Simplifique. .
    Divida por 19. .
    Simplifique. .
    Verificação: Seja x = 8
    .    		  
    Exercício\(\PageIndex{26}\)

    Resolver:\(0.14h + 0.12 = 0.35h - 2.4\)

    Responda

    \(h = 12\)

    Exercício\(\PageIndex{27}\)

    Resolver:\(0.65k - 0.1 = 0.4k - 0.35\)

    Responda

    \(k = -1\)

    O próximo exemplo usa uma equação típica das aplicações de dinheiro no próximo capítulo. Observe que distribuímos o decimal antes de apagar todos os decimais.

    Exercício\(\PageIndex{28}\)

    Resolver:\(0.25x + 0.05(x + 3) = 2.85\)

    Responda
      .
    Distribua primeiro. .
    Combine termos semelhantes. .
    Para apagar os decimais, multiplique por 100. .
    Distribuir. .
    Subtraia 15 dos dois lados. .
    Simplifique. .
    Divida por 30. .
    Simplifique. .
    Verifique você mesmo substituindo x=9 na equação original.
    Exercício\(\PageIndex{29}\)

    Resolver:\(0.25n + 0.05(n + 5) = 2.95\)

    Responda

    \(n = 9\)

    Exercício\(\PageIndex{30}\)

    Resolver:\(0.10d + 0.05(d -5) = 2.15\)

    Responda

    \(d = 16\)

    Conceitos-chave

    • Estratégia para resolver uma equação com coeficientes de fração
      1. Encontre o denominador menos comum de todas as frações na equação.
      2. Multiplique os dois lados da equação por esse LCD. Isso limpa as frações.
      3. Resolva usando a estratégia geral para resolver equações lineares.