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9.8 : Exposants rationnels

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Simplifiez les expressionsa1n
  • Simplifiez les expressionsamn
  • Utilisez les lois des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels
Soyez prêt

Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

  1. Ajoutez :715+512.
    Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
  2. Simplifiez :(4x2y5)3.
    Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
  3. Simplifiez :53.
    Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].

Simplifiez les expressionsa1n

Les exposants rationnels sont une autre façon d'écrire des expressions avec des radicaux. Lorsque nous utilisons des exposants rationnels, nous pouvons appliquer les propriétés des exposants pour simplifier les expressions.

La propriété de puissance pour les exposants indique que(am)n=am·n lorsque m et n sont des nombres entiers. Supposons que nous ne soyons plus limités à des nombres entiers.

Supposons que nous voulions trouver un nombre p tel que(8p)3=8. Nous utiliserons la propriété de puissance des exposants pour trouver la valeur de p.

(8p)3=8Multiply the exponents on the left.83p=8Write the exponent 1 on the right.83p=81The exponents must be equal.3p=1Solve for p.p=13

Mais nous le savons aussi(38)3=8. Alors ça doit être ça813=38

Cette même logique peut être utilisée pour n'importe quel exposant entier positif n pour le montrera1n=na.

Définition : EXPOSANT RATIONNELa1n

C'naest un vrai nombre etn2,a1n=na.

Il y aura des moments où il sera plus facile de travailler avec des expressions si vous utilisez des exposants rationnels et des moments où cela sera plus facile si vous utilisez des radicaux. Dans les premiers exemples, vous allez vous entraîner à convertir des expressions entre ces deux notations.

Exemple9.8.1

Écrivez comme une expression radicale :

  1. x12
  2. y13
  3. z14.
Réponse

Nous voulons écrire chaque expression dans le formulairena.

1. x12
Le dénominateur de l'exposant est 2, donc l'indice du radical est 2. Nous n'affichons pas l'indice lorsqu'il est égal à 2. x
2. y13
Le dénominateur de l'exposant est 3, donc l'indice est 3. 3y
3. z^\frac{1}{4}}
Le dénominateur de l'exposant est 4, donc l'indice est 4. 4z
Exemple9.8.2

Écrivez comme une expression radicale :

  1. t12
  2. m13
  3. r14.
Réponse
  1. t
  2. 3m
  3. 4r
Exemple9.8.3

Écrivez comme une expression radicale :

  1. b12
  2. z13
  3. p14.
Réponse
  1. b
  2. 3z
  3. 4p
Exemple9.8.4

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. x
  2. 3y
  3. 4z.
Réponse

Nous voulons écrire chaque radical dans la formea1n.

1. x
Aucun indice n'est affiché, il est donc 2. Le dénominateur de l'exposant sera 2. x12
2. 3y
L'indice est 3, donc le dénominateur de l'exposant est 3. y13
3. 4z
L'indice est 4, donc le dénominateur de l'exposant est 4. z14
Exemple9.8.5

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. s
  2. 3x
  3. 4b.
Réponse
  1. s12
  2. x13
  3. \ (b^ {\ frac {1} {4}} \
Exemple9.8.6

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. v
  2. 3p
  3. 4p.
Réponse
  1. v12
  2. p13
  3. p14
Exemple9.8.7

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. 5y
  2. 34x
  3. 345z.
Réponse
1. 5y
Aucun indice n'est affiché, il est donc 2. Le dénominateur de l'exposant sera 2. (5y)12
2. 34x
L'indice est 3, donc le dénominateur de l'exposant est 3. (4x)13
3. 345z
L'indice est 4, donc le dénominateur de l'exposant est 4. 3(5z)14
Exemple9.8.8

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. 10m
  2. 53n
  3. 346y.
Réponse
  1. (10m)12
  2. (3n)15
  3. (486y)14
Exemple9.8.9

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. 73k
  2. 45j
  3. 382a.
Réponse
  1. (3k)17
  2. (5j)14
  3. (1024a)13

Dans l'exemple suivant, il sera peut-être plus facile de simplifier les expressions si vous les réécrivez d'abord sous forme de radicaux.

