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1.1 : Révision des fonctions

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Utilisez la notation fonctionnelle pour évaluer une fonction.
  • Déterminez le domaine et la plage d'une fonction.
  • Dessine le graphe d'une fonction.
  • Trouvez les zéros d'une fonction.
  • Reconnaissez une fonction à partir d'une table de valeurs.
  • Créez de nouvelles fonctions à partir de deux fonctions données ou plus.
  • Décrivez les propriétés de symétrie d'une fonction.

Dans cette section, nous fournissons une définition formelle d'une fonction et examinons plusieurs manières dont les fonctions sont représentées, notamment par le biais de tableaux, de formules et de graphiques. Nous étudions la notation formelle et les termes liés aux fonctions. Nous définissons également la composition des fonctions et les propriétés de symétrie. La plupart de ces documents seront une revue pour vous, mais ils constituent une référence pratique pour vous rappeler certaines des techniques algébriques utiles pour travailler avec des fonctions.

Fonctions

Étant donné deux ensemblesA etB un ensemble avec des éléments qui sont des paires ordonnées,(x,y)x est un élément deA ety est un élément deB, est une relation deA àB. Une relation deA àB définit une relation entre ces deux ensembles. Une fonction est un type de relation spécial dans lequel chaque élément du premier ensemble est lié à exactement un élément du second ensemble. L'élément du premier ensemble est appelé entrée ; l'élément du second ensemble est appelé sortie. Les fonctions sont constamment utilisées en mathématiques pour décrire les relations entre deux ensembles. Pour toute fonction, lorsque nous connaissons l'entrée, la sortie est déterminée, donc nous disons que la sortie est fonction de l'entrée. Par exemple, l'aire d'un carré est déterminée par la longueur de son côté. Nous disons donc que la surface (la sortie) est fonction de la longueur de son côté (l'entrée). La vitesse d'une balle lancée en l'air peut être décrite comme une fonction du temps pendant lequel la balle est en l'air. Le coût de l'envoi d'un colis est fonction du poids du colis. Les fonctions ayant de nombreuses utilisations, il est important de disposer de définitions et d'une terminologie précises pour les étudier.

Une image composée de trois éléments. Le premier élément est un texte qui se lit comme suit : « Input, x ». Une flèche pointe du premier élément vers le second élément, qui est une boîte portant l'étiquette « fonction ». Une flèche pointe du deuxième élément vers le troisième élément, qui est un texte indiquant « Sortie, f (x) ».
Figure1.1.1 : Une fonction peut être visualisée en tant que périphérique d'entrée/sortie
Définition : Fonctions

Une fonctionf se compose d'un ensemble d'entrées, d'un ensemble de sorties et d'une règle pour attribuer chaque entrée à exactement une sortie. L'ensemble des entrées est appelé le domaine de la fonction. L'ensemble des sorties est appelé plage de la fonction.

Une image composée de deux éléments. Le premier élément est un domaine étiqueté à bulles. Dans la bulle se trouvent les chiffres 1, 2, 3 et 4. Une flèche portant l'étiquette « f » pointe du premier élément vers le second élément, qui est une bulle intitulée « plage ». Dans cette bulle se trouvent les chiffres 2, 4 et 6. Une flèche pointe du 1 dans la bulle du domaine au 6 dans la bulle de plage. Une flèche pointe du 1 dans la bulle du domaine au 6 dans la bulle de plage. Une flèche pointe du 2 dans la bulle du domaine vers le 4 de la bulle de plage. Une flèche pointe du 3 dans la bulle du domaine vers le 2 de la bulle de plage. Une flèche pointe du 4 dans la bulle du domaine vers le 2 de la bulle de plage.
Figure1.1.2 : Une fonction fait correspondre chaque élément du domaine à exactement un élément de la plage. Bien que chaque entrée ne puisse être envoyée que vers une seule sortie, deux entrées différentes peuvent être envoyées vers la même sortie.

Par exemple, considérez la fonctionf, où le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels et où la règle est de mettre les entrées au carré. Ensuite, l'entréex=3 est affectée à la sortie32=9.

Comme chaque nombre réel non négatif possède une racine carrée de valeur réelle, chaque nombre non négatif est un élément de la plage de cette fonction. Comme il n'existe aucun nombre réel avec un carré négatif, les nombres réels négatifs ne sont pas des éléments de la plage. Nous concluons que l'intervalle est l'ensemble des nombres réels non négatifs.

Pour une fonction généralef avec domaineD, nous utilisons souventx pour désigner l'entrée ety la sortie associée àx. Ce faisant, nous appelons lax variable indépendante ety la variable dépendante, car elle dépend dex. En utilisant la notation des fonctions, nous écrivonsy=f(x), et nous lisons cette équation comme «y égale à ».x. Pour la fonctionf de quadrature décrite précédemment, nous écrivonsf(x)=x2.

Le concept d'une fonction peut être visualisé à l'aide de Figures1.1.1 -1.1.3.

Image d'un graphique. L'axe y va de 0 à 3 et porte l'étiquette « variable dépendante, y = f (x) ». L'axe x s'étend de 0 à 5 et porte l'étiquette « variable indépendante, x ». Le graphique comporte trois points. Le premier point se trouve à (1, 2) et porte l'étiquette « (1, f (1))) = (1, 2) ». Le deuxième point se trouve à (2, 1) et porte l'étiquette « (2, f (2)) = (2,1) ». Le troisième point se trouve à (3, 2) et porte l'étiquette « (3, f (3))) = (3,2) ». Il y a du texte le long de l'axe y qui indique « plage = {1, 2} » et du texte le long de l'axe x qui indique « domaine = {1,2,3} ».
Figure1.1.3 : Dans ce cas, le graphe d'une fonctionf possède un domaine{1,2,3} et une plage de{1,2}. La variable indépendante estx et la variable dépendante esty.

Nous pouvons également visualiser une fonction en traçant des points(x,y) dans le plan de coordonnées oùy=f(x). Le graphe d'une fonction est l'ensemble de tous ces points. Par exemple, considérez la fonctionf, où le domaine est l'ensembleD={1,2,3} et la règlef(x)=3x. Dans la figure1.1.4, nous tracons un graphique de cette fonction.

Image d'un graphique. L'axe y va de 0 à 5. L'axe X s'étend de 0 à 5. Il y a trois points sur le graphique en (1, 2), (2, 1) et (3, 0). Il y a du texte le long de l'axe y qui indique « plage = {0,1,2} » et du texte le long de l'axe x qui indique « domaine = {1,2,3} ».
Figure1.1.4 : Nous voyons ici un graphique de la fonctionf avec domaine{1,2,3} et règlef(x)=3x. Le graphique comprend les points(x,f(x)) pour tousx les éléments du domaine.

