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1.5 : Fonctions exponentielles et logarithmiques

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Identifiez la forme d'une fonction exponentielle.
  • Expliquez la différence entre les graphiques dexb etbx.
  • Reconnaissez l'importance du chiffree.
  • Identifiez la forme d'une fonction logarithmique.
  • Expliquer la relation entre les fonctions exponentielles et logarithmiques.
  • Décrire comment calculer un logarithme sur une base différente.
  • Identifiez les fonctions hyperboliques, leurs graphes et leurs identités de base.

Dans cette section, nous examinons les fonctions exponentielles et logarithmiques. Nous utilisons les propriétés de ces fonctions pour résoudre des équations impliquant des termes exponentiels ou logarithmiques, et nous étudions la signification et l'importance du nombree. Nous définissons également des fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses, qui impliquent des combinaisons de fonctions exponentielles et logarithmiques. (Notez que nous présentons des définitions alternatives des fonctions exponentielles et logarithmiques dans le chapitre Applications des intégrations, et que nous prouvons que les fonctions ont les mêmes propriétés quelle que soit la définition.)

Fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles apparaissent dans de nombreuses applications. La croissance démographique en est un exemple courant. Par exemple, si une population commence parP0 des individus puis croît à un rythme annuel de2%, sa population après un an est

P(1)=P0+0.02P0=P0(1+0.02)=P0(1.02).

Sa population après 2 ans est

P(2)=P(1)+0.02P(1)=P(1)(1.02)=P0(1.02)2.

En général, sa population après dest années est

P(t)=P0(1.02)t,

qui est une fonction exponentielle. Plus généralement, toute fonction de la formef(x)=bx, oùb>0b1, est une fonction exponentielle avec une baseb et un exposant Les fonctionsx. exponentielles ont des bases constantes et des exposants variables. Notez qu'une fonction de la formef(x)=xb d'une constante n'best pas une fonction exponentielle mais une fonction de puissance.

Pour voir la différence entre une fonction exponentielle et une fonction de puissance, nous comparons les fonctionsy=x2 ety=2x. Dans le tableau1.5.1, nous voyons les deux2x et nousx2 approchons de l'infini commex. Finalement, cependant,2x devient plus grand quex2 et croît plus rapidement quex. Dans la direction opposée, commexx2, tandis que2x0. La ligney=0 est une asymptote horizontale poury=2x.

Tableau1.5.1
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x2 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36
2x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 64

Dans la figure1.5.1, nous représentons les deuxy=x2 ety=2x montrons en quoi les graphiques diffèrent.

Image d'un graphique. L'axe x va de -10 à 10 et l'axe y va de 0 à 50. Le graphique comporte deux fonctions. La première fonction est « y = x au carré », qui est une parabole. La fonction diminue jusqu'à ce qu'elle atteigne l'origine, puis commence à augmenter. La deuxième fonction est « y = 2 à la puissance de x », qui commence légèrement au-dessus de l'axe x et commence à augmenter très rapidement, plus rapidement que la première fonction.
Figure1.5.1 : Les deux2x etx2 s'approchent de l'infini commex, mais2x croissent plus rapidement quex2. Commexx2, tandis que2x0.

Évaluation des fonctions exponentielles

Rappelons les propriétés des exposants : s'il s'xagit d'un entier positif, alors nous le définissonsbx=bbb (avec desx facteurs deb). Six est un entier négatif, alorsx=y pour un entier positify, et nous définissonsbx=by=1/by. En outre,b0 est défini comme étant1. Six est un nombre rationnel, alorsx=p/q, oùp etq sont des nombres entiers etbx=bp/q=qbp. Par exemple,93/2=93=(9)3=27. Cependant, commentbx définit-on s'il s'xagit d'un nombre irrationnel ? Par exemple, qu'entendons-nous par22 ? Il s'agit d'une question trop complexe pour que nous puissions y répondre pleinement dès maintenant ; toutefois, nous pouvons faire une approximation.

Tableau1.5.2 : Valeurs de2x pour une liste de nombres rationnels approximatifs2
x 1.4 1,41 1,414 1.4142 1.41421 1.414 213
2x 2.639 2,65 737 2.66475 2.665119 2.665138 2.665143

Dans le tableau1.5.2, nous listons certains nombres rationnels approchant2, et les valeurs de2x pour chaque nombre rationnelx sont également présentées. Nous prétendons que si nous choisissons des nombres rationnels quix se rapprochent de plus en plus2, les valeurs de2x se rapprochent de plus en plus d'un certain nombreL. Nous définissons ce nombreL comme étant22.

