2.6: 向量代数

学习目标

• 应用向量代数的分析方法来寻找合成向量并求解未知向量的向量方程。
• 用向量表达式来解释物理情况。

向量可以相加并乘以标量。 向量加法是关联的（方程 2.2.8）和可交换的（方程 2.2.7），向量乘以标量之和是分布式的（方程 2.2.9）。 此外，标量乘以向量之和是分布式的：

\[\alpha(\vec{A} + \vec{B}) = \alpha \vec{A} + \alpha{B} \ldotp \label{2.22}\]

在此方程中，\(\alpha\)是任意数字（标量）。 例如，与向量反平行的向量\(\vec{A}\) = A _x\(\hat{i}\) + A _y\(\hat{j}\) + A _z\(\hat{k}\) 可以简单地\(\vec{A}\)通过乘以标量\(\alpha\) = −1 来表示：

\[- \vec{A} = A_{x} \hat{i} - A_{y} \hat{j} - A_{z} \hat{k} \ldotp \label{2.23}\]

示例\(\PageIndex{1}\): Direction of Motion

在笛卡尔坐标系中，\(\hat{i}\)表示地理东部，\(\hat{j}\)表示地理北部，\(\hat{k}\)表示海平面以上的高度，军事车队以\(\vec{v}\) = (4.0\(\hat{i}\) + 3.0\(\hat{j}\) + 0.1\(\hat{k}\)) km 的速度穿越未知区域/h. 如果车队必须撤退，它将朝哪个地理方向移动？

解决方案

速度向量的第三个分量\(\vec{v}_{z}\)为 = (+ 0.1 km/h)\(\hat{k}\)，表示车队正在以每小时 100 米/小时的速度穿越山区。 同时，它向东的速度为 4.0 km/h，向北的速度为 3.0 km/h，因此它在地面上朝东北 ⁻¹ (3 /4) β 37° 的方向移动。 如果车队必须撤退，则其新的速度矢量\(\vec{u}\)必须\(\vec{v}\)与之反平行并呈现形式\(\vec{u} = - \alpha \vec{v}\)，其中\(\alpha\)为正数。 因此，撤退速度将为\(\vec{u}\) =\(\alpha\) (−4.0\(\hat{i}\) − 3.0\(\hat{j}\) − 0.1\(\hat{k}\)) km/h。第三部分的负号表示车队将下降。 撤退速度的方向角^{为 tan −1} (−3\(\alpha\) − 4\(\alpha\)) β 西部以南 37°。 因此，车队将在地面上朝西部以南 37° 的方向移动，同时在返回途中下降。

数字零到向量代数的概括称为空向量，用表示\(\vec{0}\)。 空向量的所有分量均为零，\(\vec{0}\)= 0\(\hat{i}\) + 0\(\hat{j}\) + 0\(\hat{k}\)，因此空向量没有长度也没有方向。

当\(\vec{A}\)\(\vec{B}\)且仅当两个向量的差值为空向量时，两个向量才是相等的向量：\(\vec{0}\)\(\vec{B}\)=\(\vec{A}\) − = (A _x\(\hat{i}\)\(\hat{j}\) + A _y + A _z\(\hat{k}\)) − (B _x\(\hat{i}\) + B _y\(\hat{j}\)+ B _z\(\hat{k}\)) = (A _x − B _x)\(\hat{i}\) + (A _y − B _y)\(\hat{j}\) + (A _z − B _z)\(\hat{k}\)。 这个向量方程意味着我们必须同时有 A _x − B _x = 0、A _y − B _y = 0 和 A _z − B _z = 0。 因此，当且仅当向量的相应分量\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)相等时，我们可以这样写\(\vec{A} = \vec{B}\)：

\[ \vec{A} = \vec{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A_{x} = B_{x} \\ A_{y} = B_{y} \\ A_{z} = B_{z} \end{cases} \ldotp \label{2.24}\]

