8.3: Simplifique as expressões radicais

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Use a propriedade do produto para simplificar expressões radicais
• Use a propriedade do quociente para simplificar expressões radicais

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

1. Simplifique:\(\dfrac{x^{9}}{x^{4}}\).
   Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 5.13.
2. Simplifique:\(\dfrac{y^{3}}{y^{11}}\).
   Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 5.13.
3. Simplifique:\(\left(n^{2}\right)^{6}\).
   Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 5.17.

Use a propriedade do produto para simplificar expressões radicais

Simplificaremos as expressões radicais de uma forma semelhante à forma como simplificamos as frações. Uma fração é simplificada se não houver fatores comuns no numerador e no denominador. Para simplificar uma fração, procuramos quaisquer fatores comuns no numerador e no denominador.

Uma expressão radical,\(\sqrt[n]{a}\), é considerada simplificada se não tiver fatores de\(m^{n}\). Então, para simplificar uma expressão radical, procuramos quaisquer fatores no radicando que sejam potências do índice.

Definição\(\PageIndex{1}\): Simplified Radical Expression

Para números reais\(a\) e\(m\), e\(n\geq 2\),

\(\sqrt[n]{a}\)é considerado simplificado se não\(a\) tiver fatores de\(m^{n}\)

Por exemplo,\(\sqrt{5}\) é considerado simplificado porque não há fatores quadrados perfeitos em\(5\). Mas não\(\sqrt{12}\) é simplificado porque\(12\) tem um fator quadrado perfeito de\(4\).

Da mesma forma,\(\sqrt[3]{4}\) é simplificado porque não há fatores de cubo perfeitos em\(4\). Mas não\(\sqrt[3]{24}\) é simplificado porque\(24\) tem um fator de cubo perfeito de\(8\).

Para simplificar as expressões radicais, também usaremos algumas propriedades das raízes. As propriedades que usaremos para simplificar expressões radicais são semelhantes às propriedades dos expoentes. Nós sabemos disso

\[(a b)^{n}=a^{n} b^{n}.\]

O correspondente de Product Property of Roots diz que

\[\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}.\]

Definição\(\PageIndex{2}\): Product Property of \(n^{th}\) Roots

Se\(\sqrt[n]{a}\) e\(\sqrt[n]{b}\) forem números reais e\(n\geq 2\) for um número inteiro, então

\(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text { and } \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)

Usamos a propriedade de produto das raízes para remover todos os fatores quadrados perfeitos de uma raiz quadrada.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Simplify square roots using the product property of roots

Simplifique:\(\sqrt{98}\).

Solução:

Etapa 1: Encontre o maior fator no radicando que seja a potência perfeita do índice.	Vemos que esse\(49\) é o maior fator\(98\) que tem um poder de\(2\).	\(\sqrt{98}\)
Reescreva o radicando como um produto de dois fatores, usando esse fator.	Em outras palavras,\(49\) é o maior fator quadrado perfeito de\(98\). \(98 = 49\cdot 2\) Sempre escreva primeiro o fator quadrado perfeito.	\(\sqrt{49\cdot 2}\)
Etapa 2: Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais.		\(\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}\)
Etapa 3: Simplifique a raiz da potência perfeita.		\(7\sqrt{2}\)

Experimente\(\PageIndex{1}\)

Simplifique:\(\sqrt{48}\)

Responda

\(4 \sqrt{3}\)

Experimente\(\PageIndex{2}\)

Simplifique:\(\sqrt{45}\).

Responda

\(3 \sqrt{5}\)

Observe no exemplo anterior que a forma simplificada de\(\sqrt{98}\) é\(7\sqrt{2}\), que é o produto de um inteiro e uma raiz quadrada. Sempre escrevemos o número inteiro na frente da raiz quadrada.

Tenha o cuidado de escrever seu número inteiro para que não seja confundido com o índice. A expressão\(7\sqrt{2}\) é muito diferente de\(\sqrt[7]{2}\).

Simplifique uma expressão radical usando a propriedade do produto

1. Encontre o maior fator no radicando que seja a potência perfeita do índice. Reescreva o radicando como um produto de dois fatores, usando esse fator.
2. Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais.
3. Simplifique a raiz da potência perfeita.

Aplicaremos esse método no próximo exemplo. Pode ser útil ter uma tabela de quadrados, cubos e quartas potências perfeitas.

