14.7: Problemas máximos/mínimos
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- 187953
- Use derivadas parciais para localizar pontos críticos para uma função de duas variáveis.
- Aplique um segundo teste derivado para identificar um ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela para uma função de duas variáveis.
- Examine pontos críticos e pontos de limite para encontrar valores absolutos máximos e mínimos para uma função de duas variáveis.
Uma das aplicações mais úteis para derivadas de uma função de uma variável é a determinação de valores máximos e/ou mínimos. Esse aplicativo também é importante para funções de duas ou mais variáveis, mas, como vimos nas seções anteriores deste capítulo, a introdução de mais variáveis independentes leva a mais resultados possíveis para os cálculos. As ideias principais de encontrar pontos críticos e usar testes derivados ainda são válidas, mas novas rugas aparecem ao avaliar os resultados.
Pontos críticos
Para funções de uma única variável, definimos pontos críticos como os valores da variável na qual a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para funções de duas ou mais variáveis, o conceito é essencialmente o mesmo, exceto pelo fato de que agora estamos trabalhando com derivadas parciais.
\(z=f(x,y)\)Seja uma função de duas variáveis que é diferenciável em um conjunto aberto contendo o ponto\((x_0,y_0)\). O ponto\((x_0,y_0)\) é chamado de ponto crítico de uma função de duas variáveis\(f\) se uma das duas condições a seguir for válida:
- \(f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\)
- Qualquer um deles\(f_x(x_0,y_0) \; \text{or} \; f_y(x_0,y_0)\) não existe.
Encontre os pontos críticos de cada uma das seguintes funções:
- \(f(x,y)=\sqrt{4y^2−9x^2+24y+36x+36}\)
- \(g(x,y)=x^2+2xy−4y^2+4x−6y+4\)
Solução
uma. Primeiro, calculamos\(f_x(x,y) \; \text{and} \; f_y(x,y):\)
\[\begin{align*} f_x(x,y) &=\dfrac{1}{2}(−18x+36)(4y^2−9x^2+24y+36x+36)^{−1/2} \\[4pt] &=\dfrac{−9x+18}{\sqrt{4y^2−9x^2+24y+36x+36}} \end{align*}\]
\[\begin{align*} f_y(x,y) &=\dfrac{1}{2}(8y+24)(4y^2−9x^2+24y+36x+36)^{−1/2} \\[4pt] &=\dfrac{4y+12}{\sqrt{4y^2−9x^2+24y+36x+36}} \end{align*}. \nonumber \]
Em seguida, definimos cada uma dessas expressões como igual a zero:
\[\begin{align*} \dfrac{−9x+18}{\sqrt{4y^2−9x^2+24y+36x+36}} &=0 \\[4pt] \dfrac{4y+12}{\sqrt{4y^2−9x^2+24y+36x+36}} &=0. \end{align*}\]
Em seguida, multiplique cada equação pelo seu denominador comum:
\[\begin{align*} −9x+18 &=0 \\[4pt] 4y+12 &=0. \end{align*}\]
Portanto,\(x=2\) e\(y=−3,\) assim\((2,−3)\) é um ponto crítico de\(f\).
Também devemos verificar a possibilidade de que o denominador de cada derivada parcial seja igual a zero, fazendo com que a derivada parcial não exista. Como o denominador é o mesmo em cada derivada parcial, precisamos fazer isso apenas uma vez:
\[4y^2−9x^2+24y+36x+36=0. \label{critical1} \]
A equação\ ref {critical1} representa uma hipérbole. Devemos também observar que o domínio de\(f\) consiste em pontos que satisfazem a desigualdade.
\[4y^2−9x^2+24y+36x+36≥0. \nonumber \]
Portanto, quaisquer pontos na hipérbole não são apenas pontos críticos, eles também estão no limite do domínio. Para colocar a hipérbole na forma padrão, usamos o método de completar o quadrado:
\[\begin{align*} 4y^2−9x^2+24y+36x+36 &=0 \\[4pt] 4y^2−9x^2+24y+36x &=−36 \\[4pt] 4y^2+24y−9x^2+36x &=−36 \\[4pt] 4(y^2+6y)−9(x^2−4x) &=−36 \\[4pt] 4(y^2+6y+9)−9(x^2−4x+4) &=−36−36+36 \\[4pt] 4(y+3)^2−9(x−2)^2 &=−36.\end{align*}\]
Dividindo os dois lados por\(−36\) coloca a equação na forma padrão:
\[\begin{align*} \dfrac{4(y+3)^2}{−36}−\dfrac{9(x−2)^2}{−36} &=1 \\[4pt] \dfrac{(x−2)^2}{4}−\dfrac{(y+3)^2}{9} &=1. \end{align*}\]
Observe que o ponto\((2,−3)\) é o centro da hipérbole.
