10.6: Resolver equações exponenciais e logarítmicas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Resolva equações logarítmicas usando as propriedades dos logaritmos
Resolva equações exponenciais usando logaritmos
Use modelos exponenciais em aplicativos

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

Resolver:$x^{2}=16$.
Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 6.46.
Resolver:$x^{2}−5x+6=0$.
Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 6.45.
Resolver:$x(x+6)=2x+5$.
Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 6.47.

Resolva equações logarítmicas usando as propriedades dos logaritmos

Na seção sobre funções logarítmicas, resolvemos algumas equações reescrevendo a equação na forma exponencial. Agora que temos as propriedades dos logaritmos, temos métodos adicionais que podemos usar para resolver equações logarítmicas.

Se nossa equação tiver dois logaritmos, podemos usar uma propriedade que diz que se$\log _{a} M=\log _{a} N$, então, é verdade que$M=N$. Essa é a propriedade um para um das equações logarítmicas.

Definição$\PageIndex{1}$

Propriedade individual das equações logarítmicas

Para$M>0,N>0,a>0$, e$a≠1$ é qualquer número real:

Se$\log _{a} M=\log _{a} N,$ então$M=N$.

Para usar essa propriedade, devemos ter certeza de que os dois lados da equação são escritos com a mesma base.

Lembre-se de que os logaritmos são definidos somente para números reais positivos. Verifique seus resultados na equação original. Você pode ter obtido um resultado que fornece um logaritmo de zero ou um número negativo.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Resolver:$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$.

Solução:

$2 \log _{5} x=\log _{5} 81$

Use a propriedade Power.

$\log _{5} x^{2}=\log _{5} 81$

Use a propriedade Um para um, se$\log _{a} M=\log _{a} N$, então$M=N$.

$x^{2}=81$

Resolva usando a propriedade de raiz quadrada.

$x=\pm 9$

Eliminamos$x=-9$ porque não podemos obter o logaritmo de um número negativo.

$x=9, \cancel{x=-9}$

Verifique. $x=9$

$\begin{aligned}2 \log _{5} x&=\log _{5} 81 \\ 2 \log _{5} 9 &\stackrel{?}{=} \log _{5} 81 \\ \log _{5} 9^{2} & \stackrel{?}{=}\log _{5} 81 \\ \log _{5} 81 & =\log _{5} 81\end{aligned}$

Exercício$\PageIndex{1}$

Resolver:$2 \log _{3} x=\log _{3} 36$

Responda: $x=6$

Exercício$\PageIndex{2}$

Resolver:$3 \log x=\log 64$

Responda: $x=4$

Outra estratégia a ser usada para resolver equações logarítmicas é condensar somas ou diferenças em um único logaritmo.

Exemplo$\PageIndex{2}$

Resolver:$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$.

Solução:

$\log _{3} x+\log _{3}(x-8)=2$

Use a propriedade do produto,$\log _{a} M+\log _{a} N=\log _{a} M \cdot N$.

$\log _{3} x(x-8)=2$

Reescreva em forma exponencial.

$3^{2}=x(x-8)$

Simplifique.

$9=x^{2}-8 x$

Subtraia$9$ de cada lado.

$0=x^{2}-8 x-9$

Fator.

$0=(x-9)(x+1)$

Use a propriedade de produto zero

$x-9=0, \quad x+1=0$

Resolva cada equação.

$x=9, \quad \cancel{x=-1}$

Verifique. $x=-1$

$\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8)&=2 \\ \log _{3}(-1)+\log _{3}(-1-8) &\stackrel{?}{=}2\end{aligned}$

Não podemos pegar o registro de um número negativo.

Verifique. $x=9$

$\begin{aligned} \log _{3} x+\log _{3}(x-8) &=2 \\ \log _{3} 9+\log _{3}(9-8) & \stackrel{?}{=} 2 \\ 2+0 &\stackrel{?}{=}2 \\ 2 &=2 \end{aligned}$

Exercício$\PageIndex{3}$

Resolver:$\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3$

Responda: $x=4$

Exercício$\PageIndex{4}$

Resolver:$\log _{2} x+\log _{2}(x-6)=4$

Responda: $x=8$

Quando há logaritmos em ambos os lados, condensamos cada lado em um único logaritmo. Lembre-se de usar a propriedade de energia conforme necessário.

Exemplo$\PageIndex{3}$

Resolver:$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$.