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{500}\)
2. \(\sqrt[3]{16}\)
3. \(\sqrt[4]{243}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt{500}\)

Reescreva o radicando como um produto usando o maior fator quadrado perfeito.

\(\sqrt{100 \cdot 5}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}\)

Simplifique.

\(10\sqrt{5}\)

b.

\(\sqrt[3]{16}\)

Reescreva o radicand como um produto usando o maior fator de cubo perfeito. \(2^{3}=8\)

\(\sqrt[3]{8 \cdot 2}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2}\)

Simplifique.

\(2 \sqrt[3]{2}\)

c.

\(\sqrt[4]{243}\)

Reescreva o radicand como um produto usando o quarto fator de potência perfeito. \(3^{4}=81\)

\(\sqrt[4]{81 \cdot 3}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3}\)

Simplifique.

\(3 \sqrt[4]{3}\)

Experimente\(\PageIndex{3}\)

Simplifique: a.\(\sqrt{288}\) b.\(\sqrt[3]{81}\) c.\(\sqrt[4]{64}\)

Responda

a.\(12\sqrt{2}\) b.\(3 \sqrt[3]{3}\) c.\(2 \sqrt[4]{4}\)

Experimente\(\PageIndex{4}\)

Simplifique: a.\(\sqrt{432}\) b.\(\sqrt[3]{625}\) c.\(\sqrt[4]{729}\)

Responda

a.\(12\sqrt{3}\) b.\(5 \sqrt[3]{5}\) c.\(3 \sqrt[4]{9}\)

O exemplo a seguir é muito parecido com os exemplos anteriores, mas com variáveis. Não se esqueça de usar os sinais de valor absoluto ao obter uma raiz uniforme de uma expressão com uma variável no radical.

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{x^{3}}\)
2. \(\sqrt[3]{x^{4}}\)
3. \(\sqrt[4]{x^{7}}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt{x^{3}}\)

Reescreva o radicando como um produto usando o maior fator quadrado perfeito.

\(\sqrt{x^{2} \cdot x}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}\)

Simplifique.

\(|x| \sqrt{x}\)

b.

\(\sqrt[3]{x^{4}}\)

Reescreva o radicand como um produto usando o maior fator de cubo perfeito.

\(\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}\)

Simplifique.

\(x \sqrt[3]{x}\)

c.

\(\sqrt[4]{x^{7}}\)

Reescreva o radicand como um produto usando o quarto fator de potência perfeito.

\(\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}\)

Simplifique.

\(|x| \sqrt[4]{x^{3}}\)

Experimente\(\PageIndex{5}\)

Simplifique: a.\(\sqrt{b^{5}}\) b.\(\sqrt[4]{y^{6}}\) c.\(\sqrt[3]{z^{5}}\)

Responda

a.\(b^{2} \sqrt{b}\) b.\(|y| \sqrt[4]{y^{2}}\) c.\(z \sqrt[3]{z^{2}}\)

Experimente\(\PageIndex{6}\)

Simplifique: a.\(\sqrt{p^{9}}\) b.\(\sqrt[5]{y^{8}}\) c.\(\sqrt[6]{q^{13}}\)

Responda

a.\(p^{4} \sqrt{p}\) b.\(p \sqrt[5]{p^{3}}\) c.\(q^{2} \sqrt[6]{q}\)

Seguimos o mesmo procedimento quando há um coeficiente no radicando. No próximo exemplo, tanto a constante quanto a variável têm fatores quadrados perfeitos.

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{72 n^{7}}\)
2. \(\sqrt[3]{24 x^{7}}\)
3. \(\sqrt[4]{80 y^{14}}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt{72 n^{7}}\)

Reescreva o radicando como um produto usando o maior fator quadrado perfeito.

\(\sqrt{36 n^{6} \cdot 2 n}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt{36 n^{6}} \cdot \sqrt{2 n}\)

Simplifique.

\(6\left|n^{3}\right| \sqrt{2 n}\)

b.

\(\sqrt[3]{24 x^{7}}\)

Reescreva o radicand como um produto usando fatores de cubo perfeitos.

\(\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[3]{8 x^{6}} \cdot \sqrt[3]{3 x}\)

Reescreva o primeiro radicando como\(\left(2 x^{2}\right)^{3}\).

