7.4 : Produits Factor Special
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Facteur : trinômes carrés parfaits
- Différences factorielles des carrés
- Sommes factorielles et différences entre les cubes
- Choisissez la méthode pour factoriser complètement un polynôme
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Simplifier :\((12 x)^{2}\)
si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 6.2.22. - Multipliez :\((m+4)^{2}\)
si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 6.4.1. - Multipliez :\((p-9)^{2}\)
si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 6.4.4. - Multipliez :\((k+3)(k-3)\)
si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 6.4.16.
La stratégie de factorisation que nous avons développée dans la dernière section vous aidera à factoriser la plupart des binômes, trinômes et polynômes comportant plus de trois termes. Nous avons vu que certains binômes et trinômes résultent de produits spéciaux : la mise au carré des binômes et la multiplication des conjugués. Si vous apprenez à reconnaître ces types de polynômes, vous pouvez utiliser les modèles de produits spéciaux pour les factoriser beaucoup plus rapidement.
Trinômes carrés Factor Perfect
Certains trinômes sont des carrés parfaits. Ils résultent de la multiplication d'un binôme par lui-même. Vous pouvez mettre un binôme au carré à l'aide de FOIL, mais utiliser le motif de carrés binomiaux que vous avez vu dans un chapitre précédent vous permet d'économiser une étape. Revoyons le modèle des carrés binomiaux en mettant au carré un binôme à l'aide de FOIL.
Le premier terme est le carré du premier terme du binôme et le dernier terme est le carré du dernier. Le terme moyen est le double du produit des deux termes du binôme.
\[\begin{array}{c}{(3 x)^{2}+2(3 x \cdot 4)+4^{2}} \\ {9 x^{2}+24 x+16}\end{array}\]
Le trinôme\(9 x^{2}+24+16\) est appelé trinôme carré parfait. C'est le carré du binôme 3 x +4.
Nous allons répéter le modèle des carrés binomiaux ici pour l'utiliser comme référence pour la factorisation.
Si a et b sont des nombres réels,
\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \qquad(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\]
Lorsque vous mettez un binôme au carré, le produit est un trinôme carré parfait. Dans ce chapitre, vous apprenez à prendre en compte. Vous allez maintenant commencer par un trinôme carré parfait et le prendre en compte dans ses facteurs premiers.
Vous pouvez factoriser ce trinôme en utilisant les méthodes décrites dans la dernière section, car il est de la forme\(ax^{2}+bx+c\). Mais si vous reconnaissez que le premier et le dernier terme sont des carrés et que le trinôme correspond parfaitement au modèle de trinôme carré, vous vous épargnerez beaucoup de travail.
Voici le motif, l'inverse du schéma des carrés binomiaux.
Si a et b sont des nombres réels,
\[a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} \qquad a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}\]
Pour utiliser ce modèle, vous devez reconnaître qu'un trinôme donné lui convient. Vérifiez d'abord si le coefficient principal est un carré parfait,\(a^2\). Vérifiez ensuite que le dernier terme est un carré parfait,\(b^2\). Vérifiez ensuite le moyen terme : est-ce le double du produit\(2ab\) ? Si tout se vérifie, vous pouvez facilement écrire les facteurs.
Facteur :\(9 x^{2}+12 x+4\)
- Réponse
-
Facteur :\(4 x^{2}+12 x+9\)
- Réponse
-
\((2 x+3)^{2}\)
Facteur :\(9 y^{2}+24 y+16\)
- Réponse
-
\((3 y+4)^{2}\)
Le signe du moyen terme détermine le modèle que nous utiliserons. Lorsque le moyen terme est négatif, nous utilisons le modèle\(a^{2}-2 a b+b^{2}\), qui prend en compte\((a-b)^{2}\).
Les étapes sont résumées ici.
\(\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}\)
Nous allons maintenant en travailler un où le moyen terme est négatif.
Facteur :\(81 y^{2}-72 y+16\)
- Réponse
-
Le premier et le dernier terme sont des carrés. Voyez si le terme moyen correspond au modèle d'un trinôme carré parfait. Le terme moyen est négatif, donc le carré binomial le serait\((a-b)^{2}\).
Le premier et le dernier trimestre sont-ils des carrés parfaits ? 
Vérifiez le moyen terme. 
