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10.2E: Exercícios

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    A prática leva à perfeição

    Exercício\(\PageIndex{19}\) Find and Evaluate Composite Functions

    Nos exercícios a seguir, encontre

    1. \((f \circ g)(x)\)
    2. \((g \circ f)(x)\)
    3. \((f \cdot g)(x)\)
    1. \(f(x)=4 x+3\)e\(g(x)=2 x+5\)
    2. \(f(x)=3 x-1\)e\(g(x)=5 x-3\)
    3. \(f(x)=6 x-5\)e\(g(x)=4 x+1\)
    4. \(f(x)=2 x+7\)e\(g(x)=3 x-4\)
    5. \(f(x)=3 x\)e\(g(x)=2 x^{2}-3 x\)
    6. \(f(x)=2 x\)e\(g(x)=3 x^{2}-1\)
    7. \(f(x)=2 x-1\)e\(g(x)=x^{2}+2\)
    8. \(f(x)=4 x+3\)e\(g(x)=x^{2}-4\)
    Responda

    1.

    1. \(8x+23\)
    2. \(8x+11\)
    3. \(8 x^{2}+26 x+15\)

    3.

    1. \(24x+1\)
    2. \(24x-19\)
    3. \(24x^{2}+19x-5\)

    5.

    1. \(6 x^{2}-9 x\)
    2. \(18 x^{2}-9 x\)
    3. \(6 x^{3}-9 x^{2}\)

    7.

    1. \(2 x^{2}+3\)
    2. \(4 x^{2}-4 x+3\)
    3. \(2 x^{3}-x^{2}+4 x-2\)
    Exercício\(\PageIndex{20}\) Find and Evaluate Composite Functions

    Nos exercícios a seguir, encontre os valores descritos.

    1. Para funções\(f(x)=2 x^{2}+3\) e\(g(x)=5x-1\), encontre
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-3)\)
      3. \((f \circ f)(-1)\)
    2. Para funções\(f(x)=5 x^{2}-1\) e\(g(x)=4x−1\), encontre
      1. \((f \circ g)(1)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((f \circ f)(2)\)
    3. Para funções\(f(x)=2x^{3}\) e\(g(x)=3x^{2}+2\), encontre
      1. \((f \circ g)(-1)\)
      2. \((g \circ f)(1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    4. Para funções\(f(x)=3 x^{3}+1\) e\(g(x)=2 x^{2}=3\), encontre
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    Responda

    1.

    1. \(245\)
    2. \(104\)
    3. \(53\)

    3.

    1. \(250\)
    2. \(14\)
    3. \(77\)
    Exercício\(\PageIndex{21}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Nos exercícios a seguir, determine se o conjunto de pares ordenados representa uma função e, em caso afirmativo, é a função um para um.

    1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0)}, {(1,1),(2,4),(3,9) \}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{\{(9,-3),(4,-2),(1,-1),(0,0)}, {(1,1),(4,2),(9,3) \}}\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-3),(-1,-1)}, {(0,1),(1,3),(2,5),(3,7) \}}\end{array}\)
    4. \(\begin{array}{l}{\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)}, {(1,-1),(0,-2),(-1,-3) \}}\end{array}\)
    Responda

    1. Função; não um para um

    3. Função um para um

    Exercício\(\PageIndex{22}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Nos exercícios a seguir, determine se cada gráfico é o gráfico de uma função e, em caso afirmativo, é um para um.

    1.


    1. Esta figura mostra um gráfico de um círculo com centro na origem e raio 3.
      Figura 10.1.65

    2. Esta figura mostra um gráfico de uma parábola se abrindo para cima com o vértice em (0k, 2).
      Figura 10.1.66

    2.


    1. Esta figura mostra uma parábola que se abre para a direita com o vértice em (menos 2, 0).
      Figura 10.1.67

    2. Esta figura mostra um gráfico de um polinômio com ordem ímpar, de modo que ele começa no terceiro quadrante, aumenta até a origem e continua aumentando no primeiro quadrante.
      Figura 10.1.68

    3.