\(\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}\)

Simplifique.

\(2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}\)

c.

\(\sqrt[4]{80 y^{14}}\)

Reescreva o radicand como um produto usando um quarto fator de potência perfeito.

\(\sqrt[4]{16 y^{12} \cdot 5 y^{2}}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[4]{16 y^{12}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Reescreva o primeiro radicando como\(\left(2 y^{3}\right)^{4}\).

\(\sqrt[4]{\left(2 y^{3}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Simplifique.

\(2\left|y^{3}\right| \sqrt[4]{5 y^{2}}\)

Experimente\(\PageIndex{7}\)

Simplifique: a.\(\sqrt{32 y^{5}}\) b.\(\sqrt[3]{54 p^{10}}\) c.\(\sqrt[4]{64 q^{10}}\)

Responda

a.\(4 y^{2} \sqrt{2 y}\) b.\(3 p^{3} \sqrt[3]{2 p}\) c.\(2 q^{2} \sqrt[4]{4 q^{2}}\)

Experimente\(\PageIndex{8}\)

Simplifique: a.\(\sqrt{75 a^{9}}\) b.\(\sqrt[3]{128 m^{11}}\) c.\(\sqrt[4]{162 n^{7}}\)

Responda

a.\(5 a^{4} \sqrt{3 a}\) b.\(4 m^{3} \sqrt[3]{2 m^{2}}\) c.\(3|n| \sqrt[4]{2 n^{3}}\)

No próximo exemplo, continuamos usando os mesmos métodos, mesmo que haja mais de uma variável sob o radical.

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)
2. \(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt{63 u^{3} v^{5}}\)

Reescreva o radicando como um produto usando o maior fator quadrado perfeito.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

Reescreva o primeiro radicando como\(\left(3 u v^{2}\right)^{2}\).

\(\sqrt{\left(3 u v^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{7 u v}\)

Simplifique.

\(3|u| v^{2} \sqrt{7 u v}\)

b.

\(\sqrt[3]{40 x^{4} y^{5}}\)

Reescreva o radicand como um produto usando o maior fator de cubo perfeito.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3} \cdot 5 x y^{2}}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

Reescreva o primeiro radicando como\((2xy)^{3}\).

\(\sqrt[3]{(2 x y)^{3}} \cdot \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

Simplifique.

\(2 x y \sqrt[3]{5 x y^{2}}\)

c.

\(\sqrt[4]{48 x^{4} y^{7}}\)

Reescreva o radicand como um produto usando o maior quarto fator de potência perfeito.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4} \cdot 3 y^{3}}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[4]{16 x^{4} y^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Reescreva o primeiro radicando como\((2xy)^{4}\).

\(\sqrt[4]{(2 x y)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Simplifique.

\(2|x y| \sqrt[4]{3 y^{3}}\)

Experimente\(\PageIndex{9}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{98 a^{7} b^{5}}\)
2. \(\sqrt[3]{56 x^{5} y^{4}}\)
3. \(\sqrt[4]{32 x^{5} y^{8}}\)

Responda

1. \(7\left|a^{3}\right| b^{2} \sqrt{2 a b}\)
2. \(2 x y \sqrt[3]{7 x^{2} y}\)
3. \(2|x| y^{2} \sqrt[4]{2 x}\)

Experimente\(\PageIndex{10}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{180 m^{9} n^{11}}\)
2. \(\sqrt[3]{72 x^{6} y^{5}}\)
3. \(\sqrt[4]{80 x^{7} y^{4}}\)

Responda

1. \(6 m^{4}\left|n^{5}\right| \sqrt{5 m n}\)
2. \(2 x^{2} y \sqrt[3]{9 y^{2}}\)
3. \(2|x y| \sqrt[4]{5 x^{3}}\)

Exemplo\(\PageIndex{6}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt[3]{-27}\)
2. \(\sqrt[4]{-16}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt[3]{-27}\)

Reescreva o radicand como um produto usando fatores de cubo perfeitos.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}}\)

Pegue a raiz cúbica.

\(-3\)

b.

\(\sqrt[4]{-16}\)

Não existe um número real\(n\) onde\(n^{4}=-16\).

