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Álgebra intermediária (OpenStax)
9: Equações e funções quadráticas
9.7: Representar graficamente funções quadráticas usando propriedades

9.7: Representar graficamente funções quadráticas usando propriedades

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Reconhecer o gráfico de uma função quadrática
Encontre o eixo de simetria e o vértice de uma parábola
Encontre as interceptações de uma parábola
Crie graficamente funções quadráticas usando propriedades
Resolva aplicações máximas e mínimas

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

Faça um gráfico da função$f(x)=x^{2}$ traçando pontos.
Se você perdeu esse problema, revise o Exemplo 3.54.
Resolver:$2 x^{2}+3 x-2=0$.
Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 6.45.
Avalie$-\frac{b}{2 a}$ quando$a=3$$b=-6$ e.
Se você perdeu esse problema, revise o Exemplo 1.21.

Reconhecer o gráfico de uma função quadrática

Anteriormente, examinamos brevemente a função$f(x)=x^{2}$, que chamamos de função quadrada. Foi uma das primeiras funções não lineares que analisamos. Agora vamos representar graficamente as funções do formulário$f(x)=a x^{2}+b x+c$ if$a \neq 0$. Chamamos esse tipo de função de função quadrática.

Definição$\PageIndex{1}$

Uma função quadrática$a, b$, onde, e$c$ são números reais e$a≠0$, é uma função da forma

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

Representamos graficamente a função$f(x)=x^{2}$ quadrática traçando pontos.

Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 4 a 4. O eixo y do plano vai de menos 2 a 6. A parábola tem um vértice em (0, 0) e também passa pelos pontos (-2, 4), (-1, 1), (1, 1) e (2, 4). À direita do gráfico está uma tabela de valores com 3 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e rotula cada coluna, â€œxâ€, â€œf de x é igual a x ao quadradoâ€, e â€œo par de pedidos x, f de x.â€ Na linha 2, x é igual a menos 3, f de x é igual a x ao quadrado é 9 e o par ordenado x, f de x é o par ordenado menos 3, 9. Na linha 3, x é igual a menos 2, f de x é igual a x ao quadrado é 4 e o par ordenado x, f de x é o par ordenado menos 2, 4. Na linha 4, x é igual a menos 1, f de x é igual a x ao quadrado é 1 e o par ordenado x, f de x é o par ordenado menos 1, 1. Na linha 5, x é igual a 0, f de x é igual a x ao quadrado é 0 e o par ordenado x, f de x é o par ordenado 0, 0. Na linha 6, x é igual a 1, f de x é igual a x ao quadrado é 1 e o par ordenado x, f de x é o par ordenado 1, 1. Na linha 7, x é igual a 2, f de x é igual a x ao quadrado é 4 e o par ordenado x, f de x é o par ordenado 2, 4. Na linha 8, x é igual a 3, f de x é igual a x ao quadrado é 9 e o par ordenado x, f de x é o par ordenado 3, 9. — Figura 9.6.1

Cada função quadrática tem um gráfico parecido com este. Chamamos essa figura de parábola. Vamos praticar a representação gráfica de uma parábola traçando alguns pontos.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Gráfico:$f(x)=x^{2}-1$.

Solução:

Representaremos graficamente a função traçando pontos.

Escolha valores inteiros para$x$, substitua-os na equação e simplifique para encontrar$f(x)$. Registre os valores dos pares ordenados no gráfico.	$.$
Faça um gráfico dos pontos e, em seguida, conecte-os com uma curva suave. O resultado será o gráfico da função$f(x)=x^{2}-1$.	$.$

Exercício$\PageIndex{1}$

Gráfico$f(x)=-x^{2}$.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (0, 0).$

Exercício$\PageIndex{2}$

Gráfico$f(x)=x^{2}-1$.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (0, â˚'1).$

Todos os gráficos das funções quadráticas da forma$f(x)=a x^{2}+b x+c$ são parábolas que se abrem para cima ou para baixo. Veja a Figura 9.6.6

Esta imagem mostra 2 gráficos lado a lado. O gráfico à esquerda mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (menos 2, menos 1) e passa pelos pontos (menos 4, 3) e (0, 3). A forma geral da equação desse gráfico é f de x igual a x ao quadrado mais b x mais c. A equação dessa parábola é x ao quadrado mais 4 x mais 3. O coeficiente principal, a, é maior que 0, então essa parábola se abre para cima. O gráfico à direita mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (2, 7) e passa pelos pontos (0, 3) e (4, 3). A forma geral da equação desse gráfico é f de x igual a x ao quadrado mais b x mais c. A equação dessa parábola é menos x ao quadrado mais 4 x mais 3. O coeficiente principal, a, é menor que 0, então essa parábola se abre para baixo.

Observe que a única diferença nas duas funções é o sinal negativo antes do termo quadrático ($x^{2}$na equação do gráfico na Figura 9.6.6). Quando o termo quadrático é positivo, a parábola se abre para cima e quando o termo quadrático é negativo, a parábola se abre para baixo.

Definição$\PageIndex{2}$

Orientação da parábola

Para o gráfico da função quadrática$f(x)=a x^{2}+b x+c$, se

$Essas imagens mostram uma lista com marcadores. O primeiro marcador indica que, se a for maior que 0, a parábola se abre para cima e mostra a imagem de uma parábola que se abre para cima. O segundo marcador indica que, se a for menor que 0, a parábola se abre para baixo e mostra a imagem de uma parábola que se abre para baixo.$

Exemplo$\PageIndex{2}$

Determine se cada parábola se abre para cima ou para baixo:

$f(x)=-3 x^{2}+2 x-4$
$f(x)=6 x^{2}+7 x-9$

Solução:

a. Encontre o valor de$a$.

Como o$a$ é negativo, a parábola se abrirá para baixo.

b. Encontre o valor de$a$.

Como o$a$ é positivo, a parábola se abrirá para cima.

Exercício$\PageIndex{3}$

Determine se o gráfico de cada função é uma parábola que se abre para cima ou para baixo:

$f(x)=2 x^{2}+5 x-2$
$f(x)=-3 x^{2}-4 x+7$

Resposta

Para cima
para baixo

Exercício$\PageIndex{4}$

Determine se o gráfico de cada função é uma parábola que se abre para cima ou para baixo:

$f(x)=-2 x^{2}-2 x-3$
$f(x)=5 x^{2}-2 x-1$

Resposta

para baixo
Para cima

Encontre o eixo de simetria e o vértice de uma parábola

Veja novamente a Figura 9.6.10. Você vê que poderíamos dobrar cada parábola ao meio e então um lado ficaria em cima do outro? A “linha de dobra” é uma linha de simetria. Nós o chamamos de eixo de simetria da parábola.

