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9.8 : Exposants rationnels

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Simplifiez les expressions\(a^{\frac{1}{n}}\)
    • Simplifiez les expressions\(a^{\frac{m}{n}}\)
    • Utilisez les lois des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels
    Soyez prêt

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    1. Ajoutez :\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
    2. Simplifiez :\((4x^{2}y^{5})^3\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
    3. Simplifiez :\(5^{−3}\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].

    Simplifiez les expressions\(a^{\frac{1}{n}}\)

    Les exposants rationnels sont une autre façon d'écrire des expressions avec des radicaux. Lorsque nous utilisons des exposants rationnels, nous pouvons appliquer les propriétés des exposants pour simplifier les expressions.

    La propriété de puissance pour les exposants indique que\((a^m)^n=a^{m·n}\) lorsque m et n sont des nombres entiers. Supposons que nous ne soyons plus limités à des nombres entiers.

    Supposons que nous voulions trouver un nombre p tel que\((8^p)^3=8\). Nous utiliserons la propriété de puissance des exposants pour trouver la valeur de p.

    \[\begin{array}{cc} {}&{(8^p)^3=8}\\ {\text{Multiply the exponents on the left.}}&{8^{3p}=8}\\ {\text{Write the exponent 1 on the right.}}&{8^{3p}=8^1}\\ {\text{The exponents must be equal.}}&{3p=1}\\ {\text{Solve for p.}}&{p=\frac{1}{3}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Mais nous le savons aussi\((\sqrt[3]{8})^3=8\). Alors ça doit être ça\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\)

    Cette même logique peut être utilisée pour n'importe quel exposant entier positif n pour le montrer\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

    Définition : EXPOSANT RATIONNEL\(a^{\frac{1}{n}}\)

    C'\(\sqrt[n]{a}\)est un vrai nombre et\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

    Il y aura des moments où il sera plus facile de travailler avec des expressions si vous utilisez des exposants rationnels et des moments où cela sera plus facile si vous utilisez des radicaux. Dans les premiers exemples, vous allez vous entraîner à convertir des expressions entre ces deux notations.

    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    Écrivez comme une expression radicale :

    1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(z^{\frac{1}{4}}\).
    Réponse

    Nous voulons écrire chaque expression dans le formulaire\(\sqrt[n]{a}\).

    1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    Le dénominateur de l'exposant est 2, donc l'indice du radical est 2. Nous n'affichons pas l'indice lorsqu'il est égal à 2. \(\sqrt{x}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    Le dénominateur de l'exposant est 3, donc l'indice est 3. \(\sqrt[3]{y}\)
    3. \(z^\frac{1}{4}}\)
    Le dénominateur de l'exposant est 4, donc l'indice est 4. \(\sqrt[4]{z}\)
    Exemple\(\PageIndex{2}\)

    Écrivez comme une expression radicale :

    1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(r^{\frac{1}{4}}\).
    Réponse
    1. \(\sqrt{t}\)
    2. \(\sqrt[3]{m}\)
    3. \(\sqrt[4]{r}\)
    Exemple\(\PageIndex{3}\)

    Écrivez comme une expression radicale :

    1. \(b^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(z^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(p^{\frac{1}{4}}\).
    Réponse
    1. \(\sqrt{b}\)
    2. \(\sqrt[3]{z}\)
    3. \(\sqrt[4]{p}\)
    Exemple\(\PageIndex{4}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt{x}\)
    2. \(\sqrt[3]{y}\)
    3. \(\sqrt[4]{z}\).
    Réponse

    Nous voulons écrire chaque radical dans la forme\(a^{\frac{1}{n}}\).

