7.2 : Trinômes quadratiques factoriels avec coefficient principal 1
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Trinômes factoriels de la forme\(x^{2}+b x+c\)
- Trinômes factoriels de la forme\(x^{2}+b x y+c y^{2}\)
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Multipliez : (x+4) (x+5).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 6.3.31. - Simplifier : ⓐ −9+ (−6) ⓑ −9+6.
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.4.18. - Simplifier : ⓐ −9 (6) ⓑ −9 (−6).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.5.1. - Simplifier : ⓐ |−5| ⓑ |3|.
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.4.2.
Les trinômes factoriels de la forme \(x^{2}+b x+c\)
Vous avez déjà appris à multiplier des binômes à l'aide de FOIL. Vous devez maintenant « annuler » cette multiplication, pour commencer par le produit et terminer avec les facteurs. Prenons un exemple de multiplication de binômes pour vous rafraîchir la mémoire.
Facturer le trinôme signifie commencer par le produit\(x^{2}+5 x+6\), et terminer par les facteurs,\((x+2)(x+3)\). Vous devez réfléchir à l'origine de chacun des termes du trinôme.
Le premier terme provient de la multiplication du premier terme dans chaque binôme. Donc, pour entrer\(x^{2}\) dans le produit, chaque binôme doit commencer par un x.
\[\begin{array}{l}{x^{2}+5 x+6} \\ {(x\quad)(x\quad)}\end{array}\]
Le dernier terme du trinôme provient de la multiplication du dernier terme de chaque binôme. Les derniers termes doivent donc être multipliés par 6.
Quels sont les deux nombres multipliés par 6 ?
Les facteurs de 6 peuvent être de 1 et 6, ou de 2 et 3. Comment savoir quelle paire utiliser ?
Pensez au moyen terme. Cela provient de l'ajout des termes extérieurs et intérieurs.
Ainsi, les nombres qui doivent avoir un produit de 6 auront besoin d'une somme de 5. Nous testerons les deux possibilités et résumerons les résultats dans \(\PageIndex{1}\)le tableau. Ce tableau sera très utile lorsque vous travaillerez avec des nombres qui peuvent être factorisés de différentes manières.
| Facteurs de 6 | Somme des facteurs |
|---|---|
| 1,6 | \(1+6=7\) |
| 2,3 | \(2+3=5\) |
Tableau \(\PageIndex{1}\)
Nous voyons que 2 et 3 sont les nombres qui se multiplient à 6 et s'additionnent à 5. Nous avons donc les facteurs de\(x^{2}+5 x+6\). Ils le sont\((x+2)(x+3)\).
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {\text { product }} \\ {(x+2)(x+3)} & {\text { factors }}\end{array}\]
Vous devriez vérifier cela en multipliant.
Avec le recul, nous avons commencé par\(x^{2}+5 x+6\), qui est de la forme\(x^{2}+b x+c\), où b=5 et c=6. Nous l'avons fractionné en deux binômes de la forme (x+m) et (x+n).
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {x^{2}+b x+c} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
Pour obtenir les bons facteurs, nous avons trouvé deux nombres m et n dont le produit est c et la somme est b.
Facteur :\(x^{2}+7 x+12\)
- Réponse
-
Facteur :\(x^{2}+6 x+8\)
Facteur :\(y^{2}+8 y+15\)
Résumons les étapes que nous avons utilisées pour trouver les facteurs.
Facteur des trinômes de la forme\(x^{2}+b x+c\).
Étape 1 Écrivez les facteurs sous forme de deux binômes avec les premiers termes x :\((x \quad)(x \quad )\)
Étape 2 Trouve deux nombres m et n qui
se multiplient en c,\(m \cdot n=c\)
ajoutent à b,\(m+n=b\)
Étape 3. Utilisez m et n comme derniers termes des facteurs :\((x+m)(x+n)\)
Étape 4. Vérifiez en multipliant les facteurs.
Facteur :\(u^{2}+11 u+24\)
- Réponse
-
Notez que la variable est u, donc les facteurs auront le premier terme u.
\(\begin{array}{ll} & u^{2}+11 u+24\\ {\text { Write the factors as two binomials with first terms } u \text { . }} & (u \quad)(u\quad) \\ {\text { Find two numbers that: multiply to } 24 \text { and add to } 11 .} & \end{array}\)
Facteurs de 24 Somme des facteurs 1,24 1+24 = 25 2,12 2+12 = 14 3,8 3+8 = 11* 4,6 4+6=10 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 3 \text { and } 8 \text { as the last terms of the binomials. } & (u+3)(u+8)\\ \\ \text { Check. } \\ \\ \begin{array}{l}{(u+3)(u+8)} \\ {u^{2}+3 u+8 u+24} \\ {u^{2}+11 u+24 v} \checkmark\end{array}\end{array}\)
Facteur :\(q^{2}+10 q+24\)
Facteur :\(t^{2}+14 t+24\)
Facteur :\(y^{2}+17 y+60\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{ll} & y^{2}+17 y+60\\ \text { Write the factors as two binomials with first terms y. } & (y \quad)(y\quad)\end{array}\)
Trouvez deux nombres qui se multiplient par 60 et s'additionnent à 17.
