1.10 : Propriétés des nombres réels

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Utiliser les propriétés commutatives et associatives
• Utiliser l'identité et les propriétés inverses de l'addition et de la multiplication
• Utiliser les propriétés de zéro
• Simplifier les expressions en utilisant la propriété distributive

Remarque

Une introduction plus complète aux sujets abordés dans cette section se trouve dans le chapitre sur la préalgèbre, Les propriétés des nombres réels.

Utiliser les propriétés commutatives et associatives

Pensez à ajouter deux nombres, disons 5 et 3. L'ordre dans lequel nous les ajoutons n'affecte pas le résultat, n'est-ce pas ?

$$\begin{array} { cc } { 5 + 3 } & { 3 + 5 } \\ { 8 } & { 8 } \\ { 5 + 3 = } & { 3 + 5 } \end{array}$$

Les résultats sont les mêmes.

Comme on peut le voir, l'ordre dans lequel nous ajoutons n'a pas d'importance !

Qu'en est-il de multiplier 5 et 3 ?

$$\begin{array} { c c } { 5 \cdot 3 } & { 3 \cdot 5 } \\ { 15 } & { 15 } \\ { 5 \cdot 3=} &{3 \cdot 5 } \end{array}$$

Encore une fois, les résultats sont les mêmes !

L'ordre dans lequel nous multiplions n'a pas d'importance !

Ces exemples illustrent la propriété commutative. Lorsque vous ajoutez ou multipliez, la modification de l'ordre donne le même résultat.

PROPRIÉTÉ COMMUTATIVE

$$\begin{array} { l l } { \textbf { of Addition } } & { \text { If } a , b \text { are real numbers, then } \quad a + b = b + a } \\ { \textbf { of Multiplication } } & { \text { If } a , b \text { are real numbers, then } \quad a \cdot b = b \cdot a } \end{array}$$

Lorsque vous ajoutez ou multipliez, la modification de l'ordre donne le même résultat.

La propriété commutative est liée à l'ordre. Si vous modifiez l'ordre des nombres lors de l'addition ou de la multiplication, le résultat est le même.

Qu'en est-il de la soustraction ? L'ordre importe-t-il lorsque nous soustrayons des nombres ? Est-ce que 7−3 donne le même résultat que 3−7 ?

$$\begin{array} { c c } { 7 - 3 } & { 3 - 7 } \\ { 4 } & { - 4 } \end{array}$$

$$\begin{aligned} 4 & \neq - 4 \\ 7 - 3 & \neq 3 - 7 \end{aligned}$$

Les résultats ne sont pas les mêmes.

Comme le changement de l'ordre de la soustraction n'a pas donné le même résultat, nous savons que la soustraction n'est pas commutative.

Voyons ce qui se passe lorsque nous divisons deux nombres. La division est-elle commutative ?

$$\begin{array} { cc} { 12 \div 4 } & { 4 \div 12 } \\ { \frac { 12 } { 4 } } & { \frac { 4 } { 12 } } \\ { 3 } & { \frac { 1 } { 3 } } \end{array}$$
$$\begin{aligned} 3 \neq & \frac { 1 } { 3 } \\ 12 \div 4 & \neq 4 \div 12 \end{aligned}$$

Les résultats ne sont pas les mêmes.

Comme la modification de l'ordre de la division n'a pas donné le même résultat, la division n'est pas commutative. Les propriétés commutatives ne s'appliquent qu'à l'addition et à la multiplication !

• L'addition et la multiplication sont commutatives.
• La soustraction et la division ne sont pas commutatives.

Si on vous demandait de simplifier cette expression, comment procéderiez-vous et quelle serait votre réponse ?

$$7 + 8 + 2$$

Certains penseraient que$7+8$ c'est 15 puis$15+2$ 17. D'autres peuvent commencer$8+2$ par faire 10,$7+10$ puis 17.

Dans les deux cas, on obtient le même résultat. N'oubliez pas que nous utilisons des parenthèses comme symboles de regroupement pour indiquer quelle opération doit être effectuée en premier.

$$\begin{array} { ll } { \text{ Add } 7 + 8 . } & { ( 7 + 8 ) + 2 } \\ { \text { Add. } } & { 15 + 2 } \\ { \text { Add. } } & { 17 } \\ \\ { } & { 7 + ( 8 + 2 ) } \\ { \text { Add } 8 + 2 . } & { 7 + 10 } \\ { \text { Add. } } & { 77 } \\\\ { ( 7 + 8 ) + 2 = 7 + ( 8 + 2 ) } \end{array}$$

Lorsque vous ajoutez trois nombres, la modification du regroupement des nombres donne le même résultat.