    1. \(\sqrt{x}\)
    Aucun indice n'est affiché, il est donc 2. Le dénominateur de l'exposant sera 2. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{y}\)
    L'indice est 3, donc le dénominateur de l'exposant est 3. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(\sqrt[4]{z}\)
    L'indice est 4, donc le dénominateur de l'exposant est 4. \(z^{\frac{1}{4}}\)
    Exemple\(\PageIndex{5}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt{s}\)
    2. \(\sqrt[3]{x}\)
    3. \(\sqrt[4]{b}\).
    Réponse
    1. \(s^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(x^{\frac{1}{3}}\)
    3. \ (b^ {\ frac {1} {4}} \
    Exemple\(\PageIndex{6}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt{v}\)
    2. \(\sqrt[3]{p}\)
    3. \(\sqrt[4]{p}\).
    Réponse
    1. \(v^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(p^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(p^{\frac{1}{4}}\)
    Exemple\(\PageIndex{7}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt{5y}\)
    2. \(\sqrt[3]{4x}\)
    3. \(3\sqrt[4]{5z}\).
    Réponse
    1. \(\sqrt{5y}\)
    Aucun indice n'est affiché, il est donc 2. Le dénominateur de l'exposant sera 2. \((5y)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(\sqrt[3]{4x}\)
    L'indice est 3, donc le dénominateur de l'exposant est 3. \((4x)^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(3\sqrt[4]{5z}\)
    L'indice est 4, donc le dénominateur de l'exposant est 4. \(3(5z)^{\frac{1}{4}}\)
    Exemple\(\PageIndex{8}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt{10m}\)
    2. \(\sqrt[5]{3n}\)
    3. \(3\sqrt[4]{6y}\).
    Réponse
    1. \((10^m)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \((3n)^{\frac{1}{5}}\)
    3. \((486y)^{\frac{1}{4}}\)
    Exemple\(\PageIndex{9}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt[7]{3k}\)
    2. \(\sqrt[4]{5j}\)
    3. \(\sqrt[3]{82a}\).
    Réponse
    1. \((3k)^{\frac{1}{7}}\)
    2. \((5j)^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((1024a)^{\frac{1}{3}}\)

    Dans l'exemple suivant, il sera peut-être plus facile de simplifier les expressions si vous les réécrivez d'abord sous forme de radicaux.

    Exemple\(\PageIndex{10}\)

    Simplifiez :

    1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(256^{\frac{1}{4}}\).
    Réponse
    1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
    Réécrivez en tant que racine carrée. \(\sqrt{25}\)
    Simplifiez. 5
    2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
    Réécrivez en tant que racine cubique. \(\sqrt[3]{64}\)
    Recognize 64 est un cube parfait. \(\sqrt[3]{4^3}\)
    Simplifiez. 4
    3. \(256^{\frac{1}{4}}\)
    Réécrivez en tant que quatrième racine. \(\sqrt[4]{256}\)
    Reconnaître 256 est un quatrième pouvoir parfait. \(\sqrt[4]{4^4}\)
    Simplifiez. 4
    Exemple\(\PageIndex{11}\)

    Simplifiez :

    1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(16^{\frac{1}{4}}\).
    Réponse
    1. 6
    2. 2
    3. 2
    Exemple\(\PageIndex{12}\)

    Simplifiez :

    1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(81^{\frac{1}{4}}\).
    Réponse
    1. 10
    2. 3
    3. 3

    Faites attention à l'emplacement des signes négatifs dans l'exemple suivant. Nous devrons utiliser la propriété\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\) dans un cas.

    Exemple\(\PageIndex{13}\)

    Simplifiez :

    1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
    2. \(−64^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\).
    Réponse
    1. \((−64)^{\frac{1}{3}}\)
    Réécrivez en tant que racine cubique. \(\sqrt[3]{−64}\)
    Réécrivez −64 en tant que cube parfait. \(\sqrt[3]{(−4)^3}\)
    Simplifiez. −4
    2. \(−64^{\frac{1}{3}}\)
    L'exposant s'applique uniquement au 64. \(−(64^{\frac{1}{3}})\)
    Réécrivez en tant que racine cubique. \(−\sqrt[3]{64}\)
    Réécrivez 64 en tant que\(4^3\). \(−\sqrt[3]{4^3}\)
    Simplifiez. −4
    3. \((64)^{−\frac{1}{3}}\)

    Réécrivez sous forme de fraction avec un exposant positif, en utilisant la propriété,\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).

    Écrivez sous forme de racine cubique.