Exemple1.5.1: Bacterial Growth

Supposons qu'une population particulière de bactéries soit connue pour doubler de taille toutes les4 heures. Si une culture commence avec des1000 bactéries, le nombre de bactéries après les4 heures de culture est den(4)=10002. Le nombre de bactéries après les8 heures de travail est den(8)=n(4)2=100022. En général, le nombre de bactéries après les4m heures de travail est den(4m)=10002m. Ent=4m regardant, on voit que le nombre de bactéries après t heures est den(t)=10002t/4. Déterminez le nombre de bactéries après des6 heures, des10 heures et des24 heures.

Solution

Le nombre de bactéries après 6 heures est donné par

n(6)=100026/42828bacteria.

Le nombre de bactéries après les10 heures de travail est donné par

n(10)=1000210/45657bacteria.

Le nombre de bactéries après les24 heures de travail est donné parn(24)=100026=64,000 les bactéries.

Exercice1.5.1

Compte tenu de la fonction exponentiellef(x)=1003x/2, évaluezf(4) etf(10).

Réponse

f(4)=900

f(10)=24,300.

Représentation graphique de fonctions exponentielles

Pour toute baseb>0b1, la fonction exponentiellef(x)=bx est définie pour tous les nombres réelsx etbx>0. Par conséquent, le domaine def(x)=bx est(,) et la gamme est(0,). Pour représenterbx graphiquement, nous remarquons que pourb>1,bx augmente aubx fur(,) et à mesurex, alors quebx0 commex. D'autre part, si0<b<1,f(x)=bx est décroissant aubx0 fur(,) et àbx mesurex quex (Figure1.5.2).

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 3 et l'axe y va de 0 à 4. Le graphique comporte quatre fonctions. La première fonction est « f (x) = 2 à la puissance de x », une fonction courbe croissante, qui commence légèrement au-dessus de l'axe x et commence à augmenter. La deuxième fonction est « f (x) = 4 à la puissance de x », une fonction courbe croissante, qui commence légèrement au-dessus de l'axe x et commence à augmenter rapidement, plus rapidement que la première fonction. La troisième fonction est « f (x) = (1/2) à la puissance de x », une fonction courbe décroissante qui diminue jusqu'à ce qu'elle se rapproche de l'axe x sans le toucher. La troisième fonction est « f (x) = (1/4) à la puissance de x », une fonction courbe décroissante qui diminue jusqu'à ce qu'elle se rapproche de l'axe x sans le toucher. Elle diminue plus rapidement que la troisième fonction.
Figure1.5.2 : Sib>1, alorsbx augmente(,). Si0<b<1, alorsbx est décroissant(,).

Notez que les fonctions exponentielles satisfont aux lois générales des exposants. Pour vous rappeler ces lois, nous les énonçons sous forme de règles.

Lois des exposants

Pour toutes les constantesa>0b>0, et pour toutesxy,

  1. bxby=bx+y
  2. bxby=bxy
  3. (bx)y=bxy
  4. (ab)x=axbx
  5. axbx=(ab)x
Exemple1.5.2: Using the Laws of Exponents

Utilisez les lois des exposants pour simplifier chacune des expressions suivantes.

  1. (2x2/3)3(4x1/3)2
  2. (x3y1)2(xy2)2

Solution

a. Nous pouvons simplifier comme suit :

(2x2/3)3(4x1/3)2=23(x2/3)342(x1/3)2=8x216x2/3=x2x2/32=x8/32.

b. Nous pouvons simplifier comme suit :

(x3y1)2(xy2)2=(x3)2(y1)2x2(y2)2=x6y2x2y4=x6x2y2y4=x8y2.

Exercice1.5.2

Utilisez les lois des exposants pour simplifier6x3y212x4y5.

Allusion

xa/xb=xab

Réponse

x/(2y3)

Le numéro e

Un type spécial de fonction exponentielle apparaît fréquemment dans les applications du monde réel. Pour le décrire, prenons l'exemple suivant de croissance exponentielle, qui résulte de l'intérêt composé sur un compte d'épargne. Supposons qu'une personneP investisse des dollars dans un compte d'épargne avec un taux d'intérêt annuelr, composé chaque année. Le montant d'argent après 1 an est

A(1)=P+rP=P(1+r).

Le montant d'argent après des2 années est

A(2)=A(1)+rA(1)=P(1+r)+rP(1+r)=P(1+r)2.

Plus généralement, le montant après dest années est

A(t)=P(1+r)t.

Si l'argent est composé 2 fois par an, le montant d'argent après six mois est

A(12)=P+(r2)P=P(1+(r2)).

Le montant d'argent après1 année est

A(1)=A(12)+(r2)A(12)=P(1+r2)+r2((P(1+r2))=P(1+r2)2.

Après dest années, le montant d'argent sur le compte est

A(t)=P(1+r2)2t.

Plus généralement, si l'argent est composén plusieurs fois par an, le montant d'argent sur le compte après dest années est donné par la fonction

A(t)=P(1+rn)nt.

