9.8 : Exposants rationnels
À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Simplifiez les expressionsa1n
- Simplifiez les expressionsamn
- Utilisez les lois des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels
Simplifiez les expressionsa1n
Les exposants rationnels sont une autre façon d'écrire des expressions avec des radicaux. Lorsque nous utilisons des exposants rationnels, nous pouvons appliquer les propriétés des exposants pour simplifier les expressions.
La propriété de puissance pour les exposants indique que(am)n=am·n lorsque m et n sont des nombres entiers. Supposons que nous ne soyons plus limités à des nombres entiers.
Supposons que nous voulions trouver un nombre p tel que(8p)3=8. Nous utiliserons la propriété de puissance des exposants pour trouver la valeur de p.
(8p)3=8Multiply the exponents on the left.83p=8Write the exponent 1 on the right.83p=81The exponents must be equal.3p=1Solve for p.p=13
Mais nous le savons aussi(3√8)3=8. Alors ça doit être ça813=3√8
Cette même logique peut être utilisée pour n'importe quel exposant entier positif n pour le montrera1n=n√a.
C'n√aest un vrai nombre etn≥2,a1n=n√a.
Il y aura des moments où il sera plus facile de travailler avec des expressions si vous utilisez des exposants rationnels et des moments où cela sera plus facile si vous utilisez des radicaux. Dans les premiers exemples, vous allez vous entraîner à convertir des expressions entre ces deux notations.
Écrivez comme une expression radicale :
- x12
- y13
- z14.
- Réponse
-
Nous voulons écrire chaque expression dans le formulairen√a.
1. x12 Le dénominateur de l'exposant est 2, donc l'indice du radical est 2. Nous n'affichons pas l'indice lorsqu'il est égal à 2. √x 2. y13 Le dénominateur de l'exposant est 3, donc l'indice est 3. 3√y 3. z^\frac{1}{4}} Le dénominateur de l'exposant est 4, donc l'indice est 4. 4√z
Écrivez comme une expression radicale :
- t12
- m13
- r14.
- Réponse
-
- √t
- 3√m
- 4√r
Écrivez comme une expression radicale :
- b12
- z13
- p14.
- Réponse
-
- √b
- 3√z
- 4√p
Écrivez avec un exposant rationnel :
- √x
- 3√y
- 4√z.
- Réponse
-
Nous voulons écrire chaque radical dans la formea1n.
1. √x Aucun indice n'est affiché, il est donc 2. Le dénominateur de l'exposant sera 2. x12 2. 3√y L'indice est 3, donc le dénominateur de l'exposant est 3. y13 3. 4√z L'indice est 4, donc le dénominateur de l'exposant est 4. z14
Écrivez avec un exposant rationnel :
- √s
- 3√x
- 4√b.
- Réponse
-
- s12
- x13
- \ (b^ {\ frac {1} {4}} \
Écrivez avec un exposant rationnel :
- √v
- 3√p
- 4√p.
- Réponse
-
- v12
- p13
- p14
Écrivez avec un exposant rationnel :
- √5y
- 3√4x
- 34√5z.
- Réponse
-
1. √5y Aucun indice n'est affiché, il est donc 2. Le dénominateur de l'exposant sera 2. (5y)12 2. 3√4x L'indice est 3, donc le dénominateur de l'exposant est 3. (4x)13 3. 34√5z L'indice est 4, donc le dénominateur de l'exposant est 4. 3(5z)14
Écrivez avec un exposant rationnel :
- √10m
- 5√3n
- 34√6y.
- Réponse
-
- (10m)12
- (3n)15
- (486y)14
Écrivez avec un exposant rationnel :
- 7√3k
- 4√5j
- 3√82a.
- Réponse
-
- (3k)17
- (5j)14
- (1024a)13
Dans l'exemple suivant, il sera peut-être plus facile de simplifier les expressions si vous les réécrivez d'abord sous forme de radicaux.
Simplifiez :
- 2512
- 6413
- 25614.
