9.6 : Résoudre des équations à racines carrées
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Résoudre des équations
- Utiliser des racines carrées dans les applications
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Simplifier : ⓐ\(\sqrt{9}\) ⓑ\(9^2\).
Si vous avez oublié ce problème, consultez l'exemple 9.1.1 et l'exercice 1.3.22. - Résolvez : 5 (x+1) −4=3 (2x−7).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.4.16. - Résoudre :\(n^2−6n+8=0\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 7.6.13.
Résoudre des équations
Dans cette section, nous allons résoudre des équations dont la variable est le radical et la racine carrée. Les équations de ce type sont appelées équations radicales.
Une équation dans laquelle la variable se trouve dans le radical et d'une racine carrée est appelée équation radicale.
Comme d'habitude, pour résoudre ces équations, ce que nous faisons d'un côté d'une équation doit également être fait de l'autre côté. Puisque la mise au carré d'une quantité et la prise d'une racine carrée sont des opérations « opposées », nous allons mettre les deux côtés au carré afin de supprimer le signe radical et de résoudre la variable qui se trouve à l'intérieur.
Mais rappelez-vous que lorsque nous\(\sqrt{a}\) écrivons, nous entendons la racine carrée principale. Donc,\(\sqrt{a} \ge 0\) toujours. Lorsque nous résolvons des équations radicales en mettant les deux côtés au carré, nous pouvons obtenir une solution algébrique qui rendrait\(\sqrt{a}\) négative. Cette solution algébrique ne serait pas une solution à l'équation radicale d'origine ; il s'agit d'une solution étrangère. Nous avons également vu des solutions superflues lorsque nous avons résolu des équations rationnelles.
Pour l'équation\(\sqrt{x+2}=x\) :
- Est-ce que x=2 est une solution ?
- Est-ce que x=−1 est une solution ?
- Réponse
-
1. Est-ce que x=2 est une solution ?
Soit x = 2. 
Simplifiez. 
2 est une solution. 2. Est-ce que x=−1 est une solution ?
Soit x = −1. 
Simplifiez. 
−1 n'est pas une solution. −1 est une solution étrangère à l'équation.
Pour l'équation\(\sqrt{x+6}=x\) :
- Est-ce que x=−2 est une solution ?
- Est-ce que x=3 est une solution ?
- Réponse
-
- non
- oui
Pour l'équation\(\sqrt{−x+2}=x\) :
- Est-ce que x=−2 est une solution ?
- Est-ce que x=1 est une solution ?
- Réponse
-
- non
- oui
Pour\(a \ge 0\),\((\sqrt{a})^2=a\)
Comment résoudre des équations radicales
Résoudre :\(\sqrt{2x−1}=7\)
- Réponse
-
Résoudre :\(\sqrt{3x−5}=5\).
- Réponse
-
10
Résoudre :\(\sqrt{4x+8}=6\).
- Réponse
-
7
- Isolez le radical d'un côté de l'équation.
- Mettez les deux côtés de l'équation au carré.
- Résolvez la nouvelle équation.
- Vérifiez la réponse.
Résoudre :\(\sqrt{5n−4}−9=0\).
- Réponse
-
Pour isoler le radical, ajoutez 9 des deux côtés. 
Simplifiez. 
Mettez les deux côtés de l'équation au carré. 
Résolvez la nouvelle équation. 
Vérifiez la réponse.
La solution est n = 17.
Résoudre :\(\sqrt{3m+2}−5=0\).
- Réponse
-
\(\frac{23}{3}\)
Résoudre :\(\sqrt{10z+1}−2=0\).
- Réponse
-
\(\frac{3}{10}\)
Résoudre :\(\sqrt{3y+5}+2=5\).
- Réponse
-
Pour isoler le radical, soustrayez 2 des deux côtés. 
Simplifiez. 
Mettez les deux côtés de l'équation au carré. 
Résolvez la nouvelle équation. 
Vérifiez la réponse.
La solution est\(y=\frac{4}{3}\)
Résoudre :\(\sqrt{3p+3}+3=5\).
- Réponse
-
\(\frac{1}{3}\)
Résoudre :\(\sqrt{5q+1}+4=6\).
