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1.4 : Fonctions inverses

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Déterminez les conditions dans lesquelles une fonction possède une inverse.
  • Utilisez le test de la ligne horizontale pour savoir quand une fonction est biunivoque.
  • Détermine l'inverse d'une fonction donnée.
  • Tracez le graphe d'une fonction inverse.
  • Évaluez les fonctions trigonométriques inverses.

Une fonction inverse inverse l'opération effectuée par une fonction particulière. En d'autres termes, quoi que fasse une fonction, la fonction inverse l'annule. Dans cette section, nous définissons formellement une fonction inverse et indiquons les conditions nécessaires à l'existence d'une fonction inverse. Nous examinons comment trouver une fonction inverse et étudions la relation entre le graphe d'une fonction et le graphe de son inverse. Nous appliquons ensuite ces idées pour définir et discuter des propriétés des fonctions trigonométriques inverses.

Existence d'une fonction inverse

Nous commençons par un exemple. À partir d'une fonctionf et d'une sortiey=f(x), nous cherchons souvent à déterminer la ou les valeursy par lesquelles la ou les valeursx ont été mappéesf. Par exemple, considérez la fonctionf(x)=x3+4. Depuis toute sortiey=x3+4, nous pouvons résoudre cette équationx pour trouver que l'entrée estx=3y4. Cette équation se définitx comme une fonction dey. En désignant cette fonction commef1, et en écrivantx=f1(y)=3y4, nous voyons que pour tout ce quix se trouve dans le domaine def,f1f(x))=f1(x3+4)=x. Ainsi, cette nouvelle fonction a « annulé » ce que faisait la fonctionf d'origine.f1 Une fonction dotée de cette propriété est appelée fonction inverse de la fonction d'origine.

Définition : Fonctions inverses

Étant donné une fonctionf avec domaineD et plageR, sa fonction inverse (si elle existe) est la fonctionf1 avec domaineR et plageD telle quef1(y)=x if et only iff(x)=y. En d'autres termes, pour une fonctionf et son inversef1,

f1(f(x))=x

pour tousxD

f(f1(y))=y

pour tousyR.

Notez que celaf1 se lit comme «f inverse ». Ici, le n'1est pas utilisé comme exposant, donc

f1(x)1f(x).

La figure1.4.1 montre la relation entre le domaine et la plage def et le domaine et la plage def1.

Une image de deux bulles. La première bulle est orange et comporte deux libellés : l'étiquette supérieure est « Domaine de f » et l'étiquette inférieure est « Plage de f inverse ». Dans cette bulle se trouve la variable « x ». Une flèche orange avec l'étiquette « f » pointe de cette bulle vers la deuxième bulle. La deuxième bulle est bleue et comporte deux étiquettes : l'étiquette supérieure est « plage de f » et l'étiquette inférieure est « domaine de f inverse ». Dans cette bulle se trouve la variable « y ». Une flèche bleue portant l'étiquette « f inverse » pointe de cette bulle vers la première bulle.
Figure1.4.1 : Étant donné une fonctionf et son inversef1,f1(y)=x si et seulement sif(x)=y. La plage def devient le domaine def1 et le domaine def devient la plage def1.

Rappelez-vous qu'une fonction possède exactement une sortie pour chaque entrée. Par conséquent, pour définir une fonction inverse, nous devons mapper chaque entrée sur exactement une sortie. Par exemple, essayons de trouver la fonction inverse pourf(x)=x2. En résolvant l'équationy=x2 pourx, nous arrivons à l'équationx=±y. Cette équation ne se décrit pas en fonction dexy car il existe deux solutions à cette équation pour chacune d'entre ellesy>0. Le problème lorsque vous essayez de trouver une fonction inverse pourf(x)=x2 est que deux entrées sont envoyées à la même sortie pour chaque sortiey>0. La fonctionf(x)=x3+4 évoquée précédemment ne présentait pas ce problème. Pour cette fonction, chaque entrée était envoyée vers une sortie différente. Une fonction qui envoie chaque entrée vers une sortie différente est appelée fonction biunivoque.

Définition : fonctions individuelles

Nous disons qu'une fonctionf est une fonction biunivoque sif(x1)f(x2) quandx1x2.