    		 \(\frac{1}{\sqrt[3]{64}}\)
    Réécrivez 64 en tant que\(4^3\). \(\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}\)
    Simplifiez. \(\frac{1}{4}\)
    Exemple\(\PageIndex{14}\)

    Simplifiez :

    1. \((−125)^{\frac{1}{3}}\)
    2. \(−125^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((125)^{−\frac{1}{3}}\).
    Réponse
    1. −5
    2. −5
    3. \(\frac{1}{5}\)
    Exemple\(\PageIndex{15}\)

    Simplifiez :

    1. \((−32)^{\frac{1}{5}}\)
    2. \(−32^{\frac{1}{5}}\)
    3. \((32)^{−\frac{1}{5}}\).
    Réponse
    1. −2
    2. −2
    3. \(\frac{1}{2}\)
    Exemple\(\PageIndex{16}\)

    Simplifiez :

    1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
    2. \(−16^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\).
    Réponse
    1. \((−16)^{\frac{1}{4}}\)
    Réécrivez en tant que quatrième racine. \(\sqrt[4]{−16}\)
    Il n'existe aucun nombre réel dont la quatrième puissance est -16.  
    2. \(−16^{\frac{1}{4}}\)
    L'exposant s'applique uniquement au 16. \(−(16^{\frac{1}{4}})\)
    Réécrivez en tant que quatrième racine. \(−\sqrt[4]{16}\)
    Réécrire 16 en tant que\(2^4\) \(−\sqrt[4]{2^4}\)
    Simplifiez. −2
    3. \((16)^{−\frac{1}{4}}\)

    Réécrivez sous forme de fraction avec un exposant positif, en utilisant la propriété,\(a^{−n}=\frac{1}{a^n}\).

    		 \(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)
    Réécrivez en tant que quatrième racine. \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)
    Réécrivez 16 en tant que\(2^4\). \(\frac{1}{\sqrt[4]{2^4}}\)
    Simplifiez. \(\frac{1}{2}\)
    Exemple\(\PageIndex{17}\)

    Simplifiez :

    1. \((−64)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(−64^{\frac{1}{2}}\)
    3. \((64)^{−\frac{1}{2}}\).
    Réponse
    1. −8
    2. −8
    3. \(\frac{1}{8}\)
    Exemple\(\PageIndex{18}\)

    Simplifiez :

    1. \((−256)^{\frac{1}{4}}\)
    2. \(−256^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((256)^{−\frac{1}{4}}\).
    Réponse
    1. −4
    2. −4
    3. \(\frac{1}{4}\)

    Simplifiez les expressions\(a^{\frac{m}{n}}\)

    Travaillons un peu plus sur la propriété Power pour les exposants.

    Supposons que nous\(a^{\frac{1}{n}}\) atteignions la puissance m.

    \[\begin{array}{ll} {}&{(a^{\frac{1}{n}})^m}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{\frac{1}{n}·m}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

    Supposons maintenant que nous\(a^m\) prenions le\(\frac{1}{n}\) pouvoir.

    \[\begin{array}{ll} {}&{(a^m)^{\frac{1}{n}}}\\ {\text{Multiply the exponents.}}&{a^{m·\frac{1}{n}}}\\ {\text{Simplify.}}&{a^{\frac{m}{n}}}\\ {\text{So} a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{also.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

    Quelle forme utilisons-nous pour simplifier une expression ? Nous prenons généralement la racine en premier, de cette façon, nous maintenons les nombres dans le radical et plus petits.

    Définition : EXPOSANT RATIONNEL\(a^{\frac{m}{n}}\)

    Pour tous les entiers positifs m et n,

    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\)

    \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

    Exemple\(\PageIndex{19}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt{y^3}\)
    2. \(\sqrt[3]{x^2}\)
    3. \(\sqrt[4]{z^3}\)
    Réponse

    Nous voulons utiliser\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) pour écrire chaque radical dans le formulaire\(a^{\frac{m}{n}}\).