Chaque fonction possède un domaine. Cependant, une fonction est parfois décrite par une équation, comme dansf(x)=x2, sans domaine spécifique indiqué. Dans ce cas, le domaine est considéré comme l'ensemble de tous les nombres réelsx pour lesquelsf(x) il s'agit d'un nombre réel. Par exemple, comme n'importe quel nombre réel peut être carré, si aucun autre domaine n'est spécifié, nous considérons que le domainef(x)=x2 de est l'ensemble de tous les nombres réels. D'autre part, la fonction de racine carréef(x)=x ne donne une sortie réelle que si elle n'xest pas négative. Par conséquent, le domaine de la fonctionf(x)=x est l'ensemble des nombres réels non négatifs, parfois appelé domaine naturel.

Pour les fonctionsf(x)=x2 et les domainesf(x)=x, il s'agit d'ensembles comportant un nombre infini d'éléments. Nous ne pouvons évidemment pas énumérer tous ces éléments. Lorsque vous décrivez un ensemble avec un nombre infini d'éléments, il est souvent utile d'utiliser la notation setbuilder ou la notation par intervalles. Lorsque vous utilisez la notation set-builder pour décrire un sous-ensemble de tous les nombres réels, désignésR, nous écrivons

{x|x has some property}.

Nous lisons cela comme l'ensemble de nombresx réels quix possède une certaine propriété. Par exemple, si nous nous intéressons à l'ensemble des nombres réels supérieurs à un mais inférieurs à cinq, nous pourrions désigner cet ensemble en utilisant la notation set-builder en écrivant

{x|1<x<5}.

Un ensemble tel que celui-ci, qui contient tous les nombres supérieursa et inférieurs à,b, peut également être désigné à l'aide de la notation par intervalles(a,b). Par conséquent,

(1,5)={x|1<x<5}.

Les nombres1 et5 sont appelés points de terminaison de cet ensemble. Si nous voulons considérer l'ensemble qui inclut les points de terminaison, nous désignerons cet ensemble en écrivant

[1,5]={x|1x5}.

Nous pouvons utiliser une notation similaire si nous voulons inclure l'un des points de terminaison, mais pas l'autre. Pour désigner l'ensemble des nombres réels non négatifs, nous utiliserions la notation set-builder

{x|x0}.

Le plus petit nombre de cet ensemble est zéro, mais cet ensemble ne possède pas de plus grand nombre. En utilisant la notation par intervalles, nous utiliserions le symbole, qui fait référence à l'infini positif, et nous écririons l'ensemble comme

[0,)={x|x0}.

Il est important de noter qu'il ne s'agit pas d'un chiffre réel. Il est utilisé ici symboliquement pour indiquer que cet ensemble inclut tous les nombres réels supérieurs ou égaux à zéro. De même, si nous voulions décrire l'ensemble de tous les nombres non positifs, nous pourrions écrire

(,0]={x|x0}.

Ici, la notation fait référence à l'infini négatif, et elle indique que nous incluons tous les nombres inférieurs ou égaux à zéro, aussi petits soient-ils. L'ensemble

(,)={x|x is any real number}

fait référence à l'ensemble de tous les nombres réels. Certaines fonctions sont définies à l'aide de différentes équations pour différentes parties de leur domaine. Ces types de fonctions sont appelés fonctions définies par morceaux. Par exemple, supposons que nous souhaitions définir une fonctionf avec un domaine qui est l'ensemble de tous les nombres réels tels quef(x)=3x+1 pourx2 etf(x)=x2 pourx<2. Nous désignons cette fonction en écrivant

f(x)={3x+1,if x2x2,if x<2

Lors de l'évaluation de cette fonction pour une entréex, l'équation à utiliser dépend du fait quex2 oux<2. Par exemple, puisque5>2, nous utilisons le fait quef(x)=3x+1 pourx2 et que nous voyons celaf(5)=3(5)+1=16. D'un autre côté, pourx=1, nous utilisons le fait quef(x)=x2 pourx<2 et pour voir celaf(1)=1.

Exemple1.1.1: Evaluating Functions

Pour la fonctionf(x)=3x2+2x1, évaluez :

  1. f(2)
  2. f(2)
  3. f(a+h)

Solution

Remplacez la valeur donnéex par dans la formule parf(x).

  1. f(2)=3(2)2+2(2)1=1241=7
  2. f(2)=3(2)2+221=6+221=5+22
  3. f(a+h)=3(a+h)2+2(a+h)1=3(a2+2ah+h2)+2a+2h1=3a2+6ah+3h2+2a+2h1
Exercice1.1.1

Pourf(x)=x23x+5, évaluerf(1) etf(a+h).

Allusion

Substituer1 eta+h remplacerx dans la formule parf(x).

Réponse

f(1)=3etf(a+h)=a2+2ah+h23a3h+5

Exemple1.1.2: Finding Domain and Range

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez le domaine i. et la plage ii.

  1. f(x)=(x4)2+5
  2. f(x)=3x+21
  3. f(x)=3x2

Solution

a. Considérezf(x)=(x4)2+5.

1. Commef(x)=(x4)2+5 il s'agit d'un nombre réel pour n'importe quel nombre réelx, le domaine def est l'intervalle(,).

2. Depuis(x4)20, on le saitf(x)=(x4)2+55. Par conséquent, la plage doit être un sous-ensemble de{y|y5}. Pour montrer que chaque élément de cet ensemble se trouve dans la plage, nous devons montrer que pour un élément donnéy dans cet ensemble, il existe un nombre réelx tel quef(x)=(x4)2+5=y. En résolvant cette équation,x, nous voyons que nous avons besoinx de

(x4)2=y5.

Cette équation est satisfaite tant qu'il existe un nombre réelx tel que

x4=±y5

Depuisy5, la racine carrée est bien définie. Nous concluons que pourx=4±y5,f(x)=y, et donc la gamme est{y|y5}.

b. Considérezf(x)=3x+21.

1. Pour trouver le domaine def, nous avons besoin de l'expression3x+20. En résolvant cette inégalité, nous concluons que le domaine est{x|x2/3}.

2. Pour connaître la gamme def, nous remarquons que depuis3x+20,f(x)=3x+211. Par conséquent, la plage def doit être un sous-ensemble de l'ensemble{y|y1}. Pour montrer que chaque élément de cet ensemble se situe dans la plage def, nous devons montrer que pour tous lesy éléments de cet ensemble, il existe un nombre réelx dans le domaine tel quef(x)=y. Lety1. Then,f(x)=y si et seulement si

3x+21=y.

Résoudre cette équation carx, nous voyons que celax doit résoudre l'équation

3x+2=y+1.

Depuisy1, un tel hommex pourrait exister. En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous avons3x+2=(y+1)2.

Par conséquent, nous avons besoin

3x=(y+1)22,

ce qui implique

x=13(y+1)223.