- Réponse
-
\(\frac{3}{5}\)
Lorsque nous utilisons un signe radical, nous entendons la racine principale ou positive. Si une équation a une racine carrée égale à un nombre négatif, cette équation n'aura pas de solution.
Résoudre :\(\sqrt{9k−2}+1=0\).
- Réponse
-
Pour isoler le radical, soustrayez 1 des deux côtés. 
Simplifiez. 
Puisque la racine carrée est égale à un nombre négatif, l'équation n'a pas de solution.
Résoudre :\(\sqrt{2r−3}+5=0\)
- Réponse
-
aucune solution
Résoudre :\(\sqrt{7s−3}+2=0\).
- Réponse
-
aucune solution
\[\begin{array}{cc} {(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}&{(a−b)^2=a^2−2ab+b^2}\\ \nonumber \end{array}\]
N'oubliez pas le moyen terme !
Résoudre :\(\sqrt{p−1}+1=p\).
- Réponse
-
Pour isoler le radical, soustrayez 1 des deux côtés. 
Simplifiez. 
Mettez les deux côtés de l'équation au carré. 
Simplifiez, puis résolvez la nouvelle équation. 
C'est une équation quadratique, alors mettez zéro sur un côté. 
Facteur du côté droit. 
Utilisez la propriété zéro produit. 
Résolvez chaque équation. 
Vérifiez les réponses.
Les solutions sont p = 1, p = 2.
Résoudre :\(\sqrt{x−2}+2=x\).
- Réponse
-
2, 3
Résoudre :\(\sqrt{y−5}+5=y\).
- Réponse
-
5, 6
Résoudre :\(\sqrt{r+4}−r+2=0\).
- Réponse
-
\(\sqrt{r+4}−r+2=0\) Isolez le radical. \(\sqrt{r+4}=r−2\) Mettez les deux côtés de l'équation au carré. \((\sqrt{r+4})^2=(r−2)^2\) Résolvez la nouvelle équation. \(r+4=r^2−4r+4\) C'est une équation quadratique, alors mettez zéro sur un côté. \(0=r^2−5r\) Facteur du côté droit. \(0=r(r−5)\) Utilisez la propriété zéro produit. 0=r 0=r−5 Résolvez l'équation. r=0 r=5 Vérifiez la réponse.
r=5 r=0 est une solution étrangère.
Résoudre :\(\sqrt{m+9}−m+3=0\).
- Réponse
-
7
Résoudre :\(\sqrt{n+1}−n+1=0\)
- Réponse
-
3
Lorsqu'il y a un coefficient devant le radical, nous devons également le mettre au carré.
Résoudre :\(3\sqrt{3x−5}−8=4\).
- Réponse
-
\(3\sqrt{3x−5}−8=4\) Isolez le radical. \(3\sqrt{3x−5}=12\) Mettez les deux côtés de l'équation au carré. \((3\sqrt{3x−5})^2=(12)^2\) Simplifiez, puis résolvez la nouvelle équation. 9 (3x−5) =144 Distribuer. 27 x 45 = 144 Résolvez l'équation. 27 x = 189 x=7 Vérifiez la réponse.
La solution est x=7.
Résoudre :\(\sqrt{24a+2}−16=16\).
- Réponse
-
\(\frac{127}{2}\)
Résoudre :\(\sqrt{36b+3}−25=50\).
- Réponse
-
\(\frac{311}{3}\)
Résoudre :\(\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}\).
- Réponse
-
\(\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}\) Les termes radicaux sont isolés \(\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}\) Mettez les deux côtés de l'équation au carré. \((\sqrt{4z−3})^2=(\sqrt{3z+2})^2\) Simplifiez, puis résolvez la nouvelle équation 4z−3=3z+2 z−3 = 2 z=5 x=7 Vérifiez la réponse.
Nous vous laissons le soin de montrer ces 5 chèques !
La solution est z=5.
Résoudre :\(\sqrt{2x−5}=\sqrt{5x+3}\).
- Réponse
-
aucune solution
Résoudre :\(\sqrt{7y+1}=\sqrt{2y−5}\).