    1. Cette figure indique : « Le numérateur de l'exposant est l'exposant de y, 3 ». Il montre ensuite la racine carrée de y en cubes. La figure indique alors : « Le dénominateur de l'exposant est l'indice du radical, 2 ». Il indique ensuite y à la puissance 3/2.
    2. Cette figure indique : « Le numérateur de l'exposant est l'exposant de x, 2 ». Il montre ensuite la racine cubique de x au carré. La figure se lit alors comme suit : « Le dénominateur de l'exposant est l'indice du radical, 3 ». Il indique ensuite y à la puissance 2/3.
    3. Cette figure se lit comme suit : « Le numérateur de l'exposant est l'exposant de z, 3 ». Il montre ensuite la quatrième racine d'un cube. La figure se lit alors comme suit : « Le dénominateur de l'exposant est l'indice du radical, 4 ». Il indique ensuite z à la puissance 3/4.
    Exemple\(\PageIndex{20}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt{x^5}\)
    2. \(\sqrt[4]{z^3}\)
    3. \(\sqrt[5]{y^2}\).
    Réponse
    1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
    2. \(z^{\frac{3}{4}}\)
    3. \(y^{\frac{2}{5}}\)
    Exemple\(\PageIndex{21}\)

    Écrivez avec un exposant rationnel :

    1. \(\sqrt[5]{a^2}\)
    2. \(\sqrt[3]{b^7}\)
    3. \(\sqrt[4]{m^5}\).
    Réponse
    1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
    2. \(b^{\frac{7}{3}}\)
    3. \(m^{\frac{5}{4}}\)
    Exemple\(\PageIndex{22}\)

    Simplifiez :

    1. \(9^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(125^{\frac{2}{3}}\)
    3. \(81^{\frac{3}{4}}\).
    Réponse

    Nous allons d'abord réécrire chaque expression sous la forme d'un radical en utilisant la propriété,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\). Cette forme nous permet de prendre la racine en premier et de garder les nombres dans le radical et plus petits que si nous utilisions l'autre forme.

    1. \(9^{\frac{3}{2}}\)
    La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 3. Comme le dénominateur de l'exposant est 2, il s'agit d'une racine carrée. \((\sqrt{9})^3\)
    Simplifiez. \(3^3\)
      27
    2. \(125^{\frac{2}{3}}\)
    La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 2. Comme le dénominateur de l'exposant est 3, il s'agit d'une racine carrée. \((\sqrt[3]{125})^2\)
    Simplifiez. \(5^2\)
      25
    3. \(81^{\frac{3}{4}}\)
    La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 2. Comme le dénominateur de l'exposant est 3, il s'agit d'une racine carrée. \((\sqrt[4]{81})^3\)
    Simplifiez. \(3^3\)
      27
    Exemple\(\PageIndex{23}\)

    Simplifiez :

    1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
    3. \(625^{\frac{3}{4}}\).
    Réponse
    1. 8
    2. 9
    3. 125
    Exemple\(\PageIndex{24}\)

    Simplifiez :

    1. \(8^{\frac{5}{3}}\)
    2. \(81^{\frac{3}{2}}\)
    3. \(16^{\frac{3}{4}}\).
    Réponse
    1. 32
    2. 729
    3. 8

    N'oubliez pas cela\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). Le signe négatif dans l'exposant ne modifie pas le signe de l'expression.

    Exemple\(\PageIndex{25}\)

    Simplifiez :

    1. \(16^{−\frac{3}{2}}\)
    2. \(32^{−\frac{2}{5}}\)
    3. \(4^{−\frac{5}{2}}\)
    Réponse

    Nous allons d'abord réécrire chaque expression en utilisant\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\) puis en changer la forme radicale.

    1. \(16^{−\frac{3}{2}}\)
    Réécrire en utilisant\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)
    Passez à une forme radicale. La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 3. L'indice est le dénominateur de l'exposant, 2. \(\frac{1}{(\sqrt{16})^3}\)
    Simplifiez. \(\frac{1}{4^3}\)
      \(\frac{1}{64}\)
    2. \(32^{−\frac{2}{5}}\)
    Réécrire en utilisant\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)
    Passez à une forme radicale. \(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^2}\)
    Réécrivez le radicand en tant que pouvoir. \(\frac{1}{(\sqrt[5]{2^5})^2}\)
    Simplifiez. \(\frac{1}{2^2}\)
      \(\frac{1}{4}\)
    3. \(4^{−\frac{5}{2}}\)
    Réécrire en utilisant\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(\frac{1}{4^{\frac{5}{2}}}\)
    Passez à une forme radicale. \(\frac{1}{(\sqrt{4})^5}\)
    Simplifiez. \(\frac{1}{2^5}\)
      \(\frac{1}{32}\)
    Exemple\(\PageIndex{26}\)