Mostramos os mesmos dois gráficos novamente com o eixo de simetria.

Esta imagem mostra 2 gráficos lado a lado. O gráfico à esquerda mostra uma parábola que se abre para cima e uma linha vertical tracejada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (menos 2, menos 1) e passa pelos pontos (menos 4, 3) e (0, 3). A equação dessa parábola é x ao quadrado mais 4 x mais 3. A linha vertical passa pelo ponto (menos 2, 0) e tem a equação x igual a menos 2. O gráfico à direita mostra uma parábola que se abre para baixo e uma linha vertical tracejada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (2, 7) e passa pelos pontos (0, 3) e (4, 3). A equação dessa parábola é menos x ao quadrado mais 4 x mais 3. A linha vertical passa pelo ponto (2, 0) e tem a equação x igual a 2.

A equação do eixo de simetria pode ser derivada usando a Fórmula Quadrática. Vamos omitir a derivação aqui e prosseguir diretamente com o uso do resultado. A equação do eixo de simetria do gráfico de$f(x)=a x^{2}+b x+c$ é$x=-\frac{b}{2 a}$.

Então, para encontrar a equação de simetria de cada uma das parábolas que graficamos acima, substituiremos a fórmula$x=-\frac{b}{2 a}$.

Compare a função f de x igual a x ao quadrado mais 4 x mais 3 com a forma padrão de uma função quadrática, f de x é igual a x ao quadrado mais b x mais c. O eixo de simetria é a linha x igual a menos b dividido pelo produto 2 a. Substituindo b e a produz x igual a menos 4 dividido pelo produto 2 vezes 1. O eixo de simetria é igual a menos 2. Em seguida, compare a função f de x igual a menos x ao quadrado mais 4 x mais 3 com a forma padrão de uma função quadrática, f de x é igual a x ao quadrado mais b x mais c. O eixo de simetria é a linha x igual a menos b dividido pelo produto 2 a. Substituindo b e a produz x é igual a menos 4 dividido pelo produto 2 a. Substituindo b e a resulta em x igual a menos 4 dividido pelo produto 2 a. Substituindo b e a resulta em x igual a menos 4 dividido pelo produto 2 a. Substituindo b e a produto 2 vezes negativo 1. O eixo de simetria é igual a 2.

Observe que essas são as equações das linhas azuis tracejadas nos gráficos.

O ponto na parábola que é o mais baixo (a parábola se abre para cima) ou o mais alto (a parábola se abre para baixo) está no eixo de simetria. Esse ponto é chamado de vértice da parábola.

Podemos encontrar facilmente as coordenadas do vértice, porque sabemos que ele está no eixo de simetria. Isso significa que sua
$x$ coordenada -é$-\frac{b}{2 a}$. Para encontrar a$y$ coordenada -do vértice, substituímos o valor da$x$ coordenada -na função quadrática.

Para a função f de x igual a x ao quadrado mais 4 x mais 3, o eixo de simetria é x igual a menos 2. O vértice é o ponto na parábola com coordenada x menos 2. Substitua x igual a menos 2 na função f de x é igual a x ao quadrado mais 4 x mais 3. F de x é igual ao quadrado de menos 2 mais 4 vezes menos 2 mais 3, então f de x é igual a menos 1. O vértice é o ponto (menos 2, menos 1). Para a função f de x igual a menos x ao quadrado mais 4 x mais 3, o eixo de simetria é x igual a 2. O vértice é o ponto na parábola com a coordenada x 2. Substitua x igual a 2 na função f de x é igual a x ao quadrado mais 4 x mais 3. F de x é igual a 2 ao quadrado mais 4 vezes 2 mais 3, então f de x é igual a 7. O vértice é o ponto (2, 7).

Eixo de simetria e vértice de uma parábola

O gráfico da função$f(x)=a x^{2}+b x+c$ é uma parábola onde:

o eixo de simetria é a linha vertical$x=-\frac{b}{2 a}$.
o vértice é um ponto no eixo de simetria, então sua$x$ coordenada -é$-\frac{b}{2 a}$
a$y$ coordenada -do vértice é encontrada substituindo-a$x=-\frac{b}{2 a}$ na equação quadrática.

Exemplo$\PageIndex{3}$

Para o gráfico da$f(x)=3 x^{2}-6 x+2$ descoberta:

o eixo de simetria
o vértice

Solução:

uma.

	$.$
O eixo de simetria é a linha vertical$x=-\frac{b}{2 a}$.
Substitua os valores$a,b$ na equação.	$x=-\frac{-6}{2 \cdot 3}$
Simplifique.	$x=1$
	O eixo de simetria é a linha$x=1$.

	$f(x)=3 x^{2}-6 x+2$
O vértice é um ponto na linha de simetria, então sua$x$ coordenada -será$x=1$. Encontre$f(1)$.	$.$
Simplifique.	$.$
O resultado é a$y$ coordenada -.	$f(1)=-1$
	O vértice é$(1,-1)$.

Exercício$\PageIndex{5}$

Para o gráfico da$f(x)=2 x^{2}-8 x+1$ descoberta:

o eixo de simetria
o vértice

Resposta

$x=2$
$(2,-7)$

Exercício$\PageIndex{6}$

Para o gráfico da$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$ descoberta:

o eixo de simetria
o vértice

Resposta

$x=1$
$(1,-5)$

Encontre as interceptações de uma parábola

Quando representamos graficamente equações lineares, costumávamos usar os$y$ interceptos$x$ - e -para nos ajudar a representar graficamente as linhas. Encontrar as coordenadas das interceptações também nos ajudará a representar graficamente as parábolas.

Lembre-se de que, no$y$ -intercept, o valor de$x$ é zero. Então, para encontrar o$y$ intercepto -,$x=0$ substituímos a função.

Vamos encontrar as$y$ interceptações -das duas parábolas mostradas na Figura 9.6.20.

Um$x$ intercepto -ocorre quando o valor de$f(x)$ é zero. Para encontrar um$x$ intercepto -, deixamos$f(x)=0$. Em outras palavras, precisaremos resolver a equação$0=a x^{2}+b x+c$ para$x$.

