1.4 : Fonctions inverses
- Déterminez les conditions dans lesquelles une fonction possède une inverse.
- Utilisez le test de la ligne horizontale pour savoir quand une fonction est biunivoque.
- Détermine l'inverse d'une fonction donnée.
- Tracez le graphe d'une fonction inverse.
- Évaluez les fonctions trigonométriques inverses.
Une fonction inverse inverse l'opération effectuée par une fonction particulière. En d'autres termes, quoi que fasse une fonction, la fonction inverse l'annule. Dans cette section, nous définissons formellement une fonction inverse et indiquons les conditions nécessaires à l'existence d'une fonction inverse. Nous examinons comment trouver une fonction inverse et étudions la relation entre le graphe d'une fonction et le graphe de son inverse. Nous appliquons ensuite ces idées pour définir et discuter des propriétés des fonctions trigonométriques inverses.
Existence d'une fonction inverse
Nous commençons par un exemple. À partir d'une fonctionf et d'une sortiey=f(x), nous cherchons souvent à déterminer la ou les valeursy par lesquelles la ou les valeursx ont été mappéesf. Par exemple, considérez la fonctionf(x)=x3+4. Depuis toute sortiey=x3+4, nous pouvons résoudre cette équationx pour trouver que l'entrée estx=3√y−4. Cette équation se définitx comme une fonction dey. En désignant cette fonction commef−1, et en écrivantx=f−1(y)=3√y−4, nous voyons que pour tout ce quix se trouve dans le domaine def,f−1f(x))=f−1(x3+4)=x. Ainsi, cette nouvelle fonction a « annulé » ce que faisait la fonctionf d'origine.f−1 Une fonction dotée de cette propriété est appelée fonction inverse de la fonction d'origine.
Étant donné une fonctionf avec domaineD et plageR, sa fonction inverse (si elle existe) est la fonctionf−1 avec domaineR et plageD telle quef−1(y)=x if et only iff(x)=y. En d'autres termes, pour une fonctionf et son inversef−1,
f−1(f(x))=x
pour tousxD
f(f−1(y))=y
pour tousyR.
Notez que celaf−1 se lit comme «f inverse ». Ici, le n'−1est pas utilisé comme exposant, donc
f−1(x)≠1f(x).
La figure1.4.1 montre la relation entre le domaine et la plage def et le domaine et la plage def−1.

Rappelez-vous qu'une fonction possède exactement une sortie pour chaque entrée. Par conséquent, pour définir une fonction inverse, nous devons mapper chaque entrée sur exactement une sortie. Par exemple, essayons de trouver la fonction inverse pourf(x)=x2. En résolvant l'équationy=x2 pourx, nous arrivons à l'équationx=±√y. Cette équation ne se décrit pas en fonction dexy car il existe deux solutions à cette équation pour chacune d'entre ellesy>0. Le problème lorsque vous essayez de trouver une fonction inverse pourf(x)=x2 est que deux entrées sont envoyées à la même sortie pour chaque sortiey>0. La fonctionf(x)=x3+4 évoquée précédemment ne présentait pas ce problème. Pour cette fonction, chaque entrée était envoyée vers une sortie différente. Une fonction qui envoie chaque entrée vers une sortie différente est appelée fonction biunivoque.
Nous disons qu'une fonctionf est une fonction biunivoque sif(x1)≠f(x2) quandx1≠x2.
L'un des moyens de déterminer si une fonction est biunivoque consiste à regarder son graphique. Si une fonction est biunivoque, aucune entrée ne peut être envoyée vers la même sortie. Par conséquent, si nous dessinons une ligne horizontale n'importe où dans lexy plan, selon le test de la ligne horizontale, elle ne peut pas intersecter le graphique plus d'une fois. Nous remarquons que le test de la ligne horizontale est différent du test de la ligne verticale. Le test de la ligne verticale permet de déterminer si un graphe est le graphe d'une fonction. Le test de la ligne horizontale permet de déterminer si une fonction est biunivoque (Figure1.4.2).
Une fonctionf est biunivoque si et seulement si chaque ligne horizontale ne coupef pas plus d'une fois le graphe.

Pour chacune des fonctions suivantes, utilisez le test de la ligne horizontale pour déterminer s'il s'agit d'une fonction biunivoque.
a)
b)
Solution
a) Comme la ligne horizontaley=n d'un entiern≥0 coupe le graphe plus d'une fois, cette fonction n'est pas biunivoque.
b) Comme chaque ligne horizontale coupe le graphique une seule fois (au plus), cette fonction est biunivoque.