Solução:

$\log _{4}(x+6)-\log _{4}(2 x+5)=-\log _{4} x$

Use a propriedade do quociente no lado esquerdo e a PowerProperty no lado direito.

$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} x^{-1}$

Reescrever$x^{-1}=\frac{1}{x}$.

$\log _{4}\left(\frac{x+6}{2 x+5}\right)=\log _{4} \frac{1}{x}$

Use a propriedade Um para um, se$\log _{a} M=\log _{a} N$, então$M=N$.

$\frac{x+6}{2 x+5}=\frac{1}{x}$

Resolva a equação racional.

$x(x+6)=2 x+5$

Distribuir.

$x^{2}+6 x=2 x+5$

Escreva em formato padrão.

$x^{2}+4 x-5=0$

Fator.

$(x+5)(x-1)=0$

Use o Zero-Product-Property.

$x+5=0, \quad x-1=0$

Resolva cada equação.

$\cancel{x=-5}, \quad x=1$

Verifique.

Deixamos o cheque para você.

Exercício$\PageIndex{5}$

Resolver:$\log (x+2)-\log (4 x+3)=-\log x$.

Responda: $x=3$

Exercício$\PageIndex{6}$

Resolver:$\log (x-2)-\log (4 x+16)=\log \frac{1}{x}$.

Responda: $x=8$

Exemplo$\PageIndex{4}$ Solve Exponential Equations Using Logarithms

Resolver$5^{x}=11$. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

Solução:

$5^{x}=11$

Como o exponencial está isolado, pegue o logaritmo de ambos os lados.

$\log 5^{x}=\log 11$

Use a propriedade Power para obter o$x$ como um fator, não um expoente.

$x \log 5=\log 11$

Resolver para$x$. Encontre a resposta exata.

$x=\frac{\log 11}{\log 5}$

Aproxime a resposta.

$x \approx 1.490$

Desde então$5^{1}=5$$5^{2}=25$, faz sentido isso$5^{1.490}≈11$?

Exercício$\PageIndex{7}$

Resolver$7^{x}=43$. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

Responda: $x=\frac{\log 43}{\log 7} \approx 1.933$

Exercício$\PageIndex{8}$

Resolver$8^{x}=98$. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

Responda: $x=\frac{\log 98}{\log 8} \approx 2.205$

Quando tomarmos o logaritmo de ambos os lados, obteremos o mesmo resultado se usarmos o logaritmo comum ou o natural (tente usar o logaritmo natural no último exemplo). Você obteve o mesmo resultado?) Quando o exponencial tem base$e$, usamos o logaritmo natural.

Exemplo$\PageIndex{5}$

Resolver$3e^{x+2}=24$. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

Solução:

$3 e^{x+2}=24$

Isole o exponencial dividindo os dois lados por$3$.

$e^{x+2}=8$

Pegue o logaritmo natural dos dois lados.

$\ln e^{x+2}=\ln 8$

Use a propriedade Power para obter o$x$ como um fator, não um expoente.

$(x+2) \ln e=\ln 8$

Use a propriedade$\ln e=1$ para simplificar.

$x+2=\ln 8$

Resolva a equação. Encontre a resposta exata.

$x=\ln 8-2$

Aproxime a resposta.

$x \approx 0.079$

Exercício$\PageIndex{9}$

Resolver$2e^{x−2}=18$. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

Responda: $x=\ln 9+2 \approx 4.197$

Exercício$\PageIndex{10}$

Resolver$5e^{2x}=25$. Encontre a resposta exata e, em seguida, aproxime-a para três casas decimais.

Responda: $x=\frac{\ln 5}{2} \approx 0.805$

Use modelos exponenciais em aplicativos

Nas seções anteriores, conseguimos resolver algumas aplicações que foram modeladas com equações exponenciais. Agora que temos muito mais opções para resolver essas equações, podemos resolver mais aplicações.

Usaremos novamente as Fórmulas de Juros Compostos e, portanto, as listamos aqui para referência.

Definição$\PageIndex{2}$

Juros compostos

Para um principal$P$, investido a uma taxa de juros$r$, há$t$ anos, o novo saldo$A$ é:

$\begin{array}{ll}{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$

Exemplo$\PageIndex{6}$

Os pais de Jermael investiram $$10,000$ em investimentos para as despesas da faculdade em seu primeiro aniversário. Eles esperam que os investimentos valham $$50,000$ quando ele se transformar$18$. Se os juros aumentarem continuamente, aproximadamente qual taxa de crescimento eles precisarão para atingir sua meta?