Est-ce que cela correspond\((a-b)^{2}\) ? Oui. 
Ecrivez le carré d'un binôme. 
Vérifiez en multipliant. \((9 y-4)^{2}\) \((9 y)^{2}-2 \cdot 9 y \cdot 4+4^{2}\) \(81 y^{2}-72 y+16 \checkmark\)
Facteur :\(64 y^{2}-80 y+25\)
- Réponse
-
\((8 y-5)^{2}\)
Facteur :\(16 z^{2}-72 z+81\)
- Réponse
-
\((4 z-9)^{2}\)
L'exemple suivant sera un trinôme carré parfait avec deux variables.
Facteur :\(36 x^{2}+84 x y+49 y^{2}\)
- Réponse
-
Testez chaque terme pour vérifier le schéma. 
Facteur. 
Vérifiez en multipliant. \((6 x+7 y)^{2}\) \((6 x)^{2}+2 \cdot 6 x \cdot 7 y+(7 y)^{2}\) \(36 x^{2}+84 x y+49 y^{2} \checkmark\)
Facteur :\(49 x^{2}+84 x y+36 y^{2}\)
- Réponse
-
\((7 x+6 y)^{2}\)
Facteur :\(64 m^{2}+112 m n+49 n^{2}\)
- Réponse
-
\((8 m+7 n)^{2}\)
Facteur :\(9 x^{2}+50 x+25\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{lc} & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \text { Are the first and last terms perfect squares? } & (3 x)^{2} \qquad\quad (5)^2 \\ \text { Check the middle term-is it 2ab? } & (3 x)^{2} \searrow_{2(3 x)(5) }\swarrow (5)^{2}. \\ & \tiny{30x} \\ \text { No! } 30 x \neq 50 x & \text { This does not fit the pattern! } \\ \text { Factor using the "ac" method. } & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \begin{array}{c}{\text { ac }} \\ {\text { Notice: } 9 \cdot 25 \text { and } 5 \cdot 45=225} \\ {225}\end{array} \\ {\text { Split the middle term. }} & \begin{array}{c}{9 x^{2}+5 x+45 x+25} \\ {x(9 x+5)+5(9 x+5)} \\ {(9 x+5)(x+5)}\end{array}\\ {\text { Factor by grouping. }} \\ \text { Check. } & \\ \begin{array}{l}{(9 x+5)(x+5)} \\ {9 x^{2}+45 x+5 x+25} \\ {9 x^{2}+50 x+25}\checkmark\end{array}\end{array}\)
Facteur :\(16 r^{2}+30 r s+9 s^{2}\)
- Réponse
-
\((8 r+3 s)(2 r+3 s)\)
Facteur :\(9 u^{2}+87 u+100\)
- Réponse
-
\((3 u+4)(3 u+25)\)
Vous vous souvenez de la toute première étape de notre stratégie de factorisation des polynômes ? Il s'agissait de se demander « y a-t-il un facteur commun le plus important ? » et, si c'est le cas, vous devez prendre en compte le GCF avant d'aller plus loin. Les trinômes carrés parfaits peuvent avoir un GCF dans les trois termes et il faut d'abord le prendre en compte. Et, parfois, une fois le GCF pris en compte, vous reconnaîtrez un trinôme carré parfait.
Facteur :\(36 x^{2} y-48 x y+16 y\)
- Réponse
-
\(36 x^{2} y-48 x y+16 y\) Y a-t-il un GCF ? Oui, 4 ans, alors prenez en compte. 4\(y\left(9 x^{2}-12 x+4\right)\) Est-ce un trinôme carré parfait ? Vérifiez le schéma. 
Facteur. 4\(y(3 x-2)^{2}\) N'oubliez pas : conservez le facteur 4 y dans le produit final. Vérifiez. \(4y(3 x-2)^{2}\) \(4y[(3 x)^{2}-2 \cdot 3 x \cdot 2+2^{2}]\) \(4 y(9 x)^{2}-12 x+4\) \(36 x^{2} y-48 x y+16 y\checkmark\)
Facteur :\(8 x^{2} y-24 x y+18 y\)
- Réponse
-
2\(y(2 x-3)^{2}\)
Facteur :\(27 p^{2} q+90 p q+75 q\)
- Réponse
-
3\(q(3 p+5)^{2}\)
Différences factorielles des carrés
L'autre produit spécial que vous avez vu dans la précédente était le modèle Product of Conjugués. Vous l'avez utilisé pour multiplier deux binômes qui étaient des conjugués. Voici un exemple :
\[\begin{array}{c}{(3 x-4)(3 x+4)} \\ {9 x^{2}-16}\end{array}\]
N'oubliez pas que lorsque vous multipliez des binômes conjugués, les termes intermédiaires du produit s'additionnent à 0. Il ne vous reste qu'un binôme, la différence des carrés.
