8.4: Simplifique expoentes racionais

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Simplifique expressões com\(a^{\frac{1}{n}}\)
• Simplifique expressões com\(a^{\frac{m}{n}}\)
• Use as propriedades dos expoentes para simplificar expressões com expoentes racionais

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

1. Adicionar:\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
   Se você perdeu esse problema, revise o Exemplo 1.28.
2. Simplifique:\((4x^{2}y^{5})^{3}\).
   Se você perdeu esse problema, revise o Exemplo 5.18.
3. Simplifique:\(5^{−3}\).
   Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 5.14.

Simplifique expressões com\(a^{\frac{1}{n}}\)

Os expoentes racionais são outra forma de escrever expressões com radicais. Quando usamos expoentes racionais, podemos aplicar as propriedades dos expoentes para simplificar as expressões.

A propriedade de poder para expoentes diz que\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\) quando\(m\) e\(n\) são números inteiros. Vamos supor que agora não estamos limitados a números inteiros.

Suponha que queiramos encontrar um número\(p\) como esse\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\). Usaremos a propriedade de potência dos expoentes para encontrar o valor de\(p\).

\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\)

Multiplique os expoentes à esquerda.

\(8^{3p}=8\)

Escreva o\(1\) expoente à direita.

\(8^{3p}=8^{1}\)

Como as bases são as mesmas, os expoentes devem ser iguais.

\(3p=1\)

Resolva para\(p\).

\(p=\frac{1}{3}\)

Então\(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8\). Mas nós também sabemos\((\sqrt[3]{8})^{3}=8\). Então deve ser isso\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\).

Essa mesma lógica pode ser usada para qualquer expoente inteiro positivo\(n\) para mostrar isso\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

Definição\(\PageIndex{1}\): Rational Exponent \(a^{\frac{1}{n}}\)

Se\(\sqrt[n]{a}\) for um número real e\(n \geq 2\), então

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

O denominador do expoente racional é o índice do radical.

Haverá momentos em que trabalhar com expressões será mais fácil se você usar expoentes racionais e momentos em que será mais fácil usar radicais. Nos primeiros exemplos, você praticará a conversão de expressões entre essas duas notações.

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Escreva como uma expressão radical:

1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
3. \(z^{\frac{1}{4}}\)

Solução:

Queremos escrever cada expressão no formulário\(\sqrt[n]{a}\).

uma.

\(x^{\frac{1}{2}}\)

O denominador do expoente racional é\(2\), então o índice do radical é\(2\). Não mostramos o índice quando está\(2\).

\(\sqrt{x}\)

b.

\(y^{\frac{1}{3}}\)

O denominador do expoente é\(3\), então o índice é\(3\).

\(\sqrt[3]{y}\)

c.

\(z^{\frac{1}{4}}\)

O denominador do expoente é\\(4\), então o índice é\(4\).

\(\sqrt[4]{z}\)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Escreva como uma expressão radical:

1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
3. \(r^{\frac{1}{4}}\)

Responda

1. \(\sqrt{t}\)
2. \(\sqrt[3]{m}\)
3. \(\sqrt[4]{r}\)

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Escreva como uma expressão radical:

1. \(b^{\frac{1}{6}}\)
2. \(z^{\frac{1}{5}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\)

Responda

1. \(\sqrt[6]{b}\)
2. \(\sqrt[5]{z}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\)

No próximo exemplo, escreveremos cada radical usando um expoente racional. É importante usar parênteses ao redor de toda a expressão no radicando, pois toda a expressão é elevada à potência racional.

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Escreva com um expoente racional:

1. \(\sqrt{5y}\)
2. \(\sqrt[3]{4 x}\)
3. \(3 \sqrt[4]{5 z}\)

Solução:

Queremos escrever cada radical na forma\(a^{\frac{1}{n}}\)

uma.

\(\sqrt{5y}\)

Nenhum índice é exibido, então é\(2\).

O denominador do expoente será\(2\).

Coloque parênteses ao redor de toda a expressão\(5y\).

\((5 y)^{\frac{1}{2}}\)

b.

\(\sqrt[3]{4 x}\)

O índice é\(3\), então o denominador do expoente é\(3\). Inclua parênteses\((4x)\).

\((4 x)^{\frac{1}{3}}\)

c.

\(3 \sqrt[4]{5 z}\)

O índice é\(4\), então o denominador do expoente é\(4\). Coloque parênteses apenas ao redor do,\(5z\) já que 3 não está sob o sinal radical.