Cela vaut également pour la multiplication.

$$\begin{array} { ll } { } & { (5\cdot \frac{1}{3})\cdot 3 } \\ { \text { Multiply. } 5\cdot \frac{1}{3} } & { \frac{5}{3}\cdot 3 } \\ { \text { Multiply. } } & { 5 } \\ \\ { } & { 5\cdot (\frac{1}{3}\cdot 3) } \\ { \text { Multiply. } \frac{1}{3}\cdot 3 } & { 5\cdot 1 } \\ { \text { Multiply. } } & { 5 } \\ \\ { (5\cdot \frac{1}{3})\cdot 3 = 5\cdot (\frac{1}{3}\cdot 3) } \end{array}$$

Lorsque vous multipliez trois nombres, la modification du regroupement des nombres donne le même résultat.

Vous le savez probablement, mais la terminologie est peut-être nouvelle pour vous. Ces exemples illustrent la propriété associative.

PROPRIÉTÉ ASSOCIATIVE

$$\begin{array} { l l } { \textbf { of Addition } } & { \text { If } a , b , c \text { are real numbers, then } ( a + b ) + c = a + ( b + c ) } \\ { \textbf { of Multiplication } } & { \text { If } a , b , c \text { are real numbers, then } ( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c ) } \end{array}$$

Lors de l'ajout ou de la multiplication, la modification du regroupement donne le même résultat.

Réfléchissons à la multiplication$5\cdot \frac{1}{3}\cdot 3$. Nous avons obtenu le même résultat dans les deux sens, mais quel est le moyen le plus simple ? La multiplication$\frac{1}{3}$ par 3 en premier, comme indiqué ci-dessus sur le côté droit, permet d'éliminer la fraction lors de la première étape. L'utilisation de la propriété associative peut faciliter les calculs !

La propriété associative concerne le regroupement. Si nous changeons la façon dont les nombres sont regroupés, le résultat sera le même. Remarquez qu'il s'agit des trois mêmes nombres dans le même ordre, la seule différence étant le regroupement.

Nous avons vu que la soustraction et la division n'étaient pas commutatives. Ils ne sont pas associatifs non plus.

Lorsque vous simplifiez une expression, il est toujours judicieux de planifier les étapes à suivre. Afin de combiner des termes similaires dans l'exemple suivant, nous utiliserons la propriété commutative d'addition pour écrire les termes similaires ensemble.

Exercice$\PageIndex{1}$

Simplifiez :$18p+6q+15p+5q$.

Réponse

$$\begin{array} { l l} {} &{18p+6q+15p+5q}\\ \\{ \text { Use the commutative property of addition } } &{} \\ { \text {to re-order so that like terms are together.} } &{18p+15p+ 6q+5q} \\ \\ {\text{Add like terms.}} &{33p + 11q} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{2}$

Simplifiez :$23r+14s+9r+15s$.

Réponse

$32r+29s$

Exercice$\PageIndex{3}$

Simplifiez :$37m+21n+4m−15n$.

Réponse

$41m+6n$

Lorsque nous devons simplifier l'expression algébrique s, nous pouvons souvent faciliter le travail en appliquant d'abord la propriété commutative ou associative, au lieu de suivre automatiquement l'ordre des opérations. Lorsque vous ajoutez ou soustrayez des fractions, combinez d'abord celles qui ont un dénominateur commun.

Exercice$\PageIndex{4}$

Simplifiez :$(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}$

Réponse

$$\begin{array} { l l } {} &{(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}} \\{ \text { Notice that the last } 2 \text { terms have a } } \\ { \text { common denominator, so change the } } &{\frac { 5 } { 13 } + \left( \frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right)}\\ { \text { grouping. } } &{}\\ \\ {\text{Add in parentheses first.}} &{\frac{5}{13} + (\frac{4}{4})} \\ \\ {\text{Simplify the fraction.}} &{\frac{5}{13} + 1} \\ \\ {\text{Add.}} &{1\frac{5}{13}} \\ \\ {\text{Convert to an improper fraction.}} &{\frac{18}{13}} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{5}$

Simplifiez :$(\frac{7}{15} + \frac{5}{8}) + \frac{3}{8}$

Réponse

$1\frac{7}{15}$

Exercice$\PageIndex{6}$

Simplifiez :$(\frac{2}{9} + \frac{7}{12}) + \frac{5}{12}$

Réponse

$1\frac{2}{9}$

Exercice$\PageIndex{7}$

Utilisez la propriété associative pour simplifier$6(3x)$.