La fonction est-ellef représentée graphiquement dans l'image suivante une à une ?
- Solution
-
Utilisez le test de la ligne horizontale.
- Réponse
-
Non
Trouver l'inverse d'une fonction
Nous pouvons maintenant examiner les fonctions individuelles et montrer comment trouver leurs inverses. Rappelons qu'une fonction mappe des éléments du domaine def à des éléments compris dans la plage def. La fonction inverse mappe chaque élément de la plage def retour à son élément correspondant dans le domaine def. Par conséquent, pour trouver la fonction inverse d'une fonction biunivoquef, étant donnée une valeur comprisey dans la plage def, nous devons déterminer laquellef satisfaitx dans le domaine desf(x)=y. Puisquef c'est un pour un, il existe exactement une telle valeurx. Nous pouvons trouver cette valeurx en résolvant l'équationf(x)=y dex. Ce faisant, nous pouvons écrirex en fonction de l'yendroit où le domaine de cette fonction est la plage def et où la plage de cette nouvelle fonction est le domaine def. Par conséquent, cette fonction est l'inverse def, et nous écrivonsx=f−1(y). Comme nous utilisons généralement la variablex pour désigner la variable indépendante et y pour désigner la variable dépendante, nous interchangeons souvent les rôles dex et ety d'écriturey=f−1(x). Représenter la fonction inverse de cette manière est également utile plus tard lorsque nous tracons une fonctionf et son inversef−1 sur les mêmes axes.
- Résolvez l'équationy=f(x) pourx.
- Échangez les variablesxy et écrivezy=f−1(x).
Trouvez l'inverse de la fonctionf(x)=3x−4. State the domain and range de la fonction inverse. Vérifiez quef−1(f(x))=x.
Solution
Suivez les étapes décrites dans la stratégie.
Étape 1. Siy=3x−4, alors3x=y+4 etx=13y+43.
Étape 2. Réécrivez commey=13x+43 et laissez.y=f−1(x) Par conséquent,f−1(x)=13x+43.
Puisque le domaine def est(−∞,∞), la gamme def−1 est(−∞,∞). Puisque la gamme def est(−∞,∞), le domaine def−1 est(−∞,∞).
Vous pouvez le vérifierf−1(f(x))=x en écrivant
f−1(f(x))=f−1(3x−4)=13(3x−4)+43=x−43+43=x.
Notez quef−1(x) pour être l'inverse def(x), à la foisf−1(f(x))=x etf(f−1(x))=x pour tousx dans le domaine de la fonction interne.
Détermine l'inverse de la fonctionf(x)=3x/(x−2). Indiquez le domaine et la plage de la fonction inverse.
- Allusion
-
Utilisez la stratégie de résolution de problèmes pour trouver des fonctions inverses.
- Réponse
-
f−1(x)=2xx−3. Le domaine def−1 est{x|x≠3}. La gamme def−1 est{y|y≠2}.
Représentation graphique de fonctions inverses
Examinons la relation entre le graphe d'une fonctionf et le graphe de son inverse. Considérez le graphique de laf figure1.4.3 et un point(a,b) sur le graphique. Depuisb=f(a), alorsf−1(b)=a. Par conséquent, lorsque nous établissons un graphiquef−1, le point(b,a) se trouve sur le graphique. Par conséquent, le graphe def−1 est le reflet du graphe d'fenviron la ligney=x.

Pour le graphique def l'image suivante, esquissez un graphiquef−1 en esquissant la ligney=x et en utilisant la symétrie. Identifiez le domaine et la gamme def−1.
Solution
Reflète le graphique autour de la ligney=x. Le domaine def−1 est[0,∞). La gamme def−1 est[−2,∞). En utilisant la stratégie précédente pour trouver des fonctions inverses, nous pouvons vérifier que la fonction inverse estf−1(x)=x2−2, comme indiqué sur le graphique.
Esquissez le graphef(x)=2x+3 et le graphe de son inverse à l'aide de la propriété de symétrie des fonctions inverses.
