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9.7E: Representar graficamente funções quadráticas usando propriedades (exercícios)

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    A prática leva à perfeição

    Exercícios 1 a 4: Reconhecer o gráfico de uma função quadrática

    Nos exercícios a seguir, represente graficamente as funções traçando pontos.

    1. \(f(x)=x^{2}+3\)

    2. \(f(x)=x^{2}-3\)

    3. \(y=-x^{2}+1\)

    4. \(f(x)=-x^{2}-1\)

    Resposta

    1.

    clipboard_eb78a0f78325e7c8a9cceea709788ca1d.png

    3.

    clipboard_ef318ed788d73edacb2b69f9a778e9ce9.png

    Exercícios 5 a 8: Reconhecer o gráfico de uma função quadrática

    Para cada um dos exercícios a seguir, determine se a parábola se abre para cima ou para baixo.

    5. a.\(f(x)=-2 x^{2}-6 x-7\) b.\(f(x)=6 x^{2}+2 x+3\)

    6. a.\(f(x)=4 x^{2}+x-4\) b.\(f(x)=-9 x^{2}-24 x-16\)

    7. a.\(f(x)=-3 x^{2}+5 x-1\) b.\(f(x)=2 x^{2}-4 x+5\)

    8. a.\(f(x)=x^{2}+3 x-4\) b.\(f(x)=-4 x^{2}-12 x-9\)

    Resposta

    5. a. para baixo b. para cima

    7. a. para baixo b. para cima

    Exercícios 9 a 12: Encontre o eixo de simetria e o vértice de uma parábola

    Nas funções a seguir, encontre

    1. A equação do eixo de simetria
    2. O vértice de seu gráfico

    9. \(f(x)=x^{2}+8 x-1\)

    10. \(f(x)=x^{2}+10 x+25\)

    11. \(f(x)=-x^{2}+2 x+5\)

    12. \(f(x)=-2 x^{2}-8 x-3\)

    Resposta

    9. a. Eixo de simetria:\(x=-4\) b. Vértice:\((-4,-17)\)

    11. a. Eixo de simetria:\(x=1\) b. Vértice:\((1,2)\)

    Exercícios 13 a 24: Encontre os interceptos de uma parábola

    Nos exercícios a seguir, encontre os interceptos da parábola cuja função é dada.

    13. \(f(x)=x^{2}+7 x+6\)

    14. \(f(x)=x^{2}+10 x-11\)

    15. \(f(x)=x^{2}+8 x+12\)

    16. \(f(x)=x^{2}+5 x+6\)

    17. \(f(x)=-x^{2}+8 x-19\)

    18. \(f(x)=-3 x^{2}+x-1\)

    19. \(f(x)=x^{2}+6 x+13\)

    20. \(f(x)=x^{2}+8 x+12\)

    21. \(f(x)=4 x^{2}-20 x+25\)

    22. \(f(x)=-x^{2}-14 x-49\)

    23. \(f(x)=-x^{2}-6 x-9\)

    24. \(f(x)=4 x^{2}+4 x+1\)

    Resposta

    13. \(y\)-intercepto:\((0,6)\);\(x\) -intercepto (s):\((-1,0), (-6,0)\)

    15. \(y\)-intercepto:\((0,12)\);\(x\) -intercepto (s):\((-2,0), (-6,0)\)

    17. \(y\)-intercept:\((0,-19)\);\(x\) -intercepto (s): nenhum

    19. \(y\)-intercept:\((0,13)\);\(x\) -intercepto (s): nenhum

    21. \(y\)-intercepto:\((0,-16)\);\(x\) -intercepto (s):\((\frac{5}{2},0)\)

    23. \(y\)-intercepto:\((0,9)\);\(x\) -intercepto (s):\((-3,0)\)

    Exercícios 25 a 42: Representar graficamente funções quadráticas usando propriedades

    Nos exercícios a seguir, represente graficamente a função usando suas propriedades.

    25. \(f(x)=x^{2}+6 x+5\)

    26. \(f(x)=x^{2}+4 x-12\)

    27. \(f(x)=x^{2}+4 x+3\)

    28. \(f(x)=x^{2}-6 x+8\)

    29. \(f(x)=9 x^{2}+12 x+4\)

    30. \(f(x)=-x^{2}+8 x-16\)

    31. \(f(x)=-x^{2}+2 x-7\)

    32. \(f(x)=5 x^{2}+2\)

    33. \(f(x)=2 x^{2}-4 x+1\)

    34. \(f(x)=3 x^{2}-6 x-1\)

    35. \(f(x)=2 x^{2}-4 x+2\)

    36. \(f(x)=-4 x^{2}-6 x-2\)

    37. \(f(x)=-x^{2}-4 x+2\)

    38. \(f(x)=x^{2}+6 x+8\)

    39. \(f(x)=5 x^{2}-10 x+8\)

    40. \(f(x)=-16 x^{2}+24 x-9\)

    41. \(f(x)=3 x^{2}+18 x+20\)

    42. \(f(x)=-2 x^{2}+8 x-10\)

