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10.6E: Exercícios

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    A prática leva à perfeição

    Exercício\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

    Nos exercícios a seguir, resolva para\(x\).

    1. \(\log _{4} 64=2 \log _{4} x\)
    2. \(\log 49=2 \log x\)
    3. \(3 \log _{3} x=\log _{3} 27\)
    4. \(3 \log _{6} x=\log _{6} 64\)
    5. \(\log _{5}(4 x-2)=\log _{5} 10\)
    6. \(\log _{3}\left(x^{2}+3\right)=\log _{3} 4 x\)
    7. \(\log _{3} x+\log _{3} x=2\)
    8. \(\log _{4} x+\log _{4} x=3\)
    9. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-3)=2\)
    10. \(\log _{3} x+\log _{3}(x+6)=3\)
    11. \(\log x+\log (x+3)=1\)
    12. \(\log x+\log (x-15)=2\)
    13. \(\log (x+4)-\log (5 x+12)=-\log x\)
    14. \(\log (x-1)-\log (x+3)=\log \frac{1}{x}\)
    15. \(\log _{5}(x+3)+\log _{5}(x-6)=\log _{5} 10\)
    16. \(\log _{5}(x+1)+\log _{5}(x-5)=\log _{5} 7\)
    17. \(\log _{3}(2 x-1)=\log _{3}(x+3)+\log _{3} 3\)
    18. \(\log (5 x+1)=\log (x+3)+\log 2\)
    Resposta

    2. \(x=7\)

    4. \(x=4\)

    6. \(x=1, x=3\)

    8. \(x=8\)

    10. \(x=3\)

    12. \(x=20\)

    14. \(x=3\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=\frac{5}{3}\)

    Exercício\(\PageIndex{18}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    Nos exercícios a seguir, resolva cada equação exponencial. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

    1. \(3^{x}=89\)
    2. \(2^{x}=74\)
    3. \(5^{x}=110\)
    4. \(4^{x}=112\)
    5. \(e^{x}=16\)
    6. \(e^{x}=8\)
    7. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=6\)
    8. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=8\)
    9. \(4 e^{x+1}=16\)
    10. \(3 e^{x+2}=9\)
    11. \(6 e^{2 x}=24\)
    12. \(2 e^{3 x}=32\)
    13. \(\frac{1}{4} e^{x}=3\)
    14. \(\frac{1}{3} e^{x}=2\)
    15. \(e^{x+1}+2=16\)
    16. \(e^{x-1}+4=12\)
    Resposta

    2. \(x=\frac{\log 74}{\log 2} \approx 6.209\)

    4. \(x=\frac{\log 112}{\log 4} \approx 3.404\)

    6. \(x=\ln 8 \approx 2.079\)

    8. \(x=\frac{\log 8}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.893\)

    10. \(x=\ln 3-2 \approx-0.901\)

    12. \(x=\frac{\ln 16}{3} \approx 0.924\)

    14. \(x=\ln 6 \approx 1.792\)

    16. \(x=\ln 8+1 \approx 3.079\)

    Exercício\(\PageIndex{19}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    Nos exercícios a seguir, resolva cada equação.

    1. \(3^{3 x+1}=81\)
    2. \(6^{4 x-17}=216\)
    3. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{14}}=e^{5 x}\)
    4. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{20}\)
    5. \(\log _{a} 64=2\)
    6. \(\log _{a} 81=4\)
    7. \(\ln x=-8\)
    8. \(\ln x=9\)
    9. \(\log _{5}(3 x-8)=2\)
    10. \(\log _{4}(7 x+15)=3\)
    11. \(\ln e^{5 x}=30\)
    12. \(\ln e^{6 x}=18\)
    13. \(3 \log x=\log 125\)
    14. \(7 \log _{3} x=\log _{3} 128\)
    15. \(\log _{6} x+\log _{6}(x-5)=\log _{6} 24\)
    16. \(\log _{9} x+\log _{9}(x-4)=\log _{9} 12\)
    17. \(\log _{2}(x+2)-\log _{2}(2 x+9)=-\log _{2} x\)
    18. \(\log _{6}(x+1)-\log _{6}(4 x+10)=\log _{6} \frac{1}{x}\)
    Resposta

    2. \(x=5\)

    4. \(x=-4, x=5\)

    6. \(a=3\)

    8. \(x=e^{9}\)

    10. \(x=7\)

    12. \(x=3\)

    14. \(x=2\)

    16. \(x=6\)

    18. \(x=5\)

    Exercício\(\PageIndex{20}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    Nos exercícios a seguir, resolva para\(x\), fornecendo uma resposta exata e uma aproximação de três casas decimais.