- Réponse
-
aucune solution
Parfois, après avoir quadrillé les deux côtés d'une équation, nous avons toujours une variable à l'intérieur d'un radical. Lorsque cela se produit, nous répétons les étapes 1 et 2 de notre procédure. Nous isolons à nouveau le radical et remettons au carré les deux côtés de l'équation.
Résoudre :\(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\).
- Réponse
-
\(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\) Le radical du côté droit est isolé.
Carré des deux côtés
\((\sqrt{m}+1)^2=(\sqrt{m+9})^2\) Simplifiez : soyez très prudent lorsque vous multipliez ! \(m+2\sqrt{m}+1=m+9\) Il y a toujours un radical dans l'équation.
Nous devons donc répéter les étapes précédentes. Isolez le radical.
\(2\sqrt{m}=8\) Carrer les deux côtés. \((2\sqrt{m})^2=(8)^2\) Simplifiez, puis résolvez la nouvelle équation. 4 m = 64 m=16 Vérifiez la réponse.
Nous vous laissons le soin de montrer que m=16 chèques !
La solution est m=16.
Résoudre :\(\sqrt{x}+3=\sqrt{x+5}\).
- Réponse
-
aucune solution
Résoudre :\(\sqrt{m}+5=\sqrt{m+16}\).
- Réponse
-
aucune solution
Résoudre :\(\sqrt{q−2}+3=\sqrt{4q+1}\).
- Réponse
-
\(\sqrt{q−2}+3=\sqrt{4q+1}\) Le radical du côté droit est isolé.
Carré des deux côtés
\((\sqrt{q−2}+3)^2=(\sqrt{4q+1})^2\) Simplifiez. \(q−2+6\sqrt{q−2}+9=4q+1\) Il y a toujours un radical dans l'équation.
Nous devons donc répéter les étapes précédentes. Isolez le radical.
\(6\sqrt{q−2}=3q−6\) Carrer les deux côtés. \((6\sqrt{q−2})^2=(3q−6)^2\) Simplifiez, puis résolvez la nouvelle équation. \(36(q−2)=9q^2−36q+36\) Distribuer. \(36q−72=9q^2−36q+36\) C'est une équation quadratique, alors mettez zéro sur un côté. \(0=9q^2−72q+108\) Facteur du côté droit. \(0=9(q^2−8q+12)\)
\(0=9(q−6)(q−2)\)
Utiliser la propriété zéro produit \[\begin{array}{ll} {q−6=0}&{q−2=0}\\ {q=6}&{q=2}\\ \nonumber \end{array}\] Les chèques vous sont laissés. (Les deux solutions devraient fonctionner.)
Les solutions sont q=6 et q=2.
Résoudre :\(\sqrt{y−3}+2=\sqrt{4y+2}\).
- Réponse
-
aucune solution
Résoudre :\(\sqrt{n−4}+5=\sqrt{3n+3}\).
- Réponse
-
aucune solution
Utiliser des racines carrées dans les applications
Au fur et à mesure que vous progressez dans vos cours universitaires, vous rencontrerez des formules qui incluent des racines carrées dans de nombreuses disciplines. Nous avons déjà utilisé des formules pour résoudre des applications de géométrie.
Nous utiliserons notre stratégie de résolution de problèmes pour les applications de géométrie, avec de légères modifications, pour nous donner un plan de résolution des applications avec des formules de toutes les disciplines.
- Lisez le problème et assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris. Le cas échéant, dessinez une figure et étiquetez-la avec les informations fournies.
- Identifiez ce que nous recherchons.
- Nommez ce que vous recherchez en choisissant une variable pour le représenter.
- Traduisez en équation en écrivant la formule ou le modèle approprié à la situation. Remplacer dans les informations données.
- Résolvez l'équation en utilisant de bonnes techniques d'algèbre.
- Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
- Répondez à la question par une phrase complète.
Nous avons utilisé la formule A=L·W pour déterminer l'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur W. Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales. Si l'on considère s comme la longueur d'un côté d'un carré, l'aire du carré est\(s^2\).
