3.6 : Résolvez des applications avec des inégalités linéaires
- Page ID
- 194920
À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Résoudre des applications présentant des inégalités linéaires
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Écrivez comme une inégalité : x vaut au moins 30.
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.7.34. - Résoudre\(8−3y<41\).
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.7.22.
Résoudre des applications présentant des inégalités linéaires
De nombreuses situations de la vie réelle nous obligent à résoudre les inégalités. En fait, les applications relatives aux inégalités sont si courantes que nous ne réalisons même pas que nous faisons de l'algèbre. Par exemple, combien de gallons d'essence peut-on mettre dans une voiture pour 20$ ? Le loyer d'un appartement est-il abordable ? Y a-t-il suffisamment de temps avant le cours pour aller déjeuner, le manger et revenir ? Combien d'argent le cadeau de Noël de chaque membre de la famille devrait-il coûter sans dépasser le budget ?
La méthode que nous utiliserons pour résoudre des applications avec des inégalités linéaires est très similaire à celle que nous avons utilisée pour résoudre des applications avec des équations. Nous allons lire le problème et nous assurer que tous les mots sont bien compris. Ensuite, nous allons identifier ce que nous recherchons et assignerons une variable pour le représenter. Nous allons reformuler le problème en une phrase pour qu'il se traduise facilement par une inégalité. Ensuite, nous résoudrons l'inégalité.
Emma a trouvé un nouvel emploi et devra déménager. Son revenu mensuel sera de 5 265$. Pour pouvoir louer un appartement, le revenu mensuel d'Emma doit être au moins trois fois supérieur au loyer. Quel est le loyer le plus élevé auquel Emma pourra prétendre ?
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the highest rent Emma will qualify for}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let r = rent}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate} \text{ into an inequality.}} &{} \\{} &{\text{Emma’s monthly income must be at least}} \\ {\text{First write a sentence that gives the information}} &{\text{three times the rent.}} \\ {\text{to find it.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{5265 \geq 3r} \\ {\text{Remember, } a > x\text{ has the same meaning}} &{1755 \geq r} \\ {\text{as }x < a} &{r \leq 1755} \\ {\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{A maximum rent of \$1,755 seems}} &{} \\ {\text{reasonable for an income of \$5,265.}} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{The maximum rent is \$1,755.}} \end{array}\)
Alan est en train de charger une palette avec des boîtes qui pèsent 45 livres chacune. La palette ne peut pas supporter plus de 900 livres en toute sécurité. Combien de cartons peut-il charger en toute sécurité sur la palette ?
- Réponse
-
Il ne peut y avoir plus de 20 boîtes.
L'ascenseur de l'immeuble d'appartements de Yehire a un panneau indiquant que le poids maximum est de 2 100 livres. Si le poids moyen d'une personne est de 150 livres, combien de personnes peuvent prendre l'ascenseur en toute sécurité ?
- Réponse
-
Un maximum de 14 personnes peuvent monter dans l'ascenseur en toute sécurité.
Parfois, une application exige que la solution soit un nombre entier, mais la solution algébrique à l'inégalité n'est pas un nombre entier. Dans ce cas, il faut arrondir la solution algébrique à un nombre entier. Le contexte de l'application déterminera si nous arrondissons vers le haut ou vers le bas. Pour vérifier de telles applications, nous allons arrondir notre réponse à un nombre facile à calculer et nous assurer que ce nombre reflète bien l'inégalité.
Dawn a remporté une mini-subvention de 4 000$ pour acheter des tablettes électroniques pour sa classe. Les tablettes qu'elle aimerait acheter coûtent 254,12$ chacune, taxes et livraison incluses. Quel est le nombre maximum de tablettes que Dawn peut acheter ?