- Réponse
-
1. 2512 Réécrivez en tant que racine carrée. √25 Simplifiez. 5 2. 6413 Réécrivez en tant que racine cubique. 3√64 Recognize 64 est un cube parfait. 3√43 Simplifiez. 4 3. 25614 Réécrivez en tant que quatrième racine. 4√256 Reconnaître 256 est un quatrième pouvoir parfait. 4√44 Simplifiez. 4
Simplifiez :
- 3612
- 813
- 1614.
- Réponse
-
- 6
- 2
- 2
Simplifiez :
- 10012
- 2713
- 8114.
- Réponse
-
- 10
- 3
- 3
Faites attention à l'emplacement des signes négatifs dans l'exemple suivant. Nous devrons utiliser la propriétéa−n=1an dans un cas.
Simplifiez :
- (−64)13
- −6413
- (64)−13.
- Réponse
-
1. (−64)13 Réécrivez en tant que racine cubique. 3√−64 Réécrivez −64 en tant que cube parfait. 3√(−4)3 Simplifiez. −4 2. −6413 L'exposant s'applique uniquement au 64. −(6413) Réécrivez en tant que racine cubique. −3√64 Réécrivez 64 en tant que43. −3√43 Simplifiez. −4 3. (64)−13 Réécrivez sous forme de fraction avec un exposant positif, en utilisant la propriété,a−n=1an.
Écrivez sous forme de racine cubique.
13√64 Réécrivez 64 en tant que43. 13√43 Simplifiez. 14
Simplifiez :
- (−125)13
- −12513
- (125)−13.
- Réponse
-
- −5
- −5
- 15
Simplifiez :
- (−32)15
- −3215
- (32)−15.
- Réponse
-
- −2
- −2
- 12
Simplifiez :
- (−16)14
- −1614
- (16)−14.
- Réponse
-
1. (−16)14 Réécrivez en tant que quatrième racine. 4√−16 Il n'existe aucun nombre réel dont la quatrième puissance est -16. 2. −1614 L'exposant s'applique uniquement au 16. −(1614) Réécrivez en tant que quatrième racine. −4√16 Réécrire 16 en tant que24 −4√24 Simplifiez. −2 3. (16)−14 Réécrivez sous forme de fraction avec un exposant positif, en utilisant la propriété,a−n=1an.
1(16)14 Réécrivez en tant que quatrième racine. 14√16 Réécrivez 16 en tant que24. 14√24 Simplifiez. 12
Simplifiez :
- (−64)12
- −6412
- (64)−12.
- Réponse
-
- −8
- −8
- 18
Simplifiez :
- (−256)14
- −25614
- (256)−14.
- Réponse
-
- −4
- −4
- 14
Simplifiez les expressionsamn
Travaillons un peu plus sur la propriété Power pour les exposants.
Supposons que nousa1n atteignions la puissance m.
(a1n)mMultiply the exponents.a1n·mSimplify.amnSoamn=(n√a)malso.
Supposons maintenant que nousam prenions le1n pouvoir.
(am)1nMultiply the exponents.am·1nSimplify.amnSoamn=n√amalso.
Quelle forme utilisons-nous pour simplifier une expression ? Nous prenons généralement la racine en premier, de cette façon, nous maintenons les nombres dans le radical et plus petits.
Pour tous les entiers positifs m et n,
amn=(n√a)m
amn=n√am
Écrivez avec un exposant rationnel :
- √y3
- 3√x2
- 4√z3
- Réponse
-
Nous voulons utiliseramn=n√am pour écrire chaque radical dans le formulaireamn.
Écrivez avec un exposant rationnel :
- √x5
- 4√z3
- 5√y2.
- Réponse
-
- x52
- z34
- y25
Écrivez avec un exposant rationnel :
- 5√a2
- 3√b7
- 4√m5.
- Réponse
-
- a25
- b73
- m54
Simplifiez :
- 932
- 12523
- 8134.
- Réponse
-
Nous allons d'abord réécrire chaque expression sous la forme d'un radical en utilisant la propriété,amn=(n√a)m. Cette forme nous permet de prendre la racine en premier et de garder les nombres dans le radical et plus petits que si nous utilisions l'autre forme.