$\begin{aligned} f(x) &=a x^{2}+b x+c \\ 0 &=a x^{2}+b x+c \end{aligned}$

Resolver equações quadráticas como essa é exatamente o que fizemos anteriormente neste capítulo!

Agora podemos encontrar as$x$ interceptações -das duas parábolas que examinamos. Primeiro, encontraremos os$x$ interceptos -da parábola cuja função é$f(x)=x^{2}+4 x+3$.

	$f(x)=x^{2}+4 x+3$
Deixe$f(x)=0$.	$\color{red}0\color{black}=x^{2}+4 x+3$
Fator.	$0=(x+1)(x+3)$
Use a propriedade Zero Product.	$x+1=0 \quad x+3=0$
Resolver.	$x=-1 \quad x=-3$
	As$x$ interceptações -são$(-1,0)$$(-3,0)$ e.

Agora vamos encontrar os$x$ interceptos -da parábola cuja função é$f(x)=-x^{2}+4 x+3$.

	$f(x)=-x^{2}+4 x+3$
Deixe$f(x)=0$.	$\color{red}0 \color{black}=-x^{2}+4 x+3$
Essa quadrática não fatora, então usamos a Fórmula Quadrática.	$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a=-1, b=4, c=3$	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4(-1)(3)}}{2(-1)}$
Simplifique.	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{-2}$
	$x=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{7}}{-2}$
	$x=\frac{-2(2 \pm \sqrt{7})}{-2}$
	$x=2 \pm \sqrt{7}$
	As$x$ interceptações -são$(2+\sqrt{7}, 0)$$(2-\sqrt{7}, 0)$ e.

Usaremos as aproximações decimais dos$x$ interceptos -, para que possamos localizar esses pontos no gráfico,

$(2+\sqrt{7}, 0) \approx(4.6,0) \quad(2-\sqrt{7}, 0) \approx(-0.6,0)$

Esses resultados estão de acordo com nossos gráficos? Veja a Figura 9.6.34

Esta imagem mostra 2 gráficos lado a lado. O gráfico à esquerda mostra a parábola de abertura ascendente definida pela função f de x é igual a x ao quadrado mais 4 x mais 3 e uma linha vertical tracejada, x igual a menos 2, representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (menos 2, menos 1). O intercepto y é (0, 3) e os interceptos x são (menos 1, 0) e (menos 3, 0). O gráfico à direita mostra a parábola de abertura descendente definida pela função f de x igual a menos x ao quadrado mais 4 x mais 3 e uma linha vertical tracejada, x igual a 2, representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. A parábola tem um vértice em (2, 7). O intercepto y é (0, 3) e os interceptos x são (2 mais raiz quadrada 7, 0), aproximadamente (4,6, 0) e (2 menos raiz quadrada, 0), aproximadamente (menos 0,6, 0).

Encontre as interceptações de uma parábola

Para encontrar os interceptos de uma parábola cuja função é$f(x)=a x^{2}+b x+c$:

$y$-interceptar

Deixe$x=0$ e resolva por$f(x)$.

$x$-intercepta

Deixe$f(x)=0$ e resolva para$x$

Exemplo$\PageIndex{4}$

Encontre os interceptos da parábola cuja função é$f(x)=x^{2}-2 x-8$.

Solução:

Para encontrar o$y$ -intercept, deixe$x=0$ e resolva para$f(x)$.	$f(x)=x^{2}-2 x-8$
	$f(0)=\color{red}0\color{black}^{2}-2 \cdot \color{red}0 \color{black}-8$
	$f(0)=-8$
	Quando$x=0$, então$f(0)=-8$. O$y$ intercepto -é o ponto$(0,-8)$.
Para encontrar o$x$ -intercept, deixe$f(x)=0$ e resolva para$x$.	$f(x)=x^{2}-2 x-8$
	$0=x^{2}-2 x-8$
Resolva por fatoração.	$0=(x-4)(x+2)$
	$0=x-4 \quad 0=x+2$
	$4=x \quad-2=x$
	Quando$f(x)=0$, então$x=4$ ou$x=-2$. Os$x$ interceptos -são os pontos$(4,0)$$(-2,0)$ e.

Exercício$\PageIndex{7}$

Encontre os interceptos da parábola cuja função é$f(x)=x^{2}+2 x-8$.

Resposta: $y$-interceptar:$(0,-8) x$ -intercepta$(-4,0),(2,0)$

Exercício$\PageIndex{8}$

Encontre os interceptos da parábola cuja função é$f(x)=x^{2}-4 x-12$.

Resposta: $y$-interceptar:$(0,-12) x$ -intercepta$(-2,0),(6,0)$

Neste capítulo, resolvemos equações quadráticas da forma$a x^{2}+b x+c=0$. Resolvemos$x$ e os resultados foram as soluções para a equação.

Agora estamos analisando as funções quadráticas do formulário$f(x)=a x^{2}+b x+c$. Os gráficos dessas funções são parábolas. As interceptações$x$ - das parábolas ocorrem onde$f(x)=0$.

Por exemplo:

Equação quadrática

$\begin{aligned}x^{2}-2 x-15 & =0\quad \text{Let}\:f(x)=0 \\ (x-5)(x+3) &=0 \\ x-5=0\:\:x+3 & =0 \\ x=5\:\:\:x&=-3\end{aligned}$

Função quadrática

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=(x-5)(x+3) \\ x-5 &=0 \quad x+3=0 \\ x &=5 \quad x=-3 \\(5,0) & \text { and }(-3,0) \\& x\text { -intercepts } \end{aligned}$

As soluções da função quadrática são os$x$ valores dos interceptos$x$ -.

Anteriormente, vimos que as equações quadráticas têm$2, 1$, ou$0$ soluções. Os gráficos abaixo mostram exemplos de parábolas para esses três casos. Como as soluções das funções fornecem as$x$ interceptações -dos gráficos, o número de$x$ interceptações -é o mesmo que o número de soluções.

Anteriormente, usávamos o discriminante para determinar o número de soluções de uma função quadrática da forma$a x^{2}+b x+c=0$. Agora podemos usar o discriminante para nos dizer quantas$x$ interceptações -existem no gráfico.

