13.4E : Exercices pour la section 13.4
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1) Étant donné\(\vecs r(t)=(3t^2−2)\,\hat{\mathbf{i}}+(2t−\sin t)\,\hat{\mathbf{j}}\),
a. déterminer la vitesse d'une particule se déplaçant le long de cette courbe.
b. déterminer l'accélération d'une particule se déplaçant le long de cette courbe.
- Réponse
- a.\(\vecs v(t)=6t\,\hat{\mathbf{i}}+(2−\cos t)\,\hat{\mathbf{i}}\)
b.\(\vecs a(t)=6\,\hat{\mathbf{i}}+\sin t\,\hat{\mathbf{i}}\)
Dans les questions 2 à 5, en fonction de la fonction de position, déterminez la vitesse, l'accélération et la vitesse en termes de paramètre\(t\).
2)\(\vecs r(t)=e^{−t}\,\hat{\mathbf{i}}+t^2\,\hat{\mathbf{j}}+\tan t\,\hat{\mathbf{k}}\)
3)\(\vecs r(t)=⟨3\cos t,\,3\sin t,\,t^2⟩\)
- Réponse
- \(\vecs v(t)=-3\sin t\,\hat{\mathbf{i}}+3\cos t\,\hat{\mathbf{j}}+2t\,\hat{\mathbf{k}}\)
\(\vecs a(t)=-3\cos t\,\hat{\mathbf{i}}-3\sin t\,\hat{\mathbf{j}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\)
\(\text{Speed}(t) = \|\vecs v(t)\| = \sqrt{9 + 4t^2}\)
4)\(\vecs r(t)=t^5\,\hat{\mathbf{i}}+(3t^2+2t- 5)\,\hat{\mathbf{j}}+(3t-1)\,\hat{\mathbf{k}}\)
5)\(\vecs r(t)=2\cos t\,\hat{\mathbf{j}}+3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\). Le graphique est présenté ici :
- Réponse
- \(\vecs v(t)=-2\sin t\,\hat{\mathbf{j}}+3\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\)
\(\vecs a(t)=-2\cos t\,\hat{\mathbf{j}}-3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\)
\(\text{Speed}(t) = \|\vecs v(t)\| = \sqrt{4\sin^2 t+9\cos^2 t}=\sqrt{4+5\cos^2 t}\)
Dans les questions 6 à 8, déterminez la vitesse, l'accélération et la vitesse d'une particule à l'aide de la fonction de position donnée.
6)\(\vecs r(t)=⟨t^2−1,t⟩\)
7)\(\vecs r(t)=⟨e^t,e^{−t}⟩\)
- Réponse
- \(\vecs v(t)=⟨e^t,−e^{−t}⟩\),
\(\vecs a(t)=⟨e^t, e^{−t}⟩,\)
\( \|\vecs v(t)\| = \sqrt{e^{2t}+e^{−2t}}\)
8)\(\vecs r(t)=⟨\sin t,t,\cos t⟩\). Le graphique est présenté ici :
9) La fonction de position d'un objet est donnée par\(\vecs r(t)=⟨t^2,5t,t^2−16t⟩\). À quelle heure la vitesse est-elle minimale ?
- Réponse
- \(t = 4\)
10) Laissez\(\vecs r(t)=r\cosh(ωt)\,\hat{\mathbf{i}}+r\sinh(ωt)\,\hat{\mathbf{j}}\). Trouvez les vecteurs de vitesse et d'accélération et montrez que l'accélération est proportionnelle à\(\vecs r(t)\).
11) Considérez le mouvement d'un point sur la circonférence d'un cercle roulant. Lorsque le cercle roule, il génère la cycloïde\(\vecs r(t)=(ωt−\sin(ωt))\,\hat{\mathbf{i}}+(1−\cos(ωt))\,\hat{\mathbf{j}}\), où\(\omega\) sont la vitesse angulaire du cercle et\(b\) le rayon du cercle :
Trouvez les équations pour la vitesse, l'accélération et la vitesse de la particule à tout moment.