Assim, os pontos críticos da função\(f\) são\( (2, -3) \) e todos os pontos da hipérbole,\(\dfrac{(x−2)^2}{4}−\dfrac{(y+3)^2}{9}=1\).
b. Primeiro, calculamos\(g_x(x,y)\) e\(g_y(x,y)\):
\[\begin{align*} g_x(x,y) &=2x+2y+4 \\[4pt] g_y(x,y) &=2x−8y−6. \end{align*}\]
Em seguida, definimos cada uma dessas expressões como igual a zero, o que fornece um sistema de equações em\(x\) e\(y\):
\[\begin{align*} 2x+2y+4 &=0 \\[4pt] 2x−8y−6 &=0. \end{align*}\]
Subtraindo a segunda equação da primeira dá\(10y+10=0\), então\(y=−1\). Substituir isso na primeira equação dá\(2x+2(−1)+4=0\), então\(x=−1\).
Portanto,\((−1,−1)\) é um ponto crítico de\(g\). Não há pontos\(\mathbb{R}^2\) que façam com que nenhuma derivada parcial exista.
A figura\(\PageIndex{1}\) mostra o comportamento da superfície no ponto crítico.
Encontre o ponto crítico da função\(f(x,y)=x^3+2xy−2x−4y.\)
- Dica
-
\(f_x(x,y)\)Calcule e\(f_y(x,y)\), em seguida, defina-os como iguais a zero.
- Responda
-
O único ponto crítico do\(f\) é\((2,−5)\).
O objetivo principal para determinar pontos críticos é localizar máximos e mínimos relativos, como no cálculo de variável única. Ao trabalhar com uma função de uma variável, a definição de uma extremidade local envolve encontrar um intervalo em torno do ponto crítico, de forma que o valor da função seja maior ou menor do que todos os outros valores da função nesse intervalo. Ao trabalhar com uma função de duas ou mais variáveis, trabalhamos com um disco aberto ao redor do ponto.
\(z=f(x,y)\)Seja uma função de duas variáveis que é definida e contínua em um conjunto aberto contendo o ponto\((x_0,y_0).\) Então\(f\) tem um máximo local em\((x_0,y_0)\) if
\[f(x_0,y_0)≥f(x,y) \nonumber \]
para todos os pontos\((x,y)\) dentro de algum disco centrado em\((x_0,y_0)\). O número\(f(x_0,y_0)\) é chamado de valor máximo local. Se a desigualdade anterior for válida para cada ponto\((x,y)\) no domínio de\(f\), então\(f\) tem um máximo global (também chamado de máximo absoluto) em\((x_0,y_0).\)
A função\(f\) tem um mínimo local em\((x_0,y_0)\) if
\[f(x_0,y_0)≤f(x,y) \nonumber \]
para todos os pontos\((x,y)\) dentro de algum disco centrado em\((x_0,y_0)\). O número\(f(x_0,y_0)\) é chamado de valor mínimo local. Se a desigualdade anterior for válida para cada ponto\((x,y)\) no domínio de\(f\), então\(f\) tem um mínimo global (também chamado de mínimo absoluto) em\((x_0,y_0)\).
Se\(f(x_0,y_0)\) for um valor máximo local ou mínimo local, então é chamado de extremo local (veja a figura a seguir).
No Cálculo 1, mostramos que os extremos das funções de uma variável ocorrem em pontos críticos. O mesmo vale para funções de mais de uma variável, conforme declarado no teorema a seguir.
\(z=f(x,y)\)Seja uma função de duas variáveis que é definida e contínua em um conjunto aberto contendo o ponto\((x_0,y_0)\). Suponha que\(f_x\)\(f_y\) cada um exista em\((x_0,y_0)\). Se f tem um extremo local em\((x_0,y_0)\), então\((x_0,y_0)\) é um ponto crítico de\(f\).
Segundo teste derivado
Considere a função\(f(x)=x^3.\) Esta função tem um ponto crítico em\(x=0\), uma vez que\(f'(0)=3(0)^2=0\). No entanto,\(f\) não tem um valor extremo em\(x=0\). Portanto, a existência de um valor crítico em\(x=x_0\) não garante um extremo local em\(x=x_0\). O mesmo vale para uma função de duas ou mais variáveis. Uma maneira pela qual isso pode acontecer é na ponta do selim. Um exemplo de ponto de sela aparece na figura a seguir.
Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfico da função\(z=x^2−y^2\). Este gráfico tem um ponto de sela na origem.
Neste gráfico, a origem é um ponto de sela. Isso ocorre porque as primeiras derivadas parciais de f\((x,y)=x^2−y^2\) são ambas iguais a zero nesse ponto, mas não são nem máximas nem mínimas para a função. Além disso, o traço vertical correspondente a\(y=0\) é\(z=x^2\) (uma parábola se abrindo para cima), mas o traço vertical correspondente a\(x=0\) é\(z=−y^2\) (uma parábola se abrindo para baixo). Portanto, é um máximo global para um rastreamento e um mínimo global para outro.
