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2.7: 向量代数示例

示例2.7.1: Analytical Computation of a Resultant

平面C中的三个位移向量AB、和(图 2.3.6)分别由其幅度 A = 10.0、B = 7.0 和 C = 8.0 以及它们各自的方向角指定,水平方向α = 35°、β = −110° 和γ= 30°。 量级的物理单位是厘米。 将向量解析为其标量分量并找到以下矢量和:

  1. R=A +B +C
  2. D=AB,以及
  3. S=A − 3B +C
策略

首先,我们使用方程 2.4.13 来找出每个向量的标量分量,然后以给出的向量分量形式表示每个向量A=Axˆi+Ayˆj。 然后,我们使用向量代数的分析方法来寻找结果。

解决方案

我们将给定向量解析为其标量分量:

{Ax=Acosα=(10.0cm)cos35o=8.19cmAy=Asinα=(10.0cm)sin35o=5.73cm

{Bx=Bcosβ=(7.0cm)cos(110o)=2.39cmBy=Bsinβ=(7.0cm)sin(110o)=6.58cm

{Cx=Ccosγ=(8.0cm)cos(30o)=6.93cmCy=Csinγ=(8.0cm)sin(30o)=4.00cm

对于 (a),我们可以直接代入方程 2.6.7 来找出所得结果的标量分量:

{Rx=Ax+Bx+Cx=8.19cm2.39cm+6.93cm=12.73cmRy=Ay+By+Cy=5.73cm6.58cm+4.00cm=3.15cm

因此,生成的向量为R=Rxˆi+Ryˆj=(12.7ˆi+3.1ˆj) cm。 对于 (b),我们可能希望将向量差写为

D=AB=(Axˆi+Ayˆj)(Bxˆi+Byˆj)=(AxBx)ˆi+(AyBy)ˆj.

因此,差值向量为D=Dxˆi+Dyˆj=(10.6ˆi+12.3ˆj) cm。

对于 (c),我们可以用以下显式形式写入向量S

S=A3B+C=(Axˆi+Ayˆj)3(Bxˆi+Byˆj)+(Cxˆi+Cyˆj)=(Ax3Bx+Cx)ˆi+(Ay3By+Cy)ˆj.

然后,的标量分量S

{Sx=Ax3Bx+Cx=8.19cm3(2.39cm)+6.93cm=22.29cmSy=Ay3By+Cy=5.73cm3(6.58cm)+4.00cm=29.47cm

向量为S=Sxˆi+Syˆj=(22.3ˆi+29.5ˆj) cm。

意义

找到向量分量后,我们可以通过图表来说明向量,或者我们可以计算大小和方向角度,如图所示2.7.1。 (b) 和 (c) 中量级的结果可以与使用图形方法获得的相同问题的结果进行比较,如图 2.3.7 和图 2.3. 8 所示。 请注意,分析方法会产生精确的结果,其精度不受标尺或量角器分辨率的限制,就像示例 2.3.2 中用于查找相同结果的图形方法一样。

向量 R 的幅度为 13.11。 R 和正 x 方向之间的角度为 theta sub R 等于 13.9 度。 R 的分量是 x 轴上的 R sub x 和 y 轴上的 R sub y。 向量 D 的幅度为 16.23。 D 和正 x 方向之间的角度为 theta sub D 等于 49.3 度。 D 的分量是 x 轴上的 D sub x 和 y 轴上的 D sub y。 向量 S 的幅度为 36.95。 S 和正 x 方向之间的角度为 theta sub S 等于 52.9 度。 S 的分量是 x 轴上的 S sub x 和 y 轴上的 S sub y。
2.7.1:通过分析获得的解的图形说明。
练习 2.8

三个位移向量AB、和F图 2.3.6)分别由其幅度 A = 10.00、B = 7.00 和 F = 20.00 指定,以及它们各自的方向角指定,水平方向α = 35°、β = −110° 和φ = 110°。 量级的物理单位是厘米。 使用分析方法查找向量F =A + 2BF。 验证 G = 28.15 厘米且θG = −68.65°。