Solução:

Identifique as variáveis na fórmula.

$\begin{aligned} A &=\$ 50,000 \\ P &=\$ 10,000 \\ r &=? \\ t &=17 \text { years } \\ A &=P e^{r t} \end{aligned}$

Substitua os valores na fórmula.

$50,000=10,000 e^{r \cdot 17}$

Resolver para$r$. Divida cada lado por$10,000$.

$5=e^{17 r}$

Pegue o tronco natural de cada lado.

$\ln 5=\ln e^{17 r}$

Use a propriedade Power.

$\ln 5=17 r \ln e$

Simplifique.

$\ln 5=17 r$

Divida cada lado por$17$.

$\frac{\ln 5}{17}=r$

Aproxime a resposta.

$r \approx 0.095$

Converta em uma porcentagem.

$r \approx 9.5 \%$

Eles precisam que a taxa de crescimento seja de aproximadamente$9.5$%.

Exercício$\PageIndex{11}$

Hector investe $$10,000$ na idade$21$. Ele espera que os investimentos valham $$150,000$ quando ele virar$50$. Se os juros aumentarem continuamente, aproximadamente qual taxa de crescimento ele precisará para atingir sua meta?

Responda: $r \approx 9.3 \%$

Exercício$\PageIndex{12}$

Rachel investe $$15,000$ na idade$25$. Ela espera que os investimentos valham $$90,000$ quando ela se transformar$40$. Se os juros aumentarem continuamente, aproximadamente qual taxa de crescimento ela precisará para atingir seu objetivo?

Responda: $r \approx 11.9 \%$

Vimos que o crescimento e a decadência são modelados por funções exponenciais. Para crescimento e decadência, usamos a fórmula$A=A_{0} e^{k t}$. O crescimento exponencial tem uma taxa positiva de crescimento ou constante de crescimento,$k$, e o decaimento exponencial tem uma taxa negativa de crescimento ou constante de decaimento,$k$.

Definição$\PageIndex{3}$

Crescimento e decadência exponenciais

Para uma quantidade original,$A_{0}$, que cresce ou decai a uma taxa,$k$, por um certo tempo,$t$, a quantidade final,$A$, é:

$A=A_{0} e^{k t}$

Agora podemos resolver aplicativos que nos fornecem informações suficientes para determinar a taxa de crescimento. Podemos então usar essa taxa de crescimento para prever outras situações.

Exemplo$\PageIndex{7}$

Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias cresceu de$100$ para$300$ em$3$ horas. Nessa taxa de crescimento, quantas bactérias existirão$24$ horas desde o início do experimento?

Solução:

Esse problema requer duas etapas principais. Primeiro, precisamos encontrar a taxa desconhecida,$k$. Em seguida, usamos esse valor de$k$ para nos ajudar a encontrar o número desconhecido de bactérias.

Identifique as variáveis na fórmula.

$\begin{aligned} A &=300 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=3 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

Substitua os valores na fórmula.

$300=100 e^{k \cdot 3}$

Resolver para$k$. Divida cada lado por$100$.

$3=e^{3 k}$

Pegue o tronco natural de cada lado.

$\ln 3=\ln e^{3 k}$

Use a propriedade Power.

$\ln 3=3 k \ln e$

Simplifique.

$\ln 3=3 k$

Divida cada lado por$3$.

$\frac{\ln 3}{3}=k$

Aproxime a resposta.

$k \approx 0.366$

Usamos essa taxa de crescimento para prever o número de bactérias que haverá em$24$ horas.

$\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 3}{3} \\ t &=24 \text { hours } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

Substitua os valores.

$A=100 e^{\frac{\ln 3}{3} \cdot 24}$

Avalie.

$A \approx 656,100$

Nessa taxa de crescimento, eles podem esperar$656,100$ bactérias.

Exercício$\PageIndex{13}$

Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias cresceu de$100$ para$500$ em$6$ horas. Nessa taxa de crescimento, quantas bactérias existirão$24$ horas desde o início do experimento?

Responda: Haverá$62,500$ bactérias.

Exercício$\PageIndex{14}$

Os pesquisadores registraram que uma determinada população de bactérias diminuiu de$700,000$ para$400,000$ em$5$ horas após a administração da medicação. Nessa taxa de decomposição, quantas bactérias existirão$24$ horas desde o início do experimento?

