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Capítulo 10 Exercícios de revisão

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    Exercícios de revisão de

    Encontrando funções compostas e inversas

    Exercício\(\PageIndex{1}\) Find and Evaluate Composite Functions

    Nos exercícios a seguir, para cada par de funções, encontre

    1. \((f \circ g)(x)\)
    2. \((g \circ f)(x)\)
    3. \((f \cdot g)(x)\)

    1. \(f(x)=7 x-2\)e\(g(x)=5 x+1\)

    2. \(f(x)=4 x\)e\(g(x)=x^{2}+3 x\)

    Resposta

    2.

    1. \(4 x^{2}+12 x\)
    2. \(16 x^{2}+12 x\)
    3. \(4 x^{3}+12 x^{2}\)
    Exercício\(\PageIndex{2}\) Find and Evaluate Composite Functions

    Nos exercícios a seguir, avalie a composição.

    1. Para funções\(f(x)=3 x^{2}+2\) e\(g(x)=4 x-3\), encontre
      1. \((f \circ g)(-3)\)
      2. \((g \circ f)(-2)\)
      3. \((f \circ f)(-1)\)
    2. Para funções\(f(x)=2 x^{3}+5\) e\(g(x)=3 x^{2}-7\), encontre
      1. \((f \circ g)(-1)\)
      2. \((g \circ f)(-2)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    Resposta

    2.

    1. \(-123\)
    2. \(356\)
    3. \(41\)
    Exercício\(\PageIndex{3}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Nos exercícios a seguir, para cada conjunto de pares ordenados, determine se ela representa uma função e, em caso afirmativo, é a função um a um.

    1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-4),(-1,-3),(0,-2)} , {(-1,-1),(-2,0),(-3,1) \}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{\{(-3,0),(-2,-2),(-1,0),(0,1)} , {(1,2),(2,1),(3,-1) \}}\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,3),(-2,1),(-1,-1),(0,-3)} , {(1,-5),(2,-4),(3,-2) \}}\end{array}\)
    Resposta

    2. Função; não um para um

    Exercício\(\PageIndex{4}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Nos exercícios a seguir, determine se cada gráfico é o gráfico de uma função e, em caso afirmativo, é um para um.


      1. Esta figura mostra uma linha de (menos 6, menos 2) até (menos 1, 3) e depois para baixo até (6, menos 4).
        Figura 10.E.1

      2. Esta figura mostra uma linha de (6, 5) até (0, menos 1) e, em seguida, de lá para baixo até (5, menos 6).
        Figura 10.E.2

      1. Esta figura mostra uma linha curva de (menos 6, menos 2) até a origem e, em seguida, continuando de lá até (6, 2).
        Figura 10.E.3

      2. Esta figura mostra um círculo de raio 2 com o centro na origem.
        Figura 10.E.4
    Resposta

    1.

    1. Função; não um para um
    2. Não é uma função
    Exercício\(\PageIndex{5}\) Find the Inverse of a Function

    No exercício a seguir, encontre o inverso da função. Determine o domínio e o alcance da função inversa.

    1. \(\{(-3,10),(-2,5),(-1,2),(0,1)\}\)
    Resposta

    1. Função inversa:\(\{(10,-3),(5,-2),(2,-1),(1,0)\}\). Domínio:\(\{1,2,5,10\}\). Alcance:\(\{-3,-2,-1,0\}\).

    Exercício\(\PageIndex{6}\) Find the Inverse of a Function

    No exercício a seguir, represente graficamente o inverso da função um-para-um mostrada.

    Esta figura mostra um segmento de linha de (menos 4, menos 2) até (menos 2, 1), depois até (2, 2) e depois até (3, 4).
    Figura 10.E.5
    Resposta

    Resolva sozinho

    Exercício\(\PageIndex{7}\) Find the Inverse of a Function

    Nos exercícios a seguir, verifique se as funções são funções inversas.

    1. \(\begin{array}{l}{f(x)=3 x+7 \text { and }} {g(x)=\frac{x-7}{3}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{f(x)=2 x+9 \text { and }} {g(x)=\frac{x+9}{2}}\end{array}\)
    Resposta

    1. \(g(f(x))=x,\)e\(f(g(x))=x,\), portanto, são inversas.