L'un des moyens de déterminer si une fonction est biunivoque consiste à regarder son graphique. Si une fonction est biunivoque, aucune entrée ne peut être envoyée vers la même sortie. Par conséquent, si nous dessinons une ligne horizontale n'importe où dans lexy plan, selon le test de la ligne horizontale, elle ne peut pas intersecter le graphique plus d'une fois. Nous remarquons que le test de la ligne horizontale est différent du test de la ligne verticale. Le test de la ligne verticale permet de déterminer si un graphe est le graphe d'une fonction. Le test de la ligne horizontale permet de déterminer si une fonction est biunivoque (Figure1.4.2).

Test de ligne horizontale

Une fonctionf est biunivoque si et seulement si chaque ligne horizontale ne coupef pas plus d'une fois le graphe.

Une image de deux graphiques. Les deux graphes ont un axe x qui va de -3 à 3 et un axe y qui va de -3 à 4. Le premier graphique est celui de la fonction « f (x) = x au carré », qui est une parabole. La fonction diminue jusqu'à atteindre l'origine, où elle commence à augmenter. L'intersection x et l'intersection y sont toutes deux à l'origine. Deux lignes horizontales oranges sont également tracées sur le graphique, qui traversent toutes deux la fonction en deux points chacune. Le deuxième graphique représente la fonction « f (x) = x cubed », qui est une fonction courbe croissante. L'intersection x et l'intersection y sont toutes deux à l'origine. Trois lignes oranges sont également tracées sur le graphique, chacune d'entre elles ne croisant la fonction qu'en un point.
Figure1.4.2 : (a) La fonction n'f(x)=x2est pas biunivoque car elle échoue au test de la ligne horizontale. (b) La fonctionf(x)=x3 est biunivoque car elle passe le test de la ligne horizontale.
Exemple1.4.1: Determining Whether a Function Is One-to-One

Pour chacune des fonctions suivantes, utilisez le test de la ligne horizontale pour déterminer s'il s'agit d'une fonction biunivoque.

a)

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 11 et l'axe y va de -3 à 11. Le graphique représente une fonction d'étapes qui contient 10 étapes horizontales. Chaque étape commence par un cercle fermé et se termine par un cercle ouvert. La première étape commence à l'origine et se termine au point (1, 0). La deuxième étape commence au point (1, 1) et se termine au point (1, 2). Chacune des 8 étapes suivantes commence 1 unité plus haut dans la direction y que l'étape précédente. La dixième et dernière étape commence au point (9, 9) et se termine au point (10, 9)

b)

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 6 et l'axe y va de -3 à 6. Le graphique représente la fonction « f (x) = (1/x) », une fonction décroissante courbe. Le graphique de la fonction commence juste en dessous de l'axe x dans le 4e quadrant et commence à diminuer jusqu'à ce qu'il se rapproche de l'axe y. Le graphique continue de décroître à mesure qu'il se rapproche de plus en plus de l'axe y, mais ne le touche jamais à cause de l'asymptote verticale. Dans le premier quadrant, le graphe de la fonction commence à proximité de l'axe y et continue de décroître jusqu'à ce qu'il se rapproche de l'axe des x. Au fur et à mesure que la fonction diminue, elle se rapproche de plus en plus de l'axe x sans le toucher, où se trouve une asymptote horizontale.

Solution

a) Comme la ligne horizontaley=n d'un entiern0 coupe le graphe plus d'une fois, cette fonction n'est pas biunivoque.

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 11 et l'axe y va de -3 à 11. Le graphique représente une fonction d'étapes qui contient 10 étapes horizontales. Chaque étape commence par un cercle fermé et se termine par un cercle ouvert. La première étape commence à l'origine et se termine au point (1, 0). La deuxième étape commence au point (1, 1) et se termine au point (1, 2). Chacune des 8 étapes suivantes commence 1 unité plus haut dans la direction y que l'étape précédente. La dixième et dernière étape commence au point (9, 9) et se termine au point (10, 9). Deux lignes oranges horizontales sont également tracées sur le graphique, chacune passant par une étape complète de la fonction.

b) Comme chaque ligne horizontale coupe le graphique une seule fois (au plus), cette fonction est biunivoque.