Não é um número real

Experimente\(\PageIndex{11}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt[3]{-64}\)
2. \(\sqrt[4]{-81}\)

Responda

1. \(-4\)
2. nenhum número real

Experimente\(\PageIndex{12}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt[3]{-625}\)
2. \(\sqrt[4]{-324}\)

Responda

1. \(-5 \sqrt[3]{5}\)
2. nenhum número real

Vimos como usar a ordem das operações para simplificar algumas expressões com radicais. No próximo exemplo, temos a soma de um inteiro e uma raiz quadrada. Simplificamos a raiz quadrada, mas não podemos adicionar a expressão resultante ao número inteiro, pois um termo contém um radical e o outro não. O próximo exemplo também inclui uma fração com um radical no numerador. Lembre-se de que, para simplificar uma fração, você precisa de um fator comum no numerador e no denominador.

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

Simplifique:

1. \(3+\sqrt{32}\)
2. \(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

Solução:

uma.

\(3+\sqrt{32}\)

Reescreva o radicando como um produto usando o maior fator quadrado perfeito.

\(3+\sqrt{16 \cdot 2}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(3+\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}\)

Simplifique.

\(3+4 \sqrt{2}\)

Os termos não podem ser adicionados porque um tem um radical e o outro não. Tentar adicionar um inteiro e um radical é como tentar adicionar um inteiro e uma variável. Eles não são como termos!

b.

\(\dfrac{4-\sqrt{48}}{2}\)

Reescreva o radicando como um produto usando o maior fator quadrado perfeito.

\(\dfrac{4-\sqrt{16 \cdot 3}}{2}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\dfrac{4-\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}\)

Simplifique.

\(\dfrac{4-4 \sqrt{3}}{2}\)

Fatore o fator comum a partir do numerador.

\(\dfrac{4(1-\sqrt{3})}{2}\)

Remova o fator comum, 2, do numerador e do denominador.

\(\dfrac{\cancel{2} \cdot 2(1-\sqrt{3})}{\cancel{2}}\)

Simplifique.

\(2(1-\sqrt{3})\)

Experimente\(\PageIndex{13}\)

Simplifique:

1. \(5+\sqrt{75}\)
2. \(\dfrac{10-\sqrt{75}}{5}\)

Responda

1. \(5+5 \sqrt{3}\)
2. \(2-\sqrt{3}\)

Experimente\(\PageIndex{14}\)

Simplifique:

1. \(2+\sqrt{98}\)
2. \(\dfrac{6-\sqrt{45}}{3}\)

Responda

1. \(2+7 \sqrt{2}\)
2. \(2-\sqrt{5}\)

Use a propriedade quociente para simplificar expressões radicais

Sempre que você precisar simplificar uma expressão radical, a primeira etapa a ser tomada é determinar se o radicando é a potência perfeita do índice. Caso contrário, verifique se há fatores comuns no numerador e no denominador e remova-os. Você pode encontrar uma fração na qual tanto o numerador quanto o denominador são potências perfeitas do índice.

Exemplo\(\PageIndex{8}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt{\dfrac{45}{80}}\)

Simplifique primeiro o radical. Reescreva mostrando os fatores comuns do numerador e do denominador.

\(\sqrt{\dfrac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}\)

Simplifique a fração removendo fatores comuns.

\(\sqrt{\dfrac{9}{16}}\)

Simplifique. Nota\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}\).

\(\dfrac{3}{4}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{16}{54}}\)

Simplifique primeiro o radical. Reescreva mostrando os fatores comuns do numerador e do denominador.

\(\sqrt[3]{\dfrac{2 \cdot 8}{2 \cdot 27}}\)

Simplifique a fração removendo fatores comuns.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}\)

Simplifique. Nota\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}\).

\(\dfrac{2}{3}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5}{80}}\)

Simplifique primeiro o radical. Reescreva mostrando os fatores comuns do numerador e do denominador.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 \cdot 1}{5 \cdot 16}}\)

Simplifique a fração removendo fatores comuns.

\(\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}\)

Simplifique. Nota\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}\).

