8.3 : Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec un dénominateur commun
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Ajouter des expressions rationnelles avec un dénominateur commun
- Soustraire des expressions rationnelles ayant un dénominateur commun
- Additionner et soustraire des expressions rationnelles dont les dénominateurs sont opposés
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
Si vous manquez un problème, revenez à la section répertoriée et passez en revue les informations.
- Ajoutez :\(\frac{y}{3}+\frac{9}{3}\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.7.1. - Soustraire :\(\frac{10}{x}−\frac{2}{x}\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.7.7. - Facteur complètement :\(8n^5−20n^3\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 7.5.1. - Facteur complètement :\(45a^3−5ab^2\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 7.5.10.
Ajouter des expressions rationnelles avec un dénominateur commun
Quelle est la première étape que vous effectuez lorsque vous ajoutez des fractions numériques ? Vous vérifiez s'ils ont un dénominateur commun. Si tel est le cas, vous ajoutez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun. S'ils n'ont pas de dénominateur commun, vous en trouvez un avant de les additionner.
Il en va de même pour les expressions rationnelles. Pour ajouter des expressions rationnelles, elles doivent avoir un dénominateur commun. Lorsque les dénominateurs sont identiques, vous ajoutez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun.
Si p, q et r sont des polynômes où\(r \ne 0\), alors
\(\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}\)
Pour ajouter des expressions rationnelles avec un dénominateur commun, ajoutez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun.
Nous ajouterons d'abord deux fractions numériques, pour nous rappeler comment cela se fait.
Ajoutez :\(\frac{5}{18}+\frac{7}{18}\).
- Réponse
-
\(\frac{5}{18}+\frac{7}{18}\) Les fractions ont un dénominateur commun, alors additionnez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun. \(\frac{5+7}{18}\) Ajoutez le numérateur. \(\frac{12}{18}\) Facturez le numérateur et le dénominateur pour montrer les facteurs communs. \(\frac{6·2}{6·3}\) Simplifiez. \(\frac{2}{3}\)
Ajoutez :\(\frac{7}{16}+\frac{5}{16}\).
- Réponse
-
\(\frac{3}{4}\)
Ajoutez :\(\frac{3}{10}+\frac{1}{10}\).
- Réponse
-
\(\frac{2}{5}\)
N'oubliez pas que nous n'autorisons pas les valeurs qui rendraient le dénominateur zéro. Quelle valeur de yy doit être exclue dans l'exemple suivant ?
Ajoutez :\(\frac{3y}{4y−3}+\frac{7}{4y−3}\).
- Réponse
-
\(\frac{3y}{4y−3}+\frac{7}{4y−3}\). Les fractions ont un dénominateur commun, alors additionnez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun. \(\frac{3y+7}{4y−3}\) Le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas être pris en compte. La fraction est simplifiée.
Ajoutez :\(\frac{5x}{2x+3}+\frac{2}{2x+3}\).
- Réponse
-
\(\frac{5x+2}{2x+3}\).
Ajoutez :\(\frac{x}{x−2}+\frac{1}{x−2}\).
- Réponse
-
\(\frac{x+1}{x−2}\)
Ajoutez :\(\frac{7x+12}{x+3}+\frac{x^2}{x+3}\).
- Réponse
-
\(\frac{7x+12}{x+3}+\frac{x^2}{x+3}\) Les fractions ont un dénominateur commun, alors additionnez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun. \(\frac{7x+12+x^2}{x+3}\) Écrivez les degrés par ordre décroissant. \(\frac{x^2+7x+12}{x+3}\) Facturez le numérateur. \(\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}\) Simplifiez. x+4
Ajoutez :\(\frac{9x+14}{x+7}+\frac{x^2}{x+7}\).
- Réponse
-
x+2
Ajoutez :\(\frac{x^2+8x}{x+5}+\frac{15}{x+5}\).
- Réponse
-
x+3
Soustraire des expressions rationnelles avec un dénominateur commun
Pour soustraire des expressions rationnelles, elles doivent également avoir un dénominateur commun. Lorsque les dénominateurs sont identiques, vous soustrayez les numérateurs et placez la différence au-dessus du dénominateur commun.
Si p, q et r sont des polynômes où\(r \ne 0\)
\(\frac{p}{r}−\frac{q}{r}=\frac{p−q}{r}\)
Pour soustraire des expressions rationnelles, soustrayez les numérateurs et placez la différence au-dessus du dénominateur commun.
Nous simplifions toujours les expressions rationnelles. Assurez-vous de prendre en compte, si possible, après avoir soustrait les numérateurs afin de pouvoir identifier les facteurs communs.
Soustraire :\(\frac{n^2}{n−10}−\frac{100}{n−10}\).
- Réponse
-
\(\frac{n^2}{n−10}−\frac{100}{n−10}\) Les fractions ont un dénominateur commun, alors additionnez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun. \(\frac{n^2−100}{n−10}\) Facturez le numérateur. \(\frac{(n−10)(n+10)}{n−10}\) Simplifiez. n+10
Soustraire :\(\frac{x^2}{x+3}−\frac{9}{x+3}\).
