10.5E : Exercices

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La pratique rend la perfection

Reconnaître le graphe d'une équation quadratique à deux variables

Dans les exercices suivants, tracez un graphique :

Exemple$\PageIndex{37}$

$y=x^2+3$

Réponse: $Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. La parabole a un sommet en (0, 3) et passe par le point (1, 4).$

Exemple$\PageIndex{38}$:

$y=−x^2+1$

Dans les exercices suivants, déterminez si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas.

Exemple$\PageIndex{39}$

$y=−2x^2−6x−7$

Réponse: vers le bas

Exemple$\PageIndex{40}$:

$y=6x^2+2x+3$

Exemple$\PageIndex{41}$

y=4x^2+x−4

Réponse: en haut

Exemple$\PageIndex{42}$:

$y=−9x^2−24x−16$

Trouvez l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole

Dans les exercices suivants, trouvez ⓐ l'axe de symétrie et ⓑ le sommet.

Exemple$\PageIndex{43}$

$y=x^2+8x−1$

Réponse: ⓐ x=−4 ⓑ (−4, −17)

Exemple$\PageIndex{44}$:

$y=x^2+10x+25$

Exemple$\PageIndex{45}$

$y=−x^2+2x+5$

Réponse: ⓐ x=1 ⓑ (1,6)

Exemple$\PageIndex{46}$:

$y=−2x^2−8x−3$

Trouvez les points d'intersection d'une parabole

Dans les exercices suivants, trouvez les points d'intersection x et y.

Exemple$\PageIndex{47}$

$y=x^2+7x+6$

Réponse: y : (0,6) ; x : (−1,0), (−6,0)

Exemple$\PageIndex{48}$:

$y=x^2+10x−11$

Exemple$\PageIndex{49}$

$y=−x^2+8x−19$

Réponse: y : (0, −19) ; x : aucun

Exemple$\PageIndex{50}$:

$y=x^2+6x+13$

Exemple$\PageIndex{51}$

$y=4x^2−20x+25$

Réponse: y : (0,25) ; x : (52,0)

Exemple$\PageIndex{52}$:

$y=−x^2−14x−49$

Tracez des équations quadratiques à deux variables

Dans les exercices suivants, tracez un graphique à l'aide des points d'intersection, du sommet et de l'axe de symétrie.

Exemple$\PageIndex{53}$

$y=x^2+6x+5$

Réponse

y : (0,5) ; x : (−1,0), (−5,0) ;
axe : x=−3 ; sommet :( −3, −4)

$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. La parabole comporte des points tracés au sommet (-3, -4) et aux points d'intersection (-5, 0), (-1, 0) et (0, 5). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -3.$

Exemple$\PageIndex{54}$:

$y=x^2+4x−12$

Exemple$\PageIndex{55}$

$y=x^2+4x+3$

Réponse

y : (0,3) ; x : (−1,0), (−3,0) ;
axe : x=−2 ; sommet :( −2, −1)

$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. La parabole comporte des points tracés au sommet (-2, -1) et les points d'intersection (-1, 0), (-3, 0) et (0, 3). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -2.$

Exemple$\PageIndex{56}$:

$y=x^2−6x+8$

Exemple$\PageIndex{57}$

$y=9x^2+12x+4$

Réponse

y : (0,4) ; x :$(−\frac{2}{3},0)$ ;
axe :$(−\frac{2}{3}$ ; sommet :$(−\frac{2}{3},0)$

$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -5 à 5. L'axe Y du plan va de -5 à 5. Les points de la parabole sont tracés au sommet (-2 tiers, 0) et à l'intersection (0, 4). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet en x égal à -2 tiers.$

Exemple$\PageIndex{58}$:

$y=−x^2+8x−16$

Exemple$\PageIndex{59}$

$y=−x^2+2x−7$

Réponse

y : (0, −7) ; x : aucun ;
axe : x=1 ; sommet :( 1, −6)

$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan s'étend de -15 à 5. Les points de la parabole sont tracés au sommet (1, -6) et à l'intersection (0, -7). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 1.$

Exemple$\PageIndex{60}$:

$y=5x^2+2$

Exemple$\PageIndex{61}$

$y=2x^2−4x+1$

Réponse: y : (0,1) ; x : (1,7,0), (0,3,0) ;
axe : x=1 ; sommet :( 1, −1)
$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. La parabole comporte des points tracés au sommet (1, -1) et aux points d'intersection (1,7, 0), (0,3, 0) et (0, 1). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 1.$

Exemple$\PageIndex{62}$:

$y=−4x^2−6x−2$

Exemple$\PageIndex{63}$

$y=−x^2−4x+2$

Réponse

y : (0,2) ; x : (−4,4,0), (0,4,0) ;
axe : x=−2 ; sommet :( −2,6)

$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. La parabole comporte des points tracés au sommet (-2, 6) et les points d'intersection (-4,4, 0), (0,4, 0) et (0, 2). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -2.$

Exemple$\PageIndex{64}$:

$y=x^2+6x+8$

Exemple$\PageIndex{65}$

$y=5x^2−10x+8$

Réponse

y : (0,8) ; x : aucun ;
axe : x=1 ; sommet : (1,3)

$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. La parabole comporte des points tracés au sommet (1, 3) et à l'intersection (0, 8). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à 1.$

Exemple$\PageIndex{66}$:

$y=−16x^2+24x−9$

Exemple$\PageIndex{67}$

$y=3x^2+18x+20$

Réponse

y : (0,20) ; x : (−4,5,0), (−1,5,0)
axe : x=−3 ; sommet :( −3, −7)

$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le haut tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan va de -10 à 10. L'axe Y du plan va de -10 à 10. Les points de la parabole sont tracés au sommet (-3, -7) et les points d'intersection (-4,5, 0) et (-1,5, 0). Sur le graphique figure également une ligne verticale en pointillés représentant l'axe de symétrie. La ligne passe par le sommet où x est égal à -3.$

Exemple$\PageIndex{68}$:

$y=−2x^2+8x−10$

Résolvez les applications maximales et minimales

Dans les exercices suivants, déterminez la valeur maximale ou minimale.

Exemple$\PageIndex{69}$

$y=2x^2+x−1$

Réponse: La valeur minimale est$−\frac{9}{8}$ quand$x=−\frac{1}{4}$.

Exemple$\PageIndex{70}$:

$y=−4x^2+12x−5$

Exemple$\PageIndex{71}$

$y=x^2−6x+15$

Réponse: La valeur minimale est 6 lorsque x=3.

Exemple$\PageIndex{72}$:

$y=−x^2+4x−5$

Exemple$\PageIndex{73}$

$y=−9x^2+16$

Réponse: La valeur maximale est 16 lorsque x=0.

Exemple$\PageIndex{74}$:

$y=4x^2−49$

Dans les exercices suivants, résolvez. Arrondissez les réponses au dixième le plus proche.

Exemple$\PageIndex{75}$

Une flèche est tirée verticalement vers le haut depuis une plate-forme de 45 pieds de haut à une vitesse de 168 pieds/sec. Utilisez l'équation quadratique$h=−16t^2+168t+45$ pour déterminer le temps qu'il faudra à la flèche pour atteindre sa hauteur maximale, puis déterminez la hauteur maximale.

Réponse: En 5,3 secondes, la flèche atteindra une hauteur maximale de 486 pieds.

Exemple$\PageIndex{76}$:

Une pierre est lancée verticalement vers le haut depuis une plate-forme de 20 pieds de haut à une vitesse de 160 pieds/sec. Utilisez l'équation quadratique$h=−16t^2+160t+20$ pour déterminer le temps qu'il faudra à la pierre pour atteindre sa hauteur maximale, puis déterminez la hauteur maximale.

Exemple$\PageIndex{77}$

Un propriétaire de magasin d'informatique estime qu'en facturant x dollars chacun pour un ordinateur donné, il peut vendre$40−x$ des ordinateurs chaque semaine. L'équation quadratique$R=−x^2+40x$ est utilisée pour déterminer le revenu, R, reçu lorsque le prix de vente d'un ordinateur est x. Trouvez le prix de vente qui lui donnera le revenu maximum, puis déterminez le montant du revenu maximum.

Réponse: 20 ordinateurs donneront un reçu maximum de 400$.

Exemple$\PageIndex{78}$:

Un détaillant qui vend des sacs à dos estime qu'en les vendant pour x dollars chacun, il sera en mesure de vendre des$100−x$ sacs à dos par mois. L'équation quadratique$R=−x^2+100x$ est utilisée pour trouver le R reçu lorsque le prix de vente d'un sac à dos est x. Trouvez le prix de vente qui lui donnera le revenu maximum, puis déterminez le montant du revenu maximum.

Exemple$\PageIndex{79}$

Un éleveur va clôturer trois côtés d'un corral au bord d'une rivière. Il doit maximiser la zone du corral en utilisant 240 pieds de clôtures. L'équation quadratique A=x (240−2x) donne la superficie du corral, A, pour la longueur, x, du corral le long de la rivière. Trouvez la longueur du corral le long de la rivière qui donnera la superficie maximale, puis trouvez la superficie maximale du corral.

Réponse: La longueur du côté le long de la rivière du corral est de 120 pieds et la superficie maximale est de 7 200 pieds carrés.

Exemple$\PageIndex{80}$:

Un vétérinaire enferme une aire de course extérieure rectangulaire contre son bâtiment pour les chiens dont il s'occupe. Il doit maximiser la surface en utilisant une clôture de 100 pieds. L'équation quadratique$A=x(100−2x)$ donne la surface, A, du parc à chiens sur la longueur, x, du bâtiment qui bordera le parc à chiens. Déterminez la longueur du bâtiment qui doit border le parc à chiens pour obtenir la superficie maximale, puis déterminez la surface maximale du parc à chiens.