- Allusion
-
Les graphes sont symétriques par rapport à la ligney=x
- Réponse
-
Limiter les domaines
Comme nous l'avons vu,f(x)=x2 n'a pas de fonction inverse car elle n'est pas biunivoque. Cependant, nous pouvons choisir un sous-ensemble du domaine def telle sorte que la fonction soit biunivoque. Ce sous-ensemble est appelé domaine restreint. En restreignant le domaine def, nous pouvons définir une nouvelle fonction deg telle sorte que le domaine deg soit le domaine restreint def etg(x)=f(x) pour tousx dans le domaine deg. Ensuite, nous pouvons définir une fonction inverse pourg ce domaine. Par exemple, commef(x)=x2 il s'agit d'un à un sur l'intervalle[0,∞), nous pouvons définir une nouvelle fonction deg telle sorte que le domaine deg est[0,∞) etg(x)=x2 pour tousx dans son domaine. Comme ilg s'agit d'une fonction biunivoque, elle a une fonction inverse, donnée par la formuleg−1(x)=√x. D'autre part, la fonctionf(x)=x2 est également individuelle sur le domaine(−∞,0]. Par conséquent, nous pourrions également définir une nouvelle fonctionh telle que le domaine deh est(−∞,0] eth(x)=x2 pour tousx dans le domaine deh. hIl s'agit alors d'une fonction biunivoque qui doit également avoir une inverse. Son inverse est donné par la formuleh−1(x)=−√x (Figure1.4.4).

Réfléchissez à la fonctionf(x)=(x+1)2.
- Esquissez le graphiquef et utilisez le test de la ligne horizontale pour montrer qu'il nef s'agit pas d'un à un.
- Afficher quef c'est un à un sur le domaine restreint[−1,∞). Déterminez le domaine et la plage pour l'inverse def sur ce domaine restreint et trouvez une formule pourf−1.
Solution
a) Le graphique def est le graphique de l'1unité gauchey=x2 décalée. Comme il existe une ligne horizontale coupant le graphique plus d'une fois, elle n'fest pas biunivoque.
b) L'intervalle[−1,∞),f est un pour un.
Le domaine et la plage def−1 sont donnés par la plage et le domaine def, respectivement. Par conséquent, le domaine def−1 est[0,∞) et la gamme def−1 est[−1,∞). Pour trouver une formule pourf−1, résolvez l'équationy=(x+1)2 dex. Ify=(x+1)2, alorsx=−1±√y. Puisque nous limitons le domaine à l'intervalle où nousx≥−1 en avons besoin±√y≥0. Par conséquent,x=−1+√y. En échangeantx ety, nous écrivonsy=−1+√x et concluons quef−1(x)=−1+√x.
Envisagez de vousf(x)=1/x2 limiter au domaine(−∞,0). Vérifiez qu'ilf s'agit d'une réponse individuelle sur ce domaine. Déterminez le domaine et la plage de l'inverse def et trouvez une formule pourf−1.
- Allusion
-
Le domaine et la plage def−1 sont donnés par la plage et le domaine def, respectivement. Pour trouverf−1, résoudrey=1/x2 pourx.
- Réponse
-
Le domaine def−1 est(0,∞). La gamme def−1 est(−∞,0). La fonction inverse est donnée par la formulef−1(x)=−1/√x.
Fonctions trigonométriques inverses
Les six fonctions trigonométriques de base sont périodiques et ne sont donc pas univoques. Cependant, si nous limitons le domaine d'une fonction trigonométrique à un intervalle où elle est biunivoque, nous pouvons définir son inverse. Considérez la fonction sinusoïdale. La fonction sinus est biunivoque sur un nombre infini d'intervalles, mais la convention standard est de limiter le domaine à l'intervalle[−π2,π2]. Ce faisant, nous définissons la fonction sinusoïdale inverse sur le domaine de[−1,1] telle sorte que pour n'importe quelx angle de l'intervalle[−1,1], la fonction sinusoïdale inverse nous indique quel angleθ de l'intervalle[−π2,π2] satisfaitsinθ=x. De même, nous pouvons restreindre les domaines des autres fonctions trigonométriques pour définir des fonctions trigonométriques inverses, qui sont des fonctions qui nous indiquent quel angle dans un certain intervalle possède une valeur trigonométrique spécifiée.
La fonction sinusoïdale inverse, notéesin−1 ouarcsin, et la fonction cosinus inverse, notéecos−1 ouarccos, sont définies sur le domaineD={x|−1≤x≤1} comme suit :
sin−1(x)=y
- si et seulement si et seulement sisin(y)=x et−π2≤y≤π2 ;
cos−1(x)=y
- si et seulement sicos(y)=x et0≤y≤π.
La fonction tangente inverse, notéetan−1 ouarctan, et la fonction cotangente inverse, notéecot−1 ouarccot, sont définies sur le domaineD={x|−∞<x<∞} comme suit :
tan−1(x)=y
- si et seulement si et seulement sitan(y)=x et−π2<y<π2 ;
cot−1(x)=y
- si et seulement sicot(y)=x et0<y<π.