La multiplication des conjugués est le seul moyen d'obtenir un binôme à partir du produit de deux binômes.
Si a et b sont des nombres réels
\[(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\]
Le produit s'appelle une différence de carrés.
Pour factoriser, nous utiliserons le modèle du produit « à l'envers » pour factoriser la différence des carrés. Une différence de facteurs carrés par rapport à un produit de conjugués.
Si a et b sont des nombres réels,
N'oubliez pas que la « différence » fait référence à la soustraction. Donc, pour utiliser ce modèle, vous devez vous assurer d'avoir un binôme dans lequel deux carrés sont soustraits.
Facteur :\(x^{2}-4\)
- Réponse
-
Facteur :\(h^{2}-81\)
- Réponse
-
\((h-9)(h+9)\)
Facteur :\(k^{2}-121\)
- Réponse
-
\((k-11)(k+11)\)
\(\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}\)
Il est important de se rappeler que les sommes des carrés ne sont pas prises en compte dans le produit des binômes. Aucun facteur binomial ne se multiplie pour obtenir une somme de carrés. Après avoir supprimé tout GCF, l'expression\(a^{2}+b^{2}\) est première !
N'oubliez pas que 1 est un carré parfait. Nous devrons utiliser ce fait dans l'exemple suivant.
Facteur :\(64 y^{2}-1\)
- Réponse
-
Est-ce une différence ? Oui. 
Le premier et le dernier trimestre sont-ils des carrés parfaits ? Oui, écrivez-les sous forme de carrés. 
Facteur comme produit des conjugués. 
Vérifiez en multipliant. \((8 y-1)(8 y+1)\) \(64 y^{2}-1 \checkmark\)
Facteur :\(m^{2}-1\)
- Réponse
-
\((m-1)(m+1)\)
Facteur :\(81 y^{2}-1\)
- Réponse
-
\((9 y-1)(9 y+1)\)
Facteur :\(121 x^{2}-49 y^{2}\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{lc} & 121 x^{2}-49 y^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (11 x)^{2}-(7 y)^{2} \\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (11 x-7 y)(11 x+7 y) \\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(11 x-7 y)(11 x+7 y)} \\ {121 x^{2}-49 y^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}\)
Facteur :\(196 m^{2}-25 n^{2}\)
- Réponse
-
\((16 m-5 n)(16 m+5 n)\)
Facteur :\(144 p^{2}-9 q^{2}\)
- Réponse
-
\((12 p-3 q)(12 p+3 q)\)
Dans l'exemple suivant, le binôme peut sembler « en arrière », mais il s'agit tout de même de la différence entre les carrés.
Facteur :\(100-h^{2}\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{lc} & 100-h^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (10)^{2}-(h)^{2}\\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (10-h)(10+h)\\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(10-h)(10+h)} \\ {100-h^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}\)
Veillez à ne pas réécrire l'expression d'origine sous la forme\(h^{2}-100\).
Prenez\(h^{2}-100\) en compte vous-même, puis remarquez en quoi le résultat diffère de\((10-h)(10+h)\).
Facteur :\(144-x^{2}\)
- Réponse
-
\((12-x)(12+x)\)
Facteur :\(169-p^{2}\)
- Réponse
-
\((13-p)(13+p)\)
Pour factoriser complètement le binôme dans l'exemple suivant, nous allons factoriser deux fois une différence de carrés !