- Réponse
- \(\vecs v(t)=(ω−ω\cos(ωt))\,\hat{\mathbf{i}}+(ω\sin(ωt))\,\hat{\mathbf{j}}\)
\(\vecs a(t)=(ω^2\sin(ωt))\,\hat{\mathbf{i}}+(ω^2\cos(ωt))\,\hat{\mathbf{j}}\)
\ (\ begin {align*} \ text {speed} (t) &= \ sqrt {(ω−ω \ cos (ωt)) ^2 + (ω \ sin (ωt)) ^2} \ \
&= \ sqrt {ω^2 - 2ω^2 \ cos (ωt) + ω^2 \ cos^2 (ωt) + ω^2 \ sin^2 (ωt)} \ \
&= \ sqrt {2ω^2 (1 - \ cos (ωt))} \ end {align*} \)
12) Une personne sur un deltaplane se déplace en spirale vers le haut en raison de la montée rapide de l'air sur une trajectoire ayant un vecteur de position\(\vecs r(t)=(3\cos t)\,\hat{\mathbf{i}}+(3\sin t)\,\hat{\mathbf{j}}+t^2\,\hat{\mathbf{k}}\). La trajectoire est similaire à celle d'une hélice, bien que ce ne soit pas une hélice. Le graphique est présenté ici :
Trouvez les quantités suivantes :
a. Les vecteurs de vitesse et d'accélération
b. La vitesse du planeur à tout moment
- Réponse
- \(\|\vecs v(t)\|=\sqrt{9+4t^2}\)
c. Les moments, le cas échéant, auxquels l'accélération du planeur est orthogonale à sa vitesse
13) Étant donné qu'il\(\vecs r(t)=⟨e^{−5t}\sin t,\, e^{−5t}\cos t,\, 4e^{−5t}⟩\) s'agit du vecteur de position d'une particule en mouvement, trouvez les quantités suivantes :
a. La vitesse de la particule
- Réponse
- \(\vecs v(t)=⟨e^{−5t}(\cos t−5\sin t),\, −e^{−5t}(\sin t+5\cos t),\, −20e^{−5t}⟩\)
b. La vitesse de la particule
c. L'accélération de la particule
- Réponse
- \(\vecs a(t)=⟨e^{−5t}(−\sin t−5\cos t)−5e^{−5t}(\cos t−5\sin t), \; −e^{−5t}(\cos t−5\sin t)+5e^{−5t}(\sin t+5\cos t),\; 100e^{−5t}⟩\)
14) Déterminez la vitesse maximale d'un point de la circonférence d'un pneu d'automobile d'un rayon\(1\) ft lorsque l'automobile roule à\(55\) mi/h.
15) Trouvez la fonction à valeur vectorielle de position\(\vecs r(t)\), étant donné que\(\vecs a(t)=\hat{\mathbf{i}}+e^t \,\hat{\mathbf{j}}, \quad \vecs v(0)=2\,\hat{\mathbf{j}}\), et\(\vecs r(0)=2\,\hat{\mathbf{i}}\).
16) Trouver\(\vecs r(t)\) étant donné que\(\vecs a(t)=−32\,\hat{\mathbf{j}}, \vecs v(0)=600\sqrt{3} \,\hat{\mathbf{i}}+600\,\hat{\mathbf{j}}\), et\(\vecs r(0)=\vecs 0\).
17) L'accélération d'un objet est donnée par\(\vecs a(t)=t\,\hat{\mathbf{j}}+t\,\hat{\mathbf{k}}\). La vitesse en\(t=1\) secondes est\(\vecs v(1)=5\,\hat{\mathbf{j}}\) et la position de l'objet en\(t=1\) secondes est\(\vecs r(1)=0\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}\). Trouvez la position de l'objet à tout moment.
- Réponse
- \(\vecs r(t)=0\,\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{1}{6}t^3+4.5t−\frac{14}{3}\right)\,\hat{\mathbf{j}}+\left(\frac{1}{6}t^3−\frac{1}{2}t+\frac{1}{3}\right)\,\hat{\mathbf{k}}\)
Mouvement du projectile
18) Un projectile est projeté en l'air depuis le sol à une vitesse initiale de\(500\) m/sec à un angle de 60° par rapport à l'horizontale.
a. À quel moment le projectile atteint-il sa hauteur maximale ?
- Réponse
- \(44.185\)seconde
b. Quelle est la hauteur maximale approximative du projectile ?
c. À quel moment la portée maximale du projectile est-elle atteinte ?
- Réponse
- \(t=88.37\)seconde
d. Quelle est la portée maximale ?
e. Quel est le temps de vol total du projectile ?
- Réponse
- \(t=88.37\)seconde
19) Un projectile est tiré à une hauteur de\(1.5\) m au-dessus du sol avec une vitesse initiale de\(100\) m/sec et à un angle de 30° au-dessus de l'horizontale. Utilisez ces informations pour répondre aux questions suivantes :
a. Déterminez la hauteur maximale du projectile.
b. Déterminez la portée du projectile.
- Réponse
- La portée est d'environ\(886.29\) m.
20) Une balle de golf est frappée horizontalement depuis le bord supérieur d'un bâtiment de 100 pieds de haut. À quelle vitesse la balle doit-elle être lancée pour atterrir à quelques\(450\) mètres de distance ?
21) Un projectile est tiré depuis le sol à un angle de 8° par rapport à l'horizontale. Le projectile doit avoir une portée de\(50\) m. Déterminez la vitesse (vitesse) minimale nécessaire pour atteindre cette plage.
- Réponse
- \(v=42.16\)m/sec
22) Prouvez qu'un objet se déplaçant en ligne droite à vitesse constante a une accélération nulle.