Esta imagem mostra três gráficos lado a lado. O gráfico à esquerda mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano da coordenada x y. O vértice da parábola fica abaixo do eixo x e a parábola cruza o eixo x em dois pontos diferentes. Se b ao quadrado menos 4 a c for maior que 0, então a equação quadrática a x ao quadrado mais b x mais c é igual a 0 tem duas soluções, e o gráfico da parábola tem 2 interceptos x. O gráfico no meio mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano da coordenada x y. O vértice da parábola está no eixo x, o único ponto de interseção entre a parábola e o eixo x. Se b ao quadrado menos 4 a c é igual a 0, então a equação quadrática a x ao quadrado mais b x mais c é igual a 0 tem uma solução, e o gráfico da parábola tem 1 intercepto x. O gráfico à direita mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano da coordenada x y. O vértice da parábola fica acima do eixo x e a parábola não cruza o eixo x. Se b ao quadrado menos 4 a c for menor que 0, então a equação quadrática a x ao quadrado mais b x mais c é igual a 0 não tem soluções e o gráfico da parábola não tem interceptos x.

Antes de encontrar os valores dos$x$ interceptos -, talvez você queira avaliar o discriminante para saber quantas soluções esperar.

Exemplo$\PageIndex{5}$

Encontre os interceptos da parábola para a função$f(x)=5 x^{2}+x+4$.

Solução:

	$.$
Para encontrar o$y$ -intercept, deixe$x=0$ e resolva para$f(x)$.	$.$
	$.$
	Quando$x=0$, então$f(0)=4$. O$y$ intercepto -é o ponto$(0,4)$.
Para encontrar o$x$ -intercept, deixe$f(x)=0$ e resolva para$x$.	$.$
	$.$
Encontre o valor do discriminante para prever o número de soluções, que também é o número$x$ de interceptações.
$\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {1^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4} \\ {1-80} \\ {-79}\end{array}$
	Como o valor do discriminante é negativo, não há uma solução real para a equação. Não há$x$ interceptações.

Exercício$\PageIndex{9}$

Encontre os interceptos da parábola cuja função é$f(x)=3 x^{2}+4 x+4$.

Resposta: $y$-intercept:$(0,4)$ sem$x$ interceptação

Exercício$\PageIndex{10}$

Encontre os interceptos da parábola cuja função é$f(x)=x^{2}-4 x-5$

Resposta: $y$-interceptar:$(0,-5)$$x$ -intercepta$(-1,0),(5,0)$

Grafe funções quadráticas usando propriedades

Agora temos todas as peças que precisamos para representar graficamente uma função quadrática. Só precisamos juntá-los. No próximo exemplo, veremos como fazer isso.

Exemplo$\PageIndex{6}$ How to Graph a Quadratic Function Using Properties

Faça um gráfico$f(x)=x^{2}-6x+8$ usando suas propriedades.

Solução:

Etapa 1: Determine se a parábola se abre para cima ou para baixo.	Olhe$a$ na equação$f(x)=x^{2}-6x+8$ Como$a$ é positivo, a parábola se abre para cima.	$f(x)=x^{2}-6x+8$ $\color{red}{a=1, b=-6, c=8}$ A parábola se abre para cima.
Etapa 2: Encontre o eixo de simetria.	$f(x)=x^{2}-6x+8$ O eixo de simetria é a linha$x=-\frac{b}{2 a}$.	Eixo de simetria $x=-\frac{b}{2 a}$ $x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}$ $x=3$ O eixo de simetria é a linha$x=3$.
Etapa 3: Encontre o vértice.	O vértice está no eixo de simetria. $x=3$Substitua na função.	Vértice $f(x)=x^{2}-6x+8$ $f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8$ $f(3)=-1$ O vértice é$(3,-1)$.
Etapa 4: Encontre o$y$ -intercept. Encontre o ponto simétrico ao$y$ intercepto -no eixo de simetria.	Nós encontramos$f(0)$. Usamos o eixo de simetria para encontrar um ponto simétrico ao$y$ intercepto. O$y$ intercepto -é a$3$ unidade à esquerda do eixo de simetria,$x=3$. Uma$3$ unidade de ponto à direita do eixo de simetria tem$x=6$.	$y$-interceptar $f(x)=x^{2}-6 x+8$ $f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8$ $f(0)=8$ O$y$ intercepto -é$(0,8)$. Ponto simétrico ao$y$ -intercept: A questão é$(6,8)$.
Etapa 5: Encontre$x$ os interceptos. Encontre pontos adicionais, se necessário.	Nós resolvemos$f(x)=0$. Podemos resolver essa equação quadrática fatorando.	$x$-intercepta $f(x)=x^{2}-6 x+8$ $\color{red}{0}\color{black}{=}x^{2}-6x+8$ $\color{red}{0}\color{black}{=}(x-2)(x-4)$ $x=2 or x=4$ As$x$ interceptações -são$(2,0)$$(4,0)$ e.
Etapa 6: Faça um gráfico da parábola.	Representamos graficamente o vértice, os interceptos e o ponto simétrico ao$y$ intercepto. Conectamos esses$5$ pontos para esboçar a parábola.	$Captura de tela (1) .png$

Exercício$\PageIndex{11}$

Faça um gráfico$f(x)=x^{2}+2x-8$ usando suas propriedades.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. O eixo de simetria, x igual a menos 1, é representado graficamente como uma linha tracejada. A parábola tem um vértice em (menos 1, menos 9). O intercepto y da parábola é o ponto (0, menos 8). Os interceptos x da parábola são os pontos (menos 4, 0) e (4, 0).$

Exercício$\PageIndex{12}$

Faça um gráfico$f(x)=x^{2}-8x+12$ usando suas propriedades.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 15. O eixo de simetria, x igual a 4, é representado graficamente como uma linha tracejada. A parábola tem um vértice em (4, menos 4). O intercepto y da parábola é o ponto (0, 12). Os interceptos x da parábola são os pontos (2, 0) e (6, 0).$

Listamos as etapas a serem seguidas para representar graficamente uma função quadrática aqui.

Para representar graficamente uma função quadrática usando propriedades

Determine se a parábola se abre para cima ou para baixo.
Encontre a equação do eixo de simetria.
Encontre o vértice.
Encontre o$y$ intercepto -. Encontre o ponto simétrico ao$y$ intercepto -no eixo de simetria.
Encontre as$x$ interceptações -. Encontre pontos adicionais, se necessário.
Faça um gráfico da parábola.

Conseguimos encontrar os$x$ interceptos -no último exemplo por meio de fatoração. Encontramos as$x$ interceptações -no próximo exemplo também fatorando.

Exemplo$\PageIndex{7}$

Faça um gráfico$f(x)=-x^{2}+6 x-9$ usando suas propriedades.