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 6 et l'axe y va de -3 à 6. Le graphique représente la fonction « f (x) = (1/x) », une fonction décroissante courbe. Le graphique de la fonction commence juste en dessous de l'axe x dans le 4e quadrant et commence à diminuer jusqu'à ce qu'il se rapproche de l'axe y. Le graphique continue de décroître à mesure qu'il se rapproche de plus en plus de l'axe y, mais ne le touche jamais à cause de l'asymptote verticale. Dans le premier quadrant, le graphe de la fonction commence à proximité de l'axe y et continue de décroître jusqu'à ce qu'il se rapproche de l'axe des x. Au fur et à mesure que la fonction diminue, elle se rapproche de plus en plus de l'axe x sans le toucher, où se trouve une asymptote horizontale. Trois lignes oranges horizontales sont également tracées sur le graphique, chacune ne traversant la fonction qu'à un point.

Exercice1.4.1

La fonction est-ellef représentée graphiquement dans l'image suivante une à une ?

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 4 et l'axe y va de -3 à 5. Le graphique représente la fonction « f (x) = (x cubed) - x » qui est une fonction courbe. La fonction augmente, diminue, puis augmente à nouveau. Les points d'intersection x se situent aux points (-1, 0), (0,0) et (1, 0). L'intersection Y est à l'origine.

Solution

Utilisez le test de la ligne horizontale.

Réponse

Non

Trouver l'inverse d'une fonction

Nous pouvons maintenant examiner les fonctions individuelles et montrer comment trouver leurs inverses. Rappelons qu'une fonction mappe des éléments du domaine def à des éléments compris dans la plage def. La fonction inverse mappe chaque élément de la plage def retour à son élément correspondant dans le domaine def. Par conséquent, pour trouver la fonction inverse d'une fonction biunivoquef, étant donnée une valeur comprisey dans la plage def, nous devons déterminer laquellef satisfaitx dans le domaine desf(x)=y. Puisquef c'est un pour un, il existe exactement une telle valeurx. Nous pouvons trouver cette valeurx en résolvant l'équationf(x)=y dex. Ce faisant, nous pouvons écrirex en fonction de l'yendroit où le domaine de cette fonction est la plage def et où la plage de cette nouvelle fonction est le domaine def. Par conséquent, cette fonction est l'inverse def, et nous écrivonsx=f1(y). Comme nous utilisons généralement la variablex pour désigner la variable indépendante et y pour désigner la variable dépendante, nous interchangeons souvent les rôles dex et ety d'écriturey=f1(x). Représenter la fonction inverse de cette manière est également utile plus tard lorsque nous tracons une fonctionf et son inversef1 sur les mêmes axes.

Stratégie de résolution de problèmes : trouver une fonction inverse
  1. Résolvez l'équationy=f(x) pourx.
  2. Échangez les variablesxy et écrivezy=f1(x).
Exemple1.4.2: Finding an Inverse Function

Trouvez l'inverse de la fonctionf(x)=3x4. State the domain and range de la fonction inverse. Vérifiez quef1(f(x))=x.

Solution

Suivez les étapes décrites dans la stratégie.

Étape 1. Siy=3x4, alors3x=y+4 etx=13y+43.

Étape 2. Réécrivez commey=13x+43 et laissez.y=f1(x) Par conséquent,f1(x)=13x+43.

Puisque le domaine def est(,), la gamme def1 est(,). Puisque la gamme def est(,), le domaine def1 est(,).

Vous pouvez le vérifierf1(f(x))=x en écrivant

f1(f(x))=f1(3x4)=13(3x4)+43=x43+43=x.

Notez quef1(x) pour être l'inverse def(x), à la foisf1(f(x))=x etf(f1(x))=x pour tousx dans le domaine de la fonction interne.

Exercice1.4.2

Détermine l'inverse de la fonctionf(x)=3x/(x2). Indiquez le domaine et la plage de la fonction inverse.

Allusion

Utilisez la stratégie de résolution de problèmes pour trouver des fonctions inverses.

Réponse

f1(x)=2xx3. Le domaine def1 est{x|x3}. La gamme def1 est{y|y2}.

Représentation graphique de fonctions inverses

Examinons la relation entre le graphe d'une fonctionf et le graphe de son inverse. Considérez le graphique de laf figure1.4.3 et un point(a,b) sur le graphique. Depuisb=f(a), alorsf1(b)=a. Par conséquent, lorsque nous établissons un graphiquef1, le point(b,a) se trouve sur le graphique. Par conséquent, le graphe def1 est le reflet du graphe d'fenviron la ligney=x.