Réponse

Utilisez la propriété associative de multiplication,$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$, pour modifier le regroupement.

$$\begin{array} { ll } {} &{ 6 ( 3 x ) } \\ { \text { Change the grouping. } } &{(6\cdot 3)x} \\ { \text { Multiply in the parentheses. } } &{18} \end{array}$$

Notez que nous pouvons multiplier$6\cdot 3$ mais que nous ne pouvons pas multiplier\(3x\) sans avoir une valeur pour\(x\).

Exercice$\PageIndex{8}$

Utilisez la propriété associative pour simplifier$8(4x)$.

Réponse

$32x$

Exercice$\PageIndex{9}$

Utilisez la propriété associative pour simplifier$-9(7y)$.

Réponse

$-63y$

Utiliser l'identité et les propriétés inverses de l'addition et de la multiplication

Que se passe-t-il lorsque nous ajoutons 0 à un nombre ? L'ajout de 0 ne modifie pas la valeur. Pour cette raison, nous appelons 0 l'identité additive.

Par exemple,

$$\begin{array} { c c c } { 13 + 0 } & { - 14 + 0 } & { 0 + ( - 8 ) } \\ { 13 } & { - 14 } & { - 8 } \end{array}$$

Ces exemples illustrent la propriété d'identité de l'addition qui indique que pour tout nombre réel$a$,$a+0=a$ et$0+a=a$.

Que se passe-t-il lorsque nous multiplions un nombre par un ? La multiplication par 1 ne modifie pas la valeur. Nous appelons donc 1 l'identité multiplicative.

Par exemple, $$\begin{array} { r r r } { 43 \cdot 1 } & { - 27 \cdot 1 } & { 1 \cdot \frac { 3 } { 5 } } \\ { 43 } & { - 27 } & { \frac { 3 } { 5 } } \end{array}$$

Ces exemples illustrent la propriété d'identité de la multiplication qui indique que pour tout nombre réel$a$,$a\cdot 1=a$ et$1\cdot a=a$.

Nous résumons les propriétés d'identité ci-dessous.

PROPRIÉTÉ D'IDENTITÉ

$$\begin{array} { l l} { \textbf {of addition}\text{ For any real number } a : } &{ a + 0 = a \quad 0 + a = a } \\ { \textbf{0} \text { is the}\textbf{ additive identity } } \\ {\textbf {of multiplication}\text{ For any real number } a : } &{ a \cdot 1 = a \quad 1 \cdot a = a } \\ { \textbf{1}\text{ is the}\textbf{ multiplicative identity } } \end{array}$$

Figurine$\PageIndex{1}$

Remarquez que dans chaque cas, le numéro manquant était l'opposé du numéro !

Nous appelons$−a$. l'inverse additif de a. L'opposé d'un nombre est son inverse additif. Un nombre et son opposé s'additionnent à zéro, qui est l'identité additive. Cela conduit à la propriété inverse de l'addition qui indique pour n'importe quel nombre réel$a, a+(−a)=0$. N'oubliez pas qu'un nombre et son opposé s'additionnent à zéro.

Quel nombre multiplié par$\frac{2}{3}$ donne l'identité multiplicative, 1 ? En d'autres termes,$\frac{2}{3}$ multiplié par quel résultat 1 ?

Figurine$\PageIndex{2}$

Quel nombre multiplié par 2 donne l'identité multiplicative, 1 ? En d'autres termes, 2 fois qu'est-ce qui donne 1 ?

Figurine$\PageIndex{3}$

Remarquez que dans chaque cas, le nombre manquant était l'inverse du nombre !

Nous appelons$\frac{1}{a}$ l'inverse multiplicatif de a. L'inverse d'un nombre est son inverse multiplicatif. Un nombre et son inverse se multiplient en un, qui est l'identité multiplicative. Cela conduit à la propriété inverse de la multiplication qui indique cela pour n'importe quel nombre réel$a, a\neq 0, a\cdot \frac{1}{a}=1$.