Dada\(z=f(x,y),\) a função, o ponto\(\big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\big)\) é um ponto de sela se ambos\(f_x(x_0,y_0)=0\) e\(f_y(x_0,y_0)=0\), mas\(f\) não tem uma extremidade local em\((x_0,y_0).\)
O segundo teste derivado para uma função de uma variável fornece um método para determinar se um extremo ocorre em um ponto crítico de uma função. Ao estender esse resultado para uma função de duas variáveis, surge um problema relacionado ao fato de que existem, de fato, quatro derivadas parciais de segunda ordem diferentes, embora a igualdade de parciais mistos reduza isso para três. O segundo teste de derivada para uma função de duas variáveis, declarado no teorema a seguir, usa um discriminante\(D\) que substitui\(f''(x_0)\) no segundo teste derivado por uma função de uma variável.
\(z=f(x,y)\)Seja uma função de duas variáveis para as quais as derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em algum disco contendo o ponto\((x_0,y_0)\). Suponha\(f_x(x_0,y_0)=0\) e\(f_y(x_0,y_0)=0.\) defina a quantidade
\[D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)−\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^2. \nonumber \]
Então:
- Se\(D>0\) e\(f_{xx}(x_0,y_0)>0\), então f tem um mínimo local em\((x_0,y_0)\).
- Se\(D>0\) e\(f_{xx}(x_0,y_0)<0\), então f tem um máximo local em\((x_0,y_0)\).
- Se\(D<0\), então\(f\) tem um ponto de sela em\((x_0,y_0)\).
- Se\(D=0\) sim, então o teste é inconclusivo.
Veja a Figura\(\PageIndex{4}\).
Para aplicar o segundo teste de derivada, é necessário primeiro encontrar os pontos críticos da função. Há várias etapas envolvidas em todo o procedimento, descritas em uma estratégia de solução de problemas.
\(z=f(x,y)\)Seja uma função de duas variáveis para as quais as derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em algum disco contendo o ponto.\((x_0,y_0).\) Para aplicar o teste da segunda derivada para encontrar a extremidade local, use as seguintes etapas:
- Determine os pontos críticos\((x_0,y_0)\) da função em\(f\) que\(f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0.\) Descarte quaisquer pontos em que pelo menos uma das derivadas parciais não exista.
- Calcule o discriminante\(D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)−\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^2\) para cada ponto crítico de\(f\).
- Aplique os quatro casos do teste para determinar se cada ponto crítico é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, ou se o teorema é inconclusivo.
Encontre os pontos críticos para cada uma das seguintes funções e use o segundo teste de derivada para encontrar a extremidade local:
- \(f(x,y)=4x^2+9y^2+8x−36y+24\)
- \(g(x,y)=\dfrac{1}{3}x^3+y^2+2xy−6x−3y+4\)
Solução
a. A etapa 1 da estratégia de resolução de problemas envolve encontrar os pontos críticos de\(f\). Para fazer isso, primeiro calculamos\(f_x(x,y)\) e\(f_y(x,y)\), em seguida, definimos cada um deles como igual a zero:
\[\begin{align*} f_x(x,y) &=8x+8 \\[4pt] f_y(x,y) &=18y−36. \end{align*}\]
Definindo-os iguais a zero produz o sistema de equações
\[\begin{align*} 8x+8 &=0 \\[4pt] 18y−36 &=0. \end{align*}\]
A solução para esse sistema é\(x=−1\)\(y=2\) e. Portanto,\((−1,2)\) é um ponto crítico de\(f\).
A etapa 2 da estratégia de resolução de problemas envolve o cálculo.\(D.\) Para fazer isso, primeiro calculamos as segundas derivadas parciais de\(f:\)
\[\begin{align*} f_{xx}(x,y) &=8 \\[4pt] f_{xy}(x,y) &=0 \\[4pt] f_{yy}(x,y) &=18. \end{align*}\]
Portanto,\(D=f_{xx}(−1,2)f_{yy}(−1,2)−\big(f_{xy}(−1,2)\big)^2=(8)(18)−(0)^2=144.\)
A etapa 3 afirma aplicar os quatro casos do teste para classificar o comportamento da função nesse ponto crítico.
Desde\(D>0\) e\(f_{xx}(−1,2)>0,\) isso corresponde ao caso 1. Portanto,\(f\) tem um mínimo local em\((−1,2)\), conforme mostrado na figura a seguir.