Que se passe-t-il alors quen? Pour répondre à cette question, nous laissonsm=n/r et écrivons

(1+rn)nt=(1+1m)mrt,

et examinez le comportement de(1+1/m)m asm à l'aide d'une table de valeurs (Table1.5.3).

Tableau1.5.3 : Valeurs de(1+1m)m asm
m 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
(1+1m)m 2,5937 2,7048 2.71692 2.71815 2.718 268 2.718 280

En regardant ce tableau, il semble qu'il(1+1/m)m se rapproche d'un nombre compris entre2.7 et2.8 asm. En(1+1/m)m fait, s'approche d'un certain nombre commem. C'est ce numéro que nous appelonse. Jusqu'à six décimales de précision,

e2.718282.

Léonhard Euler

La lettree a été utilisée pour la première fois pour représenter ce nombre par le mathématicien suisse Leonhard Euler dans les années 1720. Bien qu'Euler n'ait pas découvert le nombre, il a montré de nombreux liens importants entre les fonctions logarithmiquese et les fonctions logarithmiques. Nous utilisons encore la notatione aujourd'hui pour honorer le travail d'Euler, car elle apparaît dans de nombreux domaines des mathématiques et parce que nous pouvons l'utiliser dans de nombreuses applications pratiques.

Pour en revenir à notre exemple de compte d'épargne, nous pouvons conclure que si une personne place desP dollars dans un compte à un taux d'intérêt annuelr, composé de façon continue, alorsA(t)=Pert. Cette fonction peut vous être familière. Comme les fonctions impliquant une basee apparaissent souvent dans les applications, nousf(x)=ex les appelons fonction exponentielle naturelle. Non seulement cette fonction est intéressante en raison de la définition du nombree, mais aussi, comme nous le verrons plus loin, son graphe possède une propriété importante.

Depuise>1, nous savons que celaf(x)=ex ne cesse de croître(,). Dans la figure1.5.3, nous montrons un graphiquef(x)=ex avec une ligne tangente au graphe def atx=0. Nous donnons une définition précise de la tangente dans le chapitre suivant ; mais, de manière informelle, nous disons qu'une droite tangente à un graphe def atx=a est une droite qui passe par le point(a,f(a)) et a la même « pente » qu'fà ce point. La fonctionf(x)=ex est la seule fonction exponentiellebx avec une ligne tangente àx=0 qui a une pente de1. Comme nous le verrons plus loin dans le texte, avoir cette propriété fait de la fonction exponentielle naturelle la fonction exponentielle la plus simple à utiliser dans de nombreux cas.

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 3 et l'axe y va de 0 à 4. Le graphique représente la fonction « f (x) = e à la puissance de x », une fonction courbe croissante qui commence légèrement au-dessus de l'axe des x. L'intersection y se trouve au point (0, 1). À ce stade, une ligne tangente à la fonction est tracée. Cette ligne porte l'étiquette « pente = 1 ».
Figure1.5.3 : Le graphique def(x)=ex possède une tangente avec une pente1 àx=0.
Exemple1.5.3: Compounding Interest

Supposons qu'$500il soit investi dans un compte à un taux d'intérêt annuel der=5.5%, composé en continu.

  1. tSoit le nombre d'années suivant l'investissement initial etA(t) le montant d'argent sur le compte à ce momentt. Trouvez une formule pourA(t).
  2. Trouvez le montant d'argent sur le compte après des10 années et après des20 années.

Solution

a. Si desP dollars sont investis dans un compte à un taux d'intérêt annuelr, composé de façon continue, alorsA(t)=Pert. IciP=$500 etr=0.055. Par conséquent,A(t)=500e0.055t.

b. Après des10 années, le montant d'argent sur le compte est

A(10)=500e0.05510=500e0.55$866.63.

Après des20 années, le montant d'argent sur le compte est

A(20)=500e0.05520=500e1.1$1,502.08.

Exercice1.5.3

Si vous êtes$750 investi dans un compte à un taux d'intérêt annuel de4%, composé en continu, trouvez une formule pour le montant d'argent sur le compte après dest années. Trouvez le montant d'argent après des30 années.

Allusion

A(t)=Pert

Réponse

A(t)=750e0.04t. Après des30 années, il y aura environ$2,490.09.

Fonctions logarithmiques

En utilisant notre compréhension des fonctions exponentielles, nous pouvons discuter de leurs inverses, qui sont les fonctions logarithmiques. Ils sont utiles lorsque nous devons prendre en compte tout phénomène qui varie sur une large gamme de valeurs, comme l'échelle du pH en chimie ou les décibels dans les niveaux sonores.

La fonction exponentiellef(x)=bx est univoque, avec domaine(,) et plage(0,). Elle possède donc une fonction inverse, appelée fonction logarithmique avec baseb. Pour toutb>0,b1, la fonction logarithmique avec baseb, notéelogb, possède un domaine(0,) et une plage(,), et satisfait

logb(x)=y

si et seulement siby=x.