Mathématiques quotidiennes

Exemple$\PageIndex{81}$

Dans la série d'exercices précédente, vous avez utilisé l'équation quadratique$R=−x^2+40x$ qui modélisait les recettes provenant de la vente d'ordinateurs au prix de x dollars. Vous avez trouvé le prix de vente qui permettrait d'obtenir le chiffre d'affaires maximal et vous avez calculé le revenu maximum. Vous allez maintenant examiner plus de caractéristiques de ce modèle.
1. Tracez l'équation$R=−x^2+40x$.

2. Trouvez les valeurs des x -intercepts.

Réponse

1.
$Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le bas tracée sur le plan de coordonnées x y. L'axe X du plan s'étend de -10 à 60. L'axe Y du plan s'étend de -50 à 500. La parabole a un sommet en (20, 400) et passe également par les points (0, 0) et (40, 0).$

2. (0,0), (40,0)

Exemple$\PageIndex{82}$:

lors de la série d'exercices précédente, vous avez travaillé avec l'équation quadratique$R=−x^2+100x$ qui modélisait les revenus provenant de la vente de sacs à dos au prix de x dollars. Vous avez trouvé le prix de vente qui permettrait d'obtenir le chiffre d'affaires maximal et vous avez calculé le revenu maximum. Vous allez maintenant examiner plus de caractéristiques de ce modèle.

1. Tracez l'équation$R=−x^2+100x$.

2. Trouvez les valeurs des x -intercepts.

Exercices d'écriture

Exemple$\PageIndex{83}$

Pour le modèle de revenus dans Exercice et exercice, expliquez ce que les interceptions en x signifient pour le propriétaire de la boutique informatique.

Réponse: Les réponses peuvent varier.

Exemple$\PageIndex{84}$:

Pour le modèle de revenus dans Exercise et exercice, expliquez ce que les x -intercepts signifient pour le détaillant de sacs à dos.

Auto-vérification

a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

$Ce tableau comporte six lignes et quatre colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête et elle étiquette chaque colonne. La première colonne est intitulée « Je peux... », la deuxième « En toute confiance », la troisième « Avec de l'aide » et la dernière « Non, je ne comprends pas ». Dans la colonne « Je peux... », la deuxième ligne se lit comme suit : « Résolvez des équations quadratiques en utilisant le quadratique pour reconnaître le graphe d'une équation quadratique en deux variables ». La troisième rangée se lit comme suit : « Trouvez l'axe de symétrie et le sommet d'une parabole ». La quatrième rangée indique « Trouvez les points d'intersection d'une parabole ». La cinquième ligne indique « Tracez des équations quadratiques en deux variables » et la dernière ligne indique « Résoudre les applications maximales et minimales ». Les colonnes restantes sont vides.$

b. Que vous indique cette liste de contrôle sur votre maîtrise de cette section ? Quelles mesures allez-vous prendre pour vous améliorer ?

La pratique rend la perfection

Exemple\(\PageIndex{37}\)

Exemple\(\PageIndex{38}\):

Exemple\(\PageIndex{39}\)

Exemple\(\PageIndex{40}\):

Exemple\(\PageIndex{41}\)

Exemple\(\PageIndex{42}\):

Exemple\(\PageIndex{43}\)

Exemple\(\PageIndex{44}\):

Exemple\(\PageIndex{45}\)

Exemple\(\PageIndex{46}\):

Exemple\(\PageIndex{47}\)

Exemple\(\PageIndex{48}\):

Exemple\(\PageIndex{49}\)

Exemple\(\PageIndex{50}\):

Exemple\(\PageIndex{51}\)

Exemple\(\PageIndex{52}\):

Exemple\(\PageIndex{53}\)

Exemple\(\PageIndex{54}\):

Exemple\(\PageIndex{55}\)

Exemple\(\PageIndex{56}\):

Exemple\(\PageIndex{57}\)

Exemple\(\PageIndex{58}\):

Exemple\(\PageIndex{59}\)

Exemple\(\PageIndex{60}\):

Exemple\(\PageIndex{61}\)

Exemple\(\PageIndex{62}\):

Exemple\(\PageIndex{63}\)

Exemple\(\PageIndex{64}\):

Exemple\(\PageIndex{65}\)

Exemple\(\PageIndex{66}\):

Exemple\(\PageIndex{67}\)

Exemple\(\PageIndex{68}\):

Exemple\(\PageIndex{69}\)

Exemple\(\PageIndex{70}\):

Exemple\(\PageIndex{71}\)

Exemple\(\PageIndex{72}\):

Exemple\(\PageIndex{73}\)

Exemple\(\PageIndex{74}\):

Exemple\(\PageIndex{75}\)

Exemple\(\PageIndex{76}\):

Exemple\(\PageIndex{77}\)

Exemple\(\PageIndex{78}\):

Exemple\(\PageIndex{79}\)

Exemple\(\PageIndex{80}\):

Mathématiques quotidiennes

Exemple\(\PageIndex{81}\)

Exemple\(\PageIndex{82}\):

Exercices d'écriture

Exemple\(\PageIndex{83}\)

Exemple\(\PageIndex{84}\):

Auto-vérification