12 : Géométrie analytique
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Dans ce chapitre, nous étudierons les figures bidimensionnelles qui se forment lorsqu'un cône circulaire droit est croisé par un plan. Nous allons commencer par étudier chacune des trois figures créées de cette manière. Nous développerons des équations de définition pour chaque figure, puis nous apprendrons à utiliser ces équations pour résoudre divers problèmes. Les sections coniques se forment lorsqu'un plan croise deux cônes circulaires droits alignés bout à bout et s'étendant à l'infini dans des directions opposées, que nous appelons également cône. La manière dont nous découpons le cône déterminera le type de section conique formée à l'intersection. Un cercle est formé en tranchant un cône avec un plan perpendiculaire à l'axe de symétrie du cône. Une ellipse est formée en tranchant un cône unique avec un plan incliné non perpendiculaire à l'axe de symétrie.
- 12.0 : Prélude à la géométrie analytique
- Dans ce chapitre, nous étudierons les figures bidimensionnelles qui se forment lorsqu'un cône circulaire droit est croisé par un plan. Nous allons commencer par étudier chacune des trois figures créées de cette manière. Nous développerons des équations de définition pour chaque figure, puis nous apprendrons à utiliser ces équations pour résoudre divers problèmes.
- 12.1 : L'Ellipse
- Les principales caractéristiques de l'ellipse sont son centre, ses sommets, ses co-sommets, ses foyers, ainsi que la longueur et la position des axes principaux et secondaires. Comme pour les autres équations, nous pouvons identifier toutes ces caractéristiques simplement en examinant la forme standard de l'équation. Il existe quatre variantes de la forme standard de l'ellipse. Ces variations sont classées d'abord en fonction de l'emplacement du centre (origine ou non), puis en fonction de la position (horizontale ou verticale). Chacune d'entre elles est présentée ici.
- 12.2 : L'hyperbole
- En géométrie analytique, une hyperbole est une section conique formée en croisant un cône circulaire droit avec un plan formant un angle tel que les deux moitiés du cône se croisent. Cette intersection produit deux courbes non bornées distinctes qui sont des images miroir l'une de l'autre.
- 12.3 : La parabole
- Comme l'ellipse et l'hyperbole, la parabole peut également être définie par un ensemble de points dans le plan de coordonnées. Une parabole est l'ensemble de tous les points d'un plan qui se trouvent à la même distance d'une ligne fixe, appelée directrice, et d'un point fixe (le point focal) qui ne se trouve pas sur la directrice.
- 12.4 : Rotation des axes
- Dans cette section, nous allons apprendre à définir n'importe quelle conique du système de coordonnées polaires en termes de point fixe, de foyer au pôle, et d'une ligne, la directrice, perpendiculaire à l'axe polaire.
- 12.5 : Sections coniques en coordonnées polaires
- Dans cette section, nous allons apprendre à définir n'importe quelle conique du système de coordonnées polaires en termes de point fixe, de foyer au pôle, et d'une ligne, la directrice, perpendiculaire à l'axe polaire.
Miniature : Les sections coniques peuvent également être décrites par un ensemble de points dans le plan de coordonnées. Cette section se concentre sur les quatre variantes de la forme standard de l'équation pour l'ellipse. Une ellipse est l'ensemble de tous les points (x, y) (x, y) d'un plan de telle sorte que la somme de leurs distances par rapport à deux points fixes soit une constante. Chaque point fixe est appelé foyer (pluriel : foyer).