    Exercício\(\PageIndex{8}\) Find the Inverse of a Function
    1. \(f(x)=6 x-11\)
    2. \(f(x)=x^{3}+13\)
    3. \(f(x)=\frac{1}{x+5}\)
    4. \(f(x)=\sqrt[5]{x-1}\)
    Resposta

    1. \(f^{-1}(x)=\frac{x+11}{6}\)

    3. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-5\)

    Calcular e representar graficamente funções exponenciais

    Exercício\(\PageIndex{9}\) Graph Exponential Functions

    Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada uma das funções a seguir.

    1. \(f(x)=4^{x}\)
    2. \(f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
    3. \(g(x)=(0.75)^{x}\)
    4. \(g(x)=3^{x+2}\)
    5. \(f(x)=(2.3)^{x}-3\)
    6. \(f(x)=e^{x}+5\)
    7. \(f(x)=-e^{x}\)
    Resposta

    1.

    Esta figura mostra uma linha exponencial passando pelos pontos (menos 1, 1 sobre 4), (0, 1) e (1, 4).
    Figura 10.E.6

    3.

    Esta figura mostra uma linha exponencial passando pelos pontos (menos 1, 4 sobre 3), (0, 1) e (1, 3 sobre 4).
    Figura 10.E.7

    5.

    Esta figura mostra uma linha exponencial passando pelos pontos (menos 1, menos 59 sobre 23), (0, menos 2) e (1, negativo7 sobre 10).
    Figura 10.E.8

    7.

    Esta figura mostra uma linha exponencial passando pelos pontos (menos 1, menos 1 sobre e), (0, menos 1) e (1, menos e).
    Figura 10.E.9
    Exercício\(\PageIndex{10}\) Solve Exponential Equations

    Nos exercícios a seguir, resolva cada equação.

    1. \(3^{5 x-6}=81\)
    2. \(2^{x^{2}}=16\)
    3. \(9^{x}=27\)
    4. \(5^{x^{2}+2 x}=\frac{1}{5}\)
    5. \(e^{4 x} \cdot e^{7}=e^{19}\)
    6. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{15}}=e^{2 x}\)
    Resposta

    2. \(x=-2, x=2\)

    4. \(x=-1\)

    6. \(x=-3, x=5\)

    Exercício\(\PageIndex{11}\) Use Exponential Models in Applications

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    1. Felix investiu $\(12,000\) em uma conta poupança. Se a taxa de juros for\(4\)%, quanto estará na conta em\(12\) anos por cada método de composição?
      1. composto trimestral
      2. composto mensal
      3. composto continuamente
    2. Sayed deposita $\(20,000\) em uma conta de investimento. Qual será o valor de seu investimento em\(30\) anos se o investimento estiver ganhando\(7\)% ao ano e for composto continuamente?
    3. Um pesquisador do Centro de Controle e Prevenção de Doenças está estudando o crescimento de uma bactéria. Ela inicia seu experimento com\(150\) a bactéria que cresce a uma taxa de\(15\)% por hora. Ela verificará a bactéria a cada\(24\) hora. Quantas bactérias ele encontrará em\(24\) horas?
    4. Nos últimos cinco anos, a população dos Estados Unidos cresceu a uma taxa de\(0.7\)% por ano para cerca de\(318,900,000\). Se essa taxa continuar, qual será a população em\(5\) mais anos?
    Resposta

    2. \(\$ 163,323.40\)

    4. \(330,259,000\)

    Calcular e representar graficamente funções logarítmicas

    Exercício\(\PageIndex{12}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

    Nos exercícios a seguir, converta da forma exponencial para a forma logarítmica.

    1. \(5^{4}=625\)
    2. \(10^{-3}=\frac{1}{1,000}\)
    3. \(63^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{63}\)
    4. \(e^{y}=16\)
    Resposta

    2. \(\log \frac{1}{1,000}=-3\)

    4. \(\ln 16=y\)

    Exercício\(\PageIndex{13}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

    Nos exercícios a seguir, converta cada equação logarítmica na forma exponencial.

    1. \(7=\log _{2} 128\)
    2. \(5=\log 100,000\)
    3. \(4=\ln x\)
    Resposta

    2. \(100000=10^{5}\)

    Exercício\(\PageIndex{14}\) Evaluate Logarithmic Functions

    Nos exercícios a seguir, resolva para\(x\).