Une image de deux graphiques. Le premier graphique montre « y = f (x) », qui est une fonction croissante incurvée, qui augmente plus rapidement lorsque x augmente. Le point (a, b) se trouve sur le graphique de la fonction dans le premier quadrant. Le deuxième graphique représente également « y = f (x) » avec le point (a, b), mais également la fonction « y = f inverse (x) », une fonction courbe croissante, qui augmente plus lentement lorsque x augmente. Cette fonction inclut le point (b, a). En plus des deux fonctions, il existe une ligne pointillée diagonale ponctuée de l'équation « y =x », qui montre que « f (x) » et « f inverse (x) » sont des images miroir de la ligne « y =x ».
Figure1.4.3 : (a) Le graphique de cette fonctionf montre un point(a,b) sur le graphique def. (b) Comme(a,b) il se trouve sur le graphique def, le point(b,a) est sur le graphique def1. Le graphique def1 est le reflet du graphe d'fenviron la ligney=x.
Exemple1.4.3: Sketching Graphs of Inverse Functions

Pour le graphique def l'image suivante, esquissez un graphiquef1 en esquissant la ligney=x et en utilisant la symétrie. Identifiez le domaine et la gamme def1.

Image d'un graphique. L'axe x va de -2 à 2 et l'axe y va de 0 à 2. Le graphique représente la fonction « f (x) = racine carrée de (x +2) », une fonction courbe croissante. La fonction commence au point (-2, 0). L'intersection x est à (-2, 0) et l'intersection y est au point approximatif (0, 1,4).

Solution

Reflète le graphique autour de la ligney=x. Le domaine def1 est[0,). La gamme def1 est[2,). En utilisant la stratégie précédente pour trouver des fonctions inverses, nous pouvons vérifier que la fonction inverse estf1(x)=x22, comme indiqué sur le graphique.

Image d'un graphique. L'axe x va de -2 à 2 et l'axe y va de -2 à 2. Le graphique comporte deux fonctions. La première fonction est « f (x) = racine carrée de (x +2) », une fonction courbe croissante. La fonction commence au point (-2, 0). L'intersection x est à (-2, 0) et l'intersection y est au point approximatif (0, 1,4). La deuxième fonction est « f inverse (x) = (x au carré) -2 », une fonction courbe croissante qui commence au point (0, -2). L'intersection x se trouve au point approximatif (1,4, 0) et l'intersection y est au point (0, -2). En plus des deux fonctions, il existe une ligne pointillée diagonale ponctuée de l'équation « y =x », qui montre que « f (x) » et « f inverse (x) » sont des images miroir de la ligne « y =x ».

Exercice1.4.3

Esquissez le graphef(x)=2x+3 et le graphe de son inverse à l'aide de la propriété de symétrie des fonctions inverses.

Allusion

Les graphes sont symétriques par rapport à la ligney=x

Réponse

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 4 et l'axe y va de -3 à 5. Le graphique comporte deux fonctions. La première fonction est « f (x) = 2x +3 », une fonction linéaire croissante. La fonction possède une intersection x à (-1,5, 0) et une intersection y à (0, 3). La deuxième fonction est « f inverse (x) = (x - 3) /2 », une fonction linéaire croissante, qui augmente plus lentement que la première fonction. La fonction possède une intersection x à (3, 0) et une intersection y à (0, -1,5). En plus des deux fonctions, il existe une ligne pointillée diagonale ponctuée de l'équation « y =x », qui montre que « f (x) » et « f inverse (x) » sont des images miroir de la ligne « y =x ».

Limiter les domaines

Comme nous l'avons vu,f(x)=x2 n'a pas de fonction inverse car elle n'est pas biunivoque. Cependant, nous pouvons choisir un sous-ensemble du domaine def telle sorte que la fonction soit biunivoque. Ce sous-ensemble est appelé domaine restreint. En restreignant le domaine def, nous pouvons définir une nouvelle fonction deg telle sorte que le domaine deg soit le domaine restreint def etg(x)=f(x) pour tousx dans le domaine deg. Ensuite, nous pouvons définir une fonction inverse pourg ce domaine. Par exemple, commef(x)=x2 il s'agit d'un à un sur l'intervalle[0,), nous pouvons définir une nouvelle fonction deg telle sorte que le domaine deg est[0,) etg(x)=x2 pour tousx dans son domaine. Comme ilg s'agit d'une fonction biunivoque, elle a une fonction inverse, donnée par la formuleg1(x)=x. D'autre part, la fonctionf(x)=x2 est également individuelle sur le domaine(,0]. Par conséquent, nous pourrions également définir une nouvelle fonctionh telle que le domaine deh est(,0] eth(x)=x2 pour tousx dans le domaine deh. hIl s'agit alors d'une fonction biunivoque qui doit également avoir une inverse. Son inverse est donné par la formuleh1(x)=x (Figure1.4.4).