Facteur :\(x^{4}-y^{4}\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{lc}\text { Is this a difference of squares? Yes. } & {x^{4}-y^{4}} \\\text { Factor it as the product of conjugates. } & {\left(x^{2}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}} \\ \text { Notice the first binomial is also a difference of squares! } & {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { Factor it as the product of conjugates. The last }& {(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { factor, the sum of squares, cannot be factored. } \\ \\ \text { Check by multiplying. } & \\\begin{array}{l}{(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {[(x-y)(x+y)]\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {x^{4}-y^{4}} \checkmark \end{array} \end{array}\)
Facteur :\(a^{4}-b^{4}\)
- Réponse
-
\(\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)(a-b)\)
Facteur :\(x^{4}-16\)
- Réponse
-
\(\left(x^{2}+4\right)(x+2)(x-2)\)
Comme toujours, vous devez d'abord rechercher un facteur commun chaque fois que vous avez une expression à factoriser. Parfois, un facteur commun peut « masquer » la différence entre les carrés et vous ne reconnaîtrez pas les carrés parfaits tant que vous n'aurez pas pris en compte le GCF.
Facteur :\(8 x^{2} y-98 y\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{lc}& 8 x^{2} y-98 y \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 2 y-\text { factor it out! } & 2 y\left(4 x^{2}-49\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? Yes. } & 2 y\left((2 x)^{2}-(7)^{2}\right) \\ \text { Factor as a product of conjugates. } & 2 y(2 x-7)(2 x+7) \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{2 y(2 x-7)(2 x+7)} \\ {2 y[(2 x-7)(2 x+7)]} \\ {2 y\left(4 x^{2}-49\right)} \\ {8 x^{2} y-98 y} \checkmark \end{array} \end{array}\)
Facteur :\(7 x y^{2}-175 x\)
- Réponse
-
7\(x(y-5)(y+5)\)
Facteur :\(45 a^{2} b-80 b\)
- Réponse
-
5\(b(3 a-4)(3 a+4)\)
Facteur :\(6 x^{2}+96\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{lc}&6 x^{2}+96 \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 6-\text { factor it out! } & 6\left(x^{2}+16\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? No, it } & \\ \text { is a sum of squares. Sums of squares do not factor! } & \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{6\left(x^{2}+16\right)} \\ {6 x^{2}+96 }\checkmark \end{array} \end{array}\)
Facteur :\(8 a^{2}+200\)
- Réponse
-
8\(\left(a^{2}+25\right)\)
Facteur :\(36 y^{2}+81\)
- Réponse
-
9\(\left(4 y^{2}+9\right)\)
Sommes des facteurs et différences entre les cubes
Il existe un autre modèle spécial de factorisation, que nous n'avons pas utilisé lorsque nous avons multiplié des polynômes. C'est le modèle de la somme et de la différence des cubes. Nous allons d'abord écrire ces formules, puis les vérifier par multiplication.
\[\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \end{aligned}\]
Nous allons vérifier le premier schéma et vous laisser le second.
 |
|
| Distribuez. |  |
| Multipliez. | \(a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b-a b^{2}+b^{3}\) |
| Combinez les mêmes termes. | \(a^{3}+b^{3}\) |
\[\begin{array}{l}{a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)} \\ {a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)}\end{array}\]
Les deux motifs se ressemblent beaucoup, n'est-ce pas ? Mais remarquez les signes dans les facteurs. Le signe du facteur binomial correspond au signe du binôme d'origine. Et le signe du terme moyen du facteur trinomial est l'opposé du signe du binôme original. Si vous reconnaissez le motif des signes, cela peut vous aider à les mémoriser.
Le facteur trinomial dans le schéma de somme et de différence des cubes ne peut pas être pris en compte.
Cela peut être très utile si vous apprenez à reconnaître les cubes des entiers de 1 à 10, tout comme vous avez appris à reconnaître les carrés. Nous avons répertorié les cubes des nombres entiers de 1 à 10 dans la figure\(\PageIndex{1}\).
Facteur :\(x^{3}+64\)
- Réponse
-
Facteur :\(x^{3}+27\)
- Réponse
-
\((x+3)\left(x^{2}-3 x+9\right)\)
Facteur :\(y^{3}+8\)
- Réponse
-
\((y+2)\left(y^{2}-2 y+4\right)\)
Pour factoriser la somme ou la différence des cubes :
- Le binôme correspond-il au modèle de somme ou de différence de cubes ?
- Est-ce une somme ou une différence ?
- Le premier et le dernier trimestre sont-ils des cubes parfaits ?
- Écrivez-les en cubes.
- Utilisez le modèle de somme ou de différence de cubes.
- Simplifier entre parenthèses
- Vérifiez en multipliant les facteurs.