Nous avons juste besoin de vérifier que celax relève du domaine def. Puisque le domaine def est composé de tous les nombres réels supérieurs ou égaux à23, et

13(y+1)22323,

il existe unx dans le domaine def. Nous concluons que la gammef est{y|y1}.

c. Envisagezf(x)=3x2.

1. Comme il3/(x2) est défini lorsque le dénominateur est différent de zéro, le domaine est{x|x2}.

2. Pour trouver la plage de,f, nous devons trouver les valeurs dey telle sorte qu'il existe un nombre réelx dans le domaine avec la propriété qui

3x2=y.

En résolvant cette équation,x, nous découvrons que

x=3y+2.

Par conséquenty0, tant qu'il existe un nombre réelx dans le domaine tel quef(x)=y. Ainsi, la gamme est{y|y0}.

Exercice1.1.2

Trouvez le domaine et la gamme pourf(x)=42x+5.

Allusion

Utiliser42x0.

Réponse

Domaine ={x|x2} et plage ={y|y5}

Représenter des fonctions

Généralement, une fonction est représentée à l'aide d'un ou de plusieurs des outils suivants :

  • Une table
  • Un graphique
  • Une formule

Nous pouvons identifier une fonction dans chaque formulaire, mais nous pouvons également les utiliser ensemble. Par exemple, nous pouvons tracer sur un graphique les valeurs d'un tableau ou créer un tableau à partir d'une formule.

Tables

Les fonctions décrites à l'aide d'un tableau de valeurs apparaissent fréquemment dans des applications réelles. Prenons l'exemple simple suivant. Nous pouvons décrire la température d'une journée donnée en fonction de l'heure de la journée. Supposons que nous enregistrons la température toutes les heures pendant une période de 24 heures à partir de minuit. Notre variablex d'entrée est le temps passé après minuit, mesuré en heures, et la variabley de sortie, la température desx heures après minuit, mesurée en degrés Fahrenheit. Nous enregistrons nos données dans le tableau1.1.1.

Tableau1.1.1 : Température en fonction de l'heure de la journée
Une heure après minuit Température (°F) Une heure après minuit Température (°F)
0 58 12 84
1 54 13 85
2 53 14 85
3 52 15 83
4 52 16 82
5 55 17 80
6 60 18 77
7 64 19 74
8 72 20 69
9 75 21 65
10 78 22 60
11 80 23 58

Nous pouvons voir dans le tableau que la température est fonction du temps, et que la température diminue, puis augmente, puis diminue à nouveau. Cependant, nous ne pouvons pas obtenir une image claire du comportement de la fonction sans la représenter graphiquement.

Graphiques

À partir d'une fonctionf décrite par un tableau, nous pouvons fournir une image visuelle de la fonction sous forme de graphique. Le fait de représenter graphiquement les températures répertoriées dans le tableau1.1.1 peut nous donner une meilleure idée de leur fluctuation au cours de la journée. La figure1.1.5 montre le diagramme de la fonction de température.

Image d'un graphique. L'axe y va de 0 à 90 et porte l'étiquette « Température en degrés Fahrenheit ». L'axe X s'étend de 0 à 24 et porte l'étiquette « heures après minuit ». Le graphique comporte 24 points, un à chaque incrément de 1 sur l'axe des abscisses. Le premier point est à (0, 58) et la fonction diminue jusqu'à x = 4, où le point est (4, 52) et représente la valeur minimale de la fonction. Après x=4, la fonction augmente jusqu'à x = 13, où le point est (13, 85) et est le maximum de la fonction avec le point (14, 85). Après x = 14, la fonction diminue jusqu'au dernier point du graphique, qui est (23, 58).
Figure1.1.5 : Le graphique des données du tableau1.1.1 montre la température en fonction du temps.

À partir des points tracés sur le graphique de la figure1.1.5, nous pouvons visualiser la forme générale du graphique. Il est souvent utile de relier les points du graphique, qui représentent les données du tableau. Dans cet exemple, bien que nous ne puissions pas tirer de conclusion définitive concernant la température à tout moment pour lequel la température n'a pas été enregistrée, compte tenu du nombre de points de données collectés et de la tendance de ces points, il est raisonnable de soupçonner que les températures à d'autres moments ont suivi un modèle similaire, comme nous pouvons le voir sur la figure1.1.6.

Image d'un graphique. L'axe y va de 0 à 90 et porte l'étiquette « Température en degrés Fahrenheit ». L'axe X s'étend de 0 à 24 et porte l'étiquette « heures après minuit ». Le graphique comporte 24 points, un à chaque incrément de 1 sur l'axe des abscisses. Le premier point est à (0, 58) et la fonction diminue jusqu'à x = 4, où le point est (4, 52) et représente la valeur minimale de la fonction. Après x=4, la fonction augmente jusqu'à x = 13, où le point est (13, 85) et est le maximum de la fonction avec le point (14, 85). Après x = 14, la fonction diminue jusqu'au dernier point du graphique, qui est (23, 58). Une ligne relie tous les points du graphique.
Figure1.1.6 : Le fait de relier les points de la figure1.1.5 montre le schéma général des données.

Formules algébriques

Parfois, on ne nous donne pas les valeurs d'une fonction sous forme de tableau, mais plutôt les valeurs dans une formule explicite. Les formules apparaissent dans de nombreuses applications. Par exemple, l'aire d'un cercle de rayonr est donnée par la formuleA(r)=πr^2. Lorsqu'un objet est projeté vers le haut depuis le sol avec une vitesse initialev_{0} ft/s, sa hauteur au-dessus du sol entre le moment où il est projeté et celui où il touche le sol est donnée par la formules(t)=−16t^2+v_{0}t. Lorsque desP dollars sont investis dans un compte à un taux d'intérêt annuelr composé de façon continue, le montant d'argent après dest années est donné par la formuleA(t)=Pe^{rt}. Les formules algébriques sont des outils importants pour calculer les valeurs des fonctions. Souvent, nous représentons également ces fonctions visuellement sous forme de graphique.

Étant donné une formule algébrique pour une fonctionf, le graphe def est l'ensemble des points(x,f(x)), où sex trouve dans le domaine def etf(x) se trouve dans la plage. Pour représenter graphiquement une fonction donnée par une formule, il est utile de commencer par utiliser la formule pour créer un tableau des entrées et des sorties. Si le domaine def est composé d'un nombre infini de valeurs, nous ne pouvons pas toutes les lister, mais comme la liste de certaines entrées et sorties peut être très utile, c'est souvent une bonne façon de commencer.

Lors de la création d'un tableau des entrées et des sorties, nous vérifions généralement si zéro est une sortie. Ces valeurs de «xf(x)=0 where » sont appelées zéros d'une fonction. Par exemple, les zéros def(x)=x^2−4 sontx=±2. Les zéros déterminent où le graphe def croise l'xaxe des, ce qui nous donne plus d'informations sur la forme du graphe de la fonction. Le graphe d'une fonction peut ne jamais croiser l'xaxe -ou il peut se croiser plusieurs fois (voire un nombre infini) de fois.