    1. Esta figura mostra um gráfico de uma curva que começa em (menos 6 menos 2) aumenta até a origem e, em seguida, continua aumentando lentamente até (6, 2).
      Figura 10.1.69

    2. Esta figura mostra uma parábola se abrindo para cima com o vértice em (0, menos 4).
      Figura 10.1.70

    4.


    1. Esta figura mostra um segmento de linha reta diminuindo de (menos 4, 6) para (2, 0), após o qual ele aumenta de (2, 0) para (6, 4).
      Figura 10.1.71

    2. Esta figura mostra um círculo com raio 4 e centro na origem.
      Figura 10.1.72
    Responda

    1.

    1. Não é uma função
    2. Função; não um para um

    3.

    1. Função um para um
    2. Função; não um para um
    Exercício\(\PageIndex{23}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Nos exercícios a seguir, encontre o inverso de cada função. Determine o domínio e o alcance da função inversa.

    1. \(\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\}\)
    2. \(\{(6,2),(9,5),(12,8),(15,11)\}\)
    3. \(\{(0,-2),(1,3),(2,7),(3,12)\}\)
    4. \(\{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\}\)
    5. \(\{(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3)\}\)
    6. \(\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)\}\)
    Responda

    1. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} . \text { Domain: }\{1,2,3,4\} . \text { Range: }} {\{2,4,6,8\} .}\end{array}\)

    3. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-2,0),(3,1),(7,2),(12,3)\} . \text { Domain: }\{-2,3,7,12\} \text { . }} {\text { Range: }\{0,1,2,3\}}\end{array}\)

    5. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-3,-2),(-1,-1),(1,0),(3,1)\} . \text { Domain: }} {\{-3,-1,1,3\} . \text { Range: }\{-2,-1,0,1\}}\end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{24}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Nos exercícios a seguir, represente graficamente, no mesmo sistema de coordenadas, o inverso da função um-para-um mostrada.


    1. Esta figura mostra uma série de segmentos de linha de (menos 4, menos 3) para (menos 3, 0), depois para (menos 1, 2) e depois para (3, 4).
      Figura 10.1.73

    2. Esta figura mostra uma série de segmentos de linha de (menos 4, menos 4) para (menos 3, 1), depois para (0, 2) e depois para (2, 4).
      Figura 10.1.74

    3. Esta figura mostra uma série de segmentos de linha de (menos 4, 4) a (0, 3), depois a (3, 2) e depois a (4, menos 1).
      Figura 10.1.75

    4. Esta figura mostra uma série de segmentos de linha de (menos 4, menos 4) até (menos 1, menos 3), depois para (0, 1), depois para (1, 3) e depois para (4, 4).
      Figura 10.1.76
    Responda

    1.

    Esta figura mostra uma série de segmentos de linha de (menos 3, menos 4) a (0, menos 3), depois a (2, menos 1) e depois a (4, 3).
    Figura 10.1.77

    3.

    Esta figura mostra uma série de segmentos de linha de (menos 1, 4) a (2, 3), depois a (3, 0) e depois a (4, menos 4).
    Figura 10.1.78
    Exercício\(\PageIndex{25}\) Determine Whether the given functions are inverses

    Nos exercícios a seguir, determine se as funções dadas são inversas ou não.

    1. \(f(x)=x+8\)e\(g(x)=x-8\)
    2. \(f(x)=x-9\)e\(g(x)=x+9\)
    3. \(f(x)=7 x\)e\(g(x)=\frac{x}{7}\)
    4. \(f(x)=\frac{x}{11}\)e\(g(x)=11 x\)
    5. \(f(x)=7 x+3\)e\(g(x)=\frac{x-3}{7}\)
    6. \(f(x)=5 x-4\)e\(g(x)=\frac{x-4}{5}\)
    7. \(f(x)=\sqrt{x+2}\)e\(g(x)=x^{2}-2\)
    8. \(f(x)=\sqrt[3]{x-4}\)e\(g(x)=x^{3}+4\)
    Responda

    1. \(g(f(x))=x,\)e\(f(g(x))=x,\), portanto, são inversas.

    3. \(g(f(x))=x,\)e\(f(g(x))=x,\), portanto, são inversas.

    5. \(g(f(x))=x,\)e\(f(g(x))=x,\), portanto, são inversas.