示例2.7.2: The Tug-of-War Game

四只名为 Astro、Balto、Clifford 和 Dug 的狗用玩具玩拔河游戏(人偶2.7.2)。 Astro 向东以南 55° 的方向α拉动玩具,巴尔托向方向β = 北向东 60° 拉动,克利福德向方向γ = 北向西 55° 拉动。 Astro 以 160.0 单位的力 (N) 进行强力拉动,我们将其缩写为 A = 160.0 N。巴尔托的拉力比 Astro 还要强,大小为 B = 200.0 N,而 Clifford 以 C = 140.0 N 的力拉动玩具时,他的力量会平衡玩具产生的结果其他三种力量,玩具不会向任何方向移动。 Dug 必须用多大的力量向哪个方向拉动玩具才能做到这一点?

4 只狗在拉玩具的插图。 玩具位于坐标系的原点,加上 x 与东对齐,加 y 与北对齐。 Astro 正以从加 x(东)方向顺时针方向 55 度的 alpha 角度拉动。 Balto 正在拉动角度 beta,该角度为从加 y(北)方向顺时针方向 60 度。 Clifford 正在拉动一个伽玛角度,该角度是从加 y(北)方向逆时针方向 55 度。 在第三象限中,Dug 正在朝未指定方向拉动。
2.7.2:四只狗用玩具玩拔河比赛。

策略

我们假设东方是 x 轴正方向,北方是 y 轴正方向。 如示例所示2.7.1,我们必须将三种给定的力——A(来自天文的拉力)、B(来自巴尔托的拉力)和C(来自克利福德的拉力)——解析为它们的标量分量,然后找到合成向量的标量分量R =A +B +C。 当 DugD 的拉力平衡了这个结果时,D和的总和R必须得出空向量D +R =0。 这意味着D =R 所以来自 Dug 的拉力必须与之反平行R

解决方案

方向角为θAα = −55°、θB = 90° −β = 30° 和θC = 90° +γ = 145°,将它们代入方程 2.4.13 可以得出三种给定力的标量分量:

{Ax=AcosθA=(160.0N)cos(55o)=+91.8NAy=AsinθA=(160.0N)sin(55o)=131.1N

{Bx=BcosθB=(200.0N)cos30o=+173.2NBy=BsinθB=(200.0N)sin30o=+100.0N

{Cx=CcosθC=(140.0N)cos145o=114.7NCy=CsinθC=(140.0N)sin145o=+80.3N

现在我们计算合成向量的标量分量R=A+B+C

{Rx=Ax+Bx+Cx=+91.8N+173.2N114.7N=+150.3NRy=Ay+By+Cy=131.1N+100.0N+80.3N=+49.2N

结果的反平行向量R

D=R=RxˆiRyˆj=(150.3ˆi49.2ˆj)N.

Dug 的拉力大小是

D=D2x+D2y=(150.3)2+(49.2)2N=158.1N.

Dug 的拉力方向是

θ=tan1(DyDx)=tan1(49.2N150.3N)=tan1(49.2150.3)=18.1o.

Dug 向西以南 18.1° 的方向拉动,因为两个分量均为负数,这意味着拉力向量位于第三象限中(图 2.4.4)。

练习 2.9

假设 Example 中的 Balto2.7.2 离开游戏去处理更重要的事情,但是 Astro、Clifford 和 Dug 继续玩游戏。 Astro 和 Clifford 对玩具的拉力没有改变,但是 Dug 跑来跑去,在另一个地方咬了玩具。 为了平衡 Clifford 和 Astro 的综合拉力,Dug 现在必须用多大的力量向哪个方向拉动玩具? 通过绘制表示所有相关力量的矢量图来说明这种情况。

示例2.7.3: Vector Algebra

找出满足方程 2A − 6B + 3C = 2ˆj、= − 2ˆkAB =ˆiˆj + 的向量C的大小ˆk2

策略

我们首先求解未知向量的给定方程C。 然后我们替换A andB; 沿三个方向ˆiˆj、和ˆk; 对项进行分组,并确定标量分量 C x、C y 和 C z。 最后,我们用方程式 2.5.6 来求出量级 C。

解决方案

2A6B+3C=2ˆj3C=2ˆj2A+6BC=23ˆj23A+2B=23ˆj23(ˆi2ˆk)+2(ˆj+ˆk2)=23ˆj23ˆi+43ˆk2ˆj+ˆk=23ˆi+(232)ˆj+(43 +1)ˆk=23ˆi43ˆj+73ˆk

分量为 C x =23、C y =43 和 C z =73,代入方程 2.5.6 得出

C=C2x+C2y+C2z=(23)2+(43)2+(73)2=233.