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the maximum number of tablets Dawn can buy}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let n = the number of tablets.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$254.12\text{ times the number of tablets is no}} \\ {} &{\text{more than \$4000.}} \\ {\text{Translate into an inequality.}} &{254.12n \leq 4000} \\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{n \leq 15.74} \\ {\text{But n must be a whole number of tablets,}} &{} \\ {\text{so round to 15.}} &{n \leq 15}\\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{16 tablets would be \$4000. So a}} &{} \\{\text{maximum of 15 tablets at \$254.12}} &{} \\ {\text{seems reasonable.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{Dawn can buy a maximum of 15 tablets.}} \end{array}\)
Angie a 20$ à dépenser en boîtes de jus pour le pique-nique préscolaire de son fils. Chaque paquet de boîtes de jus coûte 2,63$. Quel est le nombre maximum de packs qu'elle peut acheter ?
- Réponse
-
sept packs
Daniel veut surprendre sa copine avec une fête d'anniversaire dans son restaurant préféré. Le dîner coûtera 42,75$ par personne, pourboire et taxes compris. Son budget pour le parti est de 500$. Quel est le nombre maximum de personnes que Daniel peut avoir à la fête ?
- Réponse
-
11 personnes
Pete travaille dans un magasin d'informatique. Son salaire hebdomadaire sera soit un montant fixe, soit 925$, soit 500$ plus 12 % de ses ventes totales. Quel devrait être le montant total de ses ventes pour que son option de paiement variable dépasse le montant fixe de 925$ ?
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the total sales needed for his variable pay}} \\ {} &{\text{option to exceed the fixed amount of \$925}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let s = the total sales.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$500\text{ plus 12% of total sales is more than \$925.}} \\ {\text{Translate into an inequality. Remember to}} &{500 + 0.12s > 925} \\{\text{convert the percent to a decimal.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.12s > 425} \\ {} &{s > 3541.\overline{66}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{If we round the total sales up to}} &{} \\{\text{\$4000, we see that}} &{} \\ {\text{500+0.12(4000) = 980, which is more}} &{} \\ {\text{than \$925.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{The total sales must be more than \$3541.67}} \end{array}\)
Tiffany vient de terminer ses études universitaires et son nouvel emploi lui rapportera 20 000$ par an, plus 2 % de toutes les ventes. Elle veut gagner au moins 100 000$ par an. Pour quel chiffre d'affaires total pourra-t-elle atteindre son objectif ?
- Réponse
-
au moins 400 000$
Christian s'est vu offrir un nouvel emploi qui rapporte 24 000$ par an, plus 3 % des ventes. Pour quelles ventes totales ce nouvel emploi rapporterait-il plus que son emploi actuel, qui rapporte 60 000$ ?
- Réponse
-
au moins 120 000$
Sergio et Lizeth ont un budget de vacances très serré. Ils prévoient de louer une voiture auprès d'une entreprise qui facture 75$ par semaine plus 0,25$ le mile. Combien de miles peuvent-ils parcourir tout en respectant leur budget de 200$ ?
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of miles Sergio and Lizeth can travel}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let m = the number of miles.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$75 plus 0.25 times the number of miles is}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{75 + 25m \leq 200} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.25m \leq 125} \\ {} &{m \leq 500 \text{ miles}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Yes, 75 + 0.25(500) = 200.}} & {}\\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Sergio and Lizeth can travel 500 miles}} \\ {} &{\text{and still stay on budget.}} \end{array}\)
Le forfait téléphonique de Taleisha lui coûte 28,80$ par mois plus 0,20$ par SMS. Combien de textos peut-elle utiliser et garder sa facture de téléphone mensuelle ne dépassant pas 50$ ?
- Réponse
-
pas plus de 106 SMS
La facture de chauffage de Rameen est de 5,42$ par mois plus 1,08$ par chauffage. Combien de thermes Rameen peut-il utiliser s'il veut que sa facture de chauffage ne dépasse pas 87,50$ ?
- Réponse
-
pas plus de 76 therms
L'un des objectifs communs de la plupart des entreprises est de réaliser des bénéfices. Le profit est l'argent qui reste lorsque les dépenses ont été soustraites de l'argent gagné. Dans l'exemple suivant, nous déterminerons le nombre d'emplois qu'un petit entrepreneur doit occuper chaque mois pour réaliser un certain profit.
Elliot possède une entreprise d'entretien paysager. Ses dépenses mensuelles s'élèvent à 1 100$. S'il facture 60$ par emploi, combien d'emplois doit-il occuper pour réaliser un bénéfice d'au moins 4 000 dollars par mois ?