\(\begin{array} {ll} \text { Use } 5 \text { and } 12 \text { as the last terms. } & (y+5)(y+12) \\ \text{ Check.} & \\ \\ \begin{array}{l}{(y+5)(y+12)} \\ {\left(y^{2}+12 y+5 y+60\right)} \\ {\left(y^{2}+17 y+60\right) }\checkmark \end{array} \end{array}\)Facteurs de 60 Somme des facteurs 1,60 1+60 = 61 2,30 2+30 = 32 3,20 3+20=23 4, 15 4+15 = 19 5,12 5+12 = 17* 6,10
Facteur :\(x^{2}+19 x+60\)
Facteur :\(v^{2}+23 v+60\)
Trinômes factoriels de la forme x 2 + bx + c avec b négatif, c positif
Dans les exemples présentés jusqu'à présent, tous les termes du trinôme étaient positifs. Que se passe-t-il lorsqu'il y a des termes négatifs ? Eh bien, cela dépend du terme négatif. Examinons d'abord les trinômes dont seul le moyen terme est négatif.
N'oubliez pas : pour obtenir une somme négative et un produit positif, les deux nombres doivent être négatifs.
Encore une fois, pensez au FOIL et à l'origine de chaque terme du trinôme. Tout comme avant,
- le premier terme,\(x^2\), provient du produit des deux premiers termes de chaque facteur binomial, x et y ;
- le dernier terme positif est le produit des deux derniers termes
- le terme moyen négatif est la somme des termes extérieur et intérieur.
Comment obtenir un produit positif et une somme négative ? Avec deux nombres négatifs.
Facteur :\(t^{2}-11 t+28\)
- Réponse
-
Encore une fois, avec le dernier terme positif, 28, et le moyen terme négatif, −11 t, nous avons besoin de deux facteurs négatifs. Trouvez deux nombres qui multiplient 28 et s'additionnent à −11.
\(\begin{array} {ll} & t^{2}-11 t+28 \\ \text {Write the factors as two binomials with first terms } t & (t\qquad)(t\qquad)\end{array}\)
Trouvez deux nombres qui : multipliez par 28 et additionnez par −11.
\(\begin{array} {ll} \text { Use }-4,-7 \text { as the last terms of the binomials. }& (t-4)(t-7) \\ \text { Check. } \\\\ \begin{array}{l}{(t-4)(t-7)} \\ {t^{2}-7 t-4 t+28} \\ {t^{2}-11 t+28}\checkmark\end{array}\end{array}\)Facteurs de 28 Somme des facteurs −1, −28 −1+ (−28) =−29 −2, −14 −2+ (−14) =−16 −4, −7 \(-4+(-7)=-11^{*}\)
Facteur :\(u^{2}-9 u+18\)
Facteur :\(y^{2}-16 y+63\)
Trinômes factoriels de la forme x2+bx+c avec c négatif
Et si le dernier terme du trinôme est négatif ? Pensez à FOIL. Le dernier terme est le produit des derniers termes des deux binômes. Un produit négatif résulte de la multiplication de deux nombres par des signes opposés. Vous devez également faire très attention à choisir les facteurs pour vous assurer d'obtenir le bon signe pour le moyen terme.
N'oubliez pas : pour obtenir un produit négatif, les chiffres doivent avoir des signes différents.
Facteur :\(z^{2}+4 z-5\)
- Réponse
-
Pour obtenir un dernier terme négatif, multipliez un terme positif et un terme négatif. Nous avons besoin de facteurs de −5 qui s'ajoutent à 4.
Facteurs de −5 Somme des facteurs 1, −5 1+ (−5) =−4 −1,5 −1+5 = 4* Remarque : Nous avons listé à la fois 1, −5 et −1,5 pour nous assurer que le signe du moyen terme est correct.
\(\begin{array} {ll} &z^{2}+4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }-1,5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z-1)(z+5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z-1)(z+5)} \\ {z^{2}+5 z-1 z-5} \\ {z^{2}+4 z-5 }\checkmark\end{array} \end{array}\)
Facteur :\(h^{2}+4 h-12\)
- Réponse
-
\((h-2)(h+6)\)
Facteur :\(: 2^{2}+k-20\)
- Réponse
-
\((k-4)(k+5)\)
Apportons une modification mineure au dernier trinôme et voyons quel effet cela a sur les facteurs.