Figura\(\PageIndex{5}\): A função\(f(x,y)\) tem um mínimo local em\((−1,2,−16).\) Observe que a escala no\(y\) eixo -neste gráfico está em milhares.
b. Para a etapa 1, primeiro calculamos\(g_x(x,y)\) e\(g_y(x,y)\), em seguida, definimos cada um deles como igual a zero:
\[\begin{align*} g_x(x,y) &=x^2+2y−6 \\[4pt] g_y(x,y) &=2y+2x−3. \end{align*}\]
Definindo-os iguais a zero produz o sistema de equações
\[\begin{align*} x^2+2y−6 &=0 \\[4pt] 2y+2x−3 &=0. \end{align*}\]
Para resolver esse sistema, primeiro resolva a segunda equação para\(y\). Isso dá\(y=\dfrac{3−2x}{2}\). Substituindo isso na primeira equação dá
\[\begin{align*} x^2+3−2x−6 &=0 \\[4pt] x^2−2x−3 &=0 \\[4pt] (x−3)(x+1) &=0. \end{align*}\]
Portanto,\(x=−1\) ou\(x=3\). Substituir esses valores na equação\(y=\dfrac{3−2x}{2}\) produz os pontos críticos\(\left(−1,\frac{5}{2}\right)\)\(\left(3,−\frac{3}{2}\right)\) e.
A etapa 2 envolve o cálculo das segundas derivadas parciais de\(g\):
\[\begin{align*} g_{xx}(x,y) &=2x \\[4pt] g_{xy}(x,y) &=2\\[4pt] g_{yy}(x,y) &=2. \end{align*}\]
Em seguida, encontramos uma fórmula geral para\(D\):
\[\begin{align*} D(x_0, y_0) &=g_{xx}(x_0,y_0)g_{yy}(x_0,y_0)−\big(g_{xy}(x_0,y_0)\big)^2 \\[4pt] &=(2x_0)(2)−2^2\\[4pt] &=4x_0−4.\end{align*}\]
Em seguida, substituímos cada ponto crítico nesta fórmula:
\[\begin{align*} D\left(−1,\tfrac{5}{2}\right) &=(2(−1))(2)−(2)^2=−4−4=−8 \\[4pt] D\left(3,−\tfrac{3}{2}\right) &=(2(3))(2)−(2)^2=12−4=8. \end{align*}\]
Na etapa 3, notamos que aplicar o Note ao ponto\(\left(−1,\frac{5}{2}\right)\) leva ao caso\(3\), o que significa que\(\left(−1,\frac{5}{2}\right)\) é um ponto de sela. A aplicação do teorema ao ponto\(\left(3,−\frac{3}{2}\right)\) leva ao caso\(1\), o que significa que\(\left(3,−\frac{3}{2}\right)\) corresponde a um mínimo local, conforme mostrado na figura a seguir.
Use o segundo teste de derivada para encontrar a extremidade local da função
\[ f(x,y)=x^3+2xy−6x−4y^2. \nonumber \]
- Dica
-
Siga a estratégia de resolução de problemas para aplicar o segundo teste derivado.
- Responda
-
\(\left(\frac{4}{3},\frac{1}{3}\right)\)é um ponto de sela,\(\left(−\frac{3}{2},−\frac{3}{8}\right)\) é um máximo local.
Máximos e mínimos absolutos
Ao encontrar a extremidade global das funções de uma variável em um intervalo fechado, começamos verificando os valores críticos nesse intervalo e, em seguida, avaliamos a função nos pontos finais do intervalo. Ao trabalhar com uma função de duas variáveis, o intervalo fechado é substituído por um conjunto fechado e limitado. Um conjunto é limitado se todos os pontos desse conjunto puderem estar contidos em uma bola (ou disco) de raio finito. Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos dentro do conjunto e calcular os valores críticos correspondentes. Em seguida, é necessário encontrar o valor máximo e mínimo da função no limite do conjunto. Quando temos todos esses valores, o maior valor da função corresponde ao máximo global e o menor valor da função corresponde ao mínimo absoluto. Em primeiro lugar, porém, precisamos ter certeza de que esses valores existem. O teorema a seguir faz isso.
Uma função contínua\(f(x,y)\) em um conjunto fechado e limitado\(D\) no plano atinge um valor máximo absoluto em algum ponto\(D\) e um valor mínimo absoluto em algum ponto de\(D\).
Agora que sabemos que qualquer função contínua\(f\) definida em um conjunto fechado e limitado atinge seus valores extremos, precisamos saber como encontrá-los.
Suponha que\(z=f(x,y)\) seja uma função diferenciável de duas variáveis definidas em um conjunto fechado e limitado\(D\). Em seguida,\(f\) obterá o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto, que são, respectivamente, os maiores e menores valores encontrados entre os seguintes:
- Os valores de\(f\) nos pontos críticos de\(f\) in\(D\).
- Os valores de\(f\) no limite de\(D\).
A prova desse teorema é uma consequência direta do teorema do valor extremo e do teorema de Fermat. Em particular, se um dos extremos não estiver localizado no limite de\(D\), então ele está localizado em um ponto interno de\(D\). Mas um ponto interior\((x_0,y_0)\)\(D\) desse extremo absoluto também é um extremo local; portanto,\((x_0,y_0)\) é um ponto crítico do\(f\) teorema de Fermat. Portanto, os únicos valores possíveis para a extremidade global de\(f\) on\(D\) são os valores extremos de\(f\) no interior ou limite de\(D\).