    1. \(\log _{x} 125=3\)
    2. \(\log _{7} x=-2\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}=x\)
    Resposta

    1. \(x=5\)

    3. \(x=4\)

    Exercício\(\PageIndex{15}\) Evaluate Logarithmic Functions

    Nos exercícios a seguir, encontre o valor exato de cada logaritmo sem usar uma calculadora.

    1. \(\log _{2} 32\)
    2. \(\log _{8} 1\)
    3. \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
    Resposta

    2. \(0\)

    Exercício\(\PageIndex{16}\) Graph Logarithmic Functions

    Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada função logarítmica.

    1. \(y=\log _{5} x\)
    2. \(y=\log _{\frac{1}{4}} x\)
    3. \(y=\log _{0.8} x\)
    Resposta

    1.

    Esta figura mostra uma linha logarítmica passando pelos pontos (1 sobre 5, menos 1), (1, 0) e (5, 1).
    Figura 10.E.10

    3.

    Esta figura mostra uma linha logarítmica passando pelos pontos (4 sobre 5, 1), (1, 0) e (5 sobre 4, menos 1).
    Figura 10.E.11
    Exercício\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations

    Nos exercícios a seguir, resolva cada equação logarítmica.

    1. \(\log _{a} 36=5\)
    2. \(\ln x=-3\)
    3. \(\log _{2}(5 x-7)=3\)
    4. \(\ln e^{3 x}=24\)
    5. \(\log \left(x^{2}-21\right)=2\)
    Resposta

    2. \(x=e^{-3}\)

    4. \(x=8\)

    Exercício\(\PageIndex{18}\) Use Logarithmic Models in Applications

    Qual é o nível de decibéis do apito de um trem com intensidade em\(10^{−3}\) watts por polegada quadrada?

    Resposta

    \(90\)dB

    Use as propriedades dos logaritmos

    Exercício\(\PageIndex{19}\) Use the Properties of Logarithms

    Nos exercícios a seguir, use as propriedades dos logaritmos para avaliar.

      1. \(\log _{7} 1\)
      2. \(\log _{12} 12\)
      1. \(5^{\log _{5} 13}\)
      2. \(\log _{3} 3^{-9}\)
      1. \(10^{\log \sqrt{5}}\)
      2. \(\log 10^{-3}\)
      1. \(e^{\ln 8}\)
      2. \(\ln e^{5}\)
    Resposta

    2.

    1. \(13\)
    2. \(-9\)

    4.

    1. \(8\)
    2. \(5\)
    Exercício\(\PageIndex{20}\) Use the Properties of Logarithms

    Nos exercícios a seguir, use a propriedade de produto dos logaritmos para escrever cada logaritmo como uma soma dos logaritmos. Simplifique, se possível.

    1. \(\log _{4}(64 x y)\)
    2. \(\log 10,000 m\)
    Resposta

    2. \(4+\log m\)

    Exercício\(\PageIndex{21}\) Use the Properties of Logarithms

    Nos exercícios a seguir, use a propriedade quociente dos logaritmos para escrever cada logaritmo como uma soma dos logaritmos. Simplifique, se possível.

    1. \(\log _{7} \frac{49}{y}\)
    2. \(\ln \frac{e^{5}}{2}\)
    Resposta

    2. \(5-\ln 2\)

    Exercício\(\PageIndex{22}\) Use the Properties of Logarithms

    Nos exercícios a seguir, use a propriedade de poder dos logaritmos para expandir cada logaritmo. Simplifique, se possível.

    1. \(\log x^{-9}\)
    2. \(\log _{4} \sqrt[7]{z}\)
    Resposta

    2. \(\frac{1}{7} \log _{4} z\)

    Exercício\(\PageIndex{23}\) Use the Properties of Logarithms

    Nos exercícios a seguir, use as propriedades dos logaritmos para escrever cada logaritmo como uma soma dos logaritmos. Simplifique, se possível.

