2.8: 向量的乘积（第 1 部分）

学习目标

• 解释两个向量的标量积和向量积之间的差异。
• 确定两个向量的标量乘积。
• 确定两个向量的向量乘积。
• 描述如何在物理学中使用向量的乘积。

一个向量可以乘以另一个向量，但不能除以另一个向量。 有两种向量乘积广泛用于物理学和工程学。 一种乘法是两个向量的标量乘法。 顾名思义，取两个向量的标量乘积得出一个数字（标量）。 标量乘积用于定义工作和能量关系。 例如，力（向量）在造成物体位移（向量）的同时对物体执行的作用被定义为力向量与位移向量的标量乘积。 一种完全不同的乘法是向量的向量乘法。 顾名思义，取两个向量的向量乘积会返回一个向量。 矢量乘积用于定义其他派生向量量。 例如，在描述旋转时，称为扭矩的向量被定义为施加的力（向量）及其杠杆臂（向量）的向量乘积。 区分这两种向量乘法很重要，因为标量乘积是标量而向量乘积是向量量。

两个向量的标量乘积（点积）

两个向量的标量乘法得出标量乘积。

定义：标量积（点积）

两个向量的标量乘积$\vec{A}$，$\vec{B}$是由方程定义的数字$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$

$$\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = AB \cos \varphi, \label{2.27}$$

其中$\phi$是向量之间的角度（如图所示$\PageIndex{1}$）。 标量积也被称为点积，因为用点符号表示了标量积。

在点积的定义中，角度的方向$\varphi$并不重要，$\varphi$可以从两个向量中的任何一个向量测量角度，因为$\cos \varphi$ =$\cos (−\varphi)$ =$cos (2 \pi − \varphi)$。 当 90° <$\varphi$ ≤ 180° 时，点积为负数；当 0° ≤$\phi$ < 90° 时，点积为正数。 此外，两个平行向量的点积为$\vec{A} \cdotp \vec{B}$ = AB cos 0° = AB，两个反平行向量的点积为$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$ = AB cos 180° = −AB。 两个正交向量的标量乘积消失：$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$= AB cos 90° = 0。 向量自身的标量乘积是其量级的平方：

$$\vec{A}^{2} \equiv \vec{A}\; \cdotp \vec{A} = AA \cos 0^{o} = A^{2} \label{2.28}$$

图$\PageIndex{1}$：两个向量的标量乘积。 (a) 两个向量之间的角度。 (b) 向量$\vec{A}$方向的_正交投影 A 向量$\vec{B}$。 (c) 向量$\vec{B}$方向_的正交投影 B$\vec{A}$。

示例$\PageIndex{1}$: The Scalar Product

对于图 2.3.6 所示的向量，找出标量乘积$\vec{A}\; \cdotp \vec{F}$。

策略

从图 2.3.6 来看，向量$\vec{A}$和的大小$\vec{B}$为 A = 10.0 和 F = 20.0。 它们之间的角度$\theta$是区别：$\theta = \varphi - \alpha$= 110° − 35° = 75°。 将这些值代入方程\ ref {2.27} 可得出标量乘积。

解决方案

一个简单的计算可以给我们

$$\vec{A}\; \cdotp \vec{F} = AF \cos \theta = (10.0)(20.0) \cos 75^{o} = 51.76 \ldotp$$

练习 2.11

对于图 2.3.6 中给出的向量，找出标量乘积$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$和$\vec{B}\; \cdotp \vec{C}$。

在笛卡尔坐标系中，轴的单位向量与轴的其他单位向量的标量乘积总是消失，因为这些单位向量是正交的：

$$\hat{i}\; \cdotp\; \hat{j} = |\hat{i}||\hat{j}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0, \label{2.29}$$

$$\hat{i}\; \cdotp\; \hat{k} = |\hat{i}||\hat{k}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0,$$

$$\hat{k} \cdotp\; \hat{j} = |\hat{k}||\hat{j}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0 \ldotp$$

在这些方程中，我们使用这样一个事实，即所有单位向量的大小均为一：$|\hat{i}| = |\hat{j}| = |\hat{k}|$= 1。 对于轴的单位向量，方程\ ref {2.28} 给出以下恒等式：

$$\hat{i}\; \cdotp\; \hat{i} = i^{2} = \hat{j}\; \cdotp\; \hat{j} = j^{2} = \hat{k}\; \cdotp\; \hat{k} = 1 \ldotp \label{2.30}$$