Par exemple,

log2(8)=3

depuis23=8,

log10(1100)=2

depuis102=1102=1100,

logb(1)=0

depuisb0=1 pour n'importe quelle baseb>0.

De plus, étant donné quey=logb(x) ety=bx sont des fonctions inverses,

logb(bx)=x

et

blogb(x)=x.

La fonction logarithmique la plus couramment utilisée est la fonctionloge. Comme cette fonction utilisee le naturel comme base, elle est appelée logarithme naturel. Ici, nous utilisons la notationln(x) oulnx pour signifierloge(x). Par exemple,

ln(e)=loge(e)=1ln(e3)=loge(e3)=3ln(1)=loge(1)=0.

Étant donné que les fonctionsf(x)=ex etg(x)=ln(x) sont inversées,

ln(ex)=xetelnx=x,

et leurs graphes sont symétriques par rapport à la ligney=x (Figure1.5.4).

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 3 et l'axe y va de -3 à 4. Le graphique comporte deux fonctions. La première fonction est « f (x) = e à la puissance de x », une fonction courbe croissante qui commence légèrement au-dessus de l'axe x. L'intersection y se trouve au point (0, 1) et il n'y a pas d'intersection X. La deuxième fonction est « f (x) = ln (x) », une fonction courbe croissante. L'intersection x se trouve au point (1, 0) et il n'y a pas d'intersection y. Une ligne pointillée portant l'étiquette « y = x » est également tracée sur le graphique, pour montrer que les fonctions sont des images miroir sur cette ligne.
Figure1.5.4 : Les fonctionsy=ex ety=ln(x) étant inversées, leurs graphes sont symétriques par rapport à la droitey=x.

En général, quelle que soit la baseb>0b1, la fonctiong(x)=logb(x) est symétrique par rapport à la ligney=x avec la fonctionf(x)=bx. En utilisant ce fait et les graphes des fonctions exponentielles, nous tracons des fonctionslogb pour plusieurs valeurs deb>1 (Figure1.5.5).

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 3 et l'axe y va de 0 à 4. Le graphique comporte trois fonctions. Les trois fonctions sont des fonctions logarithmiques qui augmentent les fonctions courbes qui commencent légèrement à droite de l'axe y et ont une intersection x à (1, 0). La première fonction est « y = log base 10 (x) », la deuxième fonction est « f (x) = ln (x) » et la troisième fonction est « y = log base 2 (x) ». La troisième fonction augmente le plus rapidement, la deuxième fonction augmente ensuite le plus rapidement et la troisième fonction augmente le plus lentement.
Figure1.5.5 : Les graphiques dey=logb(x) sont représentés pourb=2,e,10.

Avant de résoudre certaines équations impliquant des fonctions exponentielles et logarithmiques, passons en revue les propriétés de base des logarithmes.

Propriétés des logarithmes

Sia,b,c>0,b1 etr est un nombre réel, alors

  • Propriété du produit

logb(ac)=logb(a)+logb(c)

  • Propriété du quotient

logb(ac)=logb(a)logb(c)

  • Propriété énergétique

logb(ar)=rlogb(a)

Exemple1.5.4: Solving Equations Involving Exponential Functions

Résolvez chacune des équations suivantes pourx.

  1. 5x=2
  2. ex+6ex=5

Solution

a. En appliquant la fonction du logarithme naturel aux deux côtés de l'équation, nous avons

ln5x=ln2.

En utilisant la propriété de puissance des logarithmes,

xln5=ln2.

Par conséquent,

x=ln2ln5.

b. En multipliant les deux côtés de l'équation parex, nous arrivons à l'équation

e2x+6=5ex.

Réécrire cette équation comme

e2x5ex+6=0,

nous pouvons ensuite la réécrire sous forme d'équation quadratique dansex :

(ex)25(ex)+6=0.

Nous pouvons maintenant résoudre l'équation quadratique. En factorisant cette équation, nous obtenons

(ex3)(ex2)=0.

Par conséquent, les solutions répondent àex=3 etex=2. Le logarithme naturel des deux côtés nous donne les solutionsx=ln3,ln2.

Exercice1.5.4

Résoudre

e2x/(3+e2x)=1/2.

Allusion

Résolvez d'abord l'équation poure2x

Réponse

x=ln32.

Exemple1.5.5: Solving Equations Involving Logarithmic Functions

Résolvez chacune des équations suivantes pourx.

  1. ln(1x)=4
  2. log10x+log10x=2
  3. ln(2x)3ln(x2)=0

Solution

a. Selon la définition de la fonction logarithmique naturelle,

ln(1x)=4

  • si et seulement sie4=1x.