    1. \(\log _{3}\left(\sqrt{4} x^{7} y^{8}\right)\)
    2. \(\log _{5} \frac{8 a^{2} b^{6} c}{d^{3}}\)
    3. \(\ln \frac{\sqrt{3 x^{2}-y^{2}}}{z^{4}}\)
    4. \(\log _{6} \sqrt[3]{\frac{7 x^{2}}{6 y^{3} z^{5}}}\)
    Resposta

    2. \(\begin{array}{l}{\log _{5} 8+2 \log _{5} a+6 \log _{5} b} {+\log _{5} c-3 \log _{5} d}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{3}\left(\log _{6} 7+2 \log _{6} x-1-3 \log _{6} y\right.} {-5 \log _{6} z )}\end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{24}\) Use the Properties of Logarithms

    Nos exercícios a seguir, use as Propriedades dos logaritmos para condensar o logaritmo. Simplifique, se possível.

    1. \(\log _{2} 56-\log _{2} 7\)
    2. \(3 \log _{3} x+7 \log _{3} y\)
    3. \(\log _{5}\left(x^{2}-16\right)-2 \log _{5}(x+4)\)
    4. \(\frac{1}{4} \log y-2 \log (y-3)\)
    Resposta

    2. \(\log _{3} x^{3} y^{7}\)

    4. \(\log \frac{\sqrt[4]{y}}{(y-3)^{2}}\)

    Exercício\(\PageIndex{25}\) Use the Change-of-Base Formula

    Nos exercícios a seguir, arredondando para três casas decimais, aproxime cada logaritmo.

    1. \(\log _{5} 97\)
    2. \(\log _{\sqrt{3}} 16\)
    Resposta

    2. \(5.047\)

    Resolva equações exponenciais e logarítmicas

    Exercício\(\PageIndex{26}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

    Nos exercícios a seguir, resolva para\(x\).

    1. \(3 \log _{5} x=\log _{5} 216\)
    2. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
    3. \(\log (x-1)-\log (3 x+5)=-\log x\)
    4. \(\log _{4}(x-2)+\log _{4}(x+5)=\log _{4} 8\)
    5. \(\ln (3 x-2)=\ln (x+4)+\ln 2\)
    Resposta

    2. \(x=4\)

    4. \(x=3\)

    Exercício\(\PageIndex{27}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    Nos exercícios a seguir, resolva cada equação exponencial. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

    1. \(2^{x}=101\)
    2. \(e^{x}=23\)
    3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=7\)
    4. \(7 e^{x+3}=28\)
    5. \(e^{x-4}+8=23\)
    Resposta

    1. \(x=\frac{\log 101}{\log 2} \approx 6.658\)

    3. \(x=\frac{\log 7}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.771\)

    5. \(x=\ln 15+4 \approx 6.708\)

    Exercício\(\PageIndex{28}\) Use Exponential Models in Applications
    1. Jerome investe $\(18,000\) na idade\(17\). Ele espera que os investimentos valham $\(30,000\) quando ele virar\(26\). Se os juros aumentarem continuamente, aproximadamente qual taxa de crescimento ele precisará para atingir sua meta? Essa é uma expectativa razoável?
    2. Elise investe $\(4500\) em uma conta que aumenta os juros mensalmente e ganha\(6\) %.Quanto tempo seu dinheiro vai demorar para dobrar?
    3. Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias cresceu de\(100\) para\(300\) em\(8\) horas. Nessa taxa de crescimento, quantas bactérias existirão em\(24\) horas?
    4. As populações de ratos podem dobrar em\(8\) meses\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Quanto tempo demorará para uma população de camundongos triplicar?
    5. A meia-vida do iodo radioativo é de\(60\) dias. Quanto de uma amostra de\(50\) mg restará em\(40\) dias?
    Resposta

    2. \(11.6\)anos

    4. \(12.7\)meses

    Teste prático

    Exercício\(\PageIndex{29}\)
    1. Para as funções\(f(x)=6x+1\) e\(g(x)=8x−3\), encontre
      1. \((f \circ g)(x)\)
      2. \((g \circ f)(x)\)
      3. \((f \cdot g)(x)\)
    2. Determine se o seguinte conjunto de pares ordenados representa uma função e, em caso afirmativo, é a função um a um. \(\{(-2,2),(-1,-3),(0,1),(1,-2),(2,-3)\}\)
    3. Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função e, em caso afirmativo, é um para um.