    Simplifiez :

    1. \(8^{−\frac{5}{3}}\)8
    2. \(81^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \(16^{−\frac{3}{4}}\).
    Réponse
    1. \(\frac{1}{32}\)
    2. \(\frac{1}{729}\)
    3. \(\frac{1}{8}\)
    Exemple\(\PageIndex{27}\)

    Simplifiez :

    1. \(4^{−\frac{3}{2}}\)
    2. \(27^{−\frac{2}{3}}\)
    3. \(625^{−\frac{3}{4}}\).
    Réponse
    1. \(\frac{1}{8}\)
    2. \(\frac{1}{9}\)
    3. \(\frac{1}{125}\)
    Exemple\(\PageIndex{28}\)

    Simplifiez :

    1. \(−25^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\).
    Réponse
    1. \(−25^{\frac{3}{2}}\)
    Réécrivez sous une forme radicale. \(−(\sqrt{25})^3\)
    Simplifiez le radical \(−5^3\)
    Simplifiez. −125
    2. \(−25^{−\frac{3}{2}}\)
    Réécrire en utilisant\(b^{−p}=\frac{1}{b^p}\). \(−(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}})\)
    Réécrivez sous une forme radicale. \(−(\frac{1}{(\sqrt{25})^3})\)
    Simplifiez le radical. \(−(\frac{1}{5^3})\)
    Simplifiez. \(−\frac{1}{125}\)
    3. \((−25)^{\frac{3}{2}}\).
    Réécrivez sous une forme radicale. \((\sqrt{−25})^3\)
    Il n'existe aucun nombre réel dont la racine carrée est −25. Ce n'est pas un vrai chiffre.
    Exemple\(\PageIndex{29}\)

    Simplifiez :

    1. \(−16^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−16^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−16)^{−\frac{3}{2}}\).
    Réponse
    1. −64
    2. \(−\frac{1}{64}\)
    3. ce n'est pas un vrai chiffre
    Exemple\(\PageIndex{30}\)

    Simplifiez :

    1. \(−81^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(−81^{−\frac{3}{2}}\)
    3. \((−81)^{−\frac{3}{2}}\).
    Réponse
    1. −729
    2. \(−\frac{1}{729}\)
    3. ce n'est pas un vrai chiffre

    Utilisez les lois des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels

    Les mêmes lois sur les exposants que nous avons déjà utilisées s'appliquent également aux exposants rationnels. Nous allons répertorier les propriétés des exposants ici pour les avoir comme référence lors de la simplification des expressions.

    RÉSUMÉ DES PROPRIÉTÉS DES EXPOSANTS

    Si a, b sont des nombres réels et m, n sont des nombres rationnels, alors

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{Product Property}}&{a^m·a^n=a^{m+n}}\\ {\textbf{Power Property}}&{(a^m)^n=a^{m·n}}\\ {\textbf{Product to a Power}}&{(ab)^m=a^{m}b^{m}}\\ {\textbf{Quotient Property}}&{\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n}\\ {}&{\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m}\\ {\textbf{Zero Exponent Definition}}&{a^0=1, a \ne 0}\\ {\textbf{Quotient to a Power Property}}&{(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0}\\ \nonumber \end{array}\]

    Lorsque nous multiplions la même base, nous ajoutons les exposants.