Une image de deux graphiques. Les deux graphes ont un axe x qui va de -2 à 5 et un axe y qui va de -2 à 5. Le premier graphique présente deux fonctions. La première fonction est « g (x) = x au carré », une fonction courbe croissante qui commence au point (0, 0). Cette fonction augmente plus rapidement pour les valeurs de x plus grandes. La deuxième fonction est « g inverse (x) = racine carrée de x », une fonction courbe croissante qui commence au point (0, 0). Cette fonction augmente plus lentement pour les valeurs de x. La première fonction est « h (x) = x au carré », une fonction courbe décroissante qui se termine au point (0, 0). Cette fonction diminue plus lentement pour les valeurs de x plus grandes. La deuxième fonction est « h inverse (x) = - (racine carrée de x) », une fonction courbe croissante qui commence au point (0, 0). Cette fonction diminue plus lentement pour les valeurs de x. En plus des deux fonctions, il existe une ligne pointillée diagonale ponctuée de l'équation « y =x », qui montre que « f (x) » et « f inverse (x) » sont des images miroir de la ligne « y =x ».
Figure1.4.4 : (a) Pourg(x)=x2 limité à[0,),g1(x)=x. (b) Pourh(x)=x2 limité à(,0],h1(x)=x.
Exemple1.4.4: Restricting the Domain

Réfléchissez à la fonctionf(x)=(x+1)2.

  1. Esquissez le graphiquef et utilisez le test de la ligne horizontale pour montrer qu'il nef s'agit pas d'un à un.
  2. Afficher quef c'est un à un sur le domaine restreint[1,). Déterminez le domaine et la plage pour l'inverse def sur ce domaine restreint et trouvez une formule pourf1.

Solution

a) Le graphique def est le graphique de l'1unité gauchey=x2 décalée. Comme il existe une ligne horizontale coupant le graphique plus d'une fois, elle n'fest pas biunivoque.

Image d'un graphique. L'axe x va de -6 à 6 et l'axe y va de -2 à 10. Le graphique représente la fonction « f (x) = (x+1) au carré », qui est une parabole. La fonction diminue jusqu'au point (-1, 0) où elle commence, elle augmente. L'intersection x est au point (-1, 0) et l'intersection y est au point (0, 1). Une ligne pointillée horizontale est également tracée sur le graphique, qui traverse la fonction en deux points.

b) L'intervalle[1,),f est un pour un.

Image d'un graphique. L'axe x va de -6 à 6 et l'axe y va de -2 à 10. Le graphique représente la fonction « f (x) = (x+ 1) au carré », sur l'intervalle [1, infini). La fonction commence à partir du point (-1, 0) et augmente. L'intersection x est au point (-1, 0) et l'intersection y est au point (0, 1).

Le domaine et la plage def1 sont donnés par la plage et le domaine def, respectivement. Par conséquent, le domaine def1 est[0,) et la gamme def1 est[1,). Pour trouver une formule pourf1, résolvez l'équationy=(x+1)2 dex. Ify=(x+1)2, alorsx=1±y. Puisque nous limitons le domaine à l'intervalle où nousx1 en avons besoin±y0. Par conséquent,x=1+y. En échangeantx ety, nous écrivonsy=1+x et concluons quef1(x)=1+x.

Exercice1.4.4

Envisagez de vousf(x)=1/x2 limiter au domaine(,0). Vérifiez qu'ilf s'agit d'une réponse individuelle sur ce domaine. Déterminez le domaine et la plage de l'inverse def et trouvez une formule pourf1.

Allusion

Le domaine et la plage def1 sont donnés par la plage et le domaine def, respectivement. Pour trouverf1, résoudrey=1/x2 pourx.

Réponse

Le domaine def1 est(0,). La gamme def1 est(,0). La fonction inverse est donnée par la formulef1(x)=1/x.