- Réponse
-
x−3
Soustraire :\(\frac{4x^2}{2x−5}−\frac{25}{2x−5}\).
- Réponse
-
2x+5
Faites attention aux signes lorsque vous soustrayez un binôme !
Soustraire :\(\frac{y^2}{y−6}−\frac{2y+24}{y−6}\).
- Réponse
-
\(\frac{y^2}{y−6}−\frac{2y+24}{y−6}\) Les fractions ont un dénominateur commun, alors additionnez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun. \(\frac{y^2−(2y+24)}{y−6}\) Distribuez le signe dans le numérateur. \(\frac{y^2−2y−24}{y−6}\) Facturez le numérateur. \(\frac{(y−6)(y+4)}{y−6}\) Simplifiez. ou+4
Soustraire :\(\frac{n^2}{n−4}−\frac{n+12}{n−4}\).
- Réponse
-
n+3
Soustraire :\(\frac{y^2}{y−1}−\frac{9y−8}{y−1}\).
- Réponse
-
y−8
Soustraire :\(\frac{5x^2−7x+3}{x^2−3x-18}−\frac{4x^2+x−9}{x^2−3x-18}\).
- Réponse
-
\(\frac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−\frac{4x^2+x−9}{x^2−3x+18}\) Les fractions ont un dénominateur commun, alors additionnez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun. \(\frac{5x^2−7x+3−(4x^2+x−9)}{x^2−3x+18}\) Distribuez le signe dans le numérateur. \(\frac{5x^2−7x+3−4x^2−x+9}{x^2−3x+18}\) Combinez les mêmes termes. \(\frac{x^2−8x+12}{x^2−3x+18}\) Facturez le numérateur et le dénominateur. \(\frac{(x−2)(x−6)}{(x+3)(x−6)}\) Simplifiez. \(\frac{x−2}{x+3}\)
Soustraire :\(\frac{4x^2−11x+8}{x^2−3x+2}−\frac{3x^2+x−3}{x^2−3x+2}\).
- Réponse
-
\(\frac{x−11}{x−2}\)
Soustraire :\(\frac{6x^2−x+20}{x^2−81}−\frac{5x^2+11x−7}{x^2−81}\).
- Réponse
-
\(\frac{x−3}{x+9}\)
Additionner et soustraire des expressions rationnelles dont les dénominateurs sont opposés
Lorsque les dénominateurs de deux expressions rationnelles sont opposés, il est facile d'obtenir un dénominateur commun. Il suffit de multiplier l'une des fractions par\(\frac{−1}{−1}\)
Voyons comment cela fonctionne.
 |
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| Multipliez la deuxième fraction par\(\frac{−1}{−1}\). |  |
| Les dénominateurs sont les mêmes. |  |
| Simplifiez. |  |
Ajoutez :\(\frac{4u−1}{3u−1}+\frac{u}{1−3u}\).
- Réponse
-
Multipliez la deuxième fraction par\(\frac{−1}{−1}\). 
Simplifiez la deuxième fraction. 
Les dénominateurs sont les mêmes. Ajoutez les numérateurs. 
Simplifiez. 
Simplifiez. 
Ajoutez :\(\frac{8x−15}{2x−5}+\frac{2x}{5−2x}\).
- Réponse
-
3
Ajoutez :\(\frac{6y^2+7y−10}{4y−7}+\frac{2y^2+2y+11}{7−4y}\).
- Réponse
-
y+3
Soustraire :\(\frac{m^2−6m}{m^2−1}−\frac{3m+2}{1−m^2}\).
- Réponse
-
Multipliez la deuxième fraction par\(\frac{−1}{−1}\). 
Simplifiez la deuxième fraction. 
Les dénominateurs sont les mêmes. Soustrayez les numérateurs. 
Distribuer. m2−6 m+3 m+2 m2−1 Combinez les mêmes termes. 
Facturez le numérateur et le dénominateur. 
Simplifiez en supprimant les facteurs courants. 
Simplifiez. 
Soustraire :\(\frac{y^2−5y}{y^2−4}−\frac{6y−6}{4−y^2}\).
- Réponse
-
\(\frac{y+3}{y+2}\)
Soustraire :\(\frac{2n^2+8n−1}{n^2−1}−\frac{n^2−7n−1}{1−n^2}\).
- Réponse
-
\(\frac{3n−2}{n−1}\)
Concepts clés
- Ajout d'expressions rationnelles
- Si p, q et r sont des polynômes où\(r \ne 0\), alors
\(\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}\)
- Pour ajouter des expressions rationnelles avec un dénominateur commun, ajoutez les numérateurs et placez la somme au-dessus du dénominateur commun.
- Si p, q et r sont des polynômes où\(r \ne 0\), alors
- Soustraction d'expressions rationnelles
- Si p, q et r sont des polynômes où\(r \ne 0\)
\(\frac{p}{r}−\frac{q}{r}=\frac{p−q}{r}\)
- Pour soustraire des expressions rationnelles, soustrayez les numérateurs et placez la différence au-dessus du dénominateur commun.
- Si p, q et r sont des polynômes où\(r \ne 0\)