\(3(5 z)^{\frac{1}{4}}\)

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Escreva com um expoente racional:

1. \(\sqrt{10m}\)
2. \(\sqrt[5]{3 n}\)
3. \(3 \sqrt[4]{6 y}\)

Resposta

1. \((10 m)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((3 n)^{\frac{1}{5}}\)
3. \(3(6 y)^{\frac{1}{4}}\)

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Escreva com um expoente racional:

1. \(\sqrt[7]{3 k}\)
2. \(\sqrt[4]{5 j}\)
3. \(8 \sqrt[3]{2 a}\)

Resposta

1. \((3 k)^{\frac{1}{7}}\)
2. \((5 j)^{\frac{1}{4}}\)
3. \(8(2 a)^{\frac{1}{3}}\)

No próximo exemplo, você pode achar mais fácil simplificar as expressões se primeiro as reescrever como radicais.

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplifique:

1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
3. \(256^{\frac{1}{4}}\)

Solução:

uma.

\(25^{\frac{1}{2}}\)

Reescreva como uma raiz quadrada.

\(\sqrt{25}\)

Simplifique.

\(5\)

b.

\(64^{\frac{1}{3}}\)

Reescreva como uma raiz cúbica.

\(\sqrt[3]{64}\)

Reconhecer\(64\) é um cubo perfeito.

\(\sqrt[3]{4^{3}}\)

Simplifique.

\(4\)

c.

\(256^{\frac{1}{4}}\)

Reescreva como uma quarta raiz.

\(\sqrt[4]{256}\)

Reconhecer\(256\) é um quarto poder perfeito.

\(\sqrt[4]{4^{4}}\)

Simplifique.

\(4\)

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Simplifique:

1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(16^{\frac{1}{4}}\)

Resposta

1. \(6\)
2. \(2\)
3. \(2\)

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Simplifique:

1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
3. \(81^{\frac{1}{4}}\)

Resposta

1. \(10\)
2. \(3\)
3. \(3\)

Tenha cuidado com o posicionamento dos sinais negativos no próximo exemplo. Precisaremos usar a propriedade\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) em um caso.

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Simplifique:

1. \((-16)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-16^{\frac{1}{4}}\)
3. \((16)^{-\frac{1}{4}}\)

Solução:

uma.

\((-16)^{\frac{1}{4}}\)

Reescreva como uma quarta raiz.

\(\sqrt[4]{-16}\)

\(\sqrt[4]{(-2)^{4}}\)

Simplifique.

Nenhuma solução real

b.

\(-16^{\frac{1}{4}}\)

O expoente só se aplica ao\(16\). Reescreva como uma quarta raiz.

\(-\sqrt[4]{16}\)

Reescrever\(16\) como\(2^{4}\)

\(-\sqrt[4]{2^{4}}\)

Simplifique.

\(-2\)

c.

\((16)^{-\frac{1}{4}}\)

Reescreva usando a propriedade\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)

Reescreva como uma quarta raiz.

\(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)

Reescreva\(16\) como\(2^{4}\).

\(\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}\)

Simplifique.

\(\frac{1}{2}\)

Exercício\(\PageIndex{7}\)

Simplifique:

1. \((-64)^{-\frac{1}{2}}\)
2. \(-64^{\frac{1}{2}}\)
3. \((64)^{-\frac{1}{2}}\)

Resposta

1. Nenhuma solução real
2. \(-8\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Exercício\(\PageIndex{8}\)

Simplifique:

1. \((-256)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-256^{\frac{1}{4}}\)
3. \((256)^{-\frac{1}{4}}\)

Resposta

1. Nenhuma solução real
2. \(-4\)
3. \(\frac{1}{4}\)

Simplifique expressões com\(a^{\frac{m}{n}}\)

Podemos ver isso\(a^{\frac{m}{n}}\) de duas maneiras. Lembre-se de que a propriedade de poder nos diz para multiplicar os expoentes e assim\(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\) e\(\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}\) ambos são iguais\(a^{\frac{m}{n}}\). Se escrevermos essas expressões de forma radical, obtemos

\(a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Isso nos leva à seguinte definição.

Definição\(\PageIndex{2}\): Rational Exponent \(a^{\frac{m}{n}}\)

Para quaisquer números inteiros positivos\(m\) e\(n\),

\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Qual forma usamos para simplificar uma expressão? Normalmente pegamos a raiz primeiro — dessa forma, mantemos os números no radical e menores, antes de elevá-los à potência indicada.