      1. Esta figura mostra uma parábola que se abre para a direita com vértice (menos 3, 0).
        Figura 10.E.12

      2. Esta figura mostra uma linha exponencial passando pelos pontos (menos 1, 1 sobre 2), (0, 1) e (1, 2).
        Figura 10.E.13
    4. Gráfico, no mesmo sistema de coordenadas, o inverso da função um-para-um mostrada.
    Esta figura mostra um segmento de linha passando do ponto (menos 3, 3) para (menos 1, 2) para (0, menos 2) para (2, menos 4).
    Figura 10.E.14

    5. Encontre o inverso da função\(f(x)=x^{5}−9\).

    6. Faça um gráfico da função\(g(x)=2^{x-3}\).

    7. Resolva a equação\(2^{2 x-4}=64\).

    8. Resolva a equação\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}=e^{3 x}\).

    9. Megan investiu $\(21,000\) em uma conta poupança. Se a taxa de juros for\(5\)%, quanto estará na conta em\(8\) anos por cada método de composição?

    1. composto trimestral
    2. composto mensal
    3. composto continuamente

    10. Converta a equação da forma exponencial para a forma logarítmica:\(10^{-2}=\frac{1}{100}\).

    11. Converta a equação da equação logarítmica para a forma exponencial:\(3=\log _{7} 343\).

    12. Resolva para\(x\):\(\log _{5} x=-3\)

    13. Avalie o registro\(_{11} 1\).

    14. Avalie\(\log _{4} \frac{1}{64}\).

    15. Faça um gráfico da função\(y=\log _{3} x\).

    16. Resolva para\(x\):\(\log \left(x^{2}-39\right)=1\)

    17. Qual é o nível de decibéis de um pequeno ventilador com intensidade de\(10^{−8}\) watts por polegada quadrada?

    18. Avalie cada um.

    1. \(6^{\log _{6} 17}\)
    2. \(\log _{9} 9^{-3}\)
    Resposta

    1.

    1. \(48 x-17\)
    2. \(48 x+5\)
    3. \(48 x^{2}-10 x-3\)

    3.

    1. Não é uma função
    2. Função um para um

    5. \(f^{-1}(x)=\sqrt[5]{x+9}\)

    7. \(x=5\)

    9.

    1. $\(31,250.74\)
    2. $\(31,302.29\)
    3. $\(31,328.32\)

    11. \(343=7^{3}\)

    13. \(0\)

    15.

    Esta figura mostra uma linha logarítmica passando por (1 sobre 3, 1), (1, 0) e (3, 1).
    Figura 10.E.15

    17. \(40\)dB

    Exercício\(\PageIndex{30}\)

    Nos exercícios a seguir, use as propriedades dos logaritmos para escrever cada expressão como uma soma dos logaritmos, simplificando se possível.

    1. \(\log _{5} 25 a b\)
    2. \(\ln \frac{e^{12}}{8}\)
    3. \(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{5 x^{3}}{16 y^{2} z^{7}}}\)
    Resposta

    1. \(2+\log _{5} a+\log _{5} b\)

    3. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{4}\left(\log _{2} 5+3 \log _{2} x-4-2 \log _{2} y\right.} {-7 \log _{2} z )}\end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{31}\)

    Nos exercícios a seguir, use as Propriedades dos logaritmos para condensar o logaritmo, simplificando se possível.

    1. \(5 \log _{4} x+3 \log _{4} y\)
    2. \(\frac{1}{6} \log x-3 \log (x+5)\)
    3. Arredondamento para três casas decimais, aproximado\(\log _{4} 73\).
    4. Resolva para\(x\):\(\log _{7}(x+2)+\log _{7}(x-3)=\log _{7} 24\)
    Resposta

    2. \(\log \frac{\sqrt[6]{x}}{(x+5)^{3}}\)

    4. \(x=6\)

    Exercício\(\PageIndex{32}\)

    Nos exercícios a seguir, resolva cada equação exponencial. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

    1. \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=9\)
    2. \(5 e^{x-4}=40\)
    3. Jacob investe $\(14,000\) em uma conta que gera juros trimestralmente e ganha\(4\)%. Quanto tempo vai demorar para o dinheiro dele dobrar?
    4. Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias cresceu de\(500\) para\(700\) em\(5\) horas. Nessa taxa de crescimento, quantas bactérias existirão em\(20\) horas?
    5. Uma certa população de besouros pode dobrar em\(3\) meses\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Quanto tempo demorará para que a população de besouros triplique?
    Resposta

    2. \(x=\ln 8+4 \approx 6.079\)

    4. \(1,921\)bactérias