Exemple9.8.10

Simplifiez :

  1. 2512
  2. 6413
  3. 25614.
Réponse
1. 2512
Réécrivez en tant que racine carrée. 25
Simplifiez. 5
2. 6413
Réécrivez en tant que racine cubique. 364
Recognize 64 est un cube parfait. 343
Simplifiez. 4
3. 25614
Réécrivez en tant que quatrième racine. 4256
Reconnaître 256 est un quatrième pouvoir parfait. 444
Simplifiez. 4
Exemple9.8.11

Simplifiez :

  1. 3612
  2. 813
  3. 1614.
Réponse
  1. 6
  2. 2
  3. 2
Exemple9.8.12

Simplifiez :

  1. 10012
  2. 2713
  3. 8114.
Réponse
  1. 10
  2. 3
  3. 3

Faites attention à l'emplacement des signes négatifs dans l'exemple suivant. Nous devrons utiliser la propriétéan=1an dans un cas.

Exemple9.8.13

Simplifiez :

  1. (64)13
  2. 6413
  3. (64)13.
Réponse
1. (64)13
Réécrivez en tant que racine cubique. 364
Réécrivez −64 en tant que cube parfait. 3(4)3
Simplifiez. −4
2. 6413
L'exposant s'applique uniquement au 64. (6413)
Réécrivez en tant que racine cubique. 364
Réécrivez 64 en tant que43. 343
Simplifiez. −4
3. (64)13

Réécrivez sous forme de fraction avec un exposant positif, en utilisant la propriété,an=1an.

Écrivez sous forme de racine cubique.

1364
Réécrivez 64 en tant que43. 1343
Simplifiez. 14
Exemple9.8.14

Simplifiez :

  1. (125)13
  2. 12513
  3. (125)13.
Réponse
  1. −5
  2. −5
  3. 15
Exemple9.8.15

Simplifiez :

  1. (32)15
  2. 3215
  3. (32)15.
Réponse
  1. −2
  2. −2
  3. 12
Exemple9.8.16

Simplifiez :

  1. (16)14
  2. 1614
  3. (16)14.
Réponse
1. (16)14
Réécrivez en tant que quatrième racine. 416
Il n'existe aucun nombre réel dont la quatrième puissance est -16.  
2. 1614
L'exposant s'applique uniquement au 16. (1614)
Réécrivez en tant que quatrième racine. 416
Réécrire 16 en tant que24 424
Simplifiez. −2
3. (16)14

Réécrivez sous forme de fraction avec un exposant positif, en utilisant la propriété,an=1an.

1(16)14
Réécrivez en tant que quatrième racine. 1416
Réécrivez 16 en tant que24. 1424
Simplifiez. 12
Exemple9.8.17

Simplifiez :

  1. (64)12
  2. 6412
  3. (64)12.
Réponse
  1. −8
  2. −8
  3. 18
Exemple9.8.18

Simplifiez :

  1. (256)14
  2. 25614
  3. (256)14.
Réponse
  1. −4
  2. −4
  3. 14

Simplifiez les expressionsamn

Travaillons un peu plus sur la propriété Power pour les exposants.

Supposons que nousa1n atteignions la puissance m.

(a1n)mMultiply the exponents.a1n·mSimplify.amnSoamn=(na)malso.

Supposons maintenant que nousam prenions le1n pouvoir.

(am)1nMultiply the exponents.am·1nSimplify.amnSoamn=namalso.

Quelle forme utilisons-nous pour simplifier une expression ? Nous prenons généralement la racine en premier, de cette façon, nous maintenons les nombres dans le radical et plus petits.

Définition : EXPOSANT RATIONNELamn

Pour tous les entiers positifs m et n,

amn=(na)m

amn=nam

Exemple9.8.19

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. y3
  2. 3x2
  3. 4z3
Réponse

Nous voulons utiliseramn=nam pour écrire chaque radical dans le formulaireamn.

  1. Cette figure indique : « Le numérateur de l'exposant est l'exposant de y, 3 ». Il montre ensuite la racine carrée de y en cubes. La figure indique alors : « Le dénominateur de l'exposant est l'indice du radical, 2 ». Il indique ensuite y à la puissance 3/2.
  2. Cette figure indique : « Le numérateur de l'exposant est l'exposant de x, 2 ». Il montre ensuite la racine cubique de x au carré. La figure se lit alors comme suit : « Le dénominateur de l'exposant est l'indice du radical, 3 ». Il indique ensuite y à la puissance 2/3.
  3. Cette figure se lit comme suit : « Le numérateur de l'exposant est l'exposant de z, 3 ». Il montre ensuite la quatrième racine d'un cube. La figure se lit alors comme suit : « Le dénominateur de l'exposant est l'indice du radical, 4 ». Il indique ensuite z à la puissance 3/4.
Exemple9.8.20

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. x5
  2. 4z3
  3. 5y2.
Réponse
  1. x52
  2. z34
  3. y25
Exemple9.8.21

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. 5a2
  2. 3b7
  3. 4m5.
Réponse
  1. a25
  2. b73
  3. m54
Exemple9.8.22

Simplifiez :

  1. 932
  2. 12523
  3. 8134.
Réponse

Nous allons d'abord réécrire chaque expression sous la forme d'un radical en utilisant la propriété,amn=(na)m. Cette forme nous permet de prendre la racine en premier et de garder les nombres dans le radical et plus petits que si nous utilisions l'autre forme.