\(\dfrac{1}{2}\)

Experimente\(\PageIndex{15}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{75}{48}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{54}{250}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{32}{162}}\)

Responda

1. \(\dfrac{5}{4}\)
2. \(\dfrac{3}{5}\)
3. \(\dfrac{2}{3}\)

Experimente\(\PageIndex{16}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{98}{162}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{24}{375}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{4}{324}}\)

Responda

1. \(\dfrac{7}{9}\)
2. \(\dfrac{2}{5}\)
3. \(\dfrac{1}{3}\)

No último exemplo, nosso primeiro passo foi simplificar a fração sob o radical, removendo fatores comuns. No próximo exemplo, usaremos a propriedade do quociente para simplificar sob o radical. Dividimos as bases semelhantes subtraindo seus expoentes,

\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, \quad a \neq 0\)

Exemplo\(\PageIndex{9}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt{\dfrac{m^{6}}{m^{4}}}\)

Simplifique primeiro a fração dentro do radical. Divida as bases semelhantes subtraindo os expoentes.

\(\sqrt{m^{2}}\)

Simplifique.

\(|m|\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{a^{8}}{a^{5}}}\)

Use a propriedade quociente dos expoentes para simplificar primeiro a fração abaixo do radical.

\(\sqrt[3]{a^{3}}\)

Simplifique.

\(a\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{10}}{a^{2}}}\)

Use a propriedade quociente dos expoentes para simplificar primeiro a fração abaixo do radical.

\(\sqrt[4]{a^{8}}\)

Reescreva o radicando usando fatores de quarta potência perfeitos.

\(\sqrt[4]{\left(a^{2}\right)^{4}}\)

Simplifique.

\(a^{2}\)

Experimente\(\PageIndex{17}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{a^{8}}{a^{6}}}\)
2. \(\sqrt[4]{\dfrac{x^{7}}{x^{3}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{y^{17}}{y^{5}}}\)

Responda

1. \(|a|\)
2. \(|x|\)
3. \(y^{3}\)

Experimente\(\PageIndex{18}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{x^{14}}{x^{10}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{m^{13}}{m^{7}}}\)
3. \(\sqrt[5]{\dfrac{n^{12}}{n^{2}}}\)

Responda

1. \(x^{2}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(n^{2}\)

Lembra do quociente de uma propriedade de poder? Dizia que poderíamos elevar uma fração a uma potência elevando o numerador e o denominador à potência separadamente.

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

Definição\(\PageIndex{3}\)

Propriedade quociente de expressões radicais

Se\(\sqrt[n]{a}\) e\(\sqrt[n]{b}\) forem números reais\(b \neq 0\),, e para qualquer número inteiro\(n \geq 2\),

\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \text { and } \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)

Exemplo\(\PageIndex{10}\) how to simplify the quotient of radical expressions

Simplifique:\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

Solução:

Etapa 1: Simplifique a fração no radicando, se possível.

\(\dfrac{27 m^{3}}{196}\)não pode ser simplificado.

\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\)

Etapa 2: Use a propriedade do quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.

Nós reescrevemos\(\sqrt{\dfrac{27 m^{3}}{196}}\) como o quociente de\(\sqrt{27 m^{3}}\)\(\sqrt{196}\) e.

\(\dfrac{\sqrt{27 m^{3}}}{\sqrt{196}}\)

Etapa 3: Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

\(9m^{2}\)e\(196\) são quadrados perfeitos.

\(\dfrac{\sqrt{9 m^{2}} \cdot \sqrt{3 m}}{\sqrt{196}}\)

\(\dfrac{3 m \sqrt{3 m}}{14}\)

Experimente\(\PageIndex{19}\)

Simplifique:\(\sqrt{\dfrac{24 p^{3}}{49}}\).

Responda

\(\dfrac{2|p| \sqrt{6 p}}{7}\)

Experimente\(\PageIndex{20}\)

Simplifique:\(\sqrt{\dfrac{48 x^{5}}{100}}\).

Responda

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt{3 x}}{5}\)

Simplifique uma raiz quadrada usando a propriedade quociente

1. Simplifique a fração no radicando, se possível.
2. Use a propriedade do quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.
3. Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

Exemplo\(\PageIndex{11}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt{\dfrac{45 x^{5}}{y^{4}}}\)

Não podemos simplificar a fração no radicando. Reescreva usando a propriedade do quociente.

\(\dfrac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}\)

Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

\(\dfrac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

Simplifique.

\(\dfrac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{24 x^{7}}{y^{3}}}\)

A fração no radicando não pode ser simplificada. Use a propriedade do quociente para escrever como dois radicais.