    Resposta

    25.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (menos 3, menos 4). O intercepto y, ponto (0, 5), é traçado assim como os interceptos x, (menos 5, 0) e (menos 1, 0).
    Figura 9.6.136

    27.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (menos 2, menos 1). O intercepto y, ponto (0, 3), é plotado assim como os interceptos x, (menos 3, 0) e (menos 1, 0).
    Figura 9.6.137

    29.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 4 a 4. O eixo y do plano vai de menos 4 a 4. A parábola tem um vértice em (menos 2 terços, 0). O intercepto y, ponto (0, 4), é plotado. O eixo de simetria, x igual a menos 2 terços, é traçado como uma linha vertical tracejada.
    Figura 9.6.138

    31.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 15 a 10. A parábola tem um vértice em (1, menos 6). O intercepto y, ponto (0, menos 7), é plotado. O eixo de simetria, x igual a 1, é traçado como uma linha vertical tracejada.
    Figura 9.6.139

    33.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (1, menos 1). O intercepto y, ponto (0, 1), é plotado assim como os interceptos x, aproximadamente (0,3, 0) e (1,7, 0). O eixo de simetria é a linha vertical x igual a 1, plotada como uma linha tracejada.
    Figura 9.6.140

    35.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (1, 0). Este ponto é o único intercepto x. O intercepto y, ponto (0, 2), é plotado. O eixo de simetria é a linha vertical x igual a 1, plotada como uma linha tracejada.
    Figura 9.6.141

    37.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (menos 2, 6). O intercepto y, ponto (0, 2), é plotado assim como os interceptos x, aproximadamente (menos 4,4, 0) e (0,4, 0). O eixo de simetria é a linha vertical x igual a 2, plotada como uma linha tracejada.
    Figura 9.6.142

    39.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (1, 3). O intercepto y, ponto (0, 8), é plotado; não há interceptos x. O eixo de simetria é a linha vertical x igual a 1, plotada como uma linha tracejada.
    Figura 9.6.143

    41.

    Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (menos 3, menos 7). Os interceptos x são plotados nos pontos aproximados (menos 4,5, 0) e (menos 1,5, 0). O eixo de simetria é a linha vertical x igual a menos 3, plotada como uma linha tracejada.
    Figura 9.6.144
    Exercícios 43 a 48: resolva aplicações máximas e mínimas

    Nos exercícios a seguir, encontre o valor máximo ou mínimo de cada função.

    43. \(f(x)=2 x^{2}+x-1\)

    44. \(y=-4 x^{2}+12 x-5\)

    45. \(y=x^{2}-6 x+15\)

    46. \(y=-x^{2}+4 x-5\)

    47. \(y=-9 x^{2}+16\)

    48. \(y=4 x^{2}-49\)

    Resposta

    43. O valor mínimo é\(−\frac{9}{8}\) quando\(x=−\frac{1}{4}\).

    45. O valor máximo é\(6\) quando\(x=3\).

    47. O valor máximo é\(16\) quando\(x=0\).

    Exercícios 49 a 60: resolva aplicações máximas e mínimas

    Nos exercícios a seguir, resolva. Arredonde as respostas para o décimo mais próximo.

    49. Uma flecha é disparada verticalmente para cima a partir de uma plataforma com\(45\) pés de altura a uma taxa de\(168\) pés/seg. Use a função quadrática para\(h(t)=-16 t^{2}+168 t+45\) descobrir quanto tempo a seta levará para atingir sua altura máxima e, em seguida, encontre a altura máxima.

    50. Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir de uma plataforma com\(20\) pés de altura a uma taxa de\(160\) pés/seg. Use a função quadrática\(h(t)=-16 t^{2}+160 t+20\) para descobrir quanto tempo a pedra levará para atingir sua altura máxima e, em seguida, encontre a altura máxima.

    51. Uma bola é lançada verticalmente do chão para cima com uma velocidade inicial de\(109\) pés/seg. Use a função quadrática\(h(t)=-16 t^{2}+109 t+0\) para descobrir quanto tempo a bola levará para atingir sua altura máxima e, em seguida, encontre a altura máxima.

    52. Uma bola é lançada verticalmente do chão para cima com uma velocidade inicial de\(122\) pés/seg. Use a função quadrática\(h(t)=-16 t^{2}+122 t+0\) para descobrir quanto tempo a bola levará para atingir sua altura máxima e, em seguida, encontre a altura máxima.

    53. O dono de uma loja de informática estima que, cobrando\(x\) dólares cada um por um determinado computador, ele pode vender\(40 − x\) computadores toda semana. A função quadrática\(R(x)=-x^{2}+40 x\) é usada para encontrar a receita,\(R\), recebida quando o preço de venda de um computador é\(x\), Encontre o preço de venda que lhe dará a receita máxima e, em seguida, encontre o valor da receita máxima.

    54. Um varejista que vende mochilas estima que, ao vendê-las por\(x\) dólares cada, ele poderá vender\(100 − x\) mochilas por mês. A função quadrática\(R(x)=-x^{2}+100 x\) é usada para encontrar o\(R\), recebido quando o preço de venda de uma mochila é\(x\). Encontre o preço de venda que lhe dará a receita máxima e, em seguida, encontre o valor da receita máxima.