Solução:

	$.$
Desde então$a$$-1$, a parábola se abre para baixo.
	$.$
Para encontrar a equação do eixo de simetria, use$x=-\frac{b}{2 a}$.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{6}{2(-1)}$
	$x=3$
	O eixo de simetria é$x=3$. O vértice está na linha$x=3$.
	$.$
Encontre$f(3)$.	$f(x)=-x^{2}+6 x-9$
	$.$
	$f(3)=-9+18-9$
	$f(3)=0$
	O vértice é$(3,0)$.
	$.$
O$y$ -intercept ocorre quando$x=0$. Encontre$f(0)$.	$f(x)=-x^{2}+6 x-9$
Substituto$x=0$.	$.$
Simplifique.	$f(0)=-9$
O ponto$(0,-9)$ é três unidades à esquerda da linha de simetria. O ponto três unidades à direita da linha de simetria é$(6,-9)$.	$.$
	O ponto simétrico ao$y$ intercepto -é$(6,-9)$
O$x$ -intercept ocorre quando$f(x)=0$.	$.$
Encontre$f(x)=0$.	$.$
Considere o GCF.	$.$
Considere o trinômio.	$.$
Resolver para$x$.	$.$
Conecte os pontos para representar graficamente a parábola.	$.$

Exercício$\PageIndex{13}$

Faça um gráfico$f(x)=3 x^{2}+12 x-12$ usando suas propriedades.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 15 a 10. A parábola tem um vértice em (2, 0). O intercepto y (0, menos 12) é traçado, assim como o eixo de simetria, x é igual a 2.$

Exercício$\PageIndex{14}$

Faça um gráfico$f(x)=4 x^{2}+24 x+36$ usando suas propriedades.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 30 a 20. O eixo y do plano vai de menos 10 a 40. A parábola tem um vértice em (menos 3, 0). O intercepto y (0, 36) é traçado, assim como o eixo de simetria, x é igual a menos 3.$

Para o gráfico de$f(x)=-x^{2}+6 x-9$, o vértice e o$x$ intercepto -eram o mesmo ponto. Lembra como o discriminante determina o número de soluções de uma equação quadrática? O discriminante da equação$0=-x^{2}+6x-9$ é$0$, então só há uma solução. Isso significa que há apenas um$x$ intercepto, e é o vértice da parábola.

Quantas$x$ interceptações -você esperaria ver no gráfico de$f(x)=x^{2}+4 x+5$?

Exemplo$\PageIndex{8}$

Faça um gráfico$f(x)=x^{2}+4 x+5$ usando suas propriedades.

Solução:

	$.$
Desde então$a$$-1$, a parábola se abre para baixo.
	$.$
Para encontrar a equação do eixo de simetria, use$x=-\frac{b}{2 a}$.	$.$
	$.$
	$.$
	A equação do eixo de simetria é\ (x=-2).
	$.$
O vértice está na linha$x=-2$.
Descubra$f(x)$ quando$x=-2$.	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
	O vértice é$(-2,1)$.
	$.$
O$y$ -intercept ocorre quando$x=0$.	$.$
Encontre$f(0)$.	$.$
Simplifique.	$.$
	O$y$ intercepto -é$(0,5)$.
O ponto$(-4,5)$ é duas unidades à esquerda da linha de simetria. O ponto para unidades à direita da linha de simetria é\ ((0,5)\.	$.$
	O ponto simétrico ao$y$ intercepto -é$(-4,5)$.
O$x$ -intercept ocorre quando$f(x)=0$.	$.$
Encontre$f(x)=0$.	$.$
Teste o discriminante.
	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
Como o valor do discriminante é negativo, não há solução real e, portanto, não há$x$ interceptação.
Conecte os pontos para representar graficamente a parábola. Talvez você queira escolher mais dois pontos para maior precisão.	$.$

Exercício$\PageIndex{15}$

Faça um gráfico$f(x)=x^{2}-2 x+3$ usando suas propriedades.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 2 a 4. O eixo y do plano vai de menos 1 a 5. A parábola tem um vértice em (1, 2). O intercepto y (0, 3) é traçado assim como a linha de simetria, x é igual a 1.$

Exercício$\PageIndex{16}$

Faça um gráfico$f(x)=-3x^{2}-6 x-4$ usando suas propriedades.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 4 a 2. O eixo y do plano vai de menos 5 a 1. A parábola tem um vértice em (menos 1, menos 2). O intercepto y (0, menos 4) é traçado assim como a linha de simetria, x é igual a menos 1.$

Encontrar o$y$ intercepto -através da descoberta$f(0)$ é fácil, não é? Às vezes, precisamos usar a Fórmula Quadrática para encontrar os$x$ interceptos.

Exemplo$\PageIndex{9}$

Faça um gráfico$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$ usando suas propriedades.

Solução:

	$.$
Desde então$a$$2$, a parábola se abre para cima.	$.$
Para encontrar a equação do eixo de simetria, use$x=-\frac{b}{2 a}$.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{-4}{2 \cdot 2}$
	$x=1$
	A equação do eixo de simetria é$x=1$.
O vértice está na linha$x=1$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Encontre$f(1)$.	$.$
	$f(1)=2-4-3$
	\ (\ f (1) =-5)
	O vértice é$(1,-5)$.
O$y$ -intercept ocorre quando$x=0$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Encontre$f(0)$.	$.$
Simplifique.	$f(0)=-3$
	O$y$ intercepto -é$(0,-3)$.
O ponto$(0,-3)$ é uma unidade à esquerda da linha de simetria.	O ponto simétrico ao$y$ intercepto -é$(2,-3)$
O ponto uma unidade à direita da linha de simetria é$(2,3)$.
O$x$ -intercept ocorre quando$y=0$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Encontre$f(x)=0$.	$.$
Use a fórmula quadrática.	$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
Substitua os valores de$a,b$$c$ e.	$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
Simplifique.	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{4}$
Simplifique o interior do radical.	$x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}$
Simplifique o radical.	$x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$
Considere o GCF.	$x=\frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4}$
Remova os fatores comuns.	$x=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$
Escreva como duas equações.	$x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}, \quad x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$
Aproxime os valores.	$x \approx 2.5, \quad x \approx-0.6$
	Os valores aproximados dos$x$ interceptos -são$(2.5,0)$$(-0.6,0)$ e.
Faça um gráfico da parábola usando os pontos encontrados.	$.$

Exercício$\PageIndex{17}$

Faça um gráfico$f(x)=5 x^{2}+10 x+3$ usando suas propriedades.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 4 a 4. O eixo y do plano vai de menos 4 a 4. O eixo de simetria, x igual a menos 1, é representado graficamente como uma linha tracejada. A parábola tem um vértice em (menos 1, menos 2). O intercepto y da parábola é o ponto (0, 3). Os interceptos x da parábola são aproximadamente (menos 1,6, 0) e (menos 0,4, 0).$

Exercício$\PageIndex{18}$

Faça um gráfico$f(x)=-3 x^{2}-6 x+5$ usando suas propriedades.

