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17.3E: Exercícios para a Seção 17.3

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    1. Uma massa pesando 4 libras estende uma mola de 8 polegadas. Encontre a equação do movimento se a mola for liberada da posição de equilíbrio com uma velocidade descendente de 12 pés/seg. Qual é o período e a frequência do movimento?

    2. Uma massa pesando 2 libras estende uma mola de 2 pés. Encontre a equação do movimento se a mola for liberada de 2 polegadas abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade ascendente de 8 pés/seg. Qual é o período e a frequência do movimento?

    Resposta
    equação diferencial:\(x″+16x=0,\)
    equação do movimento:\(=\,\frac{π}{2} \text{ sec},\)
    frequência do\(x(t)=\frac{1}{6} \cos (4t)−2 \sin (4t),\)
    período\(=\,\frac{2}{π} \text{ Hz}\)

    3. Uma massa de 100 g estende uma mola por 0,1 m. Encontre a equação de movimento da massa se ela for liberada do repouso de uma posição 20 cm abaixo da posição de equilíbrio. Qual é a frequência desse movimento?

    4. Uma massa de 400 g estende uma mola de 5 cm. Encontre a equação do movimento da massa se ela for liberada do repouso de uma posição 15 cm abaixo da posição de equilíbrio. Qual é a frequência desse movimento?

    Resposta
    equação diferencial:\(x″+196x=0,\)
    equação do movimento:\(=\,\frac{π}{7} \text{ sec},\)
    frequência do\(x(t)=0.15 \cos (14t),\)
    período\(=\,\frac{7}{π} \text{ Hz}\)

    5. Um bloco tem uma massa de 9 kg e é preso a uma mola vertical com uma constante de mola de 0,25 N/m. O bloco é esticado 0,75 m abaixo de sua posição de equilíbrio e liberado.

    1. Encontre a função\(x(t)\) de posição do bloco.
    2. Encontre o período e a frequência da vibração.
    3. Esboce um gráfico de\(x(t)\).
    4. Em que momento o bloco passa pela primeira vez pela posição de equilíbrio?

    6. Um bloco tem uma massa de 5 kg e é preso a uma mola vertical com uma constante de mola de 20 N/m. O bloco é liberado da posição de equilíbrio com uma velocidade descendente de 10 m/seg.

    1. Encontre a função\(x(t)\) de posição do bloco.
    2. Encontre o período e a frequência da vibração.
    3. Esboce um gráfico de\(x(t)\).
    4. Em que momento o bloco passa pela primeira vez pela posição de equilíbrio?
    Resposta

    a.\(x(t)=5 \sin (2t)\)
    b.\(=π \text{ sec},\)
    frequência do período\(=\frac{1}{π} \text{ Hz}\)
    c.
    Essa figura é o gráfico de uma função. É uma função periódica com amplitude consistente. O eixo horizontal é rotulado em incrementos de 1. O eixo vertical é rotulado em incrementos de 1,5.
    d.\(t=\frac{π}{2} \text{ sec}\)

    7. Uma massa de 1 kg é fixada a uma mola vertical com uma constante de mola de 21 N/m. A resistência no sistema de massa de mola é igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa.

    1. Encontre a equação do movimento se a massa for liberada de uma posição 2 m abaixo de sua posição de equilíbrio com uma velocidade descendente de 2 m/seg.
    2. Faça um gráfico da solução e determine se o movimento está sobreamortecido, amortecido criticamente ou subamortecido.

    8. Um peso de 800 libras (25 lesmas) é preso a uma mola vertical com uma constante de mola de 226 lb/ft. O sistema é imerso em um meio que transmite uma força de amortecimento igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa.

    1. Encontre a equação do movimento se ela for liberada de uma posição 20 pés abaixo de sua posição de equilíbrio com uma velocidade descendente de 41 pés/seg.
    2. Faça um gráfico da solução e determine se o movimento está sobreamortecido, amortecido criticamente ou subamortecido.
    Resposta

    uma.\(x(t)=e^{−t/5}(20 \cos (3t)+15 \sin(3t))\)

    b. pouco amortecido

    9. Uma massa de 9 kg é fixada a uma mola vertical com uma constante de mola de 16 N/m. O sistema é imerso em um meio que confere uma força de amortecimento igual a 24 vezes a velocidade instantânea da massa.

