# 8.2E : Exercices

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

## La pratique rend la perfection

Multipliez les expressions

Dans les exercices suivants, multipliez.

##### Exemple$$\PageIndex{40}$$

$$\frac{12}{16}·\frac{4}{10}$$

Réponse

$$\frac{3}{10}$$

##### Exemple$$\PageIndex{41}$$

$$\frac{32}{5}·\frac{16}{24}$$

##### Exemple$$\PageIndex{42}$$

$$\frac{18}{10}·\frac{4}{30}$$

Réponse

$$\frac{6}{25}$$

##### Exemple$$\PageIndex{43}$$

$$\frac{21}{36}·\frac{45}{24}$$

##### Exemple$$\PageIndex{44}$$

$$\frac{5x^{2}y^{4}}{12xy^3}·\frac{6x^2}{20y^2}$$

Réponse

$$\frac{x^3}{8y}$$

##### Exemple$$\PageIndex{45}$$

$$\frac{8w^{3}y^9}{y^2}·\frac{3y}{4w^4}$$

##### Exemple$$\PageIndex{46}$$

$$\frac{12a^{3}b}{b^2}·\frac{2ab^2}{9b^3}$$

Réponse

$$\frac{8a^4}{3b^2}$$

##### Exemple$$\PageIndex{47}$$

$$\frac{4mn^2}{5n^3}·\frac{mn^3}{8m^2}$$

##### Exemple$$\PageIndex{48}$$

$$\frac{5p^2}{p^2−5p−36}·\frac{p^2−16}{10p}$$

Réponse

$$\frac{p(p−4)}{2(p−9)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{49}$$

$$\frac{3q^2}{q^2+q−6}·\frac{q^2−9}{9q}$$

##### Exemple$$\PageIndex{50}$$

$$\frac{4r}{r^2−3r−10}·\frac{r^2−25}{8r^2}$$

Réponse

$$\frac{r+5}{2r(r+2)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{51}$$

$$\frac{s}{s^2−9s+14}·\frac{s^2−49}{7s^2}$$

##### Exemple$$\PageIndex{52}$$

$$\frac{x^2−7x}{x^2+6x+9}·\frac{x+3}{4x}$$

Réponse

$$\frac{x−7}{4(x+3)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{53}$$

$$\frac{2y^2−10y}{y^2+10y+25}·\frac{y+5}{6y}$$

##### Exemple$$\PageIndex{54}$$

$$\frac{z^2+3z}{z^2−3z−4}·\frac{z−4}{z^2}$$

Réponse

$$\frac{z+3}{z(z+1)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{55}$$

$$\frac{2a^2+8a}{a^2−9a+20}·\frac{a−5}{a^2}$$

##### Exemple$$\PageIndex{56}$$

$$\frac{28−4b}{3b−3}·\frac{b^2+8b−9}{b^2−49}$$

Réponse

$$−\frac{4(b+9)}{3(b+7)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{57}$$

$$\frac{18c−2c^2}{6c+30}·\frac{c^2+7c+10}{c^2−81}$$

##### Exemple$$\PageIndex{58}$$

$$\frac{35d−7d^2}{d^2+7d}·\frac{d^2+12d+35}{d^2−25}$$

Réponse

−7

##### Exemple$$\PageIndex{59}$$

$$\frac{72m−12m^2}{8m+32}·\frac{m^2+10m+24}{m^2−36}$$

##### Exemple$$\PageIndex{60}$$

$$\frac{4n+20}{n^2+n−20}·\frac{n^2−16}{4n+16}$$

Réponse

1

##### Exemple$$\PageIndex{61}$$

$$\frac{6p^2−6p}{p^2+7p−18}·\frac{p^2−81}{3p^2−27p}$$

##### Exemple$$\PageIndex{62}$$

$$\frac{q^2−2q}{q^2+6q−16}·\frac{q^2−64}{q^2−8q}$$

Réponse

1

##### Exemple$$\PageIndex{63}$$

$$\frac{2r^2−2r}{r^2+4r−5}·\frac{r^2−25}{2r^2−10r}$$

Divisez les expressions

Dans les exercices suivants, divisez.