1. 932 La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 3. Comme le dénominateur de l'exposant est 2, il s'agit d'une racine carrée. (√9)3 Simplifiez. 33 27 2. 12523 La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 2. Comme le dénominateur de l'exposant est 3, il s'agit d'une racine carrée. (3√125)2 Simplifiez. 52 25 3. 8134 La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 2. Comme le dénominateur de l'exposant est 3, il s'agit d'une racine carrée. (4√81)3 Simplifiez. 33 27
Simplifiez :
- 432
- 2723
- 62534.
- Réponse
-
- 8
- 9
- 125
Simplifiez :
- 853
- 8132
- 1634.
- Réponse
-
- 32
- 729
- 8
N'oubliez pas celab−p=1bp. Le signe négatif dans l'exposant ne modifie pas le signe de l'expression.
Simplifiez :
- 16−32
- 32−25
- 4−52
- Réponse
-
Nous allons d'abord réécrire chaque expression en utilisantb−p=1bp puis en changer la forme radicale.
1. 16−32 Réécrire en utilisantb−p=1bp. 11632 Passez à une forme radicale. La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, 3. L'indice est le dénominateur de l'exposant, 2. 1(√16)3 Simplifiez. 143 164 2. 32−25 Réécrire en utilisantb−p=1bp. 13225 Passez à une forme radicale. 1(5√32)2 Réécrivez le radicand en tant que pouvoir. 1(5√25)2 Simplifiez. 122 14 3. 4−52 Réécrire en utilisantb−p=1bp. 1452 Passez à une forme radicale. 1(√4)5 Simplifiez. 125 132
Simplifiez :
- 8−538
- 81−32
- 16−34.
- Réponse
-
- 132
- 1729
- 18
Simplifiez :
- 4−32
- 27−23
- 625−34.
- Réponse
-
- 18
- 19
- 1125
Simplifiez :
- −2532
- −25−32
- (−25)32.
- Réponse
-
1. −2532 Réécrivez sous une forme radicale. −(√25)3 Simplifiez le radical −53 Simplifiez. −125 2. −25−32 Réécrire en utilisantb−p=1bp. −(12532) Réécrivez sous une forme radicale. −(1(√25)3) Simplifiez le radical. −(153) Simplifiez. −1125 3. (−25)32. Réécrivez sous une forme radicale. (√−25)3 Il n'existe aucun nombre réel dont la racine carrée est −25. Ce n'est pas un vrai chiffre.
Simplifiez :
- −1632
- −16−32
- (−16)−32.
- Réponse
-
- −64
- −164
- ce n'est pas un vrai chiffre
Simplifiez :
- −8132
- −81−32
- (−81)−32.
- Réponse
-
- −729
- −1729
- ce n'est pas un vrai chiffre
Utilisez les lois des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels
Les mêmes lois sur les exposants que nous avons déjà utilisées s'appliquent également aux exposants rationnels. Nous allons répertorier les propriétés des exposants ici pour les avoir comme référence lors de la simplification des expressions.
Si a, b sont des nombres réels et m, n sont des nombres rationnels, alors
Product Propertyam·an=am+nPower Property(am)n=am·nProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=am−n,a≠0,m>naman=1an−m,a≠0,n>mZero Exponent Definitiona0=1,a≠0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b≠0
Lorsque nous multiplions la même base, nous ajoutons les exposants.
Simplifiez :
- 212·252
- x23·x43
- z34·z54.
- Réponse
-
1. 212·252 Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. 212+52 Ajoutez les fractions. 262 Simplifiez l'exposant. 23 Simplifiez. 8 2. x23·x43 Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. x23+43 Ajoutez les fractions. x63 Simplifiez. x2 3. z34·z54 Les bases sont les mêmes, nous ajoutons donc les exposants. z34+54 Ajoutez les fractions. z84 Simplifiez. z2
Simplifiez :
- 323·343
- y13·y83
- m14·m34.