Facteur :\(z^{2}-4 z-5\)
- Réponse
-
Cette fois, nous avons besoin de facteurs de −5 qui s'ajoutent à −4.
Facteurs de −5 Somme des facteurs 1, −5 1+ (−5) =−4* −1,5 −1+5 = 4 \(\begin{array} {ll} &z^{2}-4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }1,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z+1)(z-5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z+1)(z-5)} \\z^{2}-5 z+1 z-5 \\ z^{2}-4 z-5\checkmark\end{array} \end{array}\)
Facteur :\(x^{2}-4 x-12\)
- Réponse
-
\((x+2)(x-6)\)
Facteur :\(y^{2}-y-20\)
- Réponse
-
\((y+4)(y-5)\)
Facteur :\(q^{2}-2 q-15\)
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} &q^{2}-2 q-15\\ \text { Factors will be two binomials with first terms q. }& (q\qquad)(q\qquad)\\ \text { You can use }3,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (q+3)(q-5)\\ \end{array}\)
Facteurs de −15 Somme des facteurs 1, −15 1+ (−15) =−14 −1,15 −1+15 = 14 3, −5 3+ (−5) =−2* −3,5 \(\begin{array}{ll}\text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(q+3)(q-5)} \\q^{2}-5 q+3 z-15 \\ q^{2}-2q-15\checkmark\end{array} \end{array}\)
Facteur :\(r^{2}-3 r-40\)
- Réponse
-
\((r+5)(r-8)\)
Facteur :\(s^{2}-3 s-10\)
- Réponse
-
\((s+2)(s-5)\)
Certains trinômes sont excellents. La seule façon de s'assurer qu'un trinôme est excellent est d'énumérer toutes les possibilités et de montrer qu'aucune d'entre elles ne fonctionne.
Facteur :\(y^{2}-6 y+15\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{ll}&y^{2}-6 y+15 \\ \text { Factors will be two binomials with first } & (y \qquad)(y\qquad) \\\text { terms y. } \end{array}\)
Facteurs de 15 Somme des facteurs −1, −15 −1+ (−15) =−16 −3, −5 −3+ (−5) =−8 Comme le montre le tableau, aucun des facteurs ne s'additionne à −6 ; par conséquent, l'expression est première.
Facteur :\(m^{2}+4 m+18\)
- Réponse
-
fleur
Facteur :\(n^{2}-10 n+12\)
- Réponse
-
fleur
Facteur :\(2 x+x^{2}-48\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{ll}&2 x+x^{2}-48 \\ \text { First we put the terms in decreasing degree order. } & x^{2}+2 x-48 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms } x \text { . }& (x \qquad)(x\qquad) \end{array}\)
Comme le montre le tableau, vous pouvez utiliser −6,8 comme derniers termes des binômes.
\[(x-6)(x+8)\]
Facteurs de −48 Somme des facteurs −1,48 −1+48 = 47 −2,24
−3,16
−4,12
−6,8−2+24=22
−3+16=13
−4+12=8
−6+8=2\(\begin{array}{l}{\text { Check. }} \\ {(x-6)(x+8)} \\ {x^{2}-6 q+8 q-48} \\ {x^{2}+2 x-48}\checkmark \end{array}\)
Facteur :\(9 m+m^{2}+18\)
- Réponse
-
\((m+3)(m+6)\)
Facteur :\(-7 n+12+n^{2}\)
- Réponse
-
\((n-3)(n-4)\)
Résumons la méthode que nous venons de développer pour factoriser les trinômes de la forme\(x^{2}+b x+c\)
Lorsque nous factorisons un trinôme, nous examinons d'abord les signes de ses termes pour déterminer les signes des facteurs binomiaux.
\[\begin{array}{c}{x^{2}+b x+c} \\ {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
Lorsque c est positif, m et n ont le même signe.
\[\begin{array}{cc}{\text { b positive }} & {\text { b negative }} \\ {m, n \text { positive }} & {m, n \text { negative }} \\ {x^{2}+5 x+6} & {x^{2}-6 x+8} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x-4)(x-2)} \\ {\text { same signs }} & {\text { same signs }}\end{array}\]
Lorsque c est négatif, m et n ont des signes opposés.
\[\begin{array}{cc}{x^{2}+x-12} & {x^{2}-2 x-15} \\ {(x+4)(x-3)} & {(x-5)(x+3)} \\ {\text { opposite signs }} & {\text { opposite signs }}\end{array}\]
Notez que, dans le cas où m et n ont des signes opposés, le signe de celui dont la valeur absolue est la plus grande correspond au signe de b.