    1. \(6^{x}=91\)
    2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=10\)
    3. \(7 e^{x-3}=35\)
    4. \(8 e^{x+5}=56\)
    Resposta

    2. \(x=\frac{\log 10}{\log \frac{1}{2}} \approx-3.322\)

    4. \(x=\ln 7-5 \approx-3.054\)

    Exercício\(\PageIndex{21}\) Use Exponential Models in Applications

    Nos exercícios a seguir, resolva.

    1. Sung Lee investe $\(5,000\) na idade\(18\). Ele espera que os investimentos valham $\(10,000\) quando ele virar\(25\). Se os juros aumentarem continuamente, aproximadamente qual taxa de crescimento ele precisará para atingir sua meta? Essa é uma expectativa razoável?
    2. Alice investe $\(15,000\) na idade com\(30\) o bônus de assinatura de seu novo emprego. Ela espera que os investimentos valham $\(30,000\) quando ela se transformar\(40\). Se os juros aumentarem continuamente, aproximadamente qual taxa de crescimento ela precisará para atingir seu objetivo?
    3. Coralee investe $\(5,000\) em uma conta que aumenta os juros mensalmente e ganha\(7\)%. Quanto tempo vai demorar para o dinheiro dela dobrar?
    4. Simone investe $\(8,000\) em uma conta que gera juros trimestralmente e ganha\(5\)%. Quanto tempo vai demorar para o dinheiro dele dobrar?
    5. Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias diminuiu de\(100,000\) para\(100\) em\(24\) horas. Nessa taxa de decomposição, quantas bactérias existirão em\(16\) horas?
    6. Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias diminuiu de\(800,000\) para\(500,000\) em\(6\) horas após a administração da medicação. Nessa taxa de decomposição, quantas bactérias existirão em\(24\) horas?
    7. Um vírus leva\(6\) dias para dobrar sua população original\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Quanto tempo será necessário para triplicar sua população?
    8. Uma bactéria dobra sua população original em\(24\) horas\(\left(A=2 A_{0}\right)\). Qual será o tamanho de sua população em\(72\) horas?
    9. O carbono-14 é usado para datação arqueológica por carbono. Sua meia-vida é de\(5,730\) anos. Quanto de uma amostra\(100\) de 1 grama de carbono-14 restará em\(1000\) anos?
    10. O tecnécio radioativo 99m é frequentemente usado na medicina diagnóstica, pois tem uma meia-vida relativamente curta, mas dura o suficiente para realizar os testes necessários no paciente. Se sua meia-vida for de\(6\) horas, quanto do material radioativo formado por uma injeção de\(0.5\) ml estará no corpo em\(24\) horas?
    Resposta

    2. \(6.9\)%

    4. \(13.9\)anos

    6. \(122,070\)bactérias

    8. \(8\)vezes maior que a população original

    10. \(0.03\)mL

    Exercício\(\PageIndex{22}\) Writing Exercises
    1. Explique o método que você usaria para resolver essas equações:\(3^{x+1}=81\),\(3^{x+1}=75\). Seu método requer logaritmos para ambas as equações? Por que ou por que não?
    2. Qual é a diferença entre a equação para crescimento exponencial e a equação para decaimento exponencial?
    Resposta

    2. As respostas podem variar.

    Verificação automática

    a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Essa tabela tem quatro linhas e quatro colunas. A primeira linha, que serve como cabeçalho, diz Eu não posso, Confidently, With some help, e Nãoâ €” Eu não entendi.™ A primeira coluna abaixo da linha do cabeçalho diz resolver equações logarítmicas usando as propriedades dos logaritmos, resolver equações exponenciais usando logaritmos e usar modelos exponenciais em aplicações. O resto das células estão em branco.
    Figura 10.5.1

    b. Depois de examinar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para a próxima seção? Por que ou por que não?