Un autre point d'intérêt est ley -intercept, s'il existe. Ley -intercept est donné par(0,f(0)).

Comme une fonction possède exactement une sortie pour chaque entrée, le graphe d'une fonction ne peut avoir qu'une seuley intersection. S'ilx=0 est dans le domaine d'une fonctionf,, ilf possède exactement uny -intercept. S'il n'x=0est pas dans le domaine def,, il n'fa pas dey -intercept. De même, pour tout nombrec, réelc compris dans le domaine def, il existe exactement une sortief(c), et la lignex=c coupe le graphe d'fune seule fois. En revanche, si ce n'cest pas dans le domaine de n'f,f(c)est pas défini et la droitex=c n'intersecte pas le graphe def. Cette propriété est résumée dans le test de la ligne verticale.

Test de ligne verticale

Pour une fonction donnéef, chaque ligne verticale qui peut être tracée ne coupef pas plus d'une fois le graphe. Si une ligne verticale coupe plusieurs fois un ensemble de points, l'ensemble de points ne représente pas une fonction.

Nous pouvons utiliser ce test pour déterminer si un ensemble de points tracés représente le graphe d'une fonction (Figure\PageIndex{7}).

Une image de deux graphiques. Le premier graphe est étiqueté « a » et présente la fonction « y = f (x) ». Trois lignes verticales traversent 3 points de la fonction, chaque ligne verticale ne traversant la fonction qu'une seule fois. Le deuxième graphe est étiqueté « b » et présente la relation « y n'est pas égal à f (x) ». Deux lignes verticales traversent la relation, l'une interceptant la relation en 3 points et l'autre en 3 points différents.
Figure\PageIndex{7} : (a) L'ensemble des points tracés représente le graphe d'une fonction, car chaque ligne verticale coupe l'ensemble de points, au plus une fois. (b) L'ensemble de points tracés ne représente pas le graphe d'une fonction car certaines lignes verticales croisent l'ensemble de points plusieurs fois.
Exemple\PageIndex{3}: Finding Zeros and y-Intercepts of a Function

Considérez la fonctionf(x)=−4x+2.

  1. Trouvez tous les zéros def.
  2. Trouvez ley -intercept (le cas échéant).
  3. Esquissez un graphique def.

Solution

1. Pour trouver les zéros, résolvezf(x)=−4x+2=0. Nous découvrons qu'il yf a un zéro àx=1/2.

2. Ley -intercept est donné par(0,f(0))=(0,2).

3. Étant donné qu'ilf s'agit d'une fonction linéaire de la formef(x)=mx+b qui passe par(1/2,0) les points(0,2), nous pouvons esquisser le graphique def (Figure\PageIndex{8}).

Image d'un graphique. L'axe y va de -2 à 5 et l'axe x va de -2 à 5. Le graphique représente la fonction « f (x) = -4x + 2 », qui est une droite décroissante. Deux points sont tracés sur la fonction en (0, 2) et (1/2, 0).
Figure\PageIndex{8} : La fonctionf(x)=−4x+2 est une ligne avecx -intercept(1/2,0) ety -intercept(0,2).
Exemple\PageIndex{4}: Using Zeros and y-Intercepts to Sketch a Graph

Considérez la fonctionf(x)=\sqrt{x+3}+1.

  1. Trouvez tous les zéros def.
  2. Trouvez ley -intercept (le cas échéant).
  3. Esquissez un graphique def.

Solution

1. Pour trouver les zéros, résolvez\sqrt{x+3}+1=0. Cette équation implique\sqrt{x+3}=−1. Car\sqrt{x+3}≥0 pour tousx, cette équation n'a pas de solutions et nef comporte donc pas de zéros.

2. Ley -intercept est donné par(0,f(0))=(0,\sqrt{3}+1).

3. Pour représenter graphiquement cette fonction, nous créons un tableau de valeurs. Puisque nous avons besoinx+3≥0, nous devons choisir des valeurs dex≥−3. Nous choisissons des valeurs qui facilitent l'évaluation de la fonction racine carrée.

x -3 -2 1
f(x) 1 2 3

En utilisant le tableau et en sachant que, puisque la fonction est une racine carrée, le graphe def doit être similaire au graphe dey=\sqrt{x}, nous esquissons le graphe (Figure\PageIndex{9}).

Image d'un graphique. L'axe y va de -2 à 4 et l'axe x va de -3 à 2. Le graphique représente la fonction « f (x) = (racine carrée de x + 3) + 1 », qui est une fonction courbe croissante qui commence au point (-3, 1). Trois points sont tracés sur la fonction en (-3, 1), (-2, 2) et (1, 3). La fonction a une intersection y à (0, 1 + racine carrée de 3).
Figure\PageIndex{9} : Le graphique def(x)=\sqrt{x+3}+1 possède uny -intercepts mais pas dex -intercepts.
Exercice\PageIndex{4}

Trouvez les zéros def(x)=x^3−5x^2+6x.

Allusion

Facturez le polynôme.

Réponse

x=0,2,3

Exemple\PageIndex{5}: Finding the Height of a Free-Falling Object

Si une balle est lâchée d'une hauteur de 100 pieds, sa hauteur s à la foist est donnée par la fonctions(t)=−16t^2+100, où s est mesuré en pieds ett en secondes. Le domaine est limité à l'intervalle[0,c],t=0 est le moment où la balle est lâchée ett=c le moment où la balle touche le sol.

  1. Créez un tableau indiquant la hauteur s (t) quandt=0,\, 0.5,\, 1,\, 1.5,\, 2, et2.5. À l'aide des données de la table, déterminez le domaine de cette fonction. C'est-à-dire, trouvez l'heure àc laquelle la balle touche le sol.
  2. Esquissez un graphique des.

Solution

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5
s(t) 100 96 84 64 36 0

Puisque la balle touche le sol quandt=2.5, le domaine de cette fonction est l'intervalle[0,2.5].

2.