\(\dfrac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Reescreva cada radicando como um produto usando fatores de cubo perfeitos.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Reescreva o numerador como o produto de dois radicais.

\(\dfrac{\sqrt[3]{\left(2 x^{2}\right)^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}\)

Simplifique.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{48 x^{10}}{y^{8}}}\)

A fração no radicando não pode ser simplificada.

\(\dfrac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

Use a propriedade do quociente para escrever como dois radicais. Reescreva cada radicando como um produto usando um quarto fator de potência perfeito.

\(\dfrac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}\)

Reescreva o numerador como o produto de dois radicais.

\(\dfrac{\sqrt[4]{\left(2 x^{2}\right)^{4}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4]{\left(y^{2}\right)^{4}}}\)

Simplifique.

\(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}\)

Experimente\(\PageIndex{21}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{80 m^{3}}{n^{6}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{108 c^{10}}{d^{6}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{80 x^{10}}{y^{4}}}\)

Responda

1. \(\dfrac{4|m| \sqrt{5 m}}{\left|n^{3}\right|}\)
2. \(\dfrac{3 c^{3} \sqrt[3]{4 c}}{d^{2}}\)
3. \(\dfrac{2 x^{2} \sqrt[4]{5 x^{2}}}{|y|}\)

Experimente\(\PageIndex{22}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{54 u^{7}}{v^{8}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{40 r^{3}}{s^{6}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{162 m^{14}}{n^{12}}}\)

Responda

1. \(\dfrac{3 u^{3} \sqrt{6 u}}{v^{4}}\)
2. \(\dfrac{2 r \sqrt[3]{5}}{s^{2}}\)
3. \(\dfrac{3\left|m^{3}\right| \sqrt[4]{2 m^{2}}}{\left|n^{3}\right|}\)

Certifique-se de simplificar primeiro a fração no radicand, se possível.

Exemplo\(\PageIndex{12}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Solução:

uma.

\(\sqrt{\dfrac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}\)

Simplifique a fração no radicando, se possível.

\(\sqrt{\dfrac{9 p^{4} q^{5}}{16}}\)

Reescreva usando a propriedade do quociente.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}\)

Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

\(\dfrac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}\)

Simplifique.

\(\dfrac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}\)

b.

\(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)

Simplifique a fração no radicando, se possível.

\(\sqrt[3]{\dfrac{8 x^{3} y^{5}}{27}}\)

Reescreva usando a propriedade do quociente.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{5}}}{\sqrt[3]{27}}\)

Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

\(\dfrac{\sqrt[3]{8 x^{3} y^{3}} \cdot \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{27}}\)

Simplifique.

\(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)

c.

\(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Simplifique a fração no radicando, se possível.

\(\sqrt[4]{\dfrac{a^{5} b^{4}}{16}}\)

Reescreva usando a propriedade do quociente.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{5} b^{4}}}{\sqrt[4]{16}}\)

Simplifique os radicais no numerador e no denominador.

\(\dfrac{\sqrt[4]{a^{4} b^{4}} \cdot \sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{16}}\)

Simplifique.

\(\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}\)

Experimente\(\PageIndex{23}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{50 x^{5} y^{3}}{72 x^{4} y}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{16 x^{5} y^{7}}{54 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{5 a^{8} b^{6}}{80 a^{3} b^{2}}}\)

Responda

1. \(\dfrac{5|y| \sqrt{x}}{6}\)
2. \(\dfrac{2 x y \sqrt[3]{y^{2}}}{3}\)
3. \(\dfrac{|a b| \sqrt[4]{a}}{2}\)

Experimente\(\PageIndex{24}\)

Simplifique:

1. \(\sqrt{\dfrac{48 m^{7} n^{2}}{100 m^{5} n^{8}}}\)
2. \(\sqrt[3]{\dfrac{54 x^{7} y^{5}}{250 x^{2} y^{2}}}\)
3. \(\sqrt[4]{\dfrac{32 a^{9} b^{7}}{162 a^{3} b^{3}}}\)

Responda

1. \(\dfrac{2|m| \sqrt{3}}{5\left|n^{3}\right|}\)
2. \(\dfrac{3 x y \sqrt[3]{x^{2}}}{5}\)
3. \(\dfrac{2|a b| \sqrt[4]{a^{2}}}{3}\)

No exemplo a seguir, não há nada para simplificar nos denominadores. Como o índice dos radicais é o mesmo, podemos usar a propriedade do quociente novamente, para combiná-los em um radical. Em seguida, veremos se podemos simplificar a expressão.