##### Exemple$$\PageIndex{64}$$

$$\frac{t−6}{3−t}÷\frac{t^2−9}{t−5}$$

Réponse

$$−\frac{2t}{t^3−5t−9}$$

##### Exemple$$\PageIndex{65}$$

$$\frac{v−5}{11−v}÷\frac{v^2−25}{v−11}$$

##### Exemple$$\PageIndex{66}$$

$$\frac{10+w}{w−8}÷\frac{100−w^2}{8−w}$$

Réponse

$$−\frac{1}{10−w}$$

##### Exemple$$\PageIndex{67}$$

$$\frac{7+x}{x−6}÷\frac{49−x^2}{x+6}$$

##### Exemple$$\PageIndex{68}$$

$$\frac{27y^2}{3y−21}÷\frac{3y^2+18}{y^2+13y+42}$$

Réponse

$$\frac{3y^2(y+6)(y+7)}{(y−7)(y2+6)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{69}$$

$$\frac{24z^2}{2z−8}÷\frac{4z−28}{z^2−11z+28}$$

##### Exemple$$\PageIndex{70}$$

$$\frac{16a^2}{4a+36}÷\frac{4a^2−24a}{a^2+4a−45}$$

Réponse

$$\frac{a(a−5)}{a−6}$$

##### Exemple$$\PageIndex{71}$$

$$\frac{24b^2}{2b−4}÷\frac{12b^2+36b}{b^2−11b+18}$$

##### Exemple$$\PageIndex{72}$$

$$\frac{3c^2-16c+5}{c^2-25}÷\frac{3c^2-14c-5}{c^2+10c+25}$$

Réponse

$$\frac{(3c-1)(c+5)}{(3c+1)(c−5)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{73}$$

$$\frac{2d^2+d−3}{d^2−16}÷\frac{2d^2−9d−18}{d^2−8d+16}$$

##### Exemple$$\PageIndex{74}$$

$$\frac{6m^2−13m+2}{9−m^2}÷\frac{6m^2+23m−4}{m^2−6m+9}$$

Réponse

$$−\frac{(m−2)(m−3)}{(3+m)(m+4)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{75}$$

$$\frac{2n^2−3n−14}{25−n^2}÷\frac{2n^2−13n+21}{n^2−10n+25}$$

##### Exemple$$\PageIndex{76}$$

$$\frac{3s^2}{s^2−16}÷\frac{s^3+4s^2+16s}{s^3−64}$$

Réponse

$$\frac{3s}{s+4}$$

##### Exemple$$\PageIndex{77}$$

$$\frac{r^2−9}{15}÷\frac{r^3−27}{5r^2+15r+45}$$

##### Exemple$$\PageIndex{78}$$

$$\frac{p^3+q^3}{3p^2+3pq+3q^2}÷\frac{p^2−q^2}{12}$$

Réponse

$$\frac{4(p^2−pq+q^2)}{(p−q)(p^2+pq+q^2)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{79}$$

$$\frac{v^3−8w^3}{2v^2+4vw+8w^2}÷\frac{v^2−4w^2}{4}$$

##### Exemple$$\PageIndex{80}$$

$$\frac{t^2−9}{2t}÷(t^2−6t+9)$$

Réponse

$$\frac{t+3}{2t(t−3)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{81}$$

$$\frac{x^2+3x−10}{4x}÷(2x^2+20x+50)$$

##### Exemple$$\PageIndex{82}$$

$$\frac{2y^2−10yz−48z^2}{2y−1}÷(4y^2−32yz)$$

Réponse

$$\frac{y+3z}{2y(2y−1)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{83}$$

$$\frac{2m^2−98n^2}{2m+6}÷(m^2−7mn)$$

##### Exemple$$\PageIndex{84}$$

$$\frac{\frac{2a^2−a−21}{5a+20}}{\frac{a^2+7a+12}{a^2+8a+16}}$$

Réponse

$$\frac{2a−7}{5}$$

##### Exemple$$\PageIndex{85}$$

$$\frac{\frac{3b^2+2b−8}{12b+18}}{\frac{3b^2+2b−8}{2b^2−7b−15}}$$

##### Exemple$$\PageIndex{86}$$

$$\frac{\frac{12c^2−12}{2c^2−3c+14}}{\frac{c+4}{6c^2−13c+5}}$$

Réponse

3 (3 c−5)