Image d'un graphique. L'axe y va de 0 à 100 et est intitulé « s (t), hauteur en pieds ». L'axe x va de 0 à 3 et est étiqueté « t, temps en secondes ». Le graphique représente la fonction « s (t) = -16 t au carré + 100 », qui est une fonction courbe décroissante qui commence au point d'intersection y (0, 100). Six points sont tracés sur la fonction à (0, 100), (0,5, 96), (1, 84), (1,5, 64), (2, 36) et (2,5, 0). La fonction possède une intersection X au dernier point (2,5, 0).
Figure\PageIndex{8}, les valeurs def(x) diminuent au fur et à mesurex qu'elles augmentent. Une fonction possédant cette propriété est dite décroissante. D'autre part, pour la fonctionf(x)=\sqrt{x+3}+1 illustrée dans la figure\PageIndex{9}, les valeurs def(x) augmentent à mesure que les valeurs dex augmentent. Une fonction dotée de cette propriété est dite croissante. Il est toutefois important de noter qu'une fonction peut augmenter sur un ou plusieurs intervalles et diminuer sur un ou plusieurs intervalles différents. Par exemple, en utilisant notre fonction de température tracée ci-dessus, nous pouvons voir que la fonction diminue sur l'intervalle(0,4), augmente sur l'intervalle(4,14), puis diminue sur l'intervalle(14,23). Nous précisons l'idée d'une fonction augmentant ou diminuant sur un intervalle donné dans la définition suivante.
Définition : Augmenter et diminuer sur un intervalle

Nous disons qu'une fonctionf augmente sur l'intervalleI si pour tousx_{1},\, x_{2}∈I,

f(x_{1})≤f(x_{2})quandx_{1}<x_{2}.

Nous disons qu'fil augmente strictement sur l'intervalle,I si c'est pour tousx_{1},x_{2}∈I,

f(x_{1})<f(x_{2})quandx_{1}<x_{2}.

Nous disons qu'une fonctionf décroît sur l'intervalleI si pour tousx_{1},x_{2}∈I,

f(x_{1})≥f(x_{2})six_{1}<x_{2}.

Nous disons qu'une fonctionf est strictement décroissante sur l'intervalleI si pour tousx_{1},x_{2}∈I,

f(x_{1})>f(x_{2})six_{1}<x_{2}.

Par exemple, la fonctionf(x)=3x augmente sur l'intervalle(−∞,∞) car à3x_{1}<3x_{2} chaque foisx_{1}<x_{2}. D'autre part, la fonctionf(x)=−x^3 diminue sur l'intervalle(−∞,∞) car à−x^3_{1}>−x^3_{2} chaque foisx_{1}<x_{2} (Figure\PageIndex{10}).

Une image de deux graphiques. Le premier graphe est étiqueté « a » et possède la fonction « f (x) = 3x », qui est une ligne droite croissante qui passe par l'origine. Le deuxième graphique est intitulé « b » et représente la fonction « f (x) = -x cubed », qui est une fonction courbe qui diminue jusqu'à ce que la fonction atteigne l'origine où elle devient de niveau, puis diminue à nouveau après l'origine.
Figure\PageIndex{10} : (a) La fonctionf(x)=3x augmente sur l'intervalle(−∞,∞). (b) La fonctionf(x)=−x^3 décroît sur l'intervalle(−∞,∞).

Combinaison de fonctions

Maintenant que nous avons passé en revue les caractéristiques de base des fonctions, nous pouvons voir ce qu'il advient de ces propriétés lorsque nous combinons des fonctions de différentes manières, en utilisant des opérations mathématiques de base pour créer de nouvelles fonctions. Par exemple, si le coût de fabrication d'xarticles pour une entreprise est décrit par la fonctionC(x) et que les recettes générées par la vente d'xarticles sont décrites par la fonctionR(x), alors le bénéfice sur la fabrication et la vente desx articles est défini commeP(x)=R(x)−C(x). En utilisant la différence entre deux fonctions, nous avons créé une nouvelle fonction.

Nous pouvons également créer une nouvelle fonction en composant deux fonctions. Par exemple, étant donné les fonctionsf(x)=x^2 etg(x)=3x+1, la fonction compositef∘g est définie de telle sorte que

(f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x))^2=(3x+1)^2. \nonumber

La fonction compositeg∘f est définie de telle sorte que

(g∘f)(x)=g(f(x))=3f(x)+1=3x^2+1. \nonumber

Notez que ces deux nouvelles fonctions sont différentes l'une de l'autre.

Combinaison de fonctions avec des opérateurs mathématiques

Pour combiner des fonctions à l'aide d'opérateurs mathématiques, il suffit d'écrire les fonctions avec l'opérateur et de les simplifier. Avec deux fonctionsfg, nous pouvons définir quatre nouvelles fonctions :

(f+g)(x)=f(x)+g(x) Somme
(f−g)(x)=f(x)−g(x) Différence
(f·g)(x)=f(x)g(x) Produit
(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}pourg(x)≠0 Quotient
Exemple\PageIndex{6}: Combining Functions Using Mathematical Operations

À partir des fonctionsf(x)=2x−3 etg(x)=x^2−1, recherchez chacune des fonctions suivantes et indiquez son domaine.

  1. (f+g)(x)
  2. (f−g)(x)
  3. (f·g)(x)
  4. \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)

Solution

1. (f+g)(x)=(2x−3)+(x^2−1)=x^2+2x−4.

Le domaine de cette fonction est l'intervalle(−∞,∞).

2. (f−g)(x)=(2x−3)−(x^2−1)=−x^2+2x−2.

Le domaine de cette fonction est l'intervalle(−∞,∞).

3. (f·g)(x)=(2x−3)(x^2−1)=2x^3−3x^2−2x+3.

Le domaine de cette fonction est l'intervalle(−∞,∞).

4. \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{2x−3}{x^2−1}.

Le domaine de cette fonction est\{x\,|\,x≠±1\}.

Exercice\PageIndex{6}

Pourf(x)=x^2+3 etg(x)=2x−5, trouvez(f/g)(x) et indiquez son domaine.

Allusion

La nouvelle fonction(f/g)(x) est un quotient de deux fonctions. Pour quelles valeurs dex est le dénominateur zéro ?

Réponse

\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2+3}{2x−5}.Le domaine est\{x\,|\,x≠\frac{5}{2}\}.

Composition de la fonction

Lorsque nous composons des fonctions, nous prenons une fonction d'une fonction. Supposons, par exemple, queT la température d'un jour donné soit décrite en fonction du tempst (mesurée en heures après minuit), comme dans le tableau\PageIndex{1}. Supposons que le coûtC, pour chauffer ou refroidir un bâtiment pendant 1 heure, puisse être décrit en fonction de la températureT. En combinant ces deux fonctions, nous pouvons décrire le coût du chauffage ou de la climatisation d'un bâtiment en fonction du temps en évaluantC(T(t)). Nous avons défini une nouvelle fonction, désignéeC∘T, qui est définie de telle sorte que(C∘T)(t)=C(T(t)) pour toust dans le domaine deT. Cette nouvelle fonction est appelée fonction composite. Nous remarquons que puisque le coût est fonction de la température et que la température est fonction du temps, il est logique de définir cette nouvelle fonction(C∘T)(t). Cela n'a aucun sens à prendre en compte(T∘C)(t), car la température n'est pas fonction du coût.