Nous allons énoncer formellement les propriétés inverses ici :

PROPRIÉTÉ INVERSE

$$\begin{array} { l l l } { \textbf { of addition } } &{ \text { For any real number } a,} &{a + (-a) = 0}\\{} &{-a \text{. is the}\textbf{ additive inverse} \text{ of }a} &{}\\ {} &{ \text { A number and its opposite add to zero. } }&{}\\ \\{ \textbf { of multiplication } } &{ \text { For any real number } a, a\neq 0} &{a\cdot \frac{1}{a} = 1}\\{} &{\frac{1}{a} \text{. is the}\textbf{ multiplicative inverse} \text{ of }a} &{}\\ {} &{ \text { A number and its reciprocal multiply to zero. } }&{} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{10}$

Trouvez l'inverse additif de

1. $\frac{5}{8}$
2. $0.6$
3. $-8$
4. $-\frac{4}{3}$

Réponse

Pour trouver l'inverse additif, on trouve le contraire.

1. L'inverse additif de$\frac{5}{8}$ est l'opposé de$\frac{5}{8}$. L'inverse additif de$\frac{5}{8}$ est$-\frac{5}{8}$
2. L'inverse additif de$0.6$ est l'opposé de$0.6$. L'inverse additif de$0.6$ est$-0.6$.
3. L'inverse additif de$-8$ est l'opposé de$-8$. Nous écrivons le contraire de$-8$ as$-(-8)$, puis nous le simplifions$8$. Par conséquent, l'inverse additif de$-8$ est$8$.
4. L'inverse additif de$-\frac{4}{3}$ est l'opposé de$-\frac{4}{3}$. Nous écrivons ceci sous la forme$-(-\frac{4}{3})$, puis simplifions-le$\frac{4}{3}$. Ainsi, l'inverse additif de$-\frac{4}{3}$ est$\frac{4}{3}$.

Exercice$\PageIndex{11}$

Trouvez l'inverse additif de

1. $\frac{7}{9}$
2. $1.2$
3. $-14$
4. $-\frac{9}{4}$

Réponse

1. $-\frac{7}{9}$
2. $-1.2$
3. $14$
4. $\frac{9}{4}$

Exercice$\PageIndex{12}$

Trouvez l'inverse additif de

1. $\frac{7}{13}$
2. $8.4$
3. $-46$
4. $-\frac{5}{2}$

Réponse

1. $-\frac{7}{13}$
2. $-8.4$
3. $46$
4. $\frac{5}{2}$

Exercice$\PageIndex{13}$

Détermine l'inverse multiplicatif de

1. $9$
2. $-\frac{1}{9}$
3. $0.9$

Réponse

Pour trouver l'inverse multiplicatif, on trouve l'inverse.

1. L'inverse multiplicatif de$9$ est l'inverse de$9$, qui est$\frac{1}{9}$. Par conséquent, l'inverse multiplicatif de$9$ est$\frac{1}{9}$.
2. L'inverse multiplicatif de$-\frac{1}{9}$ est l'inverse de$-\frac{1}{9}$, qui est$−9$. Ainsi, l'inverse multiplicatif de$-\frac{1}{9}$ est$-9$.
3. Pour trouver l'inverse multiplicatif de$0.9$, nous le convertissons$0.9$ d'abord en fraction,$\frac{9}{10}$. Ensuite, nous trouvons l'inverse de la fraction. La réciproque de l'$\frac{9}{10}$est$\frac{10}{9}$. Donc, l'inverse multiplicatif de$0.9$ est$\frac{10}{9}$.

Exercice$\PageIndex{14}$

Détermine l'inverse multiplicatif de

1. $4$
2. $-\frac{1}{7}$
3. $0.3$

Réponse

1. $\frac{1}{4}$
2. $-7$
3. $\frac{10}{3}$

Exercice$\PageIndex{15}$

Détermine l'inverse multiplicatif de

1. $18$
2. $-\frac{4}{5}$
3. $0.6$

Réponse

1. $\frac{1}{18}$
2. $-\frac{5}{4}$
3. $\frac{5}{3}$

Utiliser les propriétés de zéro

La propriété d'identité de l'addition indique que lorsque nous ajoutons 0 à un nombre, le résultat est le même nombre. Que se passe-t-il lorsque nous multiplions un nombre par 0 ? En multipliant par 0, le produit est égal à zéro.

MULTIPLICATION PAR ZÉRO

Pour tout nombre réel a.

$$a \cdot 0 = 0 \quad 0 \cdot a = 0$$

Le produit de n'importe quel nombre réel et de 0 est 0.