示例2.7.4: Displacement of a Skier

从滑雪小屋开始,越野滑雪者向北行驶5.0公里,然后向西行驶3.0公里,最后向西南行驶4.0公里,然后休息。 找到他在休息点时相对于小屋的总位移向量。 他必须从休息点滑多远、朝哪个方向滑雪才能直接返回旅馆?

策略

我们假设一个矩形坐标系,其原点位于滑雪小屋,单位ˆi向量指向东方,单位向量ˆj指向北方。 有三种位移:D1D2、和D3。 我们将它们的大小确定为 D 1 = 5.0 km、D 2 = 3.0 km 和 D 3 = 4.0 km。 我们确定它们的方向是角度θ1 = 90°、θ2 = 180° 和θ3 = 180° + 45° = 225°。 我们将每个位移向量解析为其标量分量,然后将这些分量替换为方程 2.6.5,以获得D从小屋到静止点的合成位移的标量分量。 在从休息点返回小屋的路上,排水量为B = −D。 最后,我们找到了大小和方向B

解决方案

位移向量的标量分量为

{D1x=D1cosθ1=(5.0km)cos90o=0D1y=D1sinθ1=(5.0km)sin90o=5.0km

{D2x=D2cosθ2=(3.0km)cos180o=3.0kmD2y=D2sinθ2=(3.0km)sin180o=0

{D3x=D3cosθ3=(4.0km)cos225o=2.8kmD3y=D3sinθ3=(4.0km)sin225o=2.8km

净位移向量的标量分量为

{Dx=D1x+D2x+D3x=(03.02.8)km=5.8kmDy=D1y+D2y+D3y=(5.0+02.8)km=+2.2km

因此,滑雪者的净位移向量为D = D xˆi + D yˆj = (−5.8ˆi + 2.2ˆj) km。 在返回小屋的路上,他的位移量为B = −D = − (−5.8ˆi + 2.2ˆj) km = (5.8ˆi − 2.2ˆj) km。 它的大小为 BB2x+B2y =(5.8)2+(2.2)2 km = 6.2 km,其方向角为θ = tan −1(2.25.8) = −20.8°。 因此,要返回旅馆,他必须向东部以南约 21° 的方向行驶 6.2 公里。

意义

请注意,通过分析方法解决这个问题不需要任何数字。 使用图形方法时需要图形;但是,我们可以通过草绘来检查解是否合理,这是求解任何向量问题的最后有用步骤。

示例2.7.5: Displacement of a Jogger

慢跑者跑上了 200 个相同的台阶到达山顶,然后沿着山顶跑 50.0 米,然后在饮水机停下来(图2.7.3)。 他从台阶底部的点A到喷泉的B点的位移向量为DAB = (−90.0ˆi + 30.0ˆj) m。飞行中每个台阶的高度和宽度是多少? 慢跑者的实际行驶距离是多少? 如果他循环返回到点 A,他的净位移向量是多少?

所示坐标系右侧为正 x,正向上 y。 慢跑者位于向上和向左通的台阶底部的 A 点。 台阶的顶部被标记为点 T。台阶的顶部是一个从 T 点延伸到 B 点喷泉的平坦部分。T 和 B 之间的距离为 50 米。
2.7.3:慢跑者跑上一段台阶。

策略

位移向量DAB是慢跑者DAT沿楼梯的位移向量(从楼梯底部的 A 点到楼梯顶部的 T 点)和他在山顶的位移向量DRB(从楼梯顶部的 T 点到B点的喷泉)。 我们必须找到的水平和垂直分量DTB。 如果每个步骤的宽度 w 和高度 h,则的水平分量的长度DTB必须为 200w,垂直分量的长度必须为 200h。 慢跑者的实际行驶距离是他跑上楼梯的距离和他沿着山顶跑的50.0 m的距离之和。

解决方案

在图中所示的坐标系中2.7.3,慢跑者在山顶上的位移向量为DRB = (−50.0 m)ˆi。 他的净位移向量是

DAB=DAT+DTB.