标量乘积$\vec{A}\; \cdotp \vec{B}$也可以解释为向量$\vec{A}$方向投影 A$_{\parallel}$ 的 B 乘积$\vec{B}$（图$\PageIndex{1}$ (b)）或 A 的乘积，向量方向$_{\parallel}$的向量$\vec{B}$投影 B$\vec{A}$（图$\PageIndex{1}$ (c)）：

$$\begin{split} \vec{A}\; \cdotp \vec{B} & = AB \cos \varphi \\ & = B(A \cos \varphi) = BA_{\parallel} \\ & = A(B \cos \varphi) = AB_{\parallel} \ldotp \end{split}$$

例如，在平面中的矩形坐标系中，向量的标量 x 分量是其与单位向量的点积$\hat{i}$，而向量的标量 y 分量是其与单位向量的点积$\hat{j}$：

$$\begin{cases} \vec{A}\; \cdotp\; \hat{i} = |\vec{A}||\hat{i}| \cos \theta_{A} = A \cos \theta_{A} = A \cos \theta_{A} = A_{x} \\ \vec{A}\; \cdotp\; \hat{j} = |\vec{A}||\hat{j}| \cos (90^{o} - \theta_{A}) = A \sin \theta_{A} = A_{y} \end{cases}$$

向量的标量乘法是交流的，

$$\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = \vec{B}\; \cdotp \vec{A}, \label{2.31}$$

并遵守分配法：

$$\vec{A}\; \cdotp (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A}\; \cdotp \vec{B} + \vec{A}\; \cdotp \vec{C} \ldotp \label{2.32}$$

我们可以使用交换定律和分布定律来推导向量的各种关系，例如用标量分量表示两个向量的点积。

练习 2.12

对于矩形坐标系$\vec{A} = A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}$中的矢量，请使用方程\ ref {2.29} 到方程\ ref {2.32} 来显示该矢量$\vec{A}\; \cdotp \hat{i} = A_{x} \vec{A}\; \cdotp\; \hat{j} = A_{y}$和$\vec{A}\; \cdotp\; \hat{k} = A_{z}$。

当方程\ ref {2.27} 中的向量以其向量分量形式给出时，

$$\vec{A} = A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}\; and \vec{B} = B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k},$$

我们可以按如下方式计算它们的标量乘积：

$$\begin{split} \vec{A}\; \cdotp \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k})\; \cdotp (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{x}B_{z}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \cdotp\; \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \cdotp\; \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{k} \ldotp \end{split}$$

由于两个不同轴单位向量的标量乘积得零，而单位向量的标量乘积自身给出一个（参见方程\ ref {2.29} 和方程\ ref {2.30}），因此该表达式中只有三个非零项。 因此，标量乘积简化为

$$\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z} \ldotp \label{2.33}$$

我们可以根据向量的标量分量使用方程\ ref {2.33} 来计算标量乘积，以求两个向量之间的角度。 当我们将方程\ ref {2.27} 除以 AB 时，我们得到 cos 的方程$\varphi$，我们将其替换为方程\ ref {2.33}：

$$\cos \varphi = \frac{\vec{A}\; \cdotp \vec{B}}{AB} = \frac{A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z}}{AB} \ldotp \label{2.34}$$

向量$\varphi$之间的角度$\vec{A}$和$\vec{B}$通过取方程\ ref {2.34} 中表达式的反余弦获得。

示例$\PageIndex{2}$

三只狗正在朝不同的方向拉动棍子，如图所示$\PageIndex{2}$。 第一只狗用力拉动$\vec{F}_{1}$ = (10.0$\hat{i}$ − 20.4$\hat{j}$ + 2.0$\hat{k}$) N，第二只狗用力拉动$\vec{F}_{2}$ = (−15.0$\hat{i}$ − 6.2$\hat{k}$) N，第三只狗用力拉动$\vec{F}_{3}$ = (5.0$\hat{i}$ + 12.5$\hat{j}$) N。 力与力$\vec{F}_{1}$之间的角度是$\vec{F}_{2}$多少？