La formule nous\(A=s^2\) donne l'aire d'un carré si nous connaissons la longueur d'un côté. Et si nous voulions trouver la longueur d'un côté pour une zone donnée ? Ensuite, nous devons résoudre l'équation pour s.
\[\begin{array}{ll} {}&{A=s^2}\\ {\text{Take the square root of both sides.}}&{\sqrt{A}=\sqrt{s^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{s=\sqrt{A}}\\ \nonumber \end{array}\]
Nous pouvons utiliser la formule\(s=\sqrt{A}\) pour déterminer la longueur d'un côté d'un carré pour une zone donnée.
Nous en montrerons un exemple dans l'exemple suivant.
Mike et Lychelle veulent créer un patio carré. Ils ont suffisamment de béton pour paver une superficie de 200 pieds carrés. Utilisez la formule\(s=\sqrt{A}\) pour déterminer la longueur de chaque côté du patio. Arrondissez votre réponse au dixième de pied le plus proche.
- Réponse
-
Étape 1. Lisez le problème. Dessinez une figure et
étiquetez-la avec les informations données.
A = 200 pieds carrés Étape 2. Identifiez ce que vous recherchez. La longueur d'un côté du patio carré. Étape 3. Nommez ce que vous recherchez en
choisissant une variable pour le représenter.Soit s la longueur d'un côté. Étape 4. Traduisez en équation en écrivant la formule ou le modèle
approprié à la situation.
Remplacez les informations données.
Étape 5. Résolvez l'équation en utilisant de bonnes
techniques d'algèbre. Arrondir à une décimale.
Étape 6. Vérifiez la réponse au problème et
assurez-vous qu'elle est logique.
C'est assez proche car nous avons arrondi la racine
carrée.
Un patio de 14,1 pieds de côté est-il raisonnable ?
OuiÉtape 7. Répondez à la question par une
phrase complète.Chaque côté du patio doit mesurer 14,1 pieds.
Katie veut planter une pelouse carrée dans son jardin. Elle a assez de gazon pour couvrir une superficie de 370 pieds carrés. Utilisez la formule\(s=\sqrt{A}\) pour déterminer la longueur de chaque côté de sa pelouse. Arrondissez votre réponse au dixième de pied le plus proche.
- Réponse
-
19,2 pieds
Sergio veut créer une mosaïque carrée en guise d'incrustation pour une table qu'il est en train de construire. Il a suffisamment de carreaux pour couvrir une superficie de 2704 centimètres carrés. Utilisez la formule\(s=\sqrt{A}\) pour trouver la longueur de chaque côté de sa mosaïque. Arrondissez votre réponse au dixième de pied le plus proche.
- Réponse
-
52,0 cm
Une autre application des racines carrées concerne la gravité.
Sur Terre, si un objet tombe d'une hauteur de hh pieds, le temps en secondes qu'il faudra pour atteindre le sol est déterminé en utilisant la formule,
\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\)
Par exemple, si un objet tombe d'une hauteur de 64 pieds, nous pouvons déterminer le temps qu'il faut pour atteindre le sol en substituant h=64 dans la formule.
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| Prenez la racine carrée de 64. |  |
| Simplifiez la fraction. |  |
Il faudrait 2 secondes pour qu'un objet tombé d'une hauteur de 64 pieds atteigne le sol.
Christy a fait tomber ses lunettes de soleil d'un pont à 400 pieds au-dessus d'une rivière. Utilisez la formule\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) pour déterminer le nombre de secondes qu'il a fallu aux lunettes de soleil pour atteindre la rivière.
- Réponse
-
Étape 1. Lisez le problème. Étape 2. Identifiez ce que vous recherchez. Le temps qu'il faut aux lunettes de soleil pour atteindre
la rivière.Étape 3. Nommez ce que vous recherchez en
choisissant une variable pour le représenter.Soit t = heure. Étape 4. Traduisez en équation en écrivant la formule ou le modèle
approprié à la situation.
Remplacer dans les informations données.
Étape 5. Résolvez l'équation en utilisant de bonnes
techniques d'algèbre.
Étape 6. Vérifiez la réponse au problème et
assurez-vous qu'elle est logique.
5 = 5 ✓Est-ce que 5 secondes semblent raisonnables ?
OuiÉtape 7. Répondez à la question par une
phrase complète.Il faudra 5 secondes pour que les lunettes de soleil touchent
l'eau.