Qu'en est-il de la division impliquant zéro ? Qu'est-ce que$0\div 3$ ? Prenons un exemple concret : s'il n'y a pas de biscuits dans la boîte à biscuits et que 3 personnes doivent les partager, combien de biscuits reçoit chaque personne ? Il n'y a aucun cookie à partager, donc chaque personne reçoit 0 cookie. Donc,

$$0\div 3 = 0$$

Nous pouvons vérifier la division avec le fait de multiplication correspondant.

$$12 \div 6 = 2 \text { because } 2 \cdot 6 = 12$$

Nous le savons donc$0\div 3=0$ parce que$0\cdot 3=0$.

DIVISION DE ZÉRO

Pour tout nombre réel a, sauf$0, \frac{0}{a}=0$ et$0\div a=0$.

Zéro divisé par n'importe quel nombre réel, sauf que zéro est zéro.

Maintenant, pensez à diviser par zéro. Quel est le résultat de la division de 4 par 0 ? Pensez au fait de multiplication connexe : les$4\div 0=?$ moyens$?\cdot 0=4$. Y a-t-il un nombre qui, multiplié par 0, donne 4 ? Comme tout nombre réel multiplié par 0 donne 0, aucun nombre réel ne peut être multiplié par 0 pour obtenir 4.

Nous concluons qu'il n'y a pas de réponse$4\div 0$ et nous disons donc que la division par 0 n'est pas définie.

DIVISION PAR ZÉRO

Pour tout nombre réel a, sauf$0, \frac{a}{0}$ et$a\div 0$ qui ne sont pas définis.

La division par zéro n'est pas définie.

Nous résumons les propriétés de zéro ci-dessous.

PROPRIÉTÉS DE ZÉRO

Multiplication par zéro : Pour tout nombre réel a,

$$a \cdot 0 = 0 \quad 0 \cdot a = 0 \quad \text { The product of any number and } 0 \text { is } 0$$

Division de zéro, division par zéro : pour n'importe quel nombre réel$a, a\neq 0$

$$\begin{array} { l l } { \frac { 0 } { a } = 0 } & { \text { Zero divided by any real number, except itself is zero. } } \\ { \frac { a } { 0 } \text { is undefined } } & { \text { Division by zero is undefined. } } \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{16}$

Simplifiez :

1. $-8\cdot 0$
2. $\frac{0}{-2}$
3. $\frac{-32}{0}$

Réponse

1. $$\begin{array} { cc } { } &{-8\cdot 0}\\{\text{The product of any real number and 0 is 0}} &{0}\end{array}$$
2. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{0}{-2}}\\{\text{Zero divided by any real number, except}} &{} \\ {\text{itself, is 0}} &{0}\end{array}$$
3. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{-32}{0}}\\ {\text{Division by 0 is undefined.}} &{\text{undefined}} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{17}$

Simplifiez :

1. $-14\cdot 0$
2. $\frac{0}{-6}$
3. $\frac{-2}{0}$

Réponse

1. $0$
2. $0$
3. indéfini

Exercice$\PageIndex{18}$

Simplifiez :

1. $0(-17)$
2. $\frac{0}{-10}$
3. $\frac{-5}{0}$

Réponse

1. $0$
2. $0$
3. indéfini

Nous allons maintenant nous entraîner à utiliser les propriétés des identités, des inverses et du zéro pour simplifier les expressions.

Exercice$\PageIndex{19}$

Simplifiez :

1. $\frac{0}{n + 5}$, où$n\neq −5$
2. $\frac{10 - 3p}{0}$où$10 - 3p \neq 0$

Réponse

1. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{0}{n + 5}}\\ {\text { Zero divided by any real number except }} &{0} \\ { \text { itself is } 0.} &{} \end{array}$$
2. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{10 - 3p}{0}}\\ {\text { Division by 0 is undefined }} &{\text{undefined}} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{20}$

Simplifiez :$−84n+(−73n)+84n$.

Réponse

$$\begin{array} { l l } { } &{−84n+(−73n)+84n} \\ { \text { Notice that the first and third terms are } } &{}\\ { \text { opposites; use the commutative property of } } &{- 84 n + 84 n + ( - 73 n ) } \\ { \text { addition to re-order the terms. } } &{} \\ \\ { \text { Add left to right. } } &{0 + (-73)}\\ \\{ \text { Add. } } &{-73n} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{21}$

Simplifiez :$−27a+(−48a)+27a$.