Par conséquent, la solution estx=1/e4.

b. À l'aide des propriétés de produit (équation \ ref {productprop}) et de puissance (équation \ ref {powerprop}) des fonctions logarithmiques, réécrivez le côté gauche de l'équation comme

log10x+log10x=log10xx=log10x3/2=32log10x.

Par conséquent, l'équation peut être réécrite comme

32log10x=2

ou

log10x=43.

La solution estx=104/3=10310.

c. En utilisant la propriété de puissance (équation \ ref {powerprop}) des fonctions logarithmiques, nous pouvons réécrire l'équation comme suitln(2x)ln(x6)=0 :

En utilisant la propriété du quotient (Equation \ ref {quotientprop}), cela devient

ln(2x5)=0

Donc2/x5=1, ce qui impliquex=52. Nous devons ensuite vérifier la présence de toute solution superflue.

Exercice1.5.5

Résoudreln(x3)4ln(x)=1.

Allusion

Utilisez d'abord la propriété power, puis la propriété de produit des logarithmes.

Réponse

x=1e

Lorsque vous évaluez une fonction logarithmique à l'aide d'une calculatrice, vous avez peut-être remarqué que les seules options sontlog10 oulog, appelé logarithme communln, ou, qui est le logarithme naturel. Cependant, les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques peuvent être exprimées en termes de n'importe quelle base souhaitéeb. Si vous devez utiliser une calculatrice pour évaluer une expression avec une base différente, vous pouvez d'abord appliquer les formules de changement de base. En utilisant ce changement de base, nous écrivons généralement une fonction exponentielle ou logarithmique donnée en termes de fonctions exponentielle naturelle et logarithmique naturelle.

Règle : Formules de changement de base

Laisseza>0,b>0, eta1,b1.

1. ax=bxlogbapour n'importe quel nombre réelx.

Sib=e, cette équation se réduit àax=exlogea=exlna.

2. logax=logbxlogbapour n'importe quel nombre réelx>0.

Sib=e, cette équation se réduit àlogax=lnxlna.

Une preuve

Pour la première formule de changement de base, nous commençons par utiliser la propriété de puissance des fonctions logarithmiques. Nous le savons pour toutes les basesb>0,b1,logb(ax)=xlogba. Par conséquent,

blogb(ax)=bxlogba.

De plus, nous le savonsbx et nous sommeslogb(x) des fonctions inverses. Par conséquent,

blogb(ax)=ax.

En combinant ces deux dernières égalités, nous en arrivons à la conclusion suivanteax=bxlogba.

Pour prouver la deuxième propriété, nous montrons que

(logba)(logax)=logbx.

Laissezu=logba,v=logax, etw=logbx. Nous allons le montreruv=w. Par la définition des fonctions logarithmiques, nous savons quebu=a,av=x, etbw=x. D'après les équations précédentes, nous voyons que

buv=(bu)v=av=x=bw.

Par conséquent,buv=bw. Puisque les fonctions exponentielles sont univoques, nous pouvons en conclure queuv=w.

Exemple1.5.6: Changing Bases

Utilisez un utilitaire de calcul pour effectuer une évaluationlog37 à l'aide de la formule de changement de base présentée précédemment.

Solution

Utilisez la deuxième équation aveca=3 etb=e :log37=ln7ln31.77124.

Exercice1.5.6

Utilisez la formule de changement de base et un utilitaire de calcul pour évaluerlog46.

Allusion

Utilisez le changement de base pour réécrire cette expression en termes d'expressions impliquant la fonction logarithme naturel.

Réponse

log46=ln6ln41.29248

Exemple1.5.7: The Richter Scale for Earthquakes

En 1935, Charles Richter a développé une échelle (aujourd'hui connue sous le nom d'échelle de Richter) pour mesurer l'ampleur d'un tremblement de terre. L'échelle est une échelle logarithmique de base 10, et elle peut être décrite comme suit : considérez un tremblement de terre de magnitudeR1 sur l'échelle de Richter et un second tremblement de terre de magnitudeR2 sur l'échelle de Richter. SupposonsR1>R2, ce qui signifie que le tremblement de terre de magnitudeR1 est plus fort, mais combien est-il plus fort que l'autre tremblement de terre ?

Photographie d'une faille sismique.
Figure1.5.6 : (source : modification de l'œuvre de Robb Hannawacker, NPS)

Un moyen de mesurer l'intensité d'un tremblement de terre consiste à utiliser un sismographe pour mesurer l'amplitude des ondes sismiques. SiA1 est l'amplitude mesurée pour le premier séisme etA2 l'amplitude mesurée pour le second séisme, alors les amplitudes et les magnitudes des deux séismes répondent à l'équation suivante :

R1R2=log10(A1A2).

Prenons l'exemple d'un tremblement de terre de 8 sur l'échelle de Richter et d'un tremblement de terre de 7 sur l'échelle de Richter. Ensuite,

87=log10(A1A2).