    1. Encontre a equação do movimento se ela for liberada de sua posição de equilíbrio com uma velocidade ascendente de 4 m/seg.
    2. Faça um gráfico da solução e determine se o movimento está sobreamortecido, amortecido criticamente ou subamortecido.

    10. Uma massa de 1 kg estende uma mola de 6,25 cm. A resistência no sistema de massa mola é igual a oito vezes a velocidade instantânea da massa.

    1. Encontre a equação do movimento se a massa for liberada de uma posição 5 m abaixo de sua posição de equilíbrio com uma velocidade ascendente de 10 m/seg.
    2. Determine se o movimento está sobreamortecido, amortecido criticamente ou pouco amortecido.
    Resposta

    uma.\(x(t)=5e^{−4t}+10te^{−4t}\)

    b. criticamente amortecido

    11. Um peso de 32 libras (1 lesma) estende uma mola vertical de 4 polegadas. A resistência no sistema de massa mola é igual a quatro vezes a velocidade instantânea da massa.

    1. Encontre a equação do movimento se ela for liberada de sua posição de equilíbrio com uma velocidade descendente de 12 pés/seg.
    2. Determine se o movimento está sobreamortecido, amortecido criticamente ou pouco amortecido.

    12. Um peso de 64 lb é fixado a uma mola vertical com uma constante de mola de 4.625 lb/ft. A resistência no sistema de massa de mola é igual à velocidade instantânea. O peso é acionado a partir de uma posição 1 pé abaixo de sua posição de equilíbrio com uma velocidade ascendente de 2 pés/seg. A massa está acima ou abaixo da posição da equação no final do\(π\) segundo? A que distância?

    Resposta
    \(x(π)=\frac{7e^{−π/4}}{6}\)pés abaixo

    13. Uma massa que pesa 8 libras estende uma mola de 6 polegadas. O sistema é acionado por uma força externa de\(8 \sin 8t \) lb. Se a massa for puxada para baixo 3 polegadas e depois liberada, determine a posição da massa a qualquer momento.

    14. Uma massa que pesa 6 libras estende uma mola de 3 polegadas. O sistema é acionado por uma força externa de\(8 \sin (4t) \) lb. Se a massa for puxada para baixo 1 polegada e depois liberada, determine a posição da massa a qualquer momento.

    Resposta
    \(x(t)=\frac{32}{9} \sin (4t)+ \cos (\sqrt{128}t)−\frac{16}{9\sqrt{2}} \sin (\sqrt{128}t)\)

    15. Encontre a carga no capacitor em um circuito da série RLC onde\(L=40\) H\(R=30\,Ω\),\(C=1/200\) F e\(E(t)=200\) V. Suponha que a carga inicial no capacitor seja 7 C e a corrente inicial seja 0 A.

    16. Encontre a carga no capacitor em um circuito da série RLC onde\(L=2\) H,\(R=24\,Ω,\)\(C=0.005\) F e\(E(t)=12 \sin 10t\) V. Suponha que a carga inicial no capacitor seja 0,001 C e a corrente inicial seja 0 A.

    Resposta
    \(q(t)=e^{−6t}(0.051 \cos (8t)+0.03825 \sin (8t))−\frac{1}{20} \cos (10t)\)

    17. Um circuito em série consiste em um dispositivo em que\(L=1\) H,\(R=20\,Ω,\)\(C=0.002\) F e\(E(t)=12\) V. Se a carga inicial e a corrente forem ambas zero, encontre a carga e a corrente no momento\(t.\)

    18. Um circuito em série consiste em um dispositivo em que\(L=12\) H\(R=10\,Ω\),\(C=\frac{1}{50}\) F e\(E(t)=250\) V. Se a carga inicial no capacitor for 0 C e a corrente inicial for 18 A, encontre a carga e a corrente no momento\(t.\)

    Resposta
    \(q(t)=e^{−10t}(−32t−5)+5,I(t)=2e^{−10t}(160t+9)\)