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10.2E : Exercices

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    La pratique rend la perfection

    Exercice\(\PageIndex{19}\) Find and Evaluate Composite Functions

    Dans les exercices suivants, trouvez

    1. \((f \circ g)(x)\)
    2. \((g \circ f)(x)\)
    3. \((f \cdot g)(x)\)
    1. \(f(x)=4 x+3\)et\(g(x)=2 x+5\)
    2. \(f(x)=3 x-1\)et\(g(x)=5 x-3\)
    3. \(f(x)=6 x-5\)et\(g(x)=4 x+1\)
    4. \(f(x)=2 x+7\)et\(g(x)=3 x-4\)
    5. \(f(x)=3 x\)et\(g(x)=2 x^{2}-3 x\)
    6. \(f(x)=2 x\)et\(g(x)=3 x^{2}-1\)
    7. \(f(x)=2 x-1\)et\(g(x)=x^{2}+2\)
    8. \(f(x)=4 x+3\)et\(g(x)=x^{2}-4\)
    Réponse

    1.

    1. \(8x+23\)
    2. \(8x+11\)
    3. \(8 x^{2}+26 x+15\)

    3.

    1. \(24x+1\)
    2. \(24x-19\)
    3. \(24x^{2}+19x-5\)

    5.

    1. \(6 x^{2}-9 x\)
    2. \(18 x^{2}-9 x\)
    3. \(6 x^{3}-9 x^{2}\)

    7.

    1. \(2 x^{2}+3\)
    2. \(4 x^{2}-4 x+3\)
    3. \(2 x^{3}-x^{2}+4 x-2\)
    Exercice\(\PageIndex{20}\) Find and Evaluate Composite Functions

    Dans les exercices suivants, trouvez les valeurs décrites.

    1. Pour les fonctions\(f(x)=2 x^{2}+3\) et\(g(x)=5x-1\), trouvez
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-3)\)
      3. \((f \circ f)(-1)\)
    2. Pour les fonctions\(f(x)=5 x^{2}-1\) et\(g(x)=4x−1\), trouvez
      1. \((f \circ g)(1)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((f \circ f)(2)\)
    3. Pour les fonctions\(f(x)=2x^{3}\) et\(g(x)=3x^{2}+2\), trouvez
      1. \((f \circ g)(-1)\)
      2. \((g \circ f)(1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    4. Pour les fonctions\(f(x)=3 x^{3}+1\) et\(g(x)=2 x^{2}=3\), trouvez
      1. \((f \circ g)(-2)\)
      2. \((g \circ f)(-1)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    Réponse

    1.

    1. \(245\)
    2. \(104\)
    3. \(53\)

    3.

    1. \(250\)
    2. \(14\)
    3. \(77\)
    Exercice\(\PageIndex{21}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Dans les exercices suivants, déterminez si l'ensemble de paires ordonnées représente une fonction et, dans l'affirmative, si la fonction est univoque.

    1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0)}, {(1,1),(2,4),(3,9) \}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{\{(9,-3),(4,-2),(1,-1),(0,0)}, {(1,1),(4,2),(9,3) \}}\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-3),(-1,-1)}, {(0,1),(1,3),(2,5),(3,7) \}}\end{array}\)
    4. \(\begin{array}{l}{\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)}, {(1,-1),(0,-2),(-1,-3) \}}\end{array}\)
    Réponse

    1. Fonction ; pas un à un

    3. Fonction individuelle

    Exercice\(\PageIndex{22}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Dans les exercices suivants, déterminez si chaque graphique est le graphe d'une fonction et, dans l'affirmative, s'il s'agit d'un graphique un-à-un.

    1.


    1. Cette figure montre le graphe d'un cercle dont le centre est à l'origine et le rayon 3.
      Graphique 10.1.65

    2. Cette figure montre le graphique d'une parabole s'ouvrant vers le haut avec un sommet à (0k, 2).
      Graphique 10.1.66

    2.


    1. Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers la droite avec le sommet à (négatif 2, 0).
      Graphique 10.1.67

    2. Cette figure montre le graphe d'un polynôme d'ordre impair, de sorte qu'il commence dans le troisième quadrant, augmente jusqu'à l'origine puis continue d'augmenter dans le premier quadrant.
      Graphique 10.1.68

    3.