Par conséquent,

log10(A1A2)=1,

ce qui impliqueA1/A2=10 ouA1=10A2. CommeA1 c'est 10 fois la taille deA2, nous disons que le premier tremblement de terre est 10 fois plus intense que le second. En revanche, si un séisme mesure 8 sur l'échelle de Richter et qu'un autre mesure 6, alors l'intensité relative des deux séismes satisfait à l'équation

log10(A1A2)=86=2.

Par conséquentA1=100A2, le premier tremblement de terre est 100 fois plus intense que le second.

Comment pouvons-nous utiliser des fonctions logarithmiques pour comparer la gravité relative du séisme de magnitude 9 survenu au Japon en 2011 avec le séisme de magnitude 7,3 survenu en Haïti en 2010 ?

Solution

Pour comparer les tremblements de terre au Japon et en Haïti, nous pouvons utiliser une équation présentée précédemment :

97.3=log10(A1A2).

Par conséquentA1/A2=101.7, et nous concluons que le tremblement de terre au Japon a été environ 50 fois plus intense que le tremblement de terre en Haïti.

Exercice1.5.7

Comparez la gravité relative d'un séisme de8.4 magnitude à celle d'un séisme de7.4 magnitude.

Allusion

R1R2=log10(A1/A2).

Réponse

Le séisme de8.4 magnitude est à peu près10 deux fois plus grave que le séisme de7.4 magnitude.

Fonctions hyperboliques

Les fonctions hyperboliques sont définies en fonction de certaines combinaisons deex etex. Ces fonctions apparaissent naturellement dans diverses applications d'ingénierie et de physique, notamment l'étude des vagues d'eau et des vibrations des membranes élastiques. Une autre utilisation courante d'une fonction hyperbolique est la représentation d'une chaîne ou d'un câble suspendu, également connu sous le nom de caténaire (Figure1.5.7). Si nous introduisons un système de coordonnées de telle sorte que le point bas de la chaîne se trouve le long de l'yaxe, nous pouvons décrire la hauteur de la chaîne en termes de fonction hyperbolique. Nous définissons d'abord les fonctions hyperboliques.

Photographie d'une toile d'araignée collectant des gouttes de rosée.
Figure : La1.5.7 forme d'un fil de soie dans une toile d'araignée peut être décrite en termes de fonction hyperbolique. La même forme s'applique à une chaîne ou à un câble suspendu à deux supports avec uniquement son propre poids. (crédit : « Mtpaley », Wikimedia Commons)
Définitions : fonctions hyperboliques

Cosinus hyperbolique

coshx=ex+ex2

Sinus hyperbolique

sinhx=exex2

Tangente hyperbolique

tanhx=sinhxcoshx=exexex+ex

Cosécant hyperbolique

cschx=1sinhx=2exex

Sécante hyperbolique

sechx=1coshx=2ex+ex

Cotangente hyperbolique

cothx=coshxsinhx=ex+exexex

Le nomcosh rime avec « bon sang », alors que le nomsinh se prononce « cinch ». Tanh,sech,csch,etcoth se prononcent respectivement « tanch », « seech », « coseech » et « cotanch ».

En utilisant la définitioncosh(x) et les principes de la physique, il peut être démontré que la hauteur d'une chaîne suspendue, telle que celle de la figure1.5.8, peut être décrite par la fonctionh(x)=acosh(x/a)+c pour certaines constantesa etc.

Mais pourquoi ces fonctions sont-elles appelées fonctions hyperboliques ? Pour répondre à cette question, considérez la quantitécosh2tsinh2t. En utilisant la définition decosh etsinh, nous voyons que

cosh2tsinh2t=e2t+2+e2t4e2t2+e2t4=1.

Cette identité est l'analogue de l'identité trigonométriquecos2t+sin2t=1. Ici, étant donné une valeurt, le point(x,y)=(cosht,sinht) se trouve sur l'hyperbole unitairex2y2=1 (Figure1.5.8).

Image d'un graphique. L'axe x va de -1 à 3 et l'axe y va de -3 à 3. Le graphique est basé sur la relation « (x au carré) - (y au carré) -1 ». Le point le plus à gauche de la relation se trouve à l'intersection x, qui se trouve au point (1, 0). À partir de ce point, la relation augmente et diminue dans les courbes à mesure que x augmente. Cette relation est connue sous le nom d'hyperbole et ressemble à une forme en « U » latérale. Un point est tracé sur le graphique de la relation intitulée « (cosh (1), sinh (1)) », qui se trouve au point approximatif (1,5, 1,2).
Figure1.5.8 : L'hyperbole unitairecosh2tsinh2t=1.