La fonction cosécante inverse, notéecsc−1 ouarccsc, et la fonction sécante inverse, notéesec−1 ouarcsec, sont définies dans le domaineD={x||x|≥1} comme suit :
csc−1(x)=y
- si et seulement si et seulement sicsc(y)=x et−π2≤y≤π2,y≠0 ;
sec−1(x)=y
- si et seulement sisec(y)=x et0≤y≤π,y≠π/2.
Pour représenter graphiquement les fonctions trigonométriques inverses, nous utilisons les graphes des fonctions trigonométriques restreints aux domaines définis précédemment et reflétons les graphes concernant la ligney=x (Figure1.4.5).

Lors de l'évaluation d'une fonction trigonométrique inverse, la sortie est un angle. Par exemple, pour évaluercos−1(12), nous devons trouver un angleθ tel quecosθ=12. De toute évidence, de nombreux angles possèdent cette propriété. Cependant, étant donné la définition decos−1, nous avons besoin de l'angleθ qui non seulement résout cette équation, mais se situe également dans l'intervalle[0,π]. Nous en concluons quecos−1(12)=π3.
Nous examinons maintenant la composition d'une fonction trigonométrique et son inverse. Par exemple, considérez les deux expressionssin(sin−1(√22)) etsin−1(sin(π)).
Pour le premier, nous simplifions comme suit :
sin(sin−1(√22))=sin(π4)=√22.
Pour le second, nous avons
sin−1(sin(π))=sin−1(0)=0.
La fonction inverse est censée « annuler » la fonction d'origine, alors pourquoi ne passin−1(sin(π))=π?, si l'on se souvient de notre définition des fonctions inverses, une fonctionf et son inversef−1 remplissent les conditionsf(f−1(y))=y pour tousy dans le domaine def−1 etf−1(f(x))=x pour tousx le domaine def, alors que s'est-il passé ici ? Le problème est que la fonction sinusoïdale inversesin−1, est l'inverse de la fonction sinusoïdale restreinte définie sur le domaine[−π2,π2]. Par conséquent, carx dans l'intervalle[−π2,π2], il est vrai quesin−1(sinx)=x. Toutefois, pour les valeursx situées en dehors de cet intervalle, l'équation ne tient pas, même si ellesin−1(sinx) est définie pour tous les nombres réelsx.
Qu'ensin(sin−1y)? est-il de cela a un problème similaire ? La réponse est non. Puisque le domaine desin−1 est l'intervalle[−1,1], nous concluons quesin(sin−1y)=y si−1≤y≤1 et l'expression n'est pas définie pour les autres valeurs dey. Pour résumer,
sin(sin−1y)=ysi−1≤y≤1
et
sin−1(sinx)=xsi−π2≤x≤π2.
De même, pour la fonction cosinus,
cos(cos−1y)=ysi−1≤y≤1
et
cos−1(cosx)=xsi0≤x≤π.
Des propriétés similaires s'appliquent aux autres fonctions trigonométriques f et à leurs inverses.
Évaluez chacune des expressions suivantes.
- sin−1(−√32)
- tan(tan−1(−1√3))
- cos−1(cos(5π4))
- sin−1(cos(2π3))
Solution
- L'évaluationsin−1(−√3/2) équivaut à trouver l'angleθ tel quesinθ=−√3/2 et−π/2≤θ≤π/2. L'angleθ=−π/3 répond à ces deux conditions. Par conséquent,sin−1(−√3/2)=−π/3.
- Nous utilisons d'abord le fait quetan−1(−1/√3)=−π/6. Thentan(−π/6)=−1/√3. Par conséquent,tan(tan−1(−1/√3))=−1/√3.
- Pour évaluercos−1(cos(5π/4)), utilisez d'abord le fait quecos(5π/4)=−√2/2. Ensuite, nous devons trouver l'angleθ tel quecos(θ)=−√2/2 et0≤θ≤π. Puisque3π/4 répond à ces deux conditions, nous avonscos−1(cos(5π/4))=cos−1(−√2/2))=3π/4.
- Depuiscos(2π/3)=−1/2, nous devons évaluersin−1(−1/2). C'est-à-dire que nous devons trouver l'angleθ tel quesin(θ)=−1/2 et−π/2≤θ≤π/2. Étant donné−π/6 que ces deux conditions sont réunies, nous pouvons en conclure quesin−1(cos(2π/3))=sin−1(−1/2)=−π/6.