Fonctions trigonométriques inverses

Les six fonctions trigonométriques de base sont périodiques et ne sont donc pas univoques. Cependant, si nous limitons le domaine d'une fonction trigonométrique à un intervalle où elle est biunivoque, nous pouvons définir son inverse. Considérez la fonction sinusoïdale. La fonction sinus est biunivoque sur un nombre infini d'intervalles, mais la convention standard est de limiter le domaine à l'intervalle[π2,π2]. Ce faisant, nous définissons la fonction sinusoïdale inverse sur le domaine de[1,1] telle sorte que pour n'importe quelx angle de l'intervalle[1,1], la fonction sinusoïdale inverse nous indique quel angleθ de l'intervalle[π2,π2] satisfaitsinθ=x. De même, nous pouvons restreindre les domaines des autres fonctions trigonométriques pour définir des fonctions trigonométriques inverses, qui sont des fonctions qui nous indiquent quel angle dans un certain intervalle possède une valeur trigonométrique spécifiée.

Définition : fonctions trigonométriques inverses

La fonction sinusoïdale inverse, notéesin1 ouarcsin, et la fonction cosinus inverse, notéecos1 ouarccos, sont définies sur le domaineD={x|1x1} comme suit :

sin1(x)=y

  • si et seulement si et seulement sisin(y)=x etπ2yπ2 ;

cos1(x)=y

  • si et seulement sicos(y)=x et0yπ.

La fonction tangente inverse, notéetan1 ouarctan, et la fonction cotangente inverse, notéecot1 ouarccot, sont définies sur le domaineD={x|<x<} comme suit :

tan1(x)=y

  • si et seulement si et seulement sitan(y)=x etπ2<y<π2 ;

cot1(x)=y

  • si et seulement sicot(y)=x et0<y<π.

La fonction cosécante inverse, notéecsc1 ouarccsc, et la fonction sécante inverse, notéesec1 ouarcsec, sont définies dans le domaineD={x||x|1} comme suit :

csc1(x)=y

  • si et seulement si et seulement sicsc(y)=x etπ2yπ2,y0 ;

sec1(x)=y

  • si et seulement sisec(y)=x et0yπ,yπ/2.

Pour représenter graphiquement les fonctions trigonométriques inverses, nous utilisons les graphes des fonctions trigonométriques restreints aux domaines définis précédemment et reflétons les graphes concernant la ligney=x (Figure1.4.5).

Une image de six graphiques. Le premier graphique représente la fonction « f (x) = sin inverse (x) », qui est une fonction de courbe croissante. La fonction commence au point (-1, - (pi/2)) et augmente jusqu'à se terminer au point (1, (pi/2)). L'intersection x et l'intersection y sont à l'origine. Le deuxième graphique représente la fonction « f (x) = cos inverse (x) », qui est une fonction courbe décroissante. La fonction commence au point (-1, pi) et diminue jusqu'à se terminer au point (1, 0). L'intersection x se trouve au point (1, 0). L'intersection y se trouve au point (0, (pi/2)). Le troisième graphe représente la fonction « f (x) = tan inverse (x) », qui est une fonction de courbe croissante. La fonction commence à proximité de la ligne horizontale « y = - (pi/2) » et augmente jusqu'à ce qu'elle se rapproche de « y = (pi/2) ». La fonction ne croise jamais aucune de ces lignes, elle reste toujours entre elles : ce sont des asymptotes horizontales. L'intersection x et l'intersection y sont toutes deux à l'origine. Le quatrième graphique représente la fonction « f (x) = cot inverse (x) », qui est une fonction courbe décroissante. La fonction commence légèrement en dessous de la ligne horizontale « y = pi » et diminue jusqu'à ce qu'elle se rapproche de l'axe x. La fonction ne croise jamais aucune de ces lignes, elle reste toujours entre elles : ce sont des asymptotes horizontales. Le cinquième graphique représente la fonction « f (x) = csc inverse (x) », une fonction courbe décroissante. La fonction commence légèrement en dessous de l'axe x, puis diminue jusqu'à atteindre un point circulaire fermé à (-1, - (pi/2)). La fonction reprend ensuite au point (1, (pi/2)), où elle commence à diminuer et à s'approcher de l'axe x, sans jamais toucher l'axe des x. Il y a une asymptote horizontale sur l'axe X. Le sixième graphe représente la fonction « f (x) = sec inverse (x) », une fonction courbe croissante. La fonction commence légèrement au-dessus de la ligne horizontale « y = (pi/2) », puis augmente jusqu'à atteindre un point circulaire fermé à (-1, pi). La fonction reprend ensuite au point (1, 0) où elle commence à augmenter et s'approche de la ligne horizontale « y = (pi/2) », sans jamais toucher la ligne. Il existe une asymptote horizontale au niveau de « y = (pi/2) ».
Figure1.4.5 : Le graphique de chacune des fonctions trigonométriques inverses est une réflexion sur la droitey=x de la fonction trigonométrique restreinte correspondante.