##### Exemple$$\PageIndex{87}$$

$$\frac{\frac{4d^2+7d−2}{35d+10}}{\frac{d^2−4}{7d^2−12d−4}}$$

##### Exemple$$\PageIndex{88}$$

$$\frac{10m^2+80m}{3m−9}·\frac{m^2+4m−21}{m^2−9m+20}÷\frac{5m^2+10m}{2m−10}$$

Réponse

$$\frac{4(m+8)(m+7)}{3(m−4)(m+2)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{89}$$

$$\frac{4n^2+32n}{3n+2}·\frac{3n^2−n−2}{n^2+n−30}÷\frac{108n^2−24n}{n+6}$$

##### Exemple$$\PageIndex{90}$$

$$\frac{12p^2+3p}{p+3}÷\frac{p^2+2p−63}{p^2−p−12}·\frac{p−7}{9p^3−9p^2}$$

Réponse

$$\frac{(4p+1)(p−7)}{3p(p+9)(p−1)}$$

##### Exemple$$\PageIndex{91}$$

$$\frac{6q+3}{9q^2−9q}÷\frac{q^2+14q+33}{q^2+4q−5}·\frac{4q^2+12q}{12q+6}$$

## Mathématiques quotidiennes

##### Exemple$$\PageIndex{92}$$

Probabilité Le directeur d'une grande entreprise interroge des candidats pour deux emplois identiques. Si w = le nombre de femmes candidates et m = le nombre de candidats masculins, alors la probabilité que deux femmes soient sélectionnées pour les emplois est de$$\frac{w}{w+m}·\frac{w−1}{w+m−1}$$.

1. Simplifiez la probabilité en multipliant les deux expressions rationnelles.
2. Détermine la probabilité que deux femmes soient sélectionnées lorsque w=5 et m=10.
Réponse
1. $$\frac{w(w−1)}{(w+m)(w+m−1)}$$
2. $$\frac{2}{21}$$
##### Exemple$$\PageIndex{93}$$

Aire d'un triangle L'aire d'un triangle de base b et de hauteur h est$$\frac{bh}{2}$$. Si le triangle est étiré pour former un nouveau triangle dont la base et la hauteur sont trois fois plus grandes que dans le triangle d'origine, la zone est$$\frac{9bh}{2}$$. Calculez la comparaison entre l'aire du nouveau triangle et celle du triangle d'origine en divisant$$\frac{9bh}{2}$$ par$$\frac{bh}{2}$$.

## Exercices d'écriture

##### Exemple$$\PageIndex{94}$$
1. Multipliez$$\frac{7}{4}·\frac{9}{10}$$ et expliquez toutes vos étapes.
2. Multipliez$$\frac{n}{n−3}·\frac{9n+3}{n}$$ et expliquez toutes vos étapes.
3. Évaluez votre réponse à la partie (b) lorsque n = 7. Avez-vous obtenu la même réponse que celle que vous avez obtenue dans la partie (a) ? Pourquoi ou pourquoi pas ?
Réponse

Les réponses peuvent varier.

##### Exemple$$\PageIndex{95}$$
1. Divisez$$\frac{24}{5}÷6$$ et expliquez toutes vos étapes.
2. Divisez$$\frac{x^2−1}{x}÷(x+1)$$ et expliquez toutes vos étapes.
3. Évaluez votre réponse à la partie (b) lorsque x=5. Avez-vous obtenu la même réponse que celle que vous avez obtenue dans la partie (a) ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

## Auto-vérification

ⓐ Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

ⓑ Après avoir examiné cette liste de contrôle, que ferez-vous pour atteindre tous les objectifs en toute confiance ?