Définition : Fonctions composites

Considérez la fonctionf avec domaineA et plageB, et la fonctiong avec domaineD et plageE. SiB est un sous-ensemble deD, alors la fonction composite(g∘f)(x) est la fonction dont le domaine estA tel que

(g∘f)(x)=g(f(x)) \nonumber

Une fonction compositeg∘f peut être visualisée en deux étapes. Tout d'abord, la fonctionf mappe chaque entréex du domaine def à sa sortief(x) dans la plage def. Deuxièmement, étant donné que la plage def est un sous-ensemble du domaine deg, la sortief(x) est un élément du domaine deg, et elle est donc mappée à une sortie situéeg(f(x)) dans la plage deg. Dans la figure\PageIndex{11}, nous voyons une image visuelle d'une fonction composite.

Une image composée de trois éléments. Le premier élément est une bulle bleue portant deux étiquettes : « domaine de f » et « domaine de g de f ». Cet article contient les chiffres 1, 2 et 3. Le deuxième élément est constitué de deux bulles : une bulle orange étiquetée « domaine de g » et une bulle bleue entièrement contenue dans la bulle orange et étiquetée « plage de f ». La bulle bleue contient les chiffres 0 et 1, qui sont donc également contenus dans la plus grande bulle orange. La bulle orange contient deux nombres qui ne figurent pas dans la plus petite bulle bleue, à savoir 2 et 3. Le troisième élément est constitué de deux bulles : une bulle orange étiquetée « plage de g » et une bulle bleue entièrement contenue dans la bulle orange et étiquetée « plage de g de f ». La bulle bleue contient les chiffres 4 et 5, qui sont donc également contenus dans la plus grande bulle orange. La bulle orange contient un chiffre qui ne figure pas dans la plus petite bulle bleue, qui est le chiffre 3. Le premier élément pointe possède une flèche bleue avec l'étiquette « f » qui pointe vers la bulle bleue du second élément. La bulle orange du deuxième élément possède une flèche orange nommée « g » qui pointe la bulle orange du troisième élément. Le premier élément possède une flèche bleue étiquetée « g de f » qui pointe vers la bulle bleue du troisième élément. Trois flèches bleues pointent des chiffres du premier élément vers les numéros contenus dans la bulle bleue du second élément. La première flèche bleue pointe du 1 vers le 0, la deuxième flèche bleue pointe du 2 vers le 1 et la troisième flèche bleue pointe du 3 vers le 0. Il y a 4 flèches oranges pointant des chiffres contenus dans la bulle orange du deuxième élément, y compris ceux également contenus dans la bulle bleue du deuxième élément, vers les numéros contenus dans la bulle orange du troisième élément, y compris les chiffres de la bulle bleue du troisième élément. La première flèche orange pointe de 2 à 3, la deuxième flèche orange pointe de 3 à 5, la troisième flèche orange pointe de 0 à 4 et la quatrième flèche orange pointe de 1 à 5.
Figure\PageIndex{11} : Pour la fonction compositeg∘f, nous avons(g∘f)(1)=4,(g∘f)(2)=5, et(g∘f)(3)=4.
Exemple\PageIndex{7}: Compositions of Functions Defined by Formulas

Tenez compte des fonctionsf(x)=x^2+1 etg(x)=1/x.

  1. Trouvez(g∘f)(x) et indiquez son domaine et sa gamme.
  2. Évaluer(g∘f)(4),(g∘f)(−1/2).
  3. Trouvez(f∘g)(x) et indiquez son domaine et sa gamme.
  4. Évaluer(f∘g)(4),(f∘g)(−1/2).

Solution

1. Nous pouvons trouver la formule de deux(g∘f)(x) manières différentes. Nous pourrions écrire

(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1)=\dfrac{1}{x^2+1}.

Sinon, nous pourrions écrire

(g∘f)(x)=g(f(x))=\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{x^2+1}.

Puisquex^2+1≠0 pour tous les nombres réels,x, le domaine de(g∘f)(x) est l'ensemble de tous les nombres réels. Depuis0<1/(x^2+1)≤1, la plage est, tout au plus, l'intervalle(0,1]. Pour montrer que la plage correspond à la totalité de cet intervalle, nous allonsy=1/(x^2+1) résoudre cette équation pourx montrer que pour tout ce qui se trouvey dans l'intervalle(0,1], il existe un nombre réelx tel quey=1/(x^2+1). En résolvant cette équation,x, nous voyons quex^2+1=1/y, ce qui implique que

x=±\sqrt{\frac{1}{y}−1}

Siy c'est dans l'intervalle(0,1], l'expression sous le radical n'est pas négative, et il existe donc un nombre réelx tel que1/(x^2+1)=y. Nous concluons que la plage deg∘f est l'intervalle(0,1].

2. (g∘f)(4)=g(f(4))=g(4^2+1)=g(17)=\frac{1}{17}

(g∘f)(−\frac{1}{2})=g(f(−\frac{1}{2}))=g((−\frac{1}{2})^2+1)=g(\frac{5}{4})=\frac{4}{5}

3. Nous pouvons trouver une formule(f∘g)(x) de deux manières. Tout d'abord, nous pourrions écrire

(f∘g)(x)=f(g(x))=f(\frac{1}{x})=(\frac{1}{x})^2+1.

Sinon, nous pourrions écrire

(f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x))^2+1=(\frac{1}{x})^2+1.

Le domaine def∘g est l'ensemble de tous les nombres réelsx tels quex≠0. Pour trouver la plage de,f, nous devons trouver toutes les valeursy pour lesquelles il existe un nombre réelx≠0 tel que

\left(\dfrac{1}{x}\right)^2+1=y.

Résoudre cette équationx, car nous voyons que nousx devons satisfaire

\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=y−1,

ce qui simplifie

\dfrac{1}{x}=±\sqrt{y−1}

Enfin, nous obtenons

x=±\dfrac{1}{\sqrt{y−1}}.

Puisque1/\sqrt{y−1} est un nombre réel si et seulement siy>1, la plage def est définie\{y\,|\,y≥1\}.

4. (f∘g)(4)=f(g(4))=f(\frac{1}{4})=(\frac{1}{4})^2+1=\frac{17}{16}

(f∘g)(−\frac{1}{2})=f(g(−\frac{1}{2}))=f(−2)=(−2)^2+1=5

Dans l'exemple\PageIndex{7}, nous pouvons le voir(f∘g)(x)≠(g∘f)(x). Cela nous indique, en termes généraux, que l'ordre dans lequel nous composons les fonctions est important.

Exercice\PageIndex{7}

Laissezf(x)=2−5x. Laissezg(x)=\sqrt{x}. trouver(f∘g)(x).

Solution

(f∘g)(x)=2−5\sqrt{x}.