Trinômes factoriels de la forme x 2 + bxy + cy 2
Parfois, vous aurez besoin de factoriser les trinômes du formulaire\(x^{2}+b x y+c y^{2}\) avec deux variables, telles que\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\). Le premier terme,\(x^2\), est le produit des premiers termes des facteurs binomiaux,\(x \cdot x\). Le\(y^2\) dans le dernier terme signifie que les deuxièmes termes des facteurs binomiaux doivent chacun contenir y. Pour obtenir les coefficients b et c, vous utilisez le même processus résumé dans l'objectif précédent.
Facteur :\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\)
- Réponse
-
\(\begin{array}{ll }&x^{2}+12 x y+36 y^{2} \\ \text { Note that the first terms are } x, \text { last terms } &\left(x_{-} y\right)\left(x_{-} y\right) \\ \text { contain } y\end{array}\)
Trouvez les nombres qui se multiplient par 36 et additionnent jusqu'à 12.
Facteurs de 36 Somme des facteurs 1, 36 1+36 = 37 2, 18 2+18 = 20 3, 12 3+12 = 15 4, 9 4+9 = 13 6, 6 6+6=12* \(\begin{array}{ll}{\text { Use } 6 \text { and } 6 \text { as the coefficients of the last terms. }} & (x+6 y)(x+6 y)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(x+6 y)(x+6 y)} \\ {x^{2}+6 x y+6 x y+36 y^{2}} \\ {x^{2}+12 x y+36 y^{2}}\checkmark \end{array}\)
Facteur :\(u^{2}+11 u v+28 v^{2}\)
- Réponse
-
\((u+4 v)(u+7 v)\)
Facteur :\(x^{2}+13 x y+42 y^{2}\)
- Réponse
-
\((x+6 y)(x+7 y)\)
Facteur :\(r^{2}-8 r s-9 s^{2}\)
- Réponse
-
Nous\(r\) en avons besoin au premier terme de chaque binôme et\(s\) au second terme. Le dernier terme du trinôme est négatif, de sorte que les facteurs doivent avoir des signes opposés.
\(\begin{array}{ll }& r^{2}-8 r s-9 s^{2} \\ \text { Note that the first terms are } r, \text { last terms contain } s &\left(r_{-} s\right)\left(r_{-} s\right) \end{array}\)
Facteurs de −9 Somme des facteurs 1, −9 1+ (−9) =−8* −1,9 −1+9 = 8 3, −3 3+ (−3) =0 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 1,-9 \text { as coefficients of the last terms. }&(r+s)(r-9 s)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(r-9 s)(r+s)} \\ {r^{2}+r s-9 r s-9 s^{2}} \\ {r^{2}-8 r s-9 s^{2}} \checkmark \end{array}\)
Facteur :\(a^{2}-11 a b+10 b^{2}\)
- Réponse
-
\((a-b)(a-10 b)\)
Facteur :\(m^{2}-13 m n+12 n^{2}\)
- Réponse
-
\((m-n)(m-12 n)\)
Facteur :\(u^{2}-9 u v-12 v^{2}\)
- Réponse
-
Nous avons besoin de u dans le premier terme de chaque binôme et de v dans le second terme. Le dernier terme du trinôme est négatif, de sorte que les facteurs doivent avoir des signes opposés.
\(\begin{array}{ll }& u^{2}-9 u v-12 v^{2} \\ \text { Note that the first terms are } u, \text { last terms contain } v &\left(u_{-} v\right)\left(u_{-} v\right) \end{array}\)
Trouvez les nombres qui se multiplient par −12 et qui s'ajoutent à −9.
Facteurs de −12 Somme des facteurs 1, −12 1+ (−12) =−11 −1,12 −1+12 = 11 2, −6 2+ (−6) =−4 −2,6 −2+6=4 3, −4 3+ (−4) =−1 −3,4 −3+4=1 Notez qu'aucune paire de facteurs ne nous donne −9 en tant que somme. Le trinôme est primordial.
Facteur :\(x^{2}-7 x y-10 y^{2}\)
- Réponse
-
fleur
Facteur :\(p^{2}+15 p q+20 q^{2}\)
- Réponse
-
fleur
Concepts clés
- Trinômes factoriels de la forme\(x^{2}+b x+c\)
- Écrivez les facteurs sous forme de deux binômes avec les premiers termes\(x\) :\((x\qquad)(x\qquad)\)
- Trouvez deux nombres\(m\) et\(n\)
multipliez par\(c\),\(m \cdot n=c\)
ajoutez à\(b\),\(m+n=b\) - Utilisez\(m\) et\(n\) comme dernier terme des facteurs :\((x+m)(x+n)\).
- Vérifiez en multipliant les facteurs.