Exemplo\(\PageIndex{13}\)

Simplifique:

1. \(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

Solução:

uma.

\(\dfrac{\sqrt{48 a^{7}}}{\sqrt{3 a}}\)

O denominador não pode ser simplificado, então use a propriedade do quociente para escrever como um radical.

\(\sqrt{\dfrac{48 a^{7}}{3 a}}\)

Simplifique a fração abaixo do radical.

\(\sqrt{16 a^{6}}\)

Simplifique.

\(4\left|a^{3}\right|\)

b.

\(\dfrac{\sqrt[3]{-108}}{\sqrt[3]{2}}\)

O denominador não pode ser simplificado, então use a propriedade do quociente para escrever como um radical.

\(\sqrt[3]{\dfrac{-108}{2}}\)

Simplifique a fração abaixo do radical.

\(\sqrt[3]{-54}\)

Reescreva o radicand como um produto usando fatores de cubo perfeitos.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3} \cdot 2}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[3]{(-3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}\)

Simplifique.

\(-3 \sqrt[3]{2}\)

c.

\(\dfrac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}\)

O denominador não pode ser simplificado, então use a propriedade do quociente para escrever como um radical.

\(\sqrt[4]{\dfrac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}\)

Simplifique a fração abaixo do radical.

\(\sqrt[4]{32 x^{5}}\)

Reescreva o radicand como um produto usando um quarto fator de potência perfeito.

\(\sqrt[4]{16 x^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

Reescreva o radical como produto de dois radicais.

\(\sqrt[4]{(2 x)^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}\)

Simplifique.

\(2|x| \sqrt[4]{2 x}\)

Experimente\(\PageIndex{25}\)

Simplifique:

1. \(\dfrac{\sqrt{98 z^{5}}}{\sqrt{2 z}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-500}}{\sqrt[3]{2}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{486 m^{11}}}{\sqrt[4]{3 m^{5}}}\)

Responda

1. \(7z^{2}\)
2. \(-5 \sqrt[3]{2}\)
3. \(3|m| \sqrt[4]{2 m^{2}}\)

Experimente\(\PageIndex{26}\)

Simplifique:

1. \(\dfrac{\sqrt{128 m^{9}}}{\sqrt{2 m}}\)
2. \(\dfrac{\sqrt[3]{-192}}{\sqrt[3]{3}}\)
3. \(\dfrac{\sqrt[4]{324 n^{7}}}{\sqrt[4]{2 n^{3}}}\)

Responda

1. \(8m^{4}\)
2. \(-4\)
3. \(3|n| \sqrt[4]{2}\)

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com a simplificação de expressões radicais.

• Simplificando a raiz quadrada e a raiz cúbica com variáveis
• Expresse um radical em forma simplificada - raízes quadradas e cúbicas com variáveis e expoentes
• Simplificando raízes cúbicas

Conceitos-chave

• Expressão radical simplificada
  • Para números reais\(a, m\) e\(n≥2\)
    \(\sqrt[n]{a}\) é considerado simplificado se não\(a\) tiver fatores de\(m^{n}\)
• Propriedade do produto\(n^{th}\) Roots
  • Para qualquer número real\(\sqrt[n]{a}\) e\(\sqrt[n]{b}\), e para qualquer número inteiro\(n≥2\)
    \(\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) e\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\)
• Como simplificar uma expressão radical usando a propriedade do produto
  1. Encontre o maior fator no radicando que seja a potência perfeita do índice.
     Reescreva o radicando como um produto de dois fatores, usando esse fator.
  2. Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais.
  3. Simplifique a raiz da potência perfeita.
• Propriedade quociente de expressões radicais
  • Se\(\sqrt[n]{a}\) e\(\sqrt[n]{b}\) forem números reais,\(b≠0\), e para qualquer número inteiro,\(n≥2\) então,\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) e\(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\)
• Como simplificar uma expressão radical usando a propriedade do quociente.
  1. Simplifique a fração no radicando, se possível.
  2. Use a propriedade do quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.
  3. Simplifique os radicais no numerador e no denominador.