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of jobs Elliot needs}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent it}} &{\text{Let j = the number of jobs.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$60 times the number of jobs minus \$1,100 is at least \$4,000.}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{60j - 1100 \geq 4000} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{60j \geq 5100} \\ {} &{j \geq 85\text{ jobs}} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{If Elliot did 90 jobs, his profit would be}} & {}\\ {\text{60(90)−1,100,or \$4,300. This is}} &{} \\ {\text{more than \$4,000.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Elliot must work at least 85 jobs.}} \end{array}\)
Caleb a une entreprise de garde d'animaux de compagnie. Il facture 32$ de l'heure. Ses dépenses mensuelles s'élèvent à 272$. Combien d'heures doit-il travailler pour réaliser un bénéfice d'au moins 800$ par mois ?
- Réponse
-
au moins 96 heures
Felicity a une entreprise de calligraphie. Elle facture 2,50$ par invitation de mariage. Ses dépenses mensuelles s'élèvent à 650$. Combien d'invitations doit-elle écrire pour réaliser un bénéfice d'au moins 2 800$ par mois ?
- Réponse
-
au moins 1380 invitations
Parfois, la vie se complique ! Il existe de nombreuses situations dans lesquelles plusieurs quantités contribuent à la dépense totale. Nous devons nous assurer de prendre en compte toutes les dépenses individuelles lorsque nous résolvons de tels problèmes.
La meilleure amie de Brenda organise un mariage à destination et l'événement durera 3 jours. Brenda a des économies de 500$ et peut gagner 15$ de l'heure en faisant du baby-sitting. Elle s'attend à payer 350$ par billet d'avion, 375$ pour la nourriture et les divertissements et 60$ par nuit pour sa part d'une chambre d'hôtel. Combien d'heures doit-elle faire du baby-sitting pour avoir assez d'argent pour payer le voyage ?
- Réponse
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of hours Brenda must babysit}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let h = the number of hours.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{} \\ {} &{\text{The expenses must be less than or equal to}} \\ {} &{\text{the income. The cost of airfare plus the}} \\ {} &{\text{cost of food and entertainment and the}} \\ {} &{\text{hotel bill must be less than or equal to the savings}} \\ {} &{\text{plus the amount earned babysitting.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{\$350 + \$375 + \$60(3) \leq \$500 + \$15h} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{905 \leq 500 + 15h} \\{} &{405 \leq 15h} \\ {} &{27 \leq h} \\ {} &{h \geq 27} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{We substitute 27 into the inequality.}} & {}\\{905 \leq 500 + 15h} &{} \\ {905 \leq 500 + 15(27)} &{} \\ {905 \leq 905} &{} \\ \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Brenda must babysit at least 27 hours.}} \end{array}\)
Malik prévoit un voyage de vacances d'été de 6 jours. Il a des économies de 840$ et gagne 45$ de l'heure pour le tutorat. Le voyage lui coûtera 525$ pour le billet d'avion, 780$ pour la nourriture et les visites touristiques et 95$ par nuit pour l'hôtel. Combien d'heures doit-il donner des cours pour avoir suffisamment d'argent pour payer le voyage ?
- Réponse
-
au moins 23 heures
Josue veut faire un road trip de 10 jours au printemps prochain. Cela lui coûtera 180$ pour l'essence, 450$ pour la nourriture et 49$ par nuit pour un motel. Il a économisé 520$ et peut gagner 30$ par allée en pelletant de la neige. Combien d'allées doit-il déblayer pour avoir assez d'argent pour payer le voyage ?
- Réponse
-
au moins 20 allées
Concepts clés
- Résoudre les inégalités
- Lisez le problème.
- Identifiez ce que nous recherchons.
- Nommez ce que nous recherchons. Choisissez une variable pour représenter cette quantité.
- Traduisez. Écrivez une phrase qui donne les informations nécessaires pour le trouver. Cela se traduit par une inégalité.
- Résolvez l'inégalité.
- Vérifiez la réponse au problème et assurez-vous qu'elle est logique.
- Répondez à la question par une phrase complète.