\(z=f(x,y)\)Seja uma função contínua de duas variáveis definidas em um conjunto fechado e limitado\(D\), e suponha que\(f\) seja diferenciável em\(D\). Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de\(f\) on\(D\), faça o seguinte:
- Determine os pontos críticos de\(f\) in\(D\).
- Calcule\(f\) em cada um desses pontos críticos.
- Determine os valores máximo e mínimo de\(f\) no limite de seu domínio.
- Os valores máximo e mínimo de\(f\) ocorrerão em um dos valores obtidos nas etapas\(2\)\(3\) e.
Encontrar os valores máximo e mínimo de\(f\) no limite de\(D\) pode ser um desafio. Se o limite for um retângulo ou conjunto de linhas retas, é possível parametrizar os segmentos de linha e determinar os máximos em cada um desses segmentos, conforme visto em Example\(\PageIndex{3}\). A mesma abordagem pode ser usada para outras formas, como círculos e elipses.
Se o limite do conjunto\(D\) for uma curva mais complicada definida por uma função\(g(x,y)=c\) para alguma constante\(c\), e\(g\) existirem derivadas parciais de primeira ordem, então o método dos multiplicadores de Lagrange pode ser útil para determinar a extremidade de\(f\) no limite que é introduzido no Lagrange Multipliers.
Use a estratégia de resolução de problemas para encontrar a extremidade absoluta de uma função para determinar a extremidade absoluta de cada uma das seguintes funções:
- \(f(x,y)=x^2−2xy+4y^2−4x−2y+24\)no domínio definido por\(0≤x≤4\) e\(0≤y≤2\)
- \(g(x,y)=x^2+y^2+4x−6y\)no domínio definido por\(x^2+y^2≤16\)
Solução
uma. Usando a estratégia de resolução de problemas, a etapa\(1\) envolve encontrar os pontos críticos\(f\) de seu domínio. Portanto, primeiro calculamos\(f_x(x,y)\) e\(f_y(x,y)\), em seguida, definimos cada um deles como igual a zero:
\[\begin{align*} f_x(x,y) &=2x−2y−4 \\[4pt] f_y(x,y) &=−2x+8y−2. \end{align*}\]
Definindo-os iguais a zero produz o sistema de equações
\[\begin{align*} 2x−2y−4 &=0\\[4pt] −2x+8y−2 &=0. \end{align*}\]
A solução para esse sistema é\(x=3\)\(y=1\) e. Portanto,\((3,1)\) é um ponto crítico de\(f\). Calcular\(f(3,1)\) dá\(f(3,1)=17.\)
A próxima etapa envolve encontrar a extremidade de\(f\) no limite de seu domínio. O limite de seu domínio consiste em quatro segmentos de linha, conforme mostrado no gráfico a seguir:
\(L_1\)é o segmento de linha que conecta\((0,0)\) e\((4,0)\), e pode ser parametrizado pelas equações\(x(t)=t,y(t)=0\) para\(0≤t≤4\). Definir\(g(t)=f\big(x(t),y(t)\big)\). Isso dá\(g(t)=t^2−4t+24\). A diferenciação\(g\) leva a\(g′(t)=2t−4.\) Portanto,\(g\) tem um valor crítico em\(t=2\), que corresponde ao ponto\((2,0)\). O cálculo\(f(2,0)\) fornece o\(z\) valor de\(20\).
\(L_2\)é o segmento de linha que se conecta\((4,0)\) e\((4,2)\), e pode ser parametrizado pelas equações\(x(t)=4,y(t)=t\) de\(0≤t≤2.\) Novamente, define\(g(t)=f\big(x(t),y(t)\big).\) Isso dá\(g(t)=4t^2−10t+24.\) Então,\(g′(t)=8t−10\). g tem um valor crítico em\(t=\frac{5}{4}\), que corresponde ao ponto\(\left(0,\frac{5}{4}\right).\) Calculando \(f\left(0,\frac{5}{4}\right)\)fornece o\(z\) valor de\(27.75\).
\(L_3\)é o segmento de linha que se conecta\((0,2)\) e\((4,2)\), e pode ser parametrizado pelas equações\(x(t)=t,y(t)=2\) de\(0≤t≤4.\) Novamente, define\(g(t)=f\big(x(t),y(t)\big).\) Isso dá\(g(t)=t^2−8t+36.\) O valor crítico corresponde ao ponto\((4,2).\) Então, o cálculo\(f(4,2)\) fornece o\(z\) valor - \(20\).