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de menos 10 a 10. O eixo y do plano vai de menos 10 a 10. O eixo de simetria, x igual a menos 1, é representado graficamente como uma linha tracejada. A parábola tem um vértice em (menos 1, 8). O intercepto y da parábola é o ponto (0, 5). Os interceptos x da parábola são aproximadamente (menos 2,6, 0) e (0,6, 0).$

Resolva aplicações máximas e mínimas

Saber que o vértice de uma parábola é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola nos dá uma maneira fácil de determinar o valor mínimo ou máximo de uma função quadrática. A coordenada y do vértice é o valor mínimo de uma parábola que se abre para cima. É o valor máximo de uma parábola que se abre para baixo. Veja a Figura 9.6.124.

Esta figura mostra 2 gráficos lado a lado. O gráfico à esquerda mostra uma parábola de abertura descendente traçada no plano x y. Uma seta aponta para o vértice com o rótulo máximo. O gráfico à direita mostra uma parábola de abertura ascendente traçada no plano x y. Uma seta aponta para o vértice com o rótulo mínimo. — Figura 9.6.124

Valores mínimos ou máximos de uma função quadrática

A coordenada y do vértice do gráfico de uma função quadrática é

valor mínimo da equação quadrática se a parábola se abrir para cima.
valor máximo da equação quadrática se a parábola se abrir para baixo.

Exemplo$\PageIndex{10}$

Encontre o valor mínimo ou máximo da função quadrática$f(x)=x^{2}+2 x-8$.

Solução:

	$f(x)=x^{2}+2 x-8$
Como$a$ é positivo, a parábola se abre para cima. A equação quadrática tem um mínimo.
Encontre a equação do eixo de simetria.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{2}{2 \times 1}$
	$x=-1$
	A equação do eixo de simetria é$x=-1$.
O vértice está na linha$x=-1$.	$f(x)=x^{2}+2 x-8$
Encontre$f(-1)$.	$.$
	$f(-1)=1-2-8$
	$f(-1)=-9$
	O vértice é$(-1,-9)$.
Como a parábola tem um mínimo, a$y$ coordenada -do vértice é o$y$ valor mínimo da equação quadrática. O valor mínimo da quadrática é$-9$ e ocorre quando$x=-1$.
	$.$

Mostre o gráfico para verificar o resultado.

Exercício$\PageIndex{19}$

Encontre o valor máximo ou mínimo da função quadrática$f(x)=x^{2}-8 x+12$.

Responda: O valor mínimo da função quadrática é$−4$ e ocorre quando$x=4$.

Exercício$\PageIndex{20}$

Encontre o valor máximo ou mínimo da função quadrática$f(x)=-4 x^{2}+16 x-11$.

Responda: O valor máximo da função quadrática é$5$ e ocorre quando$x=2$.

Usamos a fórmula

$h(t)=-16 t^{2}+v_{0} t+h_{0}$

para calcular a altura em pés$h$,, de um objeto lançado no ar com velocidade inicial,$v_{0}$, após$t$ segundos.

Essa fórmula é uma função quadrática, então seu gráfico é uma parábola. Ao resolver as coordenadas do vértice$(t,h)$, podemos descobrir quanto tempo o objeto levará para atingir sua altura máxima. Então, podemos calcular a altura máxima.

Exemplo$\PageIndex{11}$

A equação quadrática$h(t)=-16 t^{2}+176 t+4$ modela a altura de uma bola de vôlei atingida diretamente para cima com velocidade$176$ pés por segundo a partir de uma altura de$4$ pés.

Quantos segundos o voleibol levará para atingir sua altura máxima?
Encontre a altura máxima do voleibol.

Solução:

$h(t)=-16 t^{2}+176 t+4$

Como$a$ é negativa, a parábola se abre para baixo. A função quadrática tem um máximo.

a. Encontre a equação do eixo de simetria.

$\begin{array}{l}{t=-\frac{b}{2 a}} \\ {t=-\frac{176}{2(-16)}} \\ {t=5.5}\end{array}$

A equação do eixo de simetria é$t=5.5$.

O vértice está na linha$t=5.5$.

O máximo ocorre quando$t=5.5$ segundos.

b. Encontre$h(5.5)$.

$\begin{array}{l}{h(t)=-16 t^{2}+176 t+4} \\ {h(t)=-16(5.5)^{2}+176(5.5)+4}\end{array}$

Use uma calculadora para simplificar.

$h(t)=488$

O vértice é$(5.5,488)$.

Como a parábola tem um máximo, a$h$ coordenada -do vértice é o valor máximo da função quadrática.

O valor máximo da quadrática é$488$ pés e ocorre quando$t=5.5$ segundos.

Depois de$5.5$ alguns segundos, o voleibol atingirá sua altura máxima de$488$ pés.

Exercício$\PageIndex{21}$

Resolva, arredondando as respostas para o décimo mais próximo.

A função quadrática$h(t)=-16 t^{2}+128 t+32$ é usada para encontrar a altura de uma pedra lançada para cima a partir de uma altura de$32$ pés a uma taxa de$128$ pés/seg. Quanto tempo demorará para a pedra atingir sua altura máxima? Qual é a altura máxima?

Responda: Levará$4$ alguns segundos para que a pedra atinja sua altura máxima de$288$ pés.

Exercício$\PageIndex{22}$

O caminho de um foguete de brinquedo lançado do solo para cima a uma taxa de$208$ pés/seg é modelado pela função quadrática de$h(t)=-16 t^{2}+208 t$. Quando o foguete atingirá sua altura máxima? Qual será a altura máxima?

Responda: O foguete levará$6.5$ alguns segundos para atingir sua altura máxima de$676$ pés.