1. 932
La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 3. Comme le dénominateur de l'exposant est 2, il s'agit d'une racine carrée. (9)3
Simplifiez. 33
  27
2. 12523
La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 2. Comme le dénominateur de l'exposant est 3, il s'agit d'une racine carrée. (3125)2
Simplifiez. 52
  25
3. 8134
La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 2. Comme le dénominateur de l'exposant est 3, il s'agit d'une racine carrée. (481)3
Simplifiez. 33
  27
Exemple9.8.23

Simplifiez :

  1. 432
  2. 2723
  3. 62534.
Réponse
  1. 8
  2. 9
  3. 125
Exemple9.8.24

Simplifiez :

  1. 853
  2. 8132
  3. 1634.
Réponse
  1. 32
  2. 729
  3. 8

N'oubliez pas celabp=1bp. Le signe négatif dans l'exposant ne modifie pas le signe de l'expression.

Exemple9.8.25

Simplifiez :

  1. 1632
  2. 3225
  3. 452
Réponse

Nous allons d'abord réécrire chaque expression en utilisantbp=1bp puis en changer la forme radicale.

1. 1632
Réécrire en utilisantbp=1bp. 11632
Passez à une forme radicale. La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 3. L'indice est le dénominateur de l'exposant, 2. 1(16)3
Simplifiez. 143
  164
2. 3225
Réécrire en utilisantbp=1bp. 13225
Passez à une forme radicale. 1(532)2
Réécrivez le radicand en tant que pouvoir. 1(525)2
Simplifiez. 122
  14
3. 452
Réécrire en utilisantbp=1bp. 1452
Passez à une forme radicale. 1(4)5
Simplifiez. 125
  132
Exemple9.8.26

Simplifiez :

  1. 8538
  2. 8132
  3. 1634.
Réponse
  1. 132
  2. 1729
  3. 18
Exemple9.8.27

Simplifiez :

  1. 432
  2. 2723
  3. 62534.
Réponse
  1. 18
  2. 19
  3. 1125
Exemple9.8.28

Simplifiez :

  1. 2532
  2. 2532
  3. (25)32.
Réponse
1. 2532
Réécrivez sous une forme radicale. (25)3
Simplifiez le radical 53
Simplifiez. −125
2. 2532
Réécrire en utilisantbp=1bp. (12532)
Réécrivez sous une forme radicale. (1(25)3)
Simplifiez le radical. (153)
Simplifiez. 1125
3. (25)32.
Réécrivez sous une forme radicale. (25)3
Il n'existe aucun nombre réel dont la racine carrée est −25. Ce n'est pas un vrai chiffre.
Exemple9.8.29

Simplifiez :

  1. 1632
  2. 1632
  3. (16)32.
Réponse
  1. −64
  2. 164
  3. ce n'est pas un vrai chiffre
Exemple9.8.30

Simplifiez :

  1. 8132
  2. 8132
  3. (81)32.
Réponse
  1. −729
  2. 1729
  3. ce n'est pas un vrai chiffre

Utilisez les lois des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels

Les mêmes lois sur les exposants que nous avons déjà utilisées s'appliquent également aux exposants rationnels. Nous allons répertorier les propriétés des exposants ici pour les avoir comme référence lors de la simplification des expressions.

RÉSUMÉ DES PROPRIÉTÉS DES EXPOSANTS

Si a, b sont des nombres réels et m, n sont des nombres rationnels, alors

Product Propertyam·an=am+nPower Property(am)n=am·nProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=amn,a0,m>naman=1anm,a0,n>mZero Exponent Definitiona0=1,a0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b0

Lorsque nous multiplions la même base, nous ajoutons les exposants.

Exemple9.8.31

Simplifiez :

  1. 212·252
  2. x23·x43
  3. z34·z54.
Réponse
1. 212·252
Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. 212+52
Ajoutez les fractions. 262
Simplifiez l'exposant. 23
Simplifiez. 8
2. x23·x43
Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. x23+43
Ajoutez les fractions. x63
Simplifiez. x2
3. z34·z54
Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. z34+54
Ajoutez les fractions. z84
Simplifiez. z2
Exemple9.8.32

Simplifiez :

  1. 323·343
  2. y13·y83
  3. m14·m34.
Réponse
  1. 9
  2. y3
  3. m
Exemple9.8.33

Simplifiez :

  1. 535·575
  2. z18·z78
  3. n27·n57.
Réponse
  1. 25
  2. z
  3. n

Nous utiliserons la propriété Power dans l'exemple suivant.