Réponse

$−48a$

Exercice$\PageIndex{22}$

Simplifiez :$39x+(−92x)+(−39x)$.

Réponse

$−92x$

Nous allons maintenant voir à quel point il est utile de reconnaître les réciprocités. Avant de multiplier de gauche à droite, recherchez les réciproques : leur produit est 1.

Exercice$\PageIndex{23}$

Simplifiez :$\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{7}$

Réponse

$$\begin{array} { l l } { } &{\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{7}} \\ { \text { Notice that the first and third terms are } } &{}\\ { \text { reciprocals, so use the commutative } } &{\frac{7}{15}\cdot\frac{15}{7}\cdot\frac{8}{23}} \\ { \text { property of multiplication to re-order the } } &{} \\ { \text { factors. } } &{}\\ \\{ \text { Multiply left to right. } } &{1\cdot\frac{8}{23}} \\\\{\text{Multiply.}} &{\frac{8}{23}}\end{array}$$

Exercice$\PageIndex{24}$

Simplifiez :$\frac{9}{16}\cdot\frac{5}{49}\cdot\frac{16}{9}$

Réponse

$\frac{5}{49}$

Exercice$\PageIndex{25}$

Simplifiez :$\frac{6}{17}\cdot\frac{11}{25}\cdot\frac{17}{6}$

Réponse

$\frac{11}{25}$

Exercice$\PageIndex{26}$

Simplifiez :

1. $\frac{0}{m + 7}$, où$m \neq -7$
2. $\frac{18 - 6c}{0}$, où$18 - 6c \neq 0$

Réponse

1. 0
2. indéfini

Exercice$\PageIndex{27}$

Simplifiez :

1. $\frac{0}{d - 4}$, où$d \neq 4$
2. $\frac{15 - 4q}{0}$, où$15 - 4q \neq 0$

Réponse

1. 0
2. indéfini

Exercice$\PageIndex{28}$

Simplifiez :$\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(6x + 12)$

Réponse

$$\begin{array} { l l } { } &{\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(6x + 12)} \\ { \text { There is nothing to do in the parentheses, } } &{}\\ { \text { so multiply the two fractions first—notice, } } &{1(6x + 12)} \\ { \text { they are reciprocals. } } &{} \\ \\{ \text { Simplify by recognizing the multiplicative } } &{} \\{\text{ identity.}} &{6x + 12} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{29}$

Simplifiez :$\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}(20y + 50)$

Réponse

$20y + 50$

Exercice$\PageIndex{30}$

Simplifiez :$\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}(12z + 16)$

Réponse

$12z + 16$

Simplifier les expressions en utilisant la propriété distributive

Supposons que trois amis vont au cinéma. Ils ont chacun besoin de 9,25$, soit 9 dollars et un quart, pour payer leurs billets. De combien d'argent ont-ils besoin en tout ?

Vous pouvez penser aux dollars séparément des trimestres. Ils ont besoin de 3 fois 9$ donc 27$, et 3 fois 1 trimestre, soit 75 cents. Au total, ils ont besoin de 27,75$. Si vous envisagez de faire le calcul de cette façon, vous utilisez la propriété distributive.

PROPRIÉTÉ DISTRIBUTIVE

$$\begin{array} { rr } {\text { If } a , b , c \text { are real numbers, then }} &{a ( b + c ) = a b + a c} \\ \\{ \text { Also,} } &{( b + c ) a = b a + c a} \\ {} &{a ( b - c ) = a b - a c } &{} \\{} &{( b - c ) a = b a - c a } \end{array}$$

Pour en revenir à nos amis au cinéma, nous avons pu trouver le montant total dont ils ont besoin comme suit :

$$\begin{array} { c } { 3 ( 9.25 ) } \\ { 3 ( 9 + 0.25 ) } \\ { 3 ( 9 ) + 3 ( 0.25 ) } \\ { 27 + 0.75 } \\ \\ { 27.75 } \end{array}$$

En algèbre, nous utilisons la propriété distributive pour supprimer les parenthèses lors de la simplification des expressions.

Par exemple, si l'on nous demande de simplifier l'expression$3(x+4)$, l'ordre des opérations indique de travailler d'abord entre parenthèses. Mais nous ne pouvons pas ajouter x et 4, car ce ne sont pas des termes similaires. Nous utilisons donc la propriété distributive, comme indiqué dans l'exercice$\PageIndex{31}$.