\(L_4\)é o segmento de linha que se conecta\((0,0)\) e\((0,2)\) pode ser parametrizado pelas equações\(x(t)=0,y(t)=t\) de\(0≤t≤2.\) Desta vez,\(g(t)=4t^2−2t+24\) e o valor crítico\(t=\frac{1}{4}\) corresponde ao ponto\(\left(0,\frac{1}{4}\right)\). O cálculo\(f\left(0,\frac{1}{4}\right)\) fornece o\(z\) valor -\(23.75.\)
Também precisamos encontrar os valores de\(f(x,y)\) nos cantos de seu domínio. Esses cantos estão localizados em\((0,0),(4,0),(4,2)\) e\((0,2)\):
\[\begin{align*} f(0,0) &=(0)^2−2(0)(0)+4(0)^2−4(0)−2(0)+24=24 \\[4pt] f(4,0) &=(4)^2−2(4)(0)+4(0)^2−4(4)−2(0)+24=24 \\[4pt] f(4,2) &=(4)^2−2(4)(2)+4(2)^2−4(4)−2(2)+24=20\\[4pt] f(0,2) &=(0)^2−2(0)(2)+4(2)^2−4(0)−2(2)+24=36. \end{align*}\]
O valor máximo absoluto é\(36\), que ocorre em\((0,2)\), e o valor mínimo global é\(20\), que ocorre em ambos\((4,2)\) e\((2,0)\) conforme mostrado na figura a seguir.
b. Usando a estratégia de resolução de problemas, a etapa\(1\) envolve encontrar os pontos críticos\(g\) de seu domínio. Portanto, primeiro calculamos\(g_x(x,y)\) e\(g_y(x,y)\), em seguida, definimos cada um deles como igual a zero:
\[\begin{align*} g_x(x,y) &=2x+4 \\[4pt] g_y(x,y) &=2y−6. \end{align*}\]
Definindo-os iguais a zero produz o sistema de equações
\[\begin{align*} 2x+4 &=0 \\[4pt] 2y−6 &=0. \end{align*}\]
A solução para esse sistema é\(x=−2\)\(y=3\) e. Portanto,\((−2,3)\) é um ponto crítico de\(g\). Calculando\(g(−2,3),\), obtemos
\[g(−2,3)=(−2)^2+3^2+4(−2)−6(3)=4+9−8−18=−13. \nonumber \]
A próxima etapa envolve encontrar a extremidade de g no limite de seu domínio. O limite de seu domínio consiste em um círculo de raio\(4\) centrado na origem, conforme mostrado no gráfico a seguir.
O limite do domínio de\(g\) pode ser parametrizado usando as funções\(x(t)=4\cos t,\, y(t)=4\sin t\) for\(0≤t≤2π\). Definir\(h(t)=g\big(x(t),y(t)\big):\)
\[\begin{align*} h(t) &=g\big(x(t),y(t)\big) \\[4pt] &=(4\cos t)^2+(4\sin t)^2+4(4\cos t)−6(4\sin t) \\[4pt] &=16\cos^2t+16\sin^2t+16\cos t−24\sin t\\[4pt] &=16+16\cos t−24\sin t. \end{align*}\]
Definir\(h′(t)=0\) leads para
\[\begin{align*} −16\sin t−24\cos t &=0 \\[4pt] −16\sin t &=24\cos t\\[4pt] \dfrac{−16\sin t}{−16\cos t} &=\dfrac{24\cos t}{−16\cos t} \\[4pt] \tan t &=−\dfrac{3}{2}. \end{align*}\]
Essa equação tem duas soluções ao longo do intervalo\(0≤t≤2π\). Um é\(t=π−\arctan (\frac{3}{2})\) e o outro é\(t=2π−\arctan (\frac{3}{2})\). Para o primeiro ângulo,
\[\begin{align*} \sin t &=\sin(π−\arctan(\tfrac{3}{2}))=\sin (\arctan (\tfrac{3}{2}))=\dfrac{3\sqrt{13}}{13} \\[4pt] \cos t &=\cos (π−\arctan (\tfrac{3}{2}))=−\cos (\arctan (\tfrac{3}{2}))=−\dfrac{2\sqrt{13}}{13}. \end{align*}\]
Portanto,\(x(t)=4\cos t =−\frac{8\sqrt{13}}{13}\) e\(y(t)=4\sin t=\frac{12\sqrt{13}}{13}\), assim\(\left(−\frac{8\sqrt{13}}{13},\frac{12\sqrt{13}}{13}\right)\) é um ponto crítico na fronteira e
\[\begin{align*} g\left(−\tfrac{8\sqrt{13}}{13},\tfrac{12\sqrt{13}}{13}\right) &=\left(−\tfrac{8\sqrt{13}}{13}\right)^2+\left(\tfrac{12\sqrt{13}}{13}\right)^2+4\left(−\tfrac{8\sqrt{13}}{13}\right)−6\left(\tfrac{12\sqrt{13}}{13}\right) \\[4pt] &=\frac{144}{13}+\frac{64}{13}−\frac{32\sqrt{13}}{13}−\frac{72\sqrt{13}}{13} \\[4pt] &=\frac{208−104\sqrt{13}}{13}≈−12.844. \end{align*}\]