当两个向量对应的标量分量相等时，它们是相等的。 将向量解析为其标量分量（即找到它们的标量分量）并以向量分量形式（由方程 2.5.4 给出）进行分析表达，这使我们能够使用向量代数来分析地查找许多向量的总和或差（即不使用图形方法）。 例如，要找到两个向量的\(\vec{A}\)结果\(\vec{B}\)，我们只需将它们逐个分量相加，如下所示：

\[\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) + (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) = (A_{x} + B_{x})\; \hat{i} + (A_{y} + B_{y})\; \hat{j} + (A_{z} + B_{z})\; \hat{k} \ldotp\]

这样，使用方程\ ref {2.24}，合成向量的标量分量\(\vec{R}\) = R _x\(\hat{i}\) + R _y\(\hat{j}\) + R _z\(\hat{k}\) 是向量的相应标量分量的总和，\(\vec{A}\)并且\(\vec{B}\)：

\[ \begin{cases} R_{x} = A_{x} + B_{x}, \\ R_{y} = A_{y} + B_{y}, \\ R_{z} = A_{z} + B_{z} \end{cases} \ldotp\]

分析方法可用于查找许多向量的合成分量。 例如，如果我们要对 N 个向量\(\vec{F}_{1}\)、\(\vec{F}_{2}\)\(\vec{F}_{3}\)\(\vec{F}_{N}\)、... 求和，其中每个向量为\(\vec{F}_{k}\) = F _kx\(\hat{i}\) + F _ky\(\hat{j}\) + F _kz\(\hat{k}\)，则结果向量\(\vec{F}_{R}\)为

\[ \vec{F}_{R} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} + \ldots + \vec{F}_{N} = \sum_{k = 1}^{N} \vec{F}_{k} = \sum_{k = 1}^{N} \big(F_{kx} \hat{i} + F_{ky} \hat{j} + F_{kz} \hat{k}\big) = \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{kx}\bigg) \hat{i} + \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{ky}\bigg) \hat{j} + \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{kz}\bigg) \hat{k} \ldotp\]

因此，合成向量的标量分量为

\[ \begin{cases} F_{Rx} = \sum_{k = 1}^{N} F_{kx} = F_{1x} + F_{2x} + \ldots + F_{Nx} \\ F_{Ry} = \sum_{k = 1}^{N} F_{ky} = F_{1y} + F_{2y} + \ldots + F_{Ny} \\ F_{Rz} = \sum_{k = 1}^{N} F_{kz} = F_{1z} + F_{2z} + \ldots + F_{Nz} \ldotp \end{cases} \label{2.25}\]

找到标量分量后，我们可以用矢量分量形式写出结果：

\[\vec{F}_{R} = F_{Rx}\; \hat{i} + F_{Ry}\; \hat{j} + F_{Rz}\; \hat{k} \ldotp\]

在物理学中，求解结果和通常用于求解矢量方程的分析方法非常重要，因为许多物理量都是向量。 例如，我们在运动学中使用这种方法来查找合成位移向量和合成速度向量，在力学中使用这种方法来查找合力向量和许多导出向量量的合成，在电和磁学中使用这种方法来寻找合成的电场或磁向量场。

在许多物理环境中，我们经常需要知道向量的方向。 例如，我们可能想知道某个点的磁场矢量的方向或物体的运动方向。 我们已经说过方向是由单位向量给出的，它是一个无量纲的实体，也就是说，它没有与之相关的物理单位。 当有问题的向量位于笛卡尔坐标系中的一个轴上时，答案很简单，因为那样的话，它的方向单位向量要么平行，要么与轴的单位向量的方向平行，要么反平行。 例如，矢量的方向\(\vec{d}\) = −5 m\(\hat{i}\) 是单位向量\(\hat{d}\) = −\(\hat{i}\)。 找到任何向量的方向单位向\(\hat{V}\)量的一般规则\(\vec{V}\)是将其除以其量级 V：

\[\hat{V} = \frac{\vec{V}}{V} \ldotp \label{2.26}\]

从这个表达式中我们可以看出，方向的单位向量确实是无量纲的，因为方程\ ref {2.26} 中的分子和分母具有相同的物理单位。 通过这种方式，方程\ ref {2.26} 允许我们用轴的单位向量来表示方向的单位向量。 例 2.7.6 说明了这个原则。

贡献者

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