Exercice$\PageIndex{31}$

Simplifiez :$3(x+4)$.

Réponse

$$\begin{array} { l l } { } & { 3 ( x + 4 ) } \\ { \text { Distribute. } } & { 3 \cdot x + 3 \cdot 4 } \\ { \text { Multiply. } } & { 3 x + 12 } \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{32}$

Simplifiez :$4(x+2)$.

Réponse

$4x + 8$

Exercice$\PageIndex{33}$

Simplifiez :$6(x+7)$.

Réponse

$6x + 42$

Certains élèves trouvent utile de dessiner des flèches pour leur rappeler comment utiliser la propriété distributive. La première étape de l'exercice$\PageIndex{31}$ devrait alors ressembler à ceci :

Exercice$\PageIndex{34}$

Simplifiez :$8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})$.

Réponse

Distribuez.
Multipliez.

Exercice$\PageIndex{35}$

Simplifiez :$6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})$.

Réponse

$5y + 3$

Exercice$\PageIndex{36}$

Simplifiez :$12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})$.

Réponse

$4n + 9$

L'utilisation de la propriété distributive, comme indiqué dans l'exercice,$\PageIndex{37}$ sera très utile lorsque nous résoudrons des demandes d'argent dans les chapitres suivants.

Exercice$\PageIndex{37}$

Simplifiez :$100(0.3+0.25q)$.

Réponse

Distribuez.
Multipliez.

Exercice$\PageIndex{38}$

Simplifiez :$100(0.7+0.15p)$.

Réponse

$70 + 15p$

Exercice$\PageIndex{39}$

Simplifiez :$100(0.04+0.35d)$.

Réponse

$4 + 35d$

Lorsque nous distribuons un nombre négatif, nous devons faire très attention à ce que les signes soient corrects !

Exercice$\PageIndex{40}$

Simplifiez :$−2(4y+1)$.

Réponse

Distribuez.
Multipliez.

Exercice$\PageIndex{41}$

Simplifiez :$−3(6m+5)$.

Réponse

$−18m-15)$

Exercice$\PageIndex{42}$

Simplifiez :$−6(8n+11)$.

Réponse

$−48n- 66)$

Exercice$\PageIndex{43}$

Simplifiez :$−11(4-3a)$.

Réponse

Distribuez.
Multipliez.
Simplifiez.

Notez que vous pouvez également écrire le résultat sous la forme$33a−44$. Sais-tu pourquoi ?

Exercice$\PageIndex{44}$

Simplifiez :$−5(2-3a)$.

Réponse

$10+ 15a$

Exercice$\PageIndex{45}$

Simplifiez :$−7(8-15y)$.

Réponse

$-56 + 105y$

L'exercice$\PageIndex{46}$ montrera comment utiliser la propriété distributive pour trouver le contraire d'une expression.

Exercice$\PageIndex{46}$

Simplifiez :$−(y+5)$.

Réponse

$$\begin{array} { ll } {} &{-(y + 5)} \\ \\{ \text {Multiplying by -1 results in the opposite.} } &{-1( y + 5 )} \\ \\ {\text{Distribute.}} &{-1\cdot y + (-1)\cdot 5}\\ \\{\text{Simplify.}} &{-y + (-5)} \\ \\ {} &{-y - 5} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{47}$

Simplifiez :$−(z-11)$.

Réponse

$-z + 11$

Exercice$\PageIndex{48}$

Simplifiez :$−(x -4)$.

Réponse

$-x + 4$

Il y aura des moments où nous devrons utiliser la propriété distributive dans le cadre de l'ordre des opérations. Commencez par regarder les parenthèses. Si l'expression entre parenthèses ne peut pas être simplifiée, l'étape suivante consiste à effectuer une multiplication à l'aide de la propriété distributive, qui supprime les parenthèses. Les deux exemples suivants illustreront cela.

Exercice$\PageIndex{49}$

Simplifiez :$8−2(x + 3)$.

Assurez-vous de suivre l'ordre des opérations. La multiplication vient avant la soustraction, nous allons donc d'abord distribuer les 2 puis les soustraire.

Réponse

$$\begin{array} { ll } {} &{8−2(x + 3)} \\ \\{ \text {Distribute.} } &{8−2\cdot x -2\cdot 3} \\ \\ {\text{Multiply.}} &{8 - 2x - 6}\\ \\{\text{Combine like terms.}} &{-2x + 2} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{50}$

Simplifiez :$9−3(x + 2)$.