Para o segundo ângulo,
\[\begin{align*} \sin t &=\sin (2π−\arctan (\tfrac{3}{2}))=−\sin (\arctan (\tfrac{3}{2}))=−\dfrac{3\sqrt{13}}{13} \\[4pt] \cos t &=\cos (2π−\arctan (\tfrac{3}{2}))=\cos (\arctan (\tfrac{3}{2}))=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}. \end{align*}\]
Portanto,\(x(t)=4\cos t=\frac{8\sqrt{13}}{13}\) e\(y(t)=4\sin t=−\frac{12\sqrt{13}}{13}\), assim\(\left(\frac{8\sqrt{13}}{13},−\frac{12\sqrt{13}}{13}\right)\) é um ponto crítico na fronteira e
\[\begin{align*} g\left(\tfrac{8\sqrt{13}}{13},−\tfrac{12\sqrt{13}}{13}\right) &=\left(\tfrac{8\sqrt{13}}{13}\right)^2+\left(−\tfrac{12\sqrt{13}}{13}\right)^2+4\left(\tfrac{8\sqrt{13}}{13}\right)−6\left(−\tfrac{12\sqrt{13}}{13}\right) \\[4pt] &=\dfrac{144}{13}+\dfrac{64}{13}+\dfrac{32\sqrt{13}}{13}+\dfrac{72\sqrt{13}}{13}\\[4pt] &=\dfrac{208+104\sqrt{13}}{13}≈44.844. \end{align*}\]
O mínimo absoluto de\(g\) é o\(−13,\) que é atingido no ponto\((−2,3)\), que é um ponto interior de\(D\). O máximo absoluto de\(g\) é aproximadamente igual a 44,844, que é alcançado no ponto limite\(\left(\frac{8\sqrt{13}}{13},−\frac{12\sqrt{13}}{13}\right)\). Esses são os extremos absolutos de\(g\) on\(D\), conforme mostrado na figura a seguir.
Use a estratégia de resolução de problemas para encontrar a extremidade absoluta de uma função para encontrar a extremidade absoluta da função
\[f(x,y)=4x^2−2xy+6y^2−8x+2y+3 \nonumber \]
no domínio definido por\(0≤x≤2\) e\(−1≤y≤3.\)
- Dica
-
\(f_x(x,y)\)Calcule\(f_y(x,y)\) e e defina-os como iguais a zero. Em seguida, calcule\(f\) para cada ponto crítico e encontre a extremidade de\(f\) no limite de\(D\).
- Responda
-
O mínimo absoluto ocorre em\((1,0): f(1,0)=−1.\)
O máximo absoluto ocorre em\((0,3): f(0,3)=63.\)
A\(T\) empresa Pro desenvolveu um modelo de lucro que depende do número\(x\) de bolas de golfe vendidas por mês (medido em milhares) e do número de horas por mês de publicidade\(y\), de acordo com a função
\[ z=f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2, \nonumber \]
onde\(z\) é medido em milhares de dólares. O número máximo de bolas de golfe que podem ser produzidas e vendidas é\(50,000\), e o número máximo de horas de publicidade que podem ser compradas é\(25\). Encontre os valores de\(x\) e\(y\) que maximizam o lucro e encontre o lucro máximo.
Solução
Usando a estratégia de resolução de problemas, a etapa\(1\) envolve encontrar os pontos críticos\(f\) de seu domínio. Portanto, primeiro calculamos\(f_x(x,y)\) e\(f_y(x,y),\) depois definimos cada um deles como igual a zero:
\[\begin{align*} f_x(x,y) &=48−2x−2y \\[4pt] f_y(x,y) &=96−2x−18y. \end{align*}\]
Definindo-os iguais a zero produz o sistema de equações
\[\begin{align*} 48−2x−2y &=0 \\[4pt] 96−2x−18y &=0. \end{align*}\]
A solução para esse sistema é\(x=21\)\(y=3\) e. Portanto,\((21,3)\) é um ponto crítico de\(f\). Calcular\(f(21,3)\) dá\(f(21,3)=48(21)+96(3)−21^2−2(21)(3)−9(3)^2=648.\)
O domínio dessa função é\(0≤x≤50\) e\(0≤y≤25\) conforme mostrado no gráfico a seguir.