Dans de nombreux domaines des sciences, de l'ingénierie et des mathématiques, il est utile de connaître la valeur maximale qu'une fonction peut obtenir, même si nous ne connaissons pas sa valeur exacte à un instant donné. Par exemple, si nous avons une fonction décrivant la résistance d'une poutre de toit, nous aimerions connaître le poids maximum que la poutre peut supporter sans se casser. Si nous avons une fonction qui décrit la vitesse d'un train, nous aimerions connaître sa vitesse maximale avant qu'il ne saute des rails. La sécurité de la conception dépend souvent de la connaissance des valeurs maximales.
Ce projet décrit un exemple simple de fonction dont la valeur maximale dépend de deux coefficients d'équation. Nous verrons que les valeurs maximales peuvent dépendre de plusieurs facteurs autres que la variable indépendantex.
1. Examinez le graphique de la figure1.4.6 de la fonctiony=sinx+cosx. Décrivez sa forme générale. Est-ce périodique ? Comment le sais-tu ?

À l'aide d'une calculatrice graphique ou d'un autre appareil graphique, estimez lesy valeursx - et - du point maximum du graphique (le premier point de ce type oùx>0). Il peut être utile d'exprimer lax valeur -comme un multiple deπ.
2. Examinez maintenant d'autres graphes du formulairey=Asinx+Bcosx pour différentes valeurs deA etB. esquissez le graphique quandA=2B=1, et trouvez lesy valeursx - et - pour le point maximum. (N'oubliez pas d'exprimer lax valeur -sous la forme d'un multiple deπ, si possible.) Est-ce qu'il a déménagé ?
3. Répétez pourA=1,B=2. Y a-t-il un lien avec ce que vous avez trouvé dans la partie (2) ?
4. Complétez le tableau suivant en ajoutant quelques choix de votre choix pourA etB:
A | B | x | y | A | B | x | y |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >0 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >1 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >3 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >4 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > |
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">1 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >0 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >4 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >3 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > |
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">1 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >1 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >√3 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >1 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > |
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">1 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >2 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">1 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >√3 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > |
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">2 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >1 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >12 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >5 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > |
\ (A \) » style="vertical-align:middle ; ">2 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >2 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (A \) » style="vertical-align:middle ; « >5 | \ (B \) » style="vertical-align:middle ; « >12 | \ (x \) » style="vertical-align:middle ; « > | \ (y \) » style="vertical-align:middle ; « > |
5. Essayez de trouver la formule pour lesy valeurs.
6. La formule pour lesx valeurs -est un peu plus complexe. Les points les plus utiles du tableau sont(1,1),(1,√3),(√3,1). (Conseil : considérez les fonctions trigonométriques inverses.)
7. Si vous avez trouvé des formules pour les parties (5) et (6), montrez qu'elles fonctionnent ensemble. En d'autres termes, remplacez la formulex -value dans laquelle vous vousy=Asinx+Bcosx trouvez et simplifiez-la pour obtenir la formuley -value que vous avez trouvée.
Concepts clés
- Pour qu'une fonction ait une inverse, elle doit être biunivoque. À partir du graphe d'une fonction, nous pouvons déterminer si la fonction est biunivoque en utilisant le test de la ligne horizontale.
- Si une fonction n'est pas biunivoque, nous pouvons restreindre le domaine à un domaine plus petit où la fonction est biunivoque, puis définir l'inverse de la fonction sur le plus petit domaine.
- Pour une fonctionf et son inversef−1,f(f−1(x))=x pour tousx dans le domaine def−1 etf−1(f(x))=x pour tousx dans le domaine def.
- Les fonctions trigonométriques étant périodiques, nous devons restreindre leurs domaines pour définir les fonctions trigonométriques inverses.
- Le graphe d'une fonctionf et son inversef−1 sont symétriques par rapport à la droitey=x.
Équations clés
- Fonction inverse
f−1(f(x))=xpour tousxD, etf(f−1(y))=y pour tousyR.
Lexique
- test de ligne horizontale
- une fonctionf est biunivoque si et seulement si chaque ligne horizontale coupe le graphef d'au plus une fois
- fonction inverse
- pour une fonctionf, la fonction inversef−1 satisfaitf−1(y)=x sif(x)=y
- fonctions trigonométriques inverses
- les inverses des fonctions trigonométriques sont définis sur des domaines restreints où il s'agit de fonctions biunivoques
- fonction un à un
- une fonctionf est biunivoquef(x1)≠f(x2) six1≠x2
- domaine restreint
- un sous-ensemble du domaine d'une fonctionf