    1. Cette figure montre le graphique d'une courbe qui commence à (moins 6 moins 2) augmente jusqu'à l'origine, puis continue d'augmenter lentement jusqu'à (6, 2).
      Graphique 10.1.69

    2. Cette figure montre une parabole s'ouvrant vers le haut avec un sommet à (0, moins 4).
      Graphique 10.1.70

    4.


    1. Cette figure montre un segment de droite décroissant de (négatif 4, 6) à (2, 0), après quoi il augmente de (2, 0) à (6, 4).
      Graphique 10.1.71

    2. Cette figure montre un cercle de rayon 4 et dont le centre se trouve à l'origine.
      Graphique 10.1.72
    Réponse

    1.

    1. Pas une fonction
    2. Fonction ; pas un à un

    3.

    1. Fonction individuelle
    2. Fonction ; pas un à un
    Exercice\(\PageIndex{23}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Dans les exercices suivants, trouvez l'inverse de chaque fonction. Déterminez le domaine et la plage de la fonction inverse.

    1. \(\{(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\}\)
    2. \(\{(6,2),(9,5),(12,8),(15,11)\}\)
    3. \(\{(0,-2),(1,3),(2,7),(3,12)\}\)
    4. \(\{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)\}\)
    5. \(\{(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3)\}\)
    6. \(\{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)\}\)
    Réponse

    1. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\} . \text { Domain: }\{1,2,3,4\} . \text { Range: }} {\{2,4,6,8\} .}\end{array}\)

    3. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-2,0),(3,1),(7,2),(12,3)\} . \text { Domain: }\{-2,3,7,12\} \text { . }} {\text { Range: }\{0,1,2,3\}}\end{array}\)

    5. \(\begin{array}{l}{\text { Inverse function: }\{(-3,-2),(-1,-1),(1,0),(3,1)\} . \text { Domain: }} {\{-3,-1,1,3\} . \text { Range: }\{-2,-1,0,1\}}\end{array}\)

    Exercice\(\PageIndex{24}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    Dans les exercices suivants, tracez sur le même système de coordonnées l'inverse de la fonction biunivoque affichée.


    1. Cette figure montre une série de segments de ligne allant de (négatif 4, négatif 3) à (négatif 3, 0) puis à (négatif 1, 2) et enfin à (3, 4).
      Graphique 10.1.73

    2. Cette figure montre une série de segments de ligne allant de (négatif 4, négatif 4) à (négatif 3, 1) puis à (0, 2) puis à (2, 4).
      Graphique 10.1.74

    3. Cette figure montre une série de segments de ligne allant de (négatif 4, 4) à (0, 3) puis à (3, 2) puis à (4, négatif 1).
      Graphique 10.1.75

    4. Cette figure montre une série de segments de ligne allant de (négatif 4, négatif 4) à (négatif 1, négatif 3) puis à (0, 1), puis à (1, 3), puis à (4, 4).
      Graphique 10.1.76
    Réponse

    1.

    Cette figure montre une série de segments de ligne allant de (négatif 3, négatif 4) à (0, négatif 3) puis à (2, négatif 1), puis à (4, 3).
    Graphique 10.1.77

    3.

    Cette figure montre une série de segments de ligne allant de (négatif 1, 4) à (2, 3) puis à (3, 0), puis à (4, négatif 4).
    Graphique 10.1.78
    Exercice\(\PageIndex{25}\) Determine Whether the given functions are inverses

    Dans les exercices suivants, déterminez si les fonctions données sont inverses.

    1. \(f(x)=x+8\)et\(g(x)=x-8\)
    2. \(f(x)=x-9\)et\(g(x)=x+9\)
    3. \(f(x)=7 x\)et\(g(x)=\frac{x}{7}\)
    4. \(f(x)=\frac{x}{11}\)et\(g(x)=11 x\)
    5. \(f(x)=7 x+3\)et\(g(x)=\frac{x-3}{7}\)
    6. \(f(x)=5 x-4\)et\(g(x)=\frac{x-4}{5}\)
    7. \(f(x)=\sqrt{x+2}\)et\(g(x)=x^{2}-2\)
    8. \(f(x)=\sqrt[3]{x-4}\)et\(g(x)=x^{3}+4\)
    Réponse

    1. \(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)ce sont donc des inverses.