Trouver les composantes de l'accélération et les lois de Kepler
23) Déterminez les composantes tangentielle et normale de l'accélération pour savoir\(\vecs r(t)=t^2\,\hat{\mathbf{i}}+2t \,\hat{\mathbf{j}}\) quand\(t=1\).
- Réponse
- \(a_\vecs{T}=\sqrt{2}, \quad a_\vecs{N}=\sqrt{2}\)
Dans les questions 24 à 30, trouvez les composantes tangentielle et normale de l'accélération.
(24)\(\vecs r(t)=⟨\cos(2t),\,\sin(2t),1⟩\)
25)\(\vecs r(t)=⟨e^t \cos t,\,e^t\sin t,\,e^t⟩\). Le graphique est présenté ici :
- Réponse
- \(a_\vecs{T}=\sqrt{3}e^t, \quad a_\vecs{N}=\sqrt{2}e^t\)
(26)\(\vecs r(t)=⟨\frac{2}{3}(1+t)^{3/2}, \,\frac{2}{3}(1-t)^{3/2},\,\sqrt{2}t⟩\)
(27)\(\vecs r(t)=\left\langle 2t,\,t^2,\,\dfrac{t^3}{3}\right\rangle\)
- Réponse
- \(a_\vecs{T}=2t, \quad a_\vecs{N}=2\)
(28)\(\vecs r(t)=t^2\,\hat{\mathbf{i}}+t^2\,\hat{\mathbf{j}}+t^3\,\hat{\mathbf{k}}\)
(29)\(\vecs r(t)=⟨6t,\,3t^2,\,2t^3⟩\)
- Réponse
- \(a_\vecs{T}=\dfrac{6t +12t^3}{\sqrt{1+t^2+t^4}}, \quad a_\vecs{N}=6\sqrt{\dfrac{1+4t^2+t^4}{1+t^2+t^4}}\)
(30)\(\vecs r(t)=3\cos(2πt)\,\hat{\mathbf{i}}+3\sin(2πt)\,\hat{\mathbf{j}}\)
- Réponse
- \(a_\vecs{T}=0, \quad a_\vecs{N}=12\pi^2\)
31) Déterminez les composantes tangentielle et normale de l'accélération pour\(\vecs r(t)=a\cos(ωt)\,\hat{\mathbf{i}}+b\sin(ωt)\,\hat{\mathbf{j}}\) at\(t=0\).
- Réponse
- \(a_\vecs{T}=0, \quad a_\vecs{N}=aω^2\)
32) Supposons que la fonction de position d'un objet en trois dimensions soit donnée par l'équation\(\vecs r(t)=t\cos(t)\,\hat{\mathbf{i}}+t\sin(t)\,\hat{\mathbf{j}}+3t\,\hat{\mathbf{k}}\).
a. Montrez que la particule se déplace sur un cône circulaire.
b. Déterminez l'angle entre les vecteurs de vitesse et d'accélération quand\(t=1.5\).
c. Déterminez les composantes tangentielle et normale de l'accélération quand\(t=1.5\).
- Réponse
- c.\(a_\vecs{T}=0.43\,\text{m/sec}^2, \quad a_\vecs{N}=2.46\,\text{m/sec}^2\)
33) La force exercée sur une particule est donnée par\(\vecs f(t)=(\cos t)\,\hat{\mathbf{i}}+(\sin t)\,\hat{\mathbf{j}}\). La particule est située\((c,0)\) au point\(t=0\). La vitesse initiale de la particule est donnée par\(\vecs v(0)=v_0\,\hat{\mathbf{j}}\). Déterminez la trajectoire de la particule de masse\(m\). (Rappel,\(\vecs F=m\vecs a\).)
- Réponse
- \(\vecs r(t)=\left(\dfrac{-\cos t}{m}+c+\frac{1}{m}\right)\,\hat{\mathbf{i}}+\left(\dfrac{−\sin t}{m}+\left(v_0+\frac{1}{m}\right)t\right)\,\hat{\mathbf{j}}\)
34) Une automobile qui pèse\(2700\) livres effectue un virage sur une route plate alors qu'elle roule à\(56\) pieds par seconde. Si le rayon du virage est de\(70\) pieds, quelle est la force de friction requise pour empêcher la voiture de déraper ?
35) En utilisant les lois de Kepler, on peut montrer qu'il s'\(v_0=\sqrt{\dfrac{2GM}{r_0}}\)agit de la vitesse minimale requise pour\(\theta=0\) qu'un objet échappe à l'attraction d'une force centrale résultant de la masse\(M\). Utilisez ce résultat\(\theta=0\) pour déterminer la vitesse minimale à laquelle une capsule spatiale peut échapper à l'attraction gravitationnelle de la Terre si la sonde se trouve à une altitude de\(300\) km au-dessus de la surface de la Terre.
- Réponse
- \(10.94\)km/sec
36) Déterminez le temps (en années) qu'il faut à la planète naine Pluton pour faire une orbite autour du Soleil étant donné que\(a=39.5\) A.U.