Responda: Haverá$5,870,061$ bactérias.

As substâncias radioativas decaem ou se decompõem de acordo com a fórmula de decaimento exponencial. A quantidade de tempo que a substância leva para se decompor até a metade de sua quantidade original é chamada de meia-vida da substância.

Semelhante ao exemplo anterior, podemos usar as informações fornecidas para determinar a constante de decaimento e, em seguida, usar essa constante para responder outras perguntas.

Exemplo$\PageIndex{8}$

A meia-vida do rádio-226 é de$1,590$ anos. Quanto de uma amostra de$100$ mg restará em$500$ anos?

Solução:

Esse problema requer duas etapas principais. Primeiro, devemos encontrar a constante de decaimento$k$. Se começarmos com$100$ -mg, na meia-vida haverá$50$ -mg restantes. Usaremos essas informações para encontrar$k$. Em seguida, usamos esse valor de$k$ para nos ajudar a encontrar a quantidade de amostra que restará em$500$ anos.

Identifique as variáveis na fórmula.

$\begin{aligned} A &=50 \\ A_{0} &=100 \\ k &=? \\ t &=1590 \text { years } \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

Substitua os valores na fórmula.

$50=100 e^{k \cdot 1590}$

Resolver para$k$. Divida cada lado por$100$.

$0.5=e^{1590 k}$

Pegue o tronco natural de cada lado.

$\ln 0.5=\ln e^{1590 k}$

Use a propriedade Power.

$\ln 0.5=1590 k \ln e$

Simplifique.

$\ln 0.5=1590 k$

Divida cada lado por$1590$.

$\frac{\ln 0.5}{1590}=k$resposta exata

Usamos essa taxa de crescimento para prever a quantidade que restará em$500$ anos.

$\begin{aligned} A &=? \\ A_{0} &=100 \\ k &=\frac{\ln 0.5}{1590} \\ t &=500\: \mathrm{years} \\ A &=A_{0} e^{k t} \end{aligned}$

Substitua os valores.

$A=100 e^{\frac{1 \mathrm{n} 0.5}{1500} \cdot 500}$

Avalie.

$A \approx 80.4 \mathrm{mg}$

Em$500$ anos, restariam aproximadamente$80.4$ mg.

Exercício$\PageIndex{15}$

A meia-vida do magnésio-27 é de$9.45$ minutos. Quanto de uma amostra de$10$ -mg restará em$6$ minutos?

Responda: Haverá$6.43$ minha esquerda.

Exercício$\PageIndex{16}$

A meia-vida do iodo radioativo é de$60$ dias. Quanto de uma amostra de$50$ -mg restará em$40$ dias?

Responda: Haverá$31.5$ minha esquerda.

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais na resolução de equações exponenciais e logarítmicas.

Conceitos-chave

Propriedade individual das equações logarítmicas: Para$M>0, N>0, a>0$, e$a≠1$ é qualquer número real:
Se$\log _{a} M=\log _{a} N,$ então$M=N$
Juros compostos:
Para um principal$P$, investido a uma taxa de juros$r$,, por$t$ anos, o novo saldo,$A$, é:
$\begin{array}{ll}{A} & {=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{n t}} & {\text { when compounded } n \text { times a year. }} \\ {A} & {=P e^{r t}} & {\text { when compounded continuously. }}\end{array}$
Crescimento e decaimento exponenciais: Para uma quantidade original,$A_{0}$ que cresce ou decai a uma taxa,$r$, por um certo tempo$t$, a quantidade final,$A$, é$A=A_{0} e^{r t}$.

Definição\(\PageIndex{1}\)

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Exemplo\(\PageIndex{4}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

Exercício\(\PageIndex{7}\)

Exercício\(\PageIndex{8}\)

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Exercício\(\PageIndex{9}\)

Exercício\(\PageIndex{10}\)

Definição\(\PageIndex{2}\)

Exemplo\(\PageIndex{6}\)

Exercício\(\PageIndex{11}\)

Exercício\(\PageIndex{12}\)

Definição\(\PageIndex{3}\)

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

Exercício\(\PageIndex{13}\)

Exercício\(\PageIndex{14}\)

Exemplo\(\PageIndex{8}\)

Exercício\(\PageIndex{15}\)

Exercício\(\PageIndex{16}\)