Facteur :\(: x^{3}-1000\)
- Réponse
-
Ce binôme fait la différence. Le premier et le dernier terme sont des cubes parfaits. Écrivez les termes sous forme de cubes. 
Utilisez la différence de motif de cubes. 
Simplifiez. 
Vérifiez en multipliant. 
Facteur :\(u^{3}-125\)
- Réponse
-
\((u-5)\left(u^{2}+5 u+25\right)\)
Facteur :\(v^{3}-343\)
- Réponse
-
\((v-7)\left(v^{2}+7 v+49\right)\)
Veillez à utiliser les bons signes dans les facteurs de somme et de différence des cubes.
Facteur :\(512-125 p^{3}\)
- Réponse
-
Ce binôme fait la différence. Le premier et le dernier terme sont des cubes parfaits. Écrivez les termes sous forme de cubes. 
Utilisez la différence de motif de cubes. 
Simplifiez. 
Vérifiez en multipliant. Nous vous laisserons le chèque.
Facteur :\(64-27 x^{3}\)
- Réponse
-
\((4-3 x)\left(16+12 x+9 x^{2}\right)\)
Facteur :\(27-8 y^{3}\)
- Réponse
-
\((3-2 y)\left(9+6 y+4 y^{2}\right)\)
Facteur :\(27 u^{3}-125 v^{3}\)
- Réponse
-
Ce binôme fait la différence. Le premier et le dernier terme sont des cubes parfaits. Écrivez les termes sous forme de cubes. 
Utilisez la différence de motif de cubes. 
Simplifiez. 
Vérifiez en multipliant. Nous vous laisserons le chèque.
Facteur :\(8 x^{3}-27 y^{3}\)
- Réponse
-
\((2 x-3 y)\left(4 x^{2}+6 x y+9 y^{2}\right)\)
Facteur :\(1000 m^{3}-125 n^{3}\)
- Réponse
-
\((10 m-5 n)\left(100 m^{2}+50 m n+25 n^{2}\right)\)
Dans l'exemple suivant, nous déduisons d'abord le GCF. Ensuite, nous pouvons reconnaître la somme des cubes.
Facteur :\(5 m^{3}+40 n^{3}\)
- Réponse
-
Vérifiez. Pour vérifier, il peut être plus facile de multiplier d'abord la somme des facteurs cubes, puis de multiplier ce produit par 5. Nous vous laissons la multiplication.
Facteur le facteur commun. 
Ce binôme est une somme. Le premier et le dernier terme sont des cubes parfaits. Écrivez les termes sous forme de cubes. 
Utilisez le modèle de somme des cubes. 
Simplifiez. 
- 5\((m+2 n)\left(m^{2}-2 m n+4 n^{2}\right)\)
Facteur :\(500 p^{3}+4 q^{3}\)
- Réponse
-
4\((5 p+q)\left(25 p^{2}-5 p q+q^{2}\right)\)
Facteur :\(432 c^{3}+686 d^{3}\)
- Réponse
-
2\((6 c+7 d)\left(36 c^{2}-42 c d+49 d^{2}\right)\)
Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires sur l'affacturage de produits spéciaux
- Somme de la différence entre les cubes
- Différence de factorisation des cubes
Concepts clés
- Facteur des trinômes carrés parfaits Voir l'exemple. \(\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}\)
- Différences factorielles entre les carrés Voir exemple. \(\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}\)
- Factionner la somme et la différence des cubes Pour factoriser la somme ou la différence des cubes : voir Exemple.
- Le binôme correspond-il au modèle de somme ou de différence de cubes ? Est-ce une somme ou une différence ? Le premier et le dernier trimestre sont-ils des cubes parfaits ?
- Écrivez-les en cubes.
- Utilisez le modèle de somme ou de différence de cubes.
- Simplifier entre parenthèses
- Vérifiez en multipliant les facteurs.
Lexique
- motif de trinômes carrés parfait
- Si a et b sont des nombres réels,
\[\begin{array}{cc} {a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}&{a^2−2ab+b^2=(a−b)^2}\\ \nonumber \end{array}\]
- motif de différence de carrés
- Si a et b sont des nombres réels,
- modèle de somme et de différence de cubes
-
\[\begin{array}{cc} {a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)}&{a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)}\\ \nonumber \end{array}\]