Conceitos chave

Orientação da parábola
- Para o gráfico da função quadrática$f(x)=a x^{2}+b x+c$, se
  - $a>0$, a parábola se abre para cima.
  - $a<0$, a parábola se abre para baixo.
Eixo de simetria e vértice de uma parábola O gráfico da função$f(x)=a x^{2}+b x+c$ é uma parábola onde:
- o eixo de simetria é a linha vertical$x=-\frac{b}{2 a}$.
- o vértice é um ponto no eixo de simetria, então sua$x$ coordenada -é$-\frac{b}{2 a}$.
- a$y$ coordenada -do vértice é encontrada substituindo-a$x=-\frac{b}{2 a}$ na equação quadrática.
Encontre as interceptações de uma parábola
- Para encontrar os interceptos de uma parábola cuja função é$f(x)=a x^{2}+b x+c$:
  - $y$-interceptar
    - Deixe$x=0$ e resolva por$f(x)$.
  - $x$-intercepta
    - Deixe$f(x)=0$ e resolva para$x$.
Como representar graficamente uma função quadrática usando propriedades.
1. Determine se a parábola se abre para cima ou para baixo.
2. Encontre a equação do eixo de simetria.
3. Encontre o vértice.
4. Encontre o$y$ intercepto -. Encontre o ponto simétrico ao intercepto y no eixo de simetria.
5. Encontre as$x$ interceptações -. Encontre pontos adicionais, se necessário.
6. Faça um gráfico da parábola.
Valores mínimos ou máximos de uma equação quadrática
- A$y$ coordenada -do vértice do gráfico de uma equação quadrática é
- valor mínimo da equação quadrática se a parábola se abrir para cima.
- valor máximo da equação quadrática se a parábola se abrir para baixo.

Glossário

função quadrática: Uma função quadrática$a, b$, onde, e$c$ são números reais e$a≠0$, é uma função da forma$f(x)=ax^{2}+bx+c$.

	$.$
O eixo de simetria é a linha vertical\(x=-\frac{b}{2 a}\).
Substitua os valores\(a,b\) na equação.	\(x=-\frac{-6}{2 \cdot 3}\)
Simplifique.	\(x=1\)
	O eixo de simetria é a linha\(x=1\).

	\(f(x)=3 x^{2}-6 x+2\)
O vértice é um ponto na linha de simetria, então sua\(x\) coordenada -será\(x=1\). Encontre\(f(1)\).	$.$
Simplifique.	$.$
O resultado é a\(y\) coordenada -.	\(f(1)=-1\)
	O vértice é\((1,-1)\).

	\(f(x)=x^{2}+4 x+3\)
Deixe\(f(x)=0\).	\(\color{red}0\color{black}=x^{2}+4 x+3\)
Fator.	\(0=(x+1)(x+3)\)
Use a propriedade Zero Product.	\(x+1=0 \quad x+3=0\)
Resolver.	\(x=-1 \quad x=-3\)
	As\(x\) interceptações -são\((-1,0)\)\((-3,0)\) e.

	\(f(x)=-x^{2}+4 x+3\)
Deixe\(f(x)=0\).	\(\color{red}0 \color{black}=-x^{2}+4 x+3\)
Essa quadrática não fatora, então usamos a Fórmula Quadrática.	\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
\(a=-1, b=4, c=3\)	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4(-1)(3)}}{2(-1)}\)
Simplifique.	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{-2}\)
	\(x=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{7}}{-2}\)
	\(x=\frac{-2(2 \pm \sqrt{7})}{-2}\)
	\(x=2 \pm \sqrt{7}\)
	As\(x\) interceptações -são\((2+\sqrt{7}, 0)\)\((2-\sqrt{7}, 0)\) e.

Para encontrar o\(y\) -intercept, deixe\(x=0\) e resolva para\(f(x)\).	\(f(x)=x^{2}-2 x-8\)
	\(f(0)=\color{red}0\color{black}^{2}-2 \cdot \color{red}0 \color{black}-8\)
	\(f(0)=-8\)
	Quando\(x=0\), então\(f(0)=-8\). O\(y\) intercepto -é o ponto\((0,-8)\).
Para encontrar o\(x\) -intercept, deixe\(f(x)=0\) e resolva para\(x\).	\(f(x)=x^{2}-2 x-8\)
	\(0=x^{2}-2 x-8\)
Resolva por fatoração.	\(0=(x-4)(x+2)\)
	\(0=x-4 \quad 0=x+2\)
	\(4=x \quad-2=x\)
	Quando\(f(x)=0\), então\(x=4\) ou\(x=-2\). Os\(x\) interceptos -são os pontos\((4,0)\)\((-2,0)\) e.

Definição\(\PageIndex{1}\)

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Definição\(\PageIndex{2}\)

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Exercício\(\PageIndex{7}\)

Exercício\(\PageIndex{8}\)

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Exercício\(\PageIndex{9}\)

Exercício\(\PageIndex{10}\)

Exemplo\(\PageIndex{6}\) How to Graph a Quadratic Function Using Properties

Exercício\(\PageIndex{11}\)

Exercício\(\PageIndex{12}\)

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

Exercício\(\PageIndex{13}\)

Exercício\(\PageIndex{14}\)

Exemplo\(\PageIndex{8}\)

Exercício\(\PageIndex{15}\)

Exercício\(\PageIndex{16}\)

Exemplo\(\PageIndex{9}\)

Exercício\(\PageIndex{17}\)

Exercício\(\PageIndex{18}\)

Exemplo\(\PageIndex{10}\)

Exercício\(\PageIndex{19}\)

Exercício\(\PageIndex{20}\)

Exemplo\(\PageIndex{11}\)

Exercício\(\PageIndex{21}\)

Exercício\(\PageIndex{22}\)

Escolha valores inteiros para\(x\), substitua-os na equação e simplifique para encontrar\(f(x)\). Registre os valores dos pares ordenados no gráfico.	$.$
Faça um gráfico dos pontos e, em seguida, conecte-os com uma curva suave. O resultado será o gráfico da função\(f(x)=x^{2}-1\).	$.$

	$.$
Para encontrar o\(y\) -intercept, deixe\(x=0\) e resolva para\(f(x)\).	$.$
	$.$
	Quando\(x=0\), então\(f(0)=4\). O\(y\) intercepto -é o ponto\((0,4)\).
Para encontrar o\(x\) -intercept, deixe\(f(x)=0\) e resolva para\(x\).	$.$
	$.$
Encontre o valor do discriminante para prever o número de soluções, que também é o número\(x\) de interceptações.
\(\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {1^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4} \\ {1-80} \\ {-79}\end{array}\)
	Como o valor do discriminante é negativo, não há uma solução real para a equação. Não há\(x\) interceptações.