    7. \(g(f(x))=x,\)e\(f(g(x))=x,\), portanto, eles são inversos (para não negativos\(x )\)

    Exercício\(\PageIndex{26}\) Determine the inverse of a function

    Nos exercícios a seguir, encontre o inverso de cada função.

    1. \(f(x)=x-12\)
    2. \(f(x)=x+17\)
    3. \(f(x)=9 x\)
    4. \(f(x)=8 x\)
    5. \(f(x)=\frac{x}{6}\)
    6. \(f(x)=\frac{x}{4}\)
    7. \(f(x)=6 x-7\)
    8. \(f(x)=7 x-1\)
    9. \(f(x)=-2 x+5\)
    10. \(f(x)=-5 x-4\)
    11. \(f(x)=x^{2}+6, x \geq 0\)
    12. \(f(x)=x^{2}-9, x \geq 0\)
    13. \(f(x)=x^{3}-4\)
    14. \(f(x)=x^{3}+6\)
    15. \(f(x)=\frac{1}{x+2}\)
    16. \(f(x)=\frac{1}{x-6}\)
    17. \(f(x)=\sqrt{x-2}, x \geq 2\)
    18. \(f(x)=\sqrt{x+8}, x \geq-8\)
    19. \(f(x)=\sqrt[3]{x-3}\)
    20. \(f(x)=\sqrt[3]{x+5}\)
    21. \(f(x)=\sqrt[4]{9 x-5}, x \geq \frac{5}{9}\)
    22. \(f(x)=\sqrt[4]{8 x-3}, x \geq \frac{3}{8}\)
    23. \(f(x)=\sqrt[5]{-3 x+5}\)
    24. \(f(x)=\sqrt[5]{-4 x-3}\)
    Responda

    1. \(f^{-1}(x)=x+12\)

    3. \(f^{-1}(x)=\frac{x}{9}\)

    5. \(f^{-1}(x)=6 x\)

    7. \(f^{-1}(x)=\frac{x+7}{6}\)

    9. \(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{-2}\)

    11. \(f^{-1}(x)=\sqrt{x-6}\)

    13. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+4}\)

    15. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-2\)

    17. \(f^{-1}(x)=x^{2}+2, x \geq 0\)

    19. \(f^{-1}(x)=x^{3}+3\)

    21. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+5}{9}, x \geq 0\)

    23. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}-5}{-3}\)

    Exercício\(\PageIndex{27}\) Writing Exercises
    1. Explique como o gráfico do inverso de uma função está relacionado ao gráfico da função.
    2. Explique como encontrar o inverso de uma função a partir de sua equação. Use um exemplo para demonstrar as etapas.
    Responda

    1. As respostas podem variar.

    Verificação automática

    a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Essa tabela tem quatro linhas e quatro colunas. A primeira linha, que serve como cabeçalho, diz Eu não posso, Confidently, With some help, e Nãoâ €” Eu não entendi.™ A primeira coluna abaixo da linha do cabeçalho diz Encontre e avalie funções compostas, determine se uma função é individual e encontre o inverso de uma função. O resto das células estão em branco.
    Figura 10.1.79

    b. Se a maioria dos seus cheques fosse:

    ... com confiança. Parabéns! Você alcançou os objetivos desta seção. Reflita sobre as habilidades de estudo que você usou para continuar a usá-las. O que você fez para ter certeza de sua capacidade de fazer essas coisas? Seja específico.

    ... com alguma ajuda. Isso deve ser abordado rapidamente porque tópicos que você não domina se tornam buracos em seu caminho para o sucesso. Em matemática, cada tópico se baseia em trabalhos anteriores. É importante ter certeza de que você tem uma base sólida antes de seguir em frente. A quem você pode pedir ajuda? Seus colegas de classe e instrutor são bons recursos. Há algum lugar no campus onde os professores de matemática estejam disponíveis? Suas habilidades de estudo podem ser aprimoradas?

    ... Não, eu não entendo! Este é um sinal de alerta e você não deve ignorá-lo. Você deve procurar ajuda imediatamente ou ficará sobrecarregado rapidamente. Consulte seu instrutor o mais rápido possível para discutir sua situação. Juntos, vocês podem elaborar um plano para obter a ajuda de que precisam.