    Exemple\(\PageIndex{31}\)

    Simplifiez :

    1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
    2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
    3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\).
    Réponse
    1. \(2^{\frac{1}{2}}·2^{\frac{5}{2}}\)
    Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. \(2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}\)
    Ajoutez les fractions. \(2^{\frac{6}{2}}\)
    Simplifiez l'exposant. \(2^3\)
    Simplifiez. 8
    2. \(x^{\frac{2}{3}}·x^{\frac{4}{3}}\)
    Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. \(x^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}\)
    Ajoutez les fractions. \(x^{\frac{6}{3}}\)
    Simplifiez. \(x^2\)
    3. \(z^{\frac{3}{4}}·z^{\frac{5}{4}}\)
    Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. \(z^{\frac{3}{4}+\frac{5}{4}}\)
    Ajoutez les fractions. \(z^{\frac{8}{4}}\)
    Simplifiez. \(z^2\)
    Exemple\(\PageIndex{32}\)

    Simplifiez :

    1. \(3^{\frac{2}{3}}·3^{\frac{4}{3}}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}·y^{\frac{8}{3}}\)
    3. \(m^{\frac{1}{4}}·m^{\frac{3}{4}}\).
    Réponse
    1. 9
    2. \(y^3\)
    3. m
    Exemple\(\PageIndex{33}\)

    Simplifiez :

    1. \(5^{\frac{3}{5}}·5^{\frac{7}{5}}\)
    2. \(z^{\frac{1}{8}}·z^{\frac{7}{8}}\)
    3. \(n^{\frac{2}{7}}·n^{\frac{5}{7}}\).
    Réponse
    1. 25
    2. z
    3. n

    Nous utiliserons la propriété Power dans l'exemple suivant.

    Exemple\(\PageIndex{34}\)

    Simplifiez :

    1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
    3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\).
    Réponse
    1. \((x^4)^{\frac{1}{2}}\)
    Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. \(x^{4·\frac{1}{2}}\)
    Simplifiez. \(x^2\)
    2. \((y^6)^{\frac{1}{3}}\)
    Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. \(y^{6·\frac{1}{3}}\)
    Simplifiez. \(y^2\)
    3. \((z^9)^{\frac{2}{3}}\)
    Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. \(z^{9·\frac{2}{3}}\)
    Simplifiez. \(z^6\)
    Exemple\(\PageIndex{35}\)

    Simplifiez :

    1. \((p^{10})^{\frac{1}{5}}\)
    2. \((q^8)^{\frac{3}{4}}\)
    3. \((x^6)^{\frac{4}{3}}\)
    Réponse
    1. \(p^\)
    2. \(q^6\)
    3. \(x^8\)
    Exemple\(\PageIndex{36}\)

    Simplifiez :

    1. \((r^6)^{\frac{5}{3}}\)
    2. \((s^{12})^{\frac{3}{4}}\)
    3. \((m^9)^{\frac{2}{9}}\)
    Réponse
    1. \(r^{10}\)
    2. \(s^9\)
    3. \(m^2\)

    La propriété du quotient nous indique que lorsque nous divisons avec la même base, nous soustrayons les exposants.

    Exemple\(\PageIndex{37}\)

    Simplifiez :

    1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
    2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
    3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\).
    Réponse
    1. \(\frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}\)
    Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. \(x^{\frac{4}{3}−\frac{1}{3}}\)
    Simplifiez. x
    2. \(\frac{y^{\frac{3}{4}}}{y^{\frac{1}{4}}}\)
    Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. \(y^{\frac{3}{4}−\frac{1}{4}}\)
    Simplifiez. \(y^{\frac{1}{2}}\)
    3. \(\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{5}{3}}}\)
    Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. \(z^{\frac{2}{3}−\frac{5}{3}}\)
    Réécrivez sans exposant négatif. \(\frac{1}{z}\)
    Exemple\(\PageIndex{38}\)

    Simplifiez :

    1. \(\frac{u^{\frac{5}{4}}}{u^{\frac{1}{4}}}\)
    2. \(\frac{v^{\frac{3}{5}}}{v^{\frac{2}{5}}}\)
    3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\).
    Réponse
    1. u
    2. \(v^{\frac{1}{5}}\)
    3. \(\frac{1}{x}\)
    Exemple\(\PageIndex{39}\)

    Simplifiez :

    1. \(\frac{c^{\frac{12}{5}}}{c^{\frac{2}{5}}}\)
    2. \(\frac{m^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{9}{4}}}\)
    3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\).
    Réponse
    1. \(c^2\)
    2. \(\frac{1}{m}\)
    3. \(\frac{1}{d}\)

    Parfois, nous avons besoin d'utiliser plus d'une propriété. Dans les deux exemples suivants, nous utiliserons à la fois la propriété Product to a Power, puis la propriété Power.