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Escreva com um expoente racional:

1. \(\sqrt{y^{3}}\)
2. \((\sqrt[3]{2 x})^{4}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}\)

Solução:

Queremos usar\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\) para escrever cada radical na forma\(a^{\frac{m}{n}}\)

uma.

Figura 8.3.1

b.

Figura 8.3.2

c.

Figura 8.3.3

Exercício\(\PageIndex{9}\)

Escreva com um expoente racional:

1. \(\sqrt{x^{5}}\)
2. \((\sqrt[4]{3 y})^{3}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}\)

Resposta

1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
2. \((3 y)^{\frac{3}{4}}\)
3. \(\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}\)

Exercício\(\PageIndex{10}\)

Escreva com um expoente racional:

1. \(\sqrt[5]{a^{2}}\)
2. \((\sqrt[3]{5 a b})^{5}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}\)

Resposta

1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
2. \((5 a b)^{\frac{5}{3}}\)
3. \(\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Lembre-se disso\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\). O sinal negativo no expoente não altera o sinal da expressão.

Exemplo\(\PageIndex{6}\)

Simplifique:

1. \(125^{\frac{2}{3}}\)
2. \(16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(32^{-\frac{2}{5}}\)

Solução:

Vamos reescrever a expressão como radical primeiro usando a definição,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\). Essa forma nos permite pegar a raiz primeiro e, portanto, mantemos os números no radicando menores do que se usássemos a outra forma.

uma.

\(125^{\frac{2}{3}}\)

A potência do radical é o numerador do expoente,\(2\). O índice do radical é o denominador do expoente,\(3\).

\((\sqrt[3]{125})^{2}\)

Simplifique.

\((5)^{2}\)

\(25\)

b. Vamos reescrever cada expressão primeiro usando\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) e depois mudar para a forma radical.

\(16^{-\frac{3}{2}}\)

Reescreva usando\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)

Mudança para uma forma radical. A potência do radical é o numerador do expoente,\(3\). O índice é o denominador do expoente,\(2\).

\(\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}\)

Simplifique.

\(\frac{1}{4^{3}}\)

\(\frac{1}{64}\)

c.

\(32^{-\frac{2}{5}}\)

Reescreva usando\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)

Mudança para uma forma radical.

\(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}\)

Reescreva o radicand como um poder.

\(\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}\)

Simplifique.

\(\frac{1}{2^{2}}\)

\(\frac{1}{4}\)

Exercício\(\PageIndex{11}\)

Simplifique:

1. \(27^{\frac{2}{3}}\)
2. \(81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{-\frac{3}{4}}\)

Resposta

1. \(9\)
2. \(\frac{1}{729}\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Exercício\(\PageIndex{12}\)

Simplifique:

1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{-\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{-\frac{3}{4}}\)

Resposta

1. \(8\)
2. \(\frac{1}{9}\)
3. \(\frac{1}{125}\)

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

Simplifique:

1. \(-25^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-25^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-25)^{\frac{3}{2}}\)

Solução:

uma.

\(-25^{\frac{3}{2}}\)

Reescreva de forma radical.

\(-(\sqrt{25})^{3}\)

Simplifique o radical.

\(-(5)^{3}\)

Simplifique.

\(-125\)

b.

\(-25^{-\frac{3}{2}}\)

Reescreva usando\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

\(-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)\)

Reescreva de forma radical.

\(-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)\)

Simplifique o radical.

\(-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)\)

Simplifique.

\(-\frac{1}{125}\)

c.

\((-25)^{\frac{3}{2}}\)

Reescreva de forma radical.

\((\sqrt{-25})^{3}\)

Não existe um número real cuja raiz quadrada seja\(-25\).

Não é um número real.

Exercício\(\PageIndex{13}\)

Simplifique:

1. \(-16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-16)^{-\frac{3}{2}}\)

Resposta

1. \(-64\)
2. \(-\frac{1}{64}\)
3. Não é um número real

Exercício\(\PageIndex{14}\)

Simplifique:

1. \(-81^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-81)^{-\frac{3}{2}}\)

Resposta

1. \(-729\)
2. \(-\frac{1}{729}\)
3. Não é um número real

Use as propriedades dos expoentes para simplificar expressões com expoentes racionais

As mesmas propriedades dos expoentes que já usamos também se aplicam aos expoentes racionais. Listaremos as propriedades dos expoentes aqui para tê-las como referência à medida que simplificamos as expressões.