    55. Um varejista que vende botas de moda estima que, ao vendê-las por\(x\) dólares cada, ele poderá vender\(70 − x\) botas por semana. Use a função quadrática\(R(x)=-x^{2}+70 x\) para encontrar a receita recebida quando o preço médio de venda de um par de botas de moda é\(x\). Encontre o preço de venda que lhe dará a receita máxima e, em seguida, encontre o valor da receita máxima por dia.

    56. Uma empresa de telefonia celular estima que, cobrando\(x\) dólares cada um por um determinado telefone celular, eles podem vender telefones\(8 − x\) celulares por dia. Use a função quadrática\(R(x)=-x^{2}+8 x\) para encontrar a receita recebida por dia quando o preço de venda de um telefone celular é\(x\). Encontre o preço de venda que lhes dará a receita máxima por dia e, em seguida, encontre o valor da receita máxima.

    57. Um fazendeiro vai cercar três lados de um curral próximo a um rio. Ele precisa maximizar a área do curral usando\(240\) pés de cerca. A equação quadrática\(A(x)=x(240-2 x)\) fornece a área do curral,\(A\), para o comprimento,\(x\), do curral ao longo do rio. Encontre o comprimento do curral ao longo do rio que fornecerá a área máxima e, em seguida, encontre a área máxima do curral.

    58. Um veterinário está encerrando uma área retangular de corrida externa contra seu prédio para os cães que ele cuida. Ele precisa maximizar a área usando\(100\) pés de cerca. A função quadrática\(A(x)=x(100-2 x)\) dá a área\(A\),, da corrida do cão pelo comprimento,\(x\), do prédio que margeará a corrida do cachorro. Encontre o comprimento do prédio que deve delimitar a corrida de cães para obter a área máxima e, em seguida, encontre a área máxima da corrida de cães.

    59. O proprietário de um terreno está planejando construir um pátio retangular cercado atrás de sua garagem, usando sua garagem como uma das “paredes”. Ele quer maximizar a área usando\(80\) pés de cerca. A função quadrática\(A(x)=x(80-2 x)\) fornece a área do pátio, onde\(x\) está a largura de um lado. Encontre a área máxima do pátio.

    60. Uma família de três crianças pequenas acabou de se mudar para uma casa com um quintal que não está cercado. O proprietário anterior lhes deu\(300\) pés de cerca para usar para cercar parte do quintal. Use a função quadrática\(A(x)=x(300-2 x)\) para determinar a área máxima do pátio cercado.

    Resposta

    49. Em\(5.3\) segundos, a flecha alcançará a altura máxima de\(486\) pés.

    51. Em\(3.4\) segundos, a bola atingirá sua altura máxima de\(185.6\) pés.

    53. \(20\)os computadores fornecerão o máximo de $\(400\) em recibos.

    55. Ele poderá vender\(35\) pares de botas com a receita máxima de $\(1,225\).

    57. O comprimento do lado ao longo do rio do curral é de\(120\) pés e a área máxima é de pés\(7,200\) quadrados.

    59. A área máxima do pátio é de\(800\) pés.

    Exercícios 61 a 64: Exercícios de escrita

    61. Como os gráficos das funções\(f(x)=x^{2}\)\(f(x)=x^{2}−1\) diferem? Nós os representamos graficamente no início desta seção. Qual é a diferença entre seus gráficos? Como seus gráficos são iguais?

    62. Explique o processo de encontrar o vértice de uma parábola.

    63. Explique como encontrar as interceptações de uma parábola.

    64. Como você pode usar o discriminante ao representar graficamente uma função quadrática?

    Resposta

    1. As respostas podem variar.

    3. As respostas podem variar.

    Verificação automática

    a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Esta tabela fornece uma lista de verificação para avaliar o domínio dos objetivos desta seção. Escolha como você responderia à afirmação “Eu posso reconhecer o gráfico de uma equação quadrática.†“Confiantemente, †“com alguma ajuda, †⠀ œNão, eu não entendi. ’ Escolha como você responderia à afirmação “Eu posso encontrar o eixo de simetria e o vértice de uma parábola.†“Confiantemente, †“com alguma ajuda, †ou “Não, eu não entendi.” Escolha como você responderia à declaração “Eu posso encontrar as interceptações de uma parábola.” Com confiança, ††⠀ œCom alguma ajuda, †ou †œNão, eu não entendi. ’ Escolha como você responderia à declaração †œEu posso representar graficamente equações quadráticas em duas variáveis.†’ œConfiantemente, †“com alguma ajuda, †ou †œNão, eu não entendi. ††⠀ œCom alguma ajuda, â € œEu posso resolver aplicações máximas e mínimas.†“Confiantemente, ††⠀ œCom alguma ajuda, †⠀ œNão, eu não entendi.™™
    Figura 9.6.145

    b. Depois de examinar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para a próxima seção? Por que ou por que não?