图$\PageIndex{2}$：三只狗在玩棍子。

策略

力向量的分量$\vec{F}_{1}$为 F _1x = 10.0 N、F _1y = −20.4 N 和 F _1z = 2.0 N，而力向量的分量$\vec{F}_{2}$是 F 2 _x = −15.0 N、F _2y = 0.0 N 和 F _2z = −6.2 N 计算这些向量的标量乘积以及它们的大小，然后用方程式\ ref {2.34} 代入方程即得出目标角度。

解决方案

力的大小$\vec{F}_{1}$和$\vec{F}_{2}$是

$$F_{1} = \sqrt{F_{1x}^{2} + F_{1y}^{2} + F_{1z}^{2}} = \sqrt{10.0^{2} + 20.4^{2} + 2.0^{2}}N = 22.8\; N$$

和

$$F_{2} = \sqrt{F_{2x}^{2} + F_{2y}^{2} + F_{2z}^{2}} = \sqrt{15.0^{2} + 6.2^{2}}N = 16.2\; N \ldotp$$

将标量分量代入方程\ ref {2.33} 得出标量乘积

$$\begin{split} \vec{F}_{1}\; \cdotp \vec{F}_{2} & = F_{1x}F_{2x} + F_{1y}F_{2y} + F_{1z}F_{2z} \\ & = (10.0\; N)(-15.0\; N) + (-20.4\; N)(0.0\; N) + (2.0\; N)(-6.2\; N) \\ & = -162.4\; N^{2} \ldotp \end{split}$$

最后，将所有内容代入方程\ ref {2.34} 可以得出角度

$$\cos \varphi = \frac{\vec{F}_{1}\; \cdotp \vec{F}_{2}}{F_{1}F_{2}} = \frac{-162.4\; N^{2}}{(22.8\; N)(16.2\; N)} = -0.439 \Rightarrow \varphi = \cos^{-1} (-0.439) = 116.0^{o} \ldotp$$

意义

请注意，当以轴的单位向量给出向量时，我们可以在不知道单位向量所代表的地理方向的细节的情况下找到它们之间的角度。 例如，在这里，+x 方向可能向东，+y 方向可能向北。 但是，如果 +x 方向向西而 +y 方向向南，则问题中力之间的角度是相同的。

练习 2.13

在示例$\vec{F}_{3}$中找到力与力$\vec{F}_{1}$之间的角度$\PageIndex{2}$。

示例$\PageIndex{3}$: The Work of a Force

当力$\vec{F}$拉动物体并导致其位移时$\vec{D}$，我们说力起作用。 力所做的劳动量是标量乘积$\vec{F}\; \cdotp \vec{D}$。 如果示例中的棍子暂时$\PageIndex{2}$移动并被向量$\vec{D}$ = (−7.9$\hat{j}$ − 4.2$\hat{k}$) cm 移动，则示例中第三只狗做了多少工作$\PageIndex{2}$？

策略

我们$\vec{D}$使用力向量$\vec{F}_{3}$ = (5.0$\hat{i}$ + 12.5$\hat{j}$) N 计算位移向量的标量乘积，这是来自第三只狗的拉力。 让我们用 W ₃ 来表示用力$\vec{F}_{3}$对位移所做的工作$\vec{D}$。

解决方案

计算工作是点积的简单应用：

$$\begin{split} W_{3} & = \vec{F}_{3}\; \cdotp \vec{D} = F_{3x}D_{x} + F_{3y}D_{y} + F_{3z}D_{z} \\ & = (5.0\; N)(0.0\; cm) + (12.5\; N)(-7.9\; cm) + (0.0\; N)(-4.2\; cm) \\ & = -98.7\; N\; \cdotp cm \ldotp \end{split}$$

意义

SI 工作单位叫焦耳 (J)，其中 1 J = 1 N · m。单位 cm · N 可以写成 10 ⁻² m · N = 10 ⁻² J，因此答案可以表示为 W ₃ = −0.9875 J β −1.0 J

练习 2.14

在示例中，第一只狗和第二只狗在示例中的位移$\PageIndex{2}$方面做了多少工作$\PageIndex{3}$？

贡献者和归因

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