因此,他DTB沿着楼梯的位移向量为

DAT=DABDTB=(90.0ˆi+30.0ˆj)m(50.0m)ˆi)=[(90.050.0)hati+30.0ˆj)]m=(40.0ˆi+30.0ˆj)m.

它的标量分量是 D atX = −40.0 m 和 D aT y = 30.0 m。因此,我们必须有

200w=|40.0|m and 200h=30.0m.

因此,台阶宽度为 w40.0m200 = 0.2 m = 20 厘米,台阶高度为 w30.0m200 = 0.15 m = 15 cm。 慢跑者沿着楼梯行驶的距离是

DAT=D2ATx+D2ATy=(40.0)2+(30.0)2m=50.0m.

因此,他跑的实际距离为 D A T + D TB = 50.0 m + 50.0 m = 100.0 m。当他循环并从喷泉回到 A 点的初始位置时,他覆盖的总距离是这个距离的两倍,即 200.0 m。但是,他的净位移向量为零,因为当其最终位置与初始位置相同时,其净位移向量的标量分量为零(方程 2.4.4)。

在许多物理环境中,我们经常需要知道向量的方向。 例如,我们可能想知道某个点的磁场矢量的方向或物体的运动方向。 我们已经说过方向是由单位向量给出的,它是一个无量纲的实体,也就是说,它没有与之相关的物理单位。 当有问题的向量位于笛卡尔坐标系中的一个轴上时,答案很简单,因为那样的话,它的方向单位向量要么平行,要么与轴的单位向量的方向平行,要么反平行。 例如,向量方向d = -5 mˆi 是单位向量d =-ˆi。 找到任何向量的方向单位向V量的一般规则V是将其除以其量级 V

ˆV=VV

从这个表达式中我们可以看出,方向的单位向量确实是无量纲的,因为方程\ ref {2.26} 中的分子和分母具有相同的物理单位。 通过这种方式,方程\ ref {2.26} 允许我们用轴的单位向量来表示方向的单位向量。 以下示例说明了这个原理。

示例2.7.6: The Unit Vector of Direction

如果示例 2.6.1 中军事车队的速度矢量为v = (4.000ˆi + 3.000ˆj + 0.100ˆk) km/h,则其运动方向的单位向量是多少。

策略

车队运动方向的单位向量是平行ˆv于速度矢量的单位向量。 根据方程\ ref {2.26},单位向量是通过将向量除以其大小获得的。

解决方案

向量的大小v

v=v2x+v2y+v2z=4.0002+3.0002+0.1002km/h=5.001km/h.

要获得单位向量ˆv,请除v以其大小:

ˆv=vv=(4.000ˆi+3.00ˆj+0.100ˆk)km/h5.001km/h=(4.000ˆi+3.000ˆj+0.1100ˆk)5.001=4.0005.001ˆi+3.0005.001ˆj+0.1005.001ˆk=(79.98ˆi+59.99ˆj+2.00ˆk)×102.

意义

请注意,将分析方法与计算器一起使用时,建议至少将计算到小数点后三位,然后将最终答案四舍五入到所需的有效数字数,这是我们在本示例中执行计算的方式。 如果您过早地对部分答案进行四舍五入,则最终答案可能会出现巨大的数值误差,而且可能与确切答案或实验中测得的值相去甚远。

练习 2.10

通过计算示例中ˆv获得的向量的大小来验证其确实2.7.3是单位向量。 如果示例 2.6.1 中的车队正在沙漠平地上移动,也就是说,如果其速度的第三个分量为零,则其运动方向的单位向量是多少? 它代表哪个地理方向?