    Exemple\(\PageIndex{40}\)

    Simplifiez :

    1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
    Réponse
    1. \((27u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. \((27)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    Réécrivez 27 comme une puissance de 3. \((3^3)^{\frac{2}{3}}(u^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}\)
    Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. \((3^2)(u^{\frac{1}{3}})\)
    Simplifiez. \(9u^{\frac{1}{3}}\)
    2. \((8v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\).
    Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. \((8)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
    Réécrivez 8 comme une puissance de 2. \((2^3)^{\frac{2}{3}}(v^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}\)
    Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. \((2^2)(v^{\frac{1}{6}})\)
    Simplifiez. \(4v^{\frac{1}{6}}\)
    Exemple\(\PageIndex{41}\)

    Simplifiez :

    1. \(32x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}}\)
    2. \((64y^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}\).
    Réponse
    1. \(8x^{\frac{1}{5}}\)
    2. \(4y^{\frac{2}{9}}\)
    Exemple\(\PageIndex{42}\)

    Simplifiez :

    1. \((16m^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}\)
    2. \((81n^{\frac{2}{5}})^{\frac{3}{2}}\).
    Réponse
    1. \(64m^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(729n^{\frac{3}{5}}\)
    Exemple\(\PageIndex{43}\)

    Simplifiez :

    1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\).
    Réponse
    1. \((m^{3}n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. \((m^{3})^{\frac{1}{3}}(n^{9})^{\frac{1}{3}}\)
    Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. \(mn^3\)
    2. \((p^{4}q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
    Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. \((p^{4})^{\frac{1}{4}}(q^{8})^{\frac{1}{4}}\)
    Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. \(pq^2\)

    Nous utiliserons à la fois les propriétés du produit et du quotient dans l'exemple suivant.

    Exercice\(\PageIndex{44}\)

    Simplifiez :

    1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\).
    Réponse
    1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}}·x^{−\frac{1}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    Utilisez la propriété Product dans le numérateur, ajoutez les exposants. \(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{−\frac{6}{4}}}\)
    Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants. \(x^{\frac{8}{4}}\)
    Simplifiez. \(x^2\)
    2. \(\frac{y^{\frac{4}{3}}·y}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
    Utilisez la propriété Product dans le numérateur, ajoutez les exposants. \(\frac{y^{\frac{7}{3}}}{y^{−\frac{2}{3}}}\)
    Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants. \(y^{\frac{9}{3}}\)
    Simplifiez. \(y^3\)
    Exemple\(\PageIndex{45}\)

    Simplifiez :

    1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}}·m^{−\frac{1}{3}}}{m^{−\frac{5}{3}}}\)
    2. \(\frac{n^{\frac{1}{6}}·n}{n^{−\frac{11}{6}}}\).
    Réponse
    1. \(m^2\)
    2. \(n^3\)
    Exemple\(\PageIndex{46}\)

    Simplifiez :

    1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}}·u^{−\frac{2}{5}}}{u^{−\frac{13}{5}}}\)
    2. \(\frac{v^{\frac{1}{2}}·v}{v^{−\frac{7}{2}}}\).
    Réponse
    1. \(u^3\)
    2. \(v^5\)

    Concepts clés

    • Résumé des propriétés des exposants
    • Si a, b sont des nombres réels et m, n sont des nombres rationnels, alors
      • Propriété du produit\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
      • Propriété énergétique\((a^m)^n=a^{m·n}\)
      • Du produit à une puissance\((ab)^m=a^{m}b^{m}\)
      • Propriété du quotient :

        \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n} , a \ne 0, m>n\)

        \(\frac{a^m}{a^n}=\frac{1}{a^{n−m}}, a \ne 0, n>m\)

      • Définition de l'exposant zéro\(a^0=1, a \ne 0\)
      • Quotient par rapport à une propriété énergétique\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}, b \ne 0\)

    Lexique

    exposants rationnels
    • S'il s'\(\sqrt[n]{a}\)agit d'un nombre réel et\(n \ge 2\),\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
    • Pour tous les entiers positifs m et n,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\) et\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)