Propriedades dos expoentes

Se\(a\) e\(b\) forem números reais e\(m\) e\(n\) forem números racionais, então

Propriedade do produto

\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)

Propriedade de poder

\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)

Produto em potência

\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)

Propriedade do quociente

\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)

Definição de expoente zero

\(a^{0}=1, a \neq 0\)

Quociente de uma propriedade de poder

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

Propriedade do expoente negativo

\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)

Aplicaremos essas propriedades no próximo exemplo.

Exemplo\(\PageIndex{8}\)

Simplifique:

1. \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)
2. \(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Solução

a. A propriedade do produto nos diz que quando multiplicamos a mesma base, adicionamos os expoentes.

\(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)

As bases são as mesmas, então adicionamos os expoentes.

\(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}\)

Adicione as frações.

\(x^{\frac{8}{6}}\)

Simplifique o expoente.

\(x^{\frac{4}{3}}\)

b. A Propriedade do Poder nos diz que quando elevamos uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes.

\(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes.

\(z^{9 \cdot \frac{2}{3}}\)

Simplifique.

\(z^{6}\)

c. A propriedade do quociente nos diz que quando dividimos com a mesma base, subtraímos os expoentes.

\(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Para dividir com a mesma base, subtraímos os expoentes.

\(\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}\)

Simplifique.

\(\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\)

Exercício\(\PageIndex{15}\)

Simplifique:

1. \(x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}\)
2. \(\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Resposta

1. \(x^{\frac{3}{2}}\)
2. \(x^{8}\)
3. \(\frac{1}{x}\)

Exercício\(\PageIndex{16}\)

Simplifique:

1. \(y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}\)
2. \(\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}\)
3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\)

Resposta

1. \(y^{\frac{11}{8}}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(\frac{1}{d}\)

Às vezes, precisamos usar mais de uma propriedade. No próximo exemplo, usaremos o Produto para uma Propriedade de Energia e, em seguida, a Propriedade de Energia.

Exemplo\(\PageIndex{9}\)

Simplifique:

1. \(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
2. \(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Solução:

uma.

\(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia.

\((27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Reescreva\(27\) como um poder de\(3\).

\(\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes.

\(\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)\)

Simplifique.

\(9 u^{\frac{1}{3}}\)

b.

\(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Primeiro, usamos o produto para uma propriedade de energia.

\(\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Para elevar uma potência a uma potência, multiplicamos os expoentes.

\(m n^{\frac{3}{4}}\)

Exercício\(\PageIndex{17}\)

Simplifique:

1. \(\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}\)
2. \(\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Resposta

1. \(8 x^{\frac{1}{5}}\)
2. \(x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}\)

Exercício\(\PageIndex{18}\)

Simplifique:

1. \(\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}\)
2. \(\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}\)

Resposta

1. \(729 n^{\frac{3}{5}}\)
2. \(a^{2} b^{\frac{2}{3}}\)

Usaremos a propriedade do produto e a propriedade do quociente no próximo exemplo.

Exemplo\(\PageIndex{10}\)

Simplifique:

1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)
2. \(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Solução:

uma.

\(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

Use a propriedade do produto no numerador, adicione os expoentes.

\(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

Use a propriedade do quociente, subtraia os expoentes.

\(x^{\frac{8}{4}}\)

Simplifique.

\(x^{2}\)

b.

\(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Use a propriedade do quociente, subtraia os expoentes.

\(\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Simplifique.

\(\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Use o produto para uma propriedade de energia, multiplique os expoentes.

\(\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}\)

Exercício\(\PageIndex{19}\)

Simplifique:

1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}\)
2. \(\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Resposta

1. \(m^{2}\)
2. \(\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}\)

Exercício\(\PageIndex{20}\)

Simplifique:

1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}\)
2. \(\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}\)

Resposta

1. \(u^{3}\)
2. \(3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}\)

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com a simplificação de expoentes racionais.

• Expoentes racionais de revisão
• Usando leis de expoentes em radicais: propriedades de expoentes racionais

Conceitos-chave

• Expoente racional\(a^{\frac{1}{n}}\)
  • Se\(\sqrt[n]{a}\) for um número real e\(n≥2\), então\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
• Expoente racional\(a^{\frac{m}{n}}\)
  • Para quaisquer números inteiros positivos\(m\) e\(n\),
    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)
• Propriedades dos expoentes
  • Se\(a, b\) forem números reais e\(m, n\) forem números racionais, então
    • Propriedade do produto\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)
    • Propriedade de poder\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)
    • Produto em potência\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)
    • Propriedade do quociente\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)
    • Definição de expoente zero\(a^{0}=1, a \neq 0\)
    • Quociente de uma propriedade de poder\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)
    • Propriedade do expoente negativo\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)