    3. \(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)ce sont donc des inverses.

    5. \(g(f(x))=x,\)\(f(g(x))=x,\)ce sont donc des inverses.

    7. \(g(f(x))=x,\)et\(f(g(x))=x,\) ce sont donc des inverses (pour non négatifs)\(x )\)

    Exercice\(\PageIndex{26}\) Determine the inverse of a function

    Dans les exercices suivants, trouvez l'inverse de chaque fonction.

    1. \(f(x)=x-12\)
    2. \(f(x)=x+17\)
    3. \(f(x)=9 x\)
    4. \(f(x)=8 x\)
    5. \(f(x)=\frac{x}{6}\)
    6. \(f(x)=\frac{x}{4}\)
    7. \(f(x)=6 x-7\)
    8. \(f(x)=7 x-1\)
    9. \(f(x)=-2 x+5\)
    10. \(f(x)=-5 x-4\)
    11. \(f(x)=x^{2}+6, x \geq 0\)
    12. \(f(x)=x^{2}-9, x \geq 0\)
    13. \(f(x)=x^{3}-4\)
    14. \(f(x)=x^{3}+6\)
    15. \(f(x)=\frac{1}{x+2}\)
    16. \(f(x)=\frac{1}{x-6}\)
    17. \(f(x)=\sqrt{x-2}, x \geq 2\)
    18. \(f(x)=\sqrt{x+8}, x \geq-8\)
    19. \(f(x)=\sqrt[3]{x-3}\)
    20. \(f(x)=\sqrt[3]{x+5}\)
    21. \(f(x)=\sqrt[4]{9 x-5}, x \geq \frac{5}{9}\)
    22. \(f(x)=\sqrt[4]{8 x-3}, x \geq \frac{3}{8}\)
    23. \(f(x)=\sqrt[5]{-3 x+5}\)
    24. \(f(x)=\sqrt[5]{-4 x-3}\)
    Réponse

    1. \(f^{-1}(x)=x+12\)

    3. \(f^{-1}(x)=\frac{x}{9}\)

    5. \(f^{-1}(x)=6 x\)

    7. \(f^{-1}(x)=\frac{x+7}{6}\)

    9. \(f^{-1}(x)=\frac{x-5}{-2}\)

    11. \(f^{-1}(x)=\sqrt{x-6}\)

    13. \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+4}\)

    15. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-2\)

    17. \(f^{-1}(x)=x^{2}+2, x \geq 0\)

    19. \(f^{-1}(x)=x^{3}+3\)

    21. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{4}+5}{9}, x \geq 0\)

    23. \(f^{-1}(x)=\frac{x^{5}-5}{-3}\)

    Exercice\(\PageIndex{27}\) Writing Exercises
    1. Expliquez comment le graphe de l'inverse d'une fonction est lié au graphe de la fonction.
    2. Expliquez comment déterminer l'inverse d'une fonction à partir de son équation. Utilisez un exemple pour illustrer les étapes.
    Réponse

    1. Les réponses peuvent varier.

    Auto-vérification

    a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Ce tableau comporte quatre lignes et quatre colonnes. La première ligne, qui sert d'en-tête, se lit comme suit : Je peux..., En toute confiance, avec de l'aide, et Non, je ne comprends pas.™ La première colonne sous la ligne d'en-tête indique Rechercher et évaluer les fonctions composites, déterminer si une fonction est univoque et trouver l'inverse d'une fonction. Les autres cellules sont vides.
    Graphique 10.1.79

    b. Si la plupart de vos chèques étaient :

    ... en toute confiance. Félicitations ! Vous avez atteint les objectifs de cette section. Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Soyez précis.

    ... avec de l'aide. Cela doit être abordé rapidement, car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. En mathématiques, chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de vous assurer d'avoir une base solide avant de passer à autre chose. À qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences d'étude peuvent-elles être améliorées ?

    ... Non, je ne comprends pas ! Il s'agit d'un signe d'avertissement et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devriez obtenir de l'aide immédiatement, sinon vous serez rapidement dépassé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour obtenir l'aide dont vous avez besoin.