Exemple\PageIndex{8}: Composition of Functions Defined by Tables

Examinezf les fonctionsg décrites par

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) 0 4 2 4 -2 0 -2 4
x -4 -2 0 2 4
g(x) 1 0 3 0 5
  1. Évaluer(g∘f)(3),(g∘f)(0).
  2. Indiquez le domaine et la portée de(g∘f)(x).
  3. Évaluer(f∘f)(3),(f∘f)(1).
  4. Indiquez le domaine et la portée de(f∘f)(x).

Solution :

1. (g∘f)(3)=g(f(3))=g(−2)=0

(g∘f)(0)=g(4)=5

2. Le domaine deg∘f est l'ensemble\{−3,−2,−1,0,1,2,3,4\}. Puisque la plage def est l'ensemble,\{−2,0,2,4\}, la plage deg∘f est l'ensemble\{0,3,5\}.

3. (f∘f)(3)=f(f(3))=f(−2)=4

(f∘f)(1)=f(f(1))=f(−2)=4

4. Le domaine def∘f est l'ensemble\{−3,−2,−1,0,1,2,3,4\}. Puisque la plage def est l'ensemble,\{−2,0,2,4\}, la plage def∘f est l'ensemble\{0,4\}.

Exemple\PageIndex{9}: Application Involving a Composite Function

Un magasin annonce une vente de 20 % sur toutes ses marchandises. Caroline dispose d'un coupon qui lui donne droit à une réduction supplémentaire de 15 % sur tout article, y compris la marchandise en solde. Si Caroline décide d'acheter un article au prix initial dex dollars, combien finira-t-elle par payer si elle applique son coupon au prix de vente ? Résolvez ce problème à l'aide d'une fonction composite.

Solution

Puisque le prix de vente est inférieur de 20 % au prix initial, si un article estx en dollars, son prix de vente est indiqué parf(x)=0.80x. Puisque le coupon donne droit à une réduction de 15 % sur le prix de n'importe quel article, s'il s'agit d'un article eny dollars, le prix, après application du coupon, est donné par g (y) =0,85 an. Par conséquent, si le prix est initialementx en dollars, son prix de vente le sera,f(x)=0.80x puis son prix final après le coupon serag(f(x))=0.85(0.80x)=0.68x.

Exercice\PageIndex{9}

Si les articles sont en solde avec 10 % de réduction sur leur prix initial et qu'un client dispose d'un coupon de réduction supplémentaire de 30 %, quel sera le prix final d'un article initialement enx dollars, après avoir appliqué le coupon au prix de vente ?

Allusion

Le prix de vente d'un article dont le prix initial estx en dollars est def(x)=0.90x. Le prix du coupon pour un article eny dollars est deg(y)=0.70y.

Solution

(g∘f)(x)=0.63x

Symétrie des fonctions

Les graphes de certaines fonctions possèdent des propriétés de symétrie qui nous aident à comprendre la fonction et la forme de son graphe. Par exemple, considérez la fonctionf(x)=x^4−2x^2−3 illustrée dans la figure\PageIndex{12a}. Si nous prenons la partie de la courbe située à droite de l'yaxe -et que nous la retournons par-dessus l'yaxe, elle se trouve exactement au-dessus de la courbe, à gauche de l'yaxe. Dans ce cas, nous disons que la fonction présente une symétrie par rapport ày l'axe. D'autre part, considérez la fonctionf(x)=x^3−4x illustrée dans la figure\PageIndex{12b}. Si nous prenons le graphique et que180° nous le faisons pivoter autour de l'origine, le nouveau graphique aura exactement la même apparence. Dans ce cas, nous disons que la fonction présente une symétrie par rapport à l'origine.

Une image de deux graphiques. Le premier graphe est intitulé « (a), symétrie autour de l'axe y » et représente la fonction courbe « f (x) = (x au 4e) - 2 (x au carré) - 3 ». L'axe x va de -3 à 4 et l'axe y va de -4 à 5. Cette fonction diminue jusqu'à atteindre le point (-1, -4), qui est le minimum de la fonction. Ensuite, le graphique augmente jusqu'au point (0,3), qui est un maximum local. Ensuite, le graphique diminue jusqu'à atteindre le point (1, -4), avant d'augmenter à nouveau. Le deuxième graphique est intitulé « (b), symétrie par rapport à l'origine » et représente la fonction courbe « f (x) = x cubed - 4x ». L'axe x va de -3 à 4 et l'axe y va de -4 à 5. Le graphique de la fonction commence à l'intersection x en (-2, 0) et augmente jusqu'au point approximatif de (-1,2, 3,1). La fonction diminue ensuite, en passant par l'origine, jusqu'à atteindre le point approximatif de (1,2, -3,1). La fonction recommence alors à augmenter et possède une autre intersection x à (2, 0).
Figure\PageIndex{12} : (a) Un graphique symétrique par rapport à l'yaxe. (b) Un graphique symétrique par rapport à l'origine.

Si l'on nous donne le graphe d'une fonction, il est facile de voir si le graphe possède l'une de ces propriétés de symétrie. Mais sans graphique, comment déterminer algébriquement si une fonctionf possède une symétrie ? En regardant à\PageIndex{12a} nouveau la figure, nous voyons que puisquef est symétrique par rapport à l'yaxe Y, si le point(x,y) se trouve sur le graphique,(−x,y) il se trouve sur le graphique. En d'autres termes,f(−x)=f(x). Si une fonctionf possède cette propriété, on dit qu'fil s'agit d'une fonction paire, qui présente une symétrie autour dey l'axe. Par exemple,f(x)=x^2 c'est même parce que

f(−x)=(−x)^2=x^2=f(x).

En revanche, si vous regardez à\PageIndex{12b} nouveau la figure, si une fonctionf est symétrique par rapport à l'origine, chaque fois que le point(x,y) se trouve sur le graphique,(−x,−y) il figure également sur le graphique. En d'autres termes,f(−x)=−f(x). Sif elle a cette propriété, nous disons que c'fest une fonction étrange, qui a une symétrie par rapport à l'origine. Par exemple,f(x)=x^3 c'est étrange parce que

f(−x)=(−x)^3=−x^3=−f(x).

Définition : fonctions paires et impaires
  • Sif(x)=f(−x) pour tout le monde estx dans le domaine def, alorsf est une fonction paire. Une fonction paire est symétrique par rapport à l'yaxe.
  • Sif(−x)=−f(x) pour tout estx dans le domaine def, alorsf est une fonction étrange. Une fonction étrange est symétrique par rapport à l'origine.
Exemple\PageIndex{10}: Even and Odd Functions

Déterminez si chacune des fonctions suivantes est paire, impaire ou aucune.

  1. f(x)=−5x^4+7x^2−2
  2. f(x)=2x^5−4x+5
  3. f(x)=\frac{3x}{x^2+1}

Solution

Pour déterminer si une fonction est paire ou impaire, nous l'évaluonsf(−x) et la comparons àf(x) et−f(x).