Réponse

$3 - 3x$

Exercice$\PageIndex{51}$

Simplifiez :$7x−5(x + 4)$.

Réponse

$2x - 20$

Exercice$\PageIndex{52}$

Simplifiez :$4(x - 8)−(x + 3)$.

Réponse

$$\begin{array} { ll } {} &{4(x - 8)−(x + 3)} \\ \\{ \text {Distribute.} } &{4x - 32 - x - 3} \\ \\{\text{Combine like terms.}} &{3x - 35} \end{array}$$

Exercice$\PageIndex{1}$

Simplifiez :$6(x - 9)−(x + 12)$.

Réponse

$5x - 66$

Exercice$\PageIndex{1}$

Simplifiez :$8(x - 1)-(x + 5)$.

Réponse

$7x - 13$

Toutes les propriétés des nombres réels que nous avons utilisées dans ce chapitre sont résumées dans le tableau$\PageIndex{1}$.

Tableau$\PageIndex{1}$

Propriété commutative
d'addition Si a, b sont des nombres réels, puis de multiplication Si a, b sont des nombres réels, alors	$a+b=b+a$ $a\cdot b=b\cdot a$
Propriété associative
d'addition Si a, b, c sont des nombres réels, alors de multiplication Si a, b, c sont des nombres réels, alors	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
Propriété distributive
Si a, b, c sont des nombres réels, alors	$a(b+c)=ab+ac$
Propriété d'identité
d'addition Pour tout nombre réel, a : 0 est l'identité additive de multiplication Pour tout nombre réel a : 1 est l'identité multiplicative	$a+0=a$ $0+a=a$ $a·1=a$ $1·a=a$
Propriété inverse
d'addition Pour tout nombre réel a, $−a$ est l'inverse additif de a de multiplication Pour tout nombre réel$a,a\neq 0$ $\frac{1}{a}$ est le inverse multiplicatif de a	$a+(−a)=0$ $a\cdot\frac{1}{a}=1$
Propriétés de Zero
Pour tout nombre réel a, Pour n'importe quel nombre réel$a,a\neq 0$ Pour n'importe quel nombre réel$a,a\neq 0$	$a\cdot 0=0$ $0\cdot a=0$ $\frac{0}{a} = 0$ $\frac{a}{0}$n'est pas défini

Concepts clés

• Propriété commutative de
  • Addition : Si a, b sont des nombres réels, alors$a+b=b+a$.
  • Multiplication : Si a, b sont des nombres réels, alors$a\cdot b=b\cdot a$. Lorsque vous ajoutez ou multipliez, la modification de l'ordre donne le même résultat.
• Propriété associative de
  • Addition : Si a, b, c sont des nombres réels, alors$(a+b)+c=a+(b+c)$.
  • Multiplication : Si a, b, c sont des nombres réels, alors$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
    Lors de l'ajout ou de la multiplication, la modification du regroupement donne le même résultat.
• Propriété distributive : Si a, b, c sont des nombres réels, alors
  • $a(b+c)=ab+ac$
  • $(b+c)a=ba+ca$
  • $a(b-c)=ab-ac$
  • $(b+c)a=ba-ca$
• Propriété d'identité
  • d'addition : Pour tout nombre réel, a :$a+0=a$
    0 est l'identité additive
  • de multiplication : Pour tout nombre réel a :$a\cdot 1=a \quad 1·a=a$
    1 1 est l'identité multiplicative
• Propriété inverse
  • d'addition : pour n'importe quel nombre réel$a, a+(−a)=0$. Un nombre et son opposé s'additionnent à zéro. $−a$est l'inverse additif de a.
  • de multiplication : pour n'importe quel nombre réel$a,(a\neq 0)a\cdot\frac{1}{a}=1$. Un nombre et son inverse se multiplient par un. $\frac{1}{a}$est l'inverse multiplicatif de a.
• Propriétés de Zero
  • Pour tout nombre réel a,
    $a\cdot 0=0 \quad 0·a=0$ — Le produit de tout nombre réel et de 0 est 0.
  • $\frac{0}{a}=0$pour$a\neq 0$ — Zéro divisé par n'importe quel nombre réel, sauf que zéro est zéro.
  • $\frac{a}{0}$est indéfini — La division par zéro n'est pas définie.