Lors de l'évaluation d'une fonction trigonométrique inverse, la sortie est un angle. Par exemple, pour évaluercos1(12), nous devons trouver un angleθ tel quecosθ=12. De toute évidence, de nombreux angles possèdent cette propriété. Cependant, étant donné la définition decos1, nous avons besoin de l'angleθ qui non seulement résout cette équation, mais se situe également dans l'intervalle[0,π]. Nous en concluons quecos1(12)=π3.

Nous examinons maintenant la composition d'une fonction trigonométrique et son inverse. Par exemple, considérez les deux expressionssin(sin1(22)) etsin1(sin(π)).

Pour le premier, nous simplifions comme suit :

sin(sin1(22))=sin(π4)=22.

Pour le second, nous avons

sin1(sin(π))=sin1(0)=0.

La fonction inverse est censée « annuler » la fonction d'origine, alors pourquoi ne passin1(sin(π))=π?, si l'on se souvient de notre définition des fonctions inverses, une fonctionf et son inversef1 remplissent les conditionsf(f1(y))=y pour tousy dans le domaine def1 etf1(f(x))=x pour tousx le domaine def, alors que s'est-il passé ici ? Le problème est que la fonction sinusoïdale inversesin1, est l'inverse de la fonction sinusoïdale restreinte définie sur le domaine[π2,π2]. Par conséquent, carx dans l'intervalle[π2,π2], il est vrai quesin1(sinx)=x. Toutefois, pour les valeursx situées en dehors de cet intervalle, l'équation ne tient pas, même si ellesin1(sinx) est définie pour tous les nombres réelsx.

Qu'ensin(sin1y)? est-il de cela a un problème similaire ? La réponse est non. Puisque le domaine desin1 est l'intervalle[1,1], nous concluons quesin(sin1y)=y si1y1 et l'expression n'est pas définie pour les autres valeurs dey. Pour résumer,

sin(sin1y)=ysi1y1

et

sin1(sinx)=xsiπ2xπ2.

De même, pour la fonction cosinus,

cos(cos1y)=ysi1y1

et

cos1(cosx)=xsi0xπ.

Des propriétés similaires s'appliquent aux autres fonctions trigonométriques f et à leurs inverses.

Exemple1.4.5: Evaluating Expressions Involving Inverse Trigonometric Functions

Évaluez chacune des expressions suivantes.

  1. sin1(32)
  2. tan(tan1(13))
  3. cos1(cos(5π4))
  4. sin1(cos(2π3))

Solution

  1. L'évaluationsin1(3/2) équivaut à trouver l'angleθ tel quesinθ=3/2 etπ/2θπ/2. L'angleθ=π/3 répond à ces deux conditions. Par conséquent,sin1(3/2)=π/3.
  2. Nous utilisons d'abord le fait quetan1(1/3)=π/6. Thentan(π/6)=1/3. Par conséquent,tan(tan1(1/3))=1/3.
  3. Pour évaluercos1(cos(5π/4)), utilisez d'abord le fait quecos(5π/4)=2/2. Ensuite, nous devons trouver l'angleθ tel quecos(θ)=2/2 et0θπ. Puisque3π/4 répond à ces deux conditions, nous avonscos1(cos(5π/4))=cos1(2/2))=3π/4.
  4. Depuiscos(2π/3)=1/2, nous devons évaluersin1(1/2). C'est-à-dire que nous devons trouver l'angleθ tel quesin(θ)=1/2 etπ/2θπ/2. Étant donnéπ/6 que ces deux conditions sont réunies, nous pouvons en conclure quesin1(cos(2π/3))=sin1(1/2)=π/6.
La valeur maximale d'une fonction

Dans de nombreux domaines des sciences, de l'ingénierie et des mathématiques, il est utile de connaître la valeur maximale qu'une fonction peut obtenir, même si nous ne connaissons pas sa valeur exacte à un instant donné. Par exemple, si nous avons une fonction décrivant la résistance d'une poutre de toit, nous aimerions connaître le poids maximum que la poutre peut supporter sans se casser. Si nous avons une fonction qui décrit la vitesse d'un train, nous aimerions connaître sa vitesse maximale avant qu'il ne saute des rails. La sécurité de la conception dépend souvent de la connaissance des valeurs maximales.