1. f(−x)=−5(−x)^4+7(−x)^2−2=−5x^4+7x^2−2=f(x).Donc,f c'est égal.

2. f(−x)=2(−x)^5−4(−x)+5=−2x^5+4x+5.Maintenant, enf(−x)≠f(x). outre, en notant cela−f(x)=−2x^5+4x−5, nous voyons quef(−x)≠−f(x). Par conséquent,f ce n'est ni pair ni étrange.

3. f(−x)=3(−x)/((−x)2+1)=−3x/(x^2+1)=−[3x/(x^2+1)]=−f(x).Par conséquent,f c'est étrange.

Exercice\PageIndex{10}

Déterminez s'ilf(x)=4x^3−5x est pair, impair ou aucun des deux.

Allusion

Comparezf(−x) avecf(x) et−f(x).

Réponse

f(x)C'est étrange.

Une fonction symétrique qui apparaît fréquemment est la fonction de valeur absolue, écrite sous la forme|x|. La fonction de valeur absolue est définie comme

f(x)=\begin{cases} -x, & \text{if }x<0 \\ x, & \text{if } x≥0 \end{cases} \nonumber

Certains élèves décrivent cette fonction en disant qu'elle « rend tout positif ». Par la définition de la fonction de valeur absolue, nous voyons que six<0, alors|x|=−x>0, et six>0, alors|x|=x>0. Cependant, pourx=0,|x|=0. Donc, il est plus précis de dire que pour toutes les entrées non nulles, la sortie est positive, mais six=0, la sortie|x|=0. Nous concluons que la plage de la fonction de valeur absolue est\{y\,|\,y≥0\}. dans la figure\PageIndex{13}, nous voyons que la fonction de valeur absolue est symétrique par rapport à l'yaxe -et est donc une fonction paire.

Image d'un graphique. L'axe x va de -3 à 3 et l'axe y va de -4 à 4. Le graphique représente la fonction « f (x) = valeur absolue de x ». Le graphique commence au point (-3, 3) et diminue en ligne droite jusqu'à atteindre l'origine. Ensuite, le graphique augmente en ligne droite jusqu'à atteindre le point (3, 3).
Figure\PageIndex{13} : Le graphique def(x)=|x| est symétrique par rapport à l'yaxe.
Exemple\PageIndex{11}: Working with the Absolute Value Function

Déterminez le domaine et la plage de la fonctionf(x)=2|x−3|+4.

Solution

Puisque la fonction de valeur absolue est définie pour tous les nombres réels, le domaine de cette fonction est(−∞,∞). Car|x−3|≥0 pour tousx, la fonctionf(x)=2|x−3|+4≥4. Par conséquent, la gamme est, tout au plus, l'ensemble\{y\,|\,y≥4\}. Pour voir que la gamme est, en fait, l'ensemble de cet ensemble, nous devons montrer qu'y≥4il existe un nombre réelx tel que

2|x−3|+4=y

Un nombre réelx satisfait cette équation tant que

|x−3|=\frac{1}{2}(y−4)

Puisquey≥4, nous le savonsy−4≥0, le côté droit de l'équation n'est pas négatif, il est donc possible qu'il y ait une solution. En outre,

|x−3|=\begin{cases} −(x−3), & \text{if } x<3\\x−3, & \text{if } x≥3\end{cases}

Nous voyons donc qu'il existe deux solutions :

x=±\frac{1}{2}(y−4)+3.

La plage de cette fonction est\{y\,|\,y≥4\}.

Exercice\PageIndex{11}: Domain and Range

Pour la fonctionf(x)=|x+2|−4, recherchez le domaine et la plage.

Allusion

|x+2|≥0pour tous les nombres réelsx.

Réponse

Domaine =(−∞,∞), plage =\{y\,|\,y≥−4\}.

Concepts clés

  • Une fonction est un mappage entre un ensemble d'entrées et un ensemble de sorties avec exactement une sortie pour chaque entrée.
  • Si aucun domaine n'est indiqué pour une fonction,y=f(x), le domaine est considéré comme l'ensemble de tous les nombres réelsx pour lesquels la fonction est définie.
  • Lorsque vous esquissez le graphe d'une fonction,f, chaque ligne verticale peut croiser le graphe, au plus une fois.
  • Une fonction peut avoir n'importe quel nombre de zéros, mais elle possède au maximum uny -intercept.
  • Pour définir la compositiong∘f, la plage def doit être comprise dans le domaine deg.
  • Les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'yaxe -tandis que les fonctions impaires sont symétriques par rapport à l'origine.

Équations clés

  • Composition de deux fonctions

(g∘f)(x)=g\big(f(x)\big)

  • Fonction de valeur absolue

f(x)=\begin{cases}−x, & \text{if } x<0\\x, & \text{if } x≥0\end{cases}

Lexique

fonction de valeur absolue
f(x)=\begin{cases}−x, & \text{if } x<0\\x, & \text{if } x≥0\end{cases}
fonction composite
étant donné deux fonctionsf etg, une nouvelle fonction, désignéeg∘f, telle que(g∘f)(x)=g(f(x))
décroissant sur l'intervalleI
une fonction décroissante sur l'intervalleI si, pour toutx_1,\,x_2∈I,\;f(x_1)≥f(x_2) six_1<x_2
variable dépendante
la variable de sortie d'une fonction
domaine
l'ensemble des entrées pour une fonction
fonction uniforme
une fonction est paire sif(−x)=f(x) pour tous estx dans le domaine def
fonction
un ensemble d'entrées, un ensemble de sorties et une règle pour mapper chaque entrée sur exactement une sortie
graphe d'une fonction
l'ensemble de points(x,y) tel qu'ilx se trouve dans le domaine def ety=f(x)
augmentant sur l'intervalleI
une fonction augmentant sur l'intervalleI if for allx_1,\,x_2∈I,\;f(x_1)≤f(x_2) ifx_1<x_2
variable indépendante
la variable d'entrée d'une fonction
fonction étrange
une fonction est étrange si elle estf(−x)=−f(x) pour toutesx dans le domaine def
gamme
l'ensemble des sorties pour une fonction
symétrie par rapport à l'origine
le graphe d'une fonctionf est symétrique par rapport à l'origine s'il(−x,−y) se trouve sur le graphe ou àf chaque fois qu'(x,y)il se trouve sur le graphique
symétrie autour dey l'axe
le graphe d'une fonctionf est symétrique par rapport à l'yaxe -s' il(−x,y) se trouve sur le graphe ouf chaque fois qu'(x,y)il se trouve sur le graphique
table de valeurs
un tableau contenant la liste des entrées et leurs sorties correspondantes
test de ligne verticale
étant donné le graphe d'une fonction, chaque ligne verticale croise le graphe, au plus une fois
zéros d'une fonction
lorsqu'un nombre réelx est le zéro d'une fonctionf,\;f(x)=0