Un hélicoptère a largué un colis de sauvetage d'une hauteur de 1 296 pieds. Utilisez la formule\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) pour déterminer le nombre de secondes qu'il a fallu pour que le colis atteigne le sol.
- Réponse
-
9 secondes
Un lave-vitres a fait tomber une raclette d'une plate-forme à 196 pieds au-dessus du trottoir Utilisez la formule\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) pour déterminer le nombre de secondes qu'il a fallu à la raclette pour atteindre le trottoir.
- Réponse
-
3,5 secondes
Les policiers qui enquêtent sur des accidents de voiture mesurent la longueur des marques de dérapage sur la chaussée. Ensuite, ils utilisent des racines carrées pour déterminer la vitesse, en miles par heure, qu'une voiture roulait avant d'appliquer les freins.
Si la longueur des marques de dérapage est de d pieds, la vitesse, s, de la voiture avant que les freins ne soient serrés peut être déterminée en utilisant la formule,
\(s=\sqrt{24d}\)
Après un accident de voiture, les marques de dérapage d'une voiture mesuraient 190 pieds. Utilisez la formule\(s=\sqrt{24d}\) pour déterminer la vitesse de la voiture avant que les freins ne soient serrés. Arrondissez votre réponse au dixième le plus proche.
- Réponse
-
Étape 1. Lisez le problème. Étape 2. Identifiez ce que nous recherchons. La vitesse d'une voiture. Étape 3. Nommez ce que nous recherchons. Soit s = la vitesse. Étape 4. Traduisez en une équation en écrivant la formule appropriée. 
Remplacez les informations données. 
Étape 5. Résolvez l'équation. 
Arrondir à la première décimale. 
Étape 6. Vérifiez la réponse au problème.
67,5 ≈ ? 24 (190) √
67,5 ≈ ? 4560√
67,5 ≈ ? 67 527...Est-ce que 67,5 mi/h est une vitesse raisonnable ? Oui Étape 7. Répondez à la question par une phrase complète. La vitesse de la voiture était d'environ 67,5 milles à l'heure.
Un enquêteur a mesuré les marques de dérapage de la voiture. La longueur des marques de dérapage était de 76 pieds. Utilisez la formule\(s=\sqrt{24d}\) pour déterminer la vitesse de la voiture avant que les freins ne soient serrés. Arrondissez votre réponse au dixième le plus proche.
- Réponse
-
42,7 pieds
Les marques de dérapage d'un véhicule impliqué dans un accident mesuraient 122 pieds de long. Utilisez la formule\(s=\sqrt{24d}\) pour déterminer la vitesse du véhicule avant que les freins ne soient actionnés. Arrondissez votre réponse au dixième le plus proche.
- Réponse
-
54,1 pieds
Concepts clés
- Pour résoudre une équation radicale :
- Isolez le radical d'un côté de l'équation.
- Mettez les deux côtés de l'équation au carré.
- Résolvez la nouvelle équation.
- Vérifiez la réponse. Certaines solutions obtenues peuvent ne pas fonctionner dans l'équation d'origine.
- Résolution d'applications avec des formules
- Lisez le problème et assurez-vous que tous les mots et toutes les idées sont compris. Le cas échéant, dessinez une figure et étiquetez-la avec les informations fournies.
- Identifiez ce que nous recherchons.
- Nommez ce que vous recherchez en choisissant une variable pour le représenter.
- Traduisez en équation en écrivant la formule ou le modèle approprié à la situation. Remplacer dans les informations données.
- Résolvez l'équation en utilisant de bonnes techniques d'algèbre.
- Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
- Répondez à la question par une phrase complète.
- Surface d'un carré
- Chute d'objets
- Sur Terre, si un objet tombe d'une hauteur de hh pieds, le temps en secondes qu'il faudra pour atteindre le sol est déterminé en utilisant la formule\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\).
- Marques de dérapage et vitesse d'une voiture
- Si la longueur des marques de dérapage est de d pieds, la vitesse, s, de la voiture avant que les freins ne soient serrés peut être déterminée à l'aide de la formule\(s=\sqrt{24d}\).
Lexique
- équation radicale
- Une équation dans laquelle la variable se trouve dans le radical et d'une racine carrée est appelée équation radicale.