Ce projet décrit un exemple simple de fonction dont la valeur maximale dépend de deux coefficients d'équation. Nous verrons que les valeurs maximales peuvent dépendre de plusieurs facteurs autres que la variable indépendantex.

1. Examinez le graphique de la figure1.4.6 de la fonctiony=sinx+cosx. Décrivez sa forme générale. Est-ce périodique ? Comment le sais-tu ?

Image d'un graphique. L'axe x va de -4 à 4 et l'axe y va de -4 à 4. Le graphique représente la fonction « y = sin (x) + cos (x) », une fonction d'onde incurvée. Le graphique de la fonction diminue jusqu'à atteindre le point approximatif (- (3pi/4), -1,4), où il augmente jusqu'au point approximatif ((pi/4), 1,4), où il recommence à diminuer. Les points d'intersection x indiqués sur ce graphique de la fonction sont à (- (5pi/4), 0), (- (pi/4), 0) et ((3pi/4), 0). L'intersection y est à (0, 1).
Figure1.4.6 : Le graphique dey=sinx+cosx.

À l'aide d'une calculatrice graphique ou d'un autre appareil graphique, estimez lesy valeursx - et - du point maximum du graphique (le premier point de ce type oùx>0). Il peut être utile d'exprimer lax valeur -comme un multiple deπ.

2. Examinez maintenant d'autres graphes du formulairey=Asinx+Bcosx pour différentes valeurs deA etB. esquissez le graphique quandA=2B=1, et trouvez lesy valeursx - et - pour le point maximum. (N'oubliez pas d'exprimer lax valeur -sous la forme d'un multiple deπ, si possible.) Est-ce qu'il a déménagé ?

3. Répétez pourA=1,B=2. Y a-t-il un lien avec ce que vous avez trouvé dans la partie (2) ?

4. Complétez le tableau suivant en ajoutant quelques choix de votre choix pourA etB:

A B x y A B x y
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >0 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >1 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >3 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >4 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « >
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">1 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >0 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >4 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >3 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « >
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">1 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >1 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >3 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >1 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « >
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">1 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >2 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">1 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >3 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « >
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">2 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >1 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >12 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >5 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « >
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">2 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >2 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >5 \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >12 \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « >

5. Essayez de trouver la formule pour lesy valeurs.

6. La formule pour lesx valeurs -est un peu plus complexe. Les points les plus utiles du tableau sont(1,1),(1,3),(3,1). (Conseil : considérez les fonctions trigonométriques inverses.)

7. Si vous avez trouvé des formules pour les parties (5) et (6), montrez qu'elles fonctionnent ensemble. En d'autres termes, remplacez la formulex -value dans laquelle vous vousy=Asinx+Bcosx trouvez et simplifiez-la pour obtenir la formuley -value que vous avez trouvée.

Concepts clés

  • Pour qu'une fonction ait une inverse, elle doit être biunivoque. À partir du graphe d'une fonction, nous pouvons déterminer si la fonction est biunivoque en utilisant le test de la ligne horizontale.
  • Si une fonction n'est pas biunivoque, nous pouvons restreindre le domaine à un domaine plus petit où la fonction est biunivoque, puis définir l'inverse de la fonction sur le plus petit domaine.
  • Pour une fonctionf et son inversef1,f(f1(x))=x pour tousx dans le domaine def1 etf1(f(x))=x pour tousx dans le domaine def.
  • Les fonctions trigonométriques étant périodiques, nous devons restreindre leurs domaines pour définir les fonctions trigonométriques inverses.
  • Le graphe d'une fonctionf et son inversef1 sont symétriques par rapport à la droitey=x.

Équations clés

  • Fonction inverse

f1(f(x))=xpour tousxD, etf(f1(y))=y pour tousyR.

Lexique

test de ligne horizontale
une fonctionf est biunivoque si et seulement si chaque ligne horizontale coupe le graphef d'au plus une fois
fonction inverse
pour une fonctionf, la fonction inversef1 satisfaitf1(y)=x sif(x)=y
fonctions trigonométriques inverses
les inverses des fonctions trigonométriques sont définis sur des domaines restreints où il s'agit de fonctions biunivoques
fonction un à un
une fonctionf est biunivoquef(x1)f(x2) six1x2
domaine restreint
un sous-ensemble du domaine d'une fonctionf