Etapa 1: Determine se a parábola se abre para cima ou para baixo.	Olhe\(a\) na equação\(f(x)=x^{2}-6x+8\) Como\(a\) é positivo, a parábola se abre para cima.	\(f(x)=x^{2}-6x+8\) \(\color{red}{a=1, b=-6, c=8}\) A parábola se abre para cima.
Etapa 2: Encontre o eixo de simetria.	\(f(x)=x^{2}-6x+8\) O eixo de simetria é a linha\(x=-\frac{b}{2 a}\).	Eixo de simetria \(x=-\frac{b}{2 a}\) \(x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}\) \(x=3\) O eixo de simetria é a linha\(x=3\).
Etapa 3: Encontre o vértice.	O vértice está no eixo de simetria. \(x=3\)Substitua na função.	Vértice \(f(x)=x^{2}-6x+8\) \(f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8\) \(f(3)=-1\) O vértice é\((3,-1)\).
Etapa 4: Encontre o\(y\) -intercept. Encontre o ponto simétrico ao\(y\) intercepto -no eixo de simetria.	Nós encontramos\(f(0)\). Usamos o eixo de simetria para encontrar um ponto simétrico ao\(y\) intercepto. O\(y\) intercepto -é a\(3\) unidade à esquerda do eixo de simetria,\(x=3\). Uma\(3\) unidade de ponto à direita do eixo de simetria tem\(x=6\).	\(y\)-interceptar \(f(x)=x^{2}-6 x+8\) \(f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8\) \(f(0)=8\) O\(y\) intercepto -é\((0,8)\). Ponto simétrico ao\(y\) -intercept: A questão é\((6,8)\).
Etapa 5: Encontre\(x\) os interceptos. Encontre pontos adicionais, se necessário.	Nós resolvemos\(f(x)=0\). Podemos resolver essa equação quadrática fatorando.	\(x\)-intercepta \(f(x)=x^{2}-6 x+8\) \(\color{red}{0}\color{black}{=}x^{2}-6x+8\) \(\color{red}{0}\color{black}{=}(x-2)(x-4)\) \(x=2 or x=4\) As\(x\) interceptações -são\((2,0)\)\((4,0)\) e.
Etapa 6: Faça um gráfico da parábola.	Representamos graficamente o vértice, os interceptos e o ponto simétrico ao\(y\) intercepto. Conectamos esses\(5\) pontos para esboçar a parábola.	$Captura de tela (1) .png$

	$.$
Desde então\(a\)\(-1\), a parábola se abre para baixo.
	$.$
Para encontrar a equação do eixo de simetria, use\(x=-\frac{b}{2 a}\).	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{6}{2(-1)}\)
	\(x=3\)
	O eixo de simetria é\(x=3\). O vértice está na linha\(x=3\).
	$.$
Encontre\(f(3)\).	\(f(x)=-x^{2}+6 x-9\)
	$.$
	\(f(3)=-9+18-9\)
	\(f(3)=0\)
	O vértice é\((3,0)\).
	$.$
O\(y\) -intercept ocorre quando\(x=0\). Encontre\(f(0)\).	\(f(x)=-x^{2}+6 x-9\)
Substituto\(x=0\).	$.$
Simplifique.	\(f(0)=-9\)
O ponto\((0,-9)\) é três unidades à esquerda da linha de simetria. O ponto três unidades à direita da linha de simetria é\((6,-9)\).	$.$
	O ponto simétrico ao\(y\) intercepto -é\((6,-9)\)
O\(x\) -intercept ocorre quando\(f(x)=0\).	$.$
Encontre\(f(x)=0\).	$.$
Considere o GCF.	$.$
Considere o trinômio.	$.$
Resolver para\(x\).	$.$
Conecte os pontos para representar graficamente a parábola.	$.$

	$.$
Desde então\(a\)\(2\), a parábola se abre para cima.	$.$
Para encontrar a equação do eixo de simetria, use\(x=-\frac{b}{2 a}\).	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{-4}{2 \cdot 2}\)
	\(x=1\)
	A equação do eixo de simetria é\(x=1\).
O vértice está na linha\(x=1\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Encontre\(f(1)\).	$.$
	\(f(1)=2-4-3\)
	\ (\ f (1) =-5)
	O vértice é\((1,-5)\).
O\(y\) -intercept ocorre quando\(x=0\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Encontre\(f(0)\).	$.$
Simplifique.	\(f(0)=-3\)
	O\(y\) intercepto -é\((0,-3)\).
O ponto\((0,-3)\) é uma unidade à esquerda da linha de simetria.	O ponto simétrico ao\(y\) intercepto -é\((2,-3)\)
O ponto uma unidade à direita da linha de simetria é\((2,3)\).
O\(x\) -intercept ocorre quando\(y=0\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Encontre\(f(x)=0\).	$.$
Use a fórmula quadrática.	\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
Substitua os valores de\(a,b\)\(c\) e.	\(x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}\)
Simplifique.	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{4}\)
Simplifique o interior do radical.	\(x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}\)
Simplifique o radical.	\(x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}\)
Considere o GCF.	\(x=\frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4}\)
Remova os fatores comuns.	\(x=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}\)
Escreva como duas equações.	\(x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}, \quad x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}\)
Aproxime os valores.	\(x \approx 2.5, \quad x \approx-0.6\)
	Os valores aproximados dos\(x\) interceptos -são\((2.5,0)\)\((-0.6,0)\) e.
Faça um gráfico da parábola usando os pontos encontrados.	$.$

	\(f(x)=x^{2}+2 x-8\)
Como\(a\) é positivo, a parábola se abre para cima. A equação quadrática tem um mínimo.
Encontre a equação do eixo de simetria.	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{2}{2 \times 1}\)
	\(x=-1\)
	A equação do eixo de simetria é\(x=-1\).
O vértice está na linha\(x=-1\).	\(f(x)=x^{2}+2 x-8\)
Encontre\(f(-1)\).	$.$
	\(f(-1)=1-2-8\)
	\(f(-1)=-9\)
	O vértice é\((-1,-9)\).
Como a parábola tem um mínimo, a\(y\) coordenada -do vértice é o\(y\) valor mínimo da equação quadrática. O valor mínimo da quadrática é\(-9\) e ocorre quando\(x=-1\).
	$.$