Exemple9.8.34

Simplifiez :

  1. (x4)12
  2. (y6)13
  3. (z9)23.
Réponse
1. (x4)12
Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. x4·12
Simplifiez. x2
2. (y6)13
Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. y6·13
Simplifiez. y2
3. (z9)23
Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. z9·23
Simplifiez. z6
Exemple9.8.35

Simplifiez :

  1. (p10)15
  2. (q8)34
  3. (x6)43
Réponse
  1. p^
  2. q6
  3. x8
Exemple9.8.36

Simplifiez :

  1. (r6)53
  2. (s12)34
  3. (m9)29
Réponse
  1. r10
  2. s9
  3. m2

La propriété du quotient nous indique que lorsque nous divisons avec la même base, nous soustrayons les exposants.

Exemple9.8.37

Simplifiez :

  1. x43x13
  2. y34y14
  3. z23z53.
Réponse
1. x43x13
Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. x4313
Simplifiez. x
2. y34y14
Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. y3414
Simplifiez. y12
3. z23z53
Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. z2353
Réécrivez sans exposant négatif. 1z
Exemple9.8.38

Simplifiez :

  1. u54u14
  2. v35v25
  3. x23x53.
Réponse
  1. u
  2. v15
  3. 1x
Exemple9.8.39

Simplifiez :

  1. c125c25
  2. m54m94
  3. d15d65.
Réponse
  1. c2
  2. 1m
  3. 1d

Parfois, nous avons besoin d'utiliser plus d'une propriété. Dans les deux exemples suivants, nous utiliserons à la fois la propriété Product to a Power, puis la propriété Power.

Exemple9.8.40

Simplifiez :

  1. (27u12)23
  2. (8v14)23.
Réponse
1. (27u12)23
Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. (27)23(u12)23
Réécrivez 27 comme une puissance de 3. (33)23(u12)23
Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. (32)(u13)
Simplifiez. 9u13
2. (8v14)23.
Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. (8)23(v14)23
Réécrivez 8 comme une puissance de 2. (23)23(v14)23
Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. (22)(v16)
Simplifiez. 4v16
Exemple9.8.41

Simplifiez :

  1. 32x13)35
  2. (64y23)13.
Réponse
  1. 8x15
  2. 4y29
Exemple9.8.42

Simplifiez :

  1. (16m13)32
  2. (81n25)32.
Réponse
  1. 64m12
  2. 729n35
Exemple9.8.43

Simplifiez :

  1. (m3n9)13
  2. (p4q8)14.
Réponse
1. (m3n9)13
Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. (m3)13(n9)13
Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. mn3
2. (p4q8)14
Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. (p4)14(q8)14
Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. pq2

Nous utiliserons à la fois les propriétés du produit et du quotient dans l'exemple suivant.

Exercice9.8.44

Simplifiez :

  1. x34·x14x64
  2. y43·yy23.
Réponse
1. x34·x14x64
Utilisez la propriété Product dans le numérateur, ajoutez les exposants. x24x64
Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants. x84
Simplifiez. x2
2. y43·yy23
Utilisez la propriété Product dans le numérateur, ajoutez les exposants. y73y23
Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants. y93
Simplifiez. y3
Exemple9.8.45

Simplifiez :

  1. m23·m13m53
  2. n16·nn116.
Réponse
  1. m2
  2. n3
Exemple9.8.46

Simplifiez :

  1. u45·u25u135
  2. v12·vv72.
Réponse
  1. u3
  2. v5

Concepts clés

  • Résumé des propriétés des exposants
  • Si a, b sont des nombres réels et m, n sont des nombres rationnels, alors
    • Propriété du produitam·an=am+n
    • Propriété énergétique(am)n=am·n
    • Du produit à une puissance(ab)m=ambm
    • Propriété du quotient :

      aman=amn,a0,m>n

      aman=1anm,a0,n>m

    • Définition de l'exposant zéroa0=1,a0
    • Quotient par rapport à une propriété énergétique(ab)m=ambm,b0

Lexique

exposants rationnels
  • S'il s'naagit d'un nombre réel etn2,a1n=na
  • Pour tous les entiers positifs m et n,amn=(na)m etamn=nam