- Réponse
-
- 9
- y3
- m
Simplifiez :
- 535·575
- z18·z78
- n27·n57.
- Réponse
-
- 25
- z
- n
Nous utiliserons la propriété Power dans l'exemple suivant.
Simplifiez :
- (x4)12
- (y6)13
- (z9)23.
- Réponse
-
1. (x4)12 Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. x4·12 Simplifiez. x2 2. (y6)13 Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. y6·13 Simplifiez. y2 3. (z9)23 Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. z9·23 Simplifiez. z6
Simplifiez :
- (p10)15
- (q8)34
- (x6)43
- Réponse
-
- p^
- q6
- x8
Simplifiez :
- (r6)53
- (s12)34
- (m9)29
- Réponse
-
- r10
- s9
- m2
La propriété du quotient nous indique que lorsque nous divisons avec la même base, nous soustrayons les exposants.
Simplifiez :
- x43x13
- y34y14
- z23z53.
- Réponse
-
1. x43x13 Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. x43−13 Simplifiez. x 2. y34y14 Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. y34−14 Simplifiez. y12 3. z23z53 Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants. z23−53 Réécrivez sans exposant négatif. 1z
Simplifiez :
- u54u14
- v35v25
- x23x53.
- Réponse
-
- u
- v15
- 1x
Simplifiez :
- c125c25
- m54m94
- d15d65.
- Réponse
-
- c2
- 1m
- 1d
Parfois, nous avons besoin d'utiliser plus d'une propriété. Dans les deux exemples suivants, nous utiliserons à la fois la propriété Product to a Power, puis la propriété Power.
Simplifiez :
- (27u12)23
- (8v14)23.
- Réponse
-
1. (27u12)23 Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. (27)23(u12)23 Réécrivez 27 comme une puissance de 3. (33)23(u12)23 Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. (32)(u13) Simplifiez. 9u13 2. (8v14)23. Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. (8)23(v14)23 Réécrivez 8 comme une puissance de 2. (23)23(v14)23 Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. (22)(v16) Simplifiez. 4v16
Simplifiez :
- 32x13)35
- (64y23)13.
- Réponse
-
- 8x15
- 4y29
Simplifiez :
- (16m13)32
- (81n25)32.
- Réponse
-
- 64m12
- 729n35
Simplifiez :
- (m3n9)13
- (p4q8)14.
- Réponse
-
1. (m3n9)13 Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. (m3)13(n9)13 Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. mn3 2. (p4q8)14 Nous utilisons d'abord le produit pour une propriété énergétique. (p4)14(q8)14 Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants. pq2
Nous utiliserons à la fois les propriétés du produit et du quotient dans l'exemple suivant.
Simplifiez :
- x34·x−14x−64
- y43·yy−23.
- Réponse
-
1. x34·x−14x−64 Utilisez la propriété Product dans le numérateur, ajoutez les exposants. x24x−64 Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants. x84 Simplifiez. x2 2. y43·yy−23 Utilisez la propriété Product dans le numérateur, ajoutez les exposants. y73y−23 Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants. y93 Simplifiez. y3
Simplifiez :
- m23·m−13m−53
- n16·nn−116.
- Réponse
-
- m2
- n3
Simplifiez :
- u45·u−25u−135
- v12·vv−72.
- Réponse
-
- u3
- v5
Concepts clés
- Résumé des propriétés des exposants
- Si a, b sont des nombres réels et m, n sont des nombres rationnels, alors
- Propriété du produitam·an=am+n
- Propriété énergétique(am)n=am·n
- Du produit à une puissance(ab)m=ambm
- Propriété du quotient :
aman=am−n,a≠0,m>n
aman=1an−m,a≠0,n>m
- Définition de l'exposant zéroa0=1,a≠0
- Quotient par rapport à une propriété énergétique(ab)m=ambm,b≠0
Lexique
- exposants rationnels
-
- S'il s'n√aagit d'un nombre réel etn≥2,a1n=n√a
- Pour tous les entiers positifs m et n,amn=(n√a)m etamn=n√am