Graphiques des fonctions hyperboliques

Pour représentercoshx graphiquement etsinhx, nous utilisons le fait que les deux fonctions s'approchent(1/2)ex commex, puisqueex0 commex. Commex,coshx des approches1/2ex, alors quesinhx des approches1/2ex. Par conséquent, en utilisant les graphes de1/2ex,1/2ex, et1/2ex comme guides, nous graphionscoshx etsinhx. Pour représentertanhx graphiquement, nous utilisons le fait quetanh(0)=0,1<tanh(x)<1 pour tousx, autanhx1tanhx1 furx et à mesurex. Les graphes des trois autres fonctions hyperboliques peuvent être esquissés à l'aide des graphes decoshxsinhx, ettanhx (Figure1.5.9).

Une image de six graphiques. Chaque graphique possède un axe x qui va de -3 à 3 et un axe y qui va de -4 à 4. Le premier graphique représente la fonction « y = cosh (x) », qui est une hyperbole. La fonction diminue jusqu'à atteindre le point (0, 1), où elle commence à augmenter. Deux fonctions servent également de limite à cette fonction. La première de ces fonctions est « y = (1/2) (e à la puissance de -x) », une fonction courbe décroissante et la seconde est « y = (1/2) (e à la puissance de x) », une fonction courbe croissante. La fonction « y = cosh (x) » est toujours au-dessus de ces deux fonctions sans jamais les toucher. Le deuxième graphique représente la fonction « y = sinh (x) », qui est une fonction courbe croissante. Deux fonctions servent également de limite à cette fonction. La première de ces fonctions est « y = (1/2) (e à la puissance de x) », une fonction courbe croissante et la seconde est « y = - (1/2) (e à la puissance de -x) », une fonction courbe croissante qui se rapproche de l'axe x sans le toucher. La fonction « y = sinh (x) » se trouve toujours entre ces deux fonctions sans jamais les toucher. Le troisième graphe représente la fonction « y = sech (x) », qui augmente jusqu'au point (0, 1), où elle commence à diminuer. Le graphique de la fonction présente une bosse. Le quatrième graphe représente la fonction « y = csch (x) ». Sur le côté gauche de l'axe y, la fonction commence légèrement en dessous de l'axe x et diminue jusqu'à ce qu'elle s'approche de l'axe y, qu'elle ne touche jamais. Sur le côté droit de l'axe y, la fonction commence légèrement à droite de l'axe y et diminue jusqu'à ce qu'elle s'approche de l'axe x, qu'elle ne touche jamais. Le cinquième graphique représente la fonction « y = tanh (x) », une fonction courbe croissante. Deux fonctions servent également de limite à cette fonction. La première de ces fonctions est « y = 1 », une fonction de ligne horizontale et la seconde de ces fonctions est « y = -1 », une autre fonction de ligne horizontale. La fonction « y = tanh (x) » se trouve toujours entre ces deux fonctions sans jamais les toucher. Le sixième graphe représente la fonction « y = coth (x) ». Sur le côté gauche de l'axe y, la fonction commence légèrement en dessous de la ligne de démarcation « y = 1 » et diminue jusqu'à ce qu'elle s'approche de l'axe y, qu'elle ne touche jamais. Sur le côté droit de l'axe y, la fonction commence légèrement à droite de l'axe y et diminue jusqu'à ce qu'elle s'approche de la limite « y = -1 », qu'elle ne touche jamais.
Figure1.5.9 : Les fonctions hyperboliques impliquent des combinaisons deex etex.

Identités impliquant des fonctions hyperboliques

L'identitécosh2tsinh2t=1, illustrée dans la figure1.5.8, est l'une des nombreuses identités impliquant les fonctions hyperboliques, dont certaines sont répertoriées ci-dessous. Les quatre premières propriétés découlent facilement des définitions du sinus hyperbolique et du cosinus hyperbolique. À l'exception de certaines différences de signes, la plupart de ces propriétés sont analogues aux identités des fonctions trigonométriques.

Identités impliquant des fonctions hyperboliques
  1. cosh(x)=coshx
  2. sinh(x)=sinhx
  3. coshx+sinhx=ex
  4. coshxsinhx=ex
  5. cosh2xsinh2x=1
  6. 1tanh2x=sech2x
  7. coth2x1=csch2x
  8. sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy
  9. cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy
Exemple1.5.8: Evaluating Hyperbolic Functions
  1. Simplifiezsinh(5lnx).
  2. Sisinhx=3/4, trouvez les valeurs des cinq fonctions hyperboliques restantes.

Solution :

a. En utilisant la définition de lasinh fonction, nous écrivons

sinh(5lnx)=e5lnxe5lnx2=eln(x5)eln(x5)2=x5x52.

b. En utilisant l'identitécosh2xsinh2x=1, on constate que

cosh2x=1+(34)2=2516.

Carcoshx1 pour tousx, il le fautcoshx=5/4. Ensuite, en utilisant les définitions des autres fonctions hyperboliques, nous concluons quetanhx=3/5,cschx=4/3,sechx=4/5, etcothx=5/3.