\(L_1\)é o segmento de linha que se conecta\((0,0)\)\((50,0),\) e pode ser parametrizado pelas equações\(x(t)=t,y(t)=0\) para\(0≤t≤50.\) Nós então definimos\(g(t)=f(x(t),y(t)):\)
\[\begin{align*} g(t) &=f(x(t),y(t)) \\[4pt] &=f(t,0)\\[4pt] &=48t+96(0)−y^2−2(t)(0)−9(0)^2\\[4pt] &=48t−t^2. \end{align*}\]
A configuração\(g′(t)=0\) produz o ponto crítico\(t=24,\) que corresponde ao ponto\((24,0)\) no domínio de\(f\). Calcular\(f(24,0)\) dá\(576.\)
\(L_2\)é o segmento de linha que conecta\((50,0)\) e\((50,25)\), e pode ser parametrizado pelas equações\(x(t)=50,y(t)=t\) para\(0≤t≤25\). Mais uma vez, definimos\(g(t)=f\big(x(t),y(t)\big):\)
\[\begin{align*} g(t) &=f\big(x(t),y(t)\big)\\[4pt] &=f(50,t)\\[4pt] &=48(50)+96t−50^2−2(50)t−9t^2 \\[4pt] &=−9t^2−4t−100. \end{align*}\]
Essa função tem um ponto crítico em\(t =−\frac{2}{9}\), que corresponde ao ponto\((50,−29)\). Este ponto não está no domínio de\(f\).
\(L_3\)é o segmento de linha que conecta\((0,25)\) e\((50,25)\), e pode ser parametrizado pelas equações\(x(t)=t,y(t)=25\) para\(0≤t≤50\). Nós definimos\(g(t)=f\big(x(t),y(t)\big)\):
\[\begin{align*} g(t) &=f\big(x(t),y(t)\big)\\[4pt] &=f(t,25) \\[4pt] &=48t+96(25)−t^2−2t(25)−9(25^2) \\[4pt] &=−t^2−2t−3225. \end{align*}\]
Essa função tem um ponto crítico em\(t=−1\), que corresponde ao ponto\((−1,25),\) que não está no domínio.
\(L_4\)é o segmento de linha\((0,0)\) conectado\((0,25)\) e pode ser parametrizado pelas equações\(x(t)=0,y(t)=t\) para\(0≤t≤25\). Nós definimos\(g(t)=f\big(x(t),y(t)\big)\):
\[\begin{align*} g(t) &=f\big(x(t),y(t)\big) \\[4pt] &=f(0,t) \\[4pt] &=48(0)+96t−(0)^2−2(0)t−9t^2 \\[4pt] &=96t−9t^2. \end{align*}\]
Essa função tem um ponto crítico em\(t=\frac{16}{3}\), que corresponde ao ponto\(\left(0,\frac{16}{3}\right)\), que está no limite do domínio. Calcular\(f\left(0,\frac{16}{3}\right)\) dá\(256\).
Também precisamos encontrar os valores de\(f(x,y)\) nos cantos de seu domínio. Esses cantos estão localizados em\((0,0),(50,0),(50,25)\) e\((0,25)\):
\[\begin{align*} f(0,0) &=48(0)+96(0)−(0)^2−2(0)(0)−9(0)^2=0\\[4pt] f(50,0) &=48(50)+96(0)−(50)^2−2(50)(0)−9(0)^2=−100 \\[4pt] f(50,25) &=48(50)+96(25)−(50)^2−2(50)(25)−9(25)^2=−5825 \\[4pt] f(0,25) &=48(0)+96(25)−(0)^2−2(0)(25)−9(25)^2=−3225. \end{align*}\]
O valor máximo é\(648\), que ocorre em\((21,3)\). Portanto, um lucro máximo de\($648,000\) é obtido quando bolas de\(21,000\) golfe são vendidas e\(3\) horas de publicidade são compradas por mês, conforme mostrado na figura a seguir.
Conceitos-chave
- Um ponto crítico da função\(f(x,y)\) é qualquer\((x_0,y_0)\) ponto em que um ou pelo menos um de\(f_x(x_0,y_0)\) e\(f_y(x_0,y_0)\) não exista.\(f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\)
- Um ponto de sela é um\((x_0,y_0)\) ponto em que\(f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\), mas não\(f(x_0,y_0)\) é nem máximo nem mínimo nesse ponto.
- Para encontrar o extremo das funções de duas variáveis, primeiro encontre os pontos críticos, depois calcule o discriminante e aplique o segundo teste de derivada.
Equações-chave
- Discriminante
\(D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)−(f_{xy}(x_0,y_0))^2\)
Glossário
- ponto crítico de uma função de duas variáveis
-
o ponto\((x_0,y_0)\) é chamado de ponto crítico\(f(x,y)\) se uma das duas condições a seguir for válida:
1. \(f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\)
2. Pelo menos um dos\(f_x(x_0,y_0)\) e\(f_y(x_0,y_0)\) não existe
- discriminante
- o discriminante da função\(f(x,y)\) é dado pela fórmula\(D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)−(f_{xy}(x_0,y_0))^2\)
- ponto de sela
- dada a função,\(z=f(x,y),\) o ponto\((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\) é um ponto de sela se ambos\(f_x(x_0,y_0)=0\) e\(f_y(x_0,y_0)=0\), mas\(f\) não tem uma extremidade local em\((x_0,y_0)\)