Exercice1.5.8

Simplifiezcosh(2lnx).

Allusion

Utilisez la définition de lacosh fonction et la propriété de puissance des fonctions logarithmiques.

Réponse

(x2+x2)/2

Fonctions hyperboliques inverses

À partir des graphes des fonctions hyperboliques, nous voyons qu'elles sont toutes un-à-une saufcoshx etsechx. Si nous limitons les domaines de ces deux fonctions à l'intervalle[0,),, alors toutes les fonctions hyperboliques sont univoques et nous pouvons définir les fonctions hyperboliques inverses. Comme les fonctions hyperboliques impliquent elles-mêmes des fonctions exponentielles, les fonctions hyperboliques inverses impliquent des fonctions logarithmiques.

Définitions : Fonctions hyperboliques inverses

\ [\ begin {align*} & \ sinh^ {−1} x = \ operatorname {arcsinh} x= \ ln \ left (x+ \ sqrt {x^2+1} \ right) & & \ cosh^ {−1} x = \ operatorname {arccosh} x= \ ln \ left (x+ \ sqrt {x^2−1} \ right) \ [4 points]
& \ tanh^ {−1} x= \ operatorname {arctanh} x= \ dfrac {1} {2} \ ln \ left (\ dfrac {1+x} {1−x} \ right) & \ coth^ {−1} x = \ operatorname {arccot} x= \ frac {1} {2} \ ln \ left (\ dfrac {x+1} {x−1} \ right) \ \ [4pt]
& \ operatorname {sech} ^ {−1} x= \ operatorname {arcsech} x= \ ln \ left (\ dfrac {1+ \ sqrt {1−x^2}} {x} \ right) & & \ operatorname {csch} ^ {−1} x= \ operatorname {arccsch} x= \ ln \ left (\ dfrac {1} {x} + \ dfrac {\ sqrt {1+x^2}} {|x|} \ right) \ end { aligner*} \]

Voyons comment dériver la première équation. Les autres suivent de la même manière. Supposonsy=sinh1x. Ensuite,x=sinhy et, par la définition de la fonction sinusoïdale hyperbolique,x=eyey2. Par conséquent,

ey2xey=0.

En multipliant cette équation parey, nous obtenons

e2y2xey1=0.

Cela peut être résolu comme une équation quadratique, avec la solution

ey=2x±4x2+42=x±x2+1.

Depuisey>0, la seule solution est celle avec le signe positif. En appliquant le logarithme naturel aux deux côtés de l'équation, nous concluons que

y=ln(x+x2+1).

Exemple1.5.9: Evaluating Inverse Hyperbolic Functions

Évaluez chacune des expressions suivantes.

sinh1(2)

tanh1(1/4)

Solution :

sinh1(2)=ln(2+22+1)=ln(2+5)1.4436

tanh1(1/4)=12ln(1+1/411/4)=12ln(5/43/4)=12ln(53)0.2554

Exercice1.5.9

Évaluertanh1(1/2).

Allusion

Utilisez la définition detanh1x et simplifiez.

Réponse

12ln(3)0.5493.

Concepts clés

  • La fonction exponentielley=bx augmente sib>1 et diminue si0<b<1. Son domaine est(,) et sa gamme est(0,).
  • La fonction logarithmiquey=logb(x) est l'inverse dey=bx. Son domaine est(0,) et sa gamme est(,).
  • La fonction exponentielle naturelle esty=ex et la fonction logarithmique naturelle esty=lnx=logex.
  • Étant donné une fonction exponentielle ou une fonction logarithmique en basea, nous pouvons modifier la base pour convertir cette fonction en n'importe quelle baseb>0,b1. nous la convertissons généralement en basee.
  • Les fonctions hyperboliques impliquent des combinaisons de fonctions exponentiellesex etex., par conséquent, les fonctions hyperboliques inverses impliquent le logarithme naturel.

Lexique

base
le nombreb dans la fonction exponentiellef(x)=bx et la fonction logarithmiquef(x)=logbx
exposant
la valeurx de l'expressionbx
fonctions hyperboliques
les fonctions désignéessinh,cosh,tanh,csch,sech, etcoth, qui impliquent certaines combinaisons deex etex
fonctions hyperboliques inverses
les inverses des fonctions hyperboliques oùcosh etsech sont restreints au domaine[0,) ; chacune de ces fonctions peut être exprimée en termes de composition de la fonction logarithmique naturelle et d'une fonction algébrique
fonction exponentielle naturelle
la fonctionf(x)=ex
logarithme naturel
la fonctionlnx=logex
numéro e
aum fur et à mesure qu'elle augmente, la quantité(1+(1/m)m se rapproche d'un nombre réel ; nous définissons que ce nombre réel este; la valeur dee est d'environ2.718282