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2.9: 向量的乘积（第 2 部分）

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    两个向量的向量乘积（交叉积）

    两个向量的向量乘法生成向量乘积。

    矢量乘积（交叉乘积）

    两个向量的向量\(\vec{A}\)乘积，\(\vec{B}\)用\(\vec{A}\) × 表示\(\vec{B}\)，通常被称为叉积。 向量积是一种方向垂直于两个向量\(\vec{A}\)和向量的向量\(\vec{B}\)。 换句话说，向量\(\vec{A}\) ×\(\vec{B}\) 垂直于包含向量的平面\(\vec{A}\)\(\vec{B}\)，如图所示\(\PageIndex{1}\)。 向量积的大小定义为

    \[ |\vec{A} × \vec{B}| = AB \sin \varphi, \label{2.35} \]

    其中\(\varphi\)，两个向量之间的角度是从矢量\(\vec{A}\)（乘积中的第一个向量）到矢量\(\vec{B}\)（乘积中的第二个向量）测量的，如图所示\(\PageIndex{1}\)，介于 0° 和 180° 之间。

    根据方程\ ref {2.35}，平行（\(\varphi\)= 0°）或反平行（= 180°）的向量对的向量积会消失，因为 sin 0° = sin 180° = 0。\(\varphi\)

    向量 A 指向外和向左，向量 B 指向外和向右。 它们之间的角度是 phi。 在图 a 中，我们显示了向量 C，它是 A 十字 B 的交叉积。向量 C 指向上且垂直于 A 和 B。在图 b 中，我们显示的是向量减去 C，即 B 交叉的叉积 A 向量减去 C 向下，垂直于 A 和 B。
    图\(\PageIndex{1}\)：两个向量的矢量乘积是在三维空间中绘制的。 (a) 向量乘积\(\vec{A} \times \vec{B}\)是垂直于平面的向量，其中包含向量\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)。 以透视方式绘制的小方块标记与之间\(\vec{A}\)以及与之间的\(\vec{B}\)直角\(\vec{C}\)，\(\vec{C}\)因此，如果\(\vec{A}\)和\(\vec{B}\)位于地板上，矢量垂直向上\(\vec{B}\)指向天花板。 (b) 向量乘积\(\vec{B} \times \vec{A}\)是与向量反平行的向量\(\vec{A} \times \vec{B}\)。

    在垂直于包含向量的平面的直线上\(\vec{A}\)，\(\vec{B}\)有两个替代方向（向上或向下，如图所示\(\PageIndex{1}\)），矢量积的方向可能是其中之一。 在标准右手方向下，向量之间的角度是从第一个向量逆时针测量的，向量\(\vec{A} \times \vec{B}\)指向上方，如图\(\PageIndex{1}\) (a) 所示。 如果我们反转乘法顺序，使现在乘积中排\(\vec{B}\)在第一位，则向量\(\vec{B} \times \vec{A}\)必须指向下方，如图\(\PageIndex{1}\) (b) 所示。 这意味着向量\(\vec{A} \times \vec{B}\)和彼此\(\vec{B} \times \vec{A}\)是反平行的，向量乘法不是可交换的，而是反交换的。 反交换特性意味着当乘法顺序相反时，矢量积会反转符号：

    \[\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} \ldotp \label{2.36}\]

    开瓶器右手法则是一种常用的助记词，用于确定向量乘积的方向。 如图所示\(\PageIndex{2}\)，开瓶器放置在垂直于包含向量\(\vec{A}\)和的平面的方向上\(\vec{B}\)，其手柄朝乘积中从第一个向量到第二个向量的方向旋转。 十字积的方向由开瓶器的进度给出。

    向量 A 指向外和向左，向量 B 指向外和向右。 在图 a 中，我们看到了 A 十字 B 指向上方、垂直于 A 和 B 的十字乘积。螺钉将 phi 从 A 转向 B 的角度会向上移动。 在图 b 中，我们看到了 B 交叉 A 指向下方、垂直于 A 和 B 的十字乘积。螺钉将 phi 从 B 转向 A 的角度会向下移动。
    图\(\PageIndex{2}\)：开瓶器右手定律可用于确定十字积的方向\(\vec{A} \times \vec{B}\)。 在垂直于包含向量和的平面的方向上放置一个开瓶器\(\vec{B}\)，\(\vec{A}\)然后将其朝乘积中从第一个向量到第二个向量的方向转动。 十字积的方向由开瓶器的进度给出。 (a) 向上移动意味着交叉积向量指向上方。 (b) 向下移动意味着交叉积向量指向下移动。
    示例\(\PageIndex{1}\): The Torque of a Force

    熟悉的工具（称为扳手）所提供的机械优势（图\(\PageIndex{3}\)）取决于施加力的大小F、其相对于扳手手柄的方向以及施加力离螺母的距离。 从螺母到附着力向量的\(\vec{F}\)点的距离 R 称为杠杆臂，由径向向量表示\(\vec{R}\)。 使螺母转动的物理矢量量称为扭矩（表示为\(\vec{\tau}\)），它是杠杆臂与力:的矢量乘积\(\vec{\tau} = \vec{R} \times \vec{F}\)。

    要松开生锈的螺母，在扳手手柄上施加20.00-N的力，角度\(\varphi\) = 40°，距离螺母0.25 m，如图\(\PageIndex{3}\) (a) 所示。 找出施加到螺母上的扭矩的大小和方向。 如果以角度\(\varphi\) = 45° 施加力，扭矩的大小和方向会是多少，如图\(\PageIndex{3}\) (b) 所示？ 对于哪个角度\(\varphi\)值，扭矩的最大幅度是多少？

    图 a：扳手夹住螺母。 在距离螺母中心 R 处向扳手施加力 F。 向量 R 是从螺母中心到施加力位置的向量。 力方向为 phi 角度，从向量 R 方向逆时针测量。图 b：扳手握住螺母。 在距离螺母中心 R 处向扳手施加力 F。 向量 R 是从螺母中心到施加力位置的向量。 力方向为 phi 角度，从向量 R 的方向顺时针测量
    图\(\PageIndex{3}\)：扳手在施加扭矩转动螺母方面具有抓地力和机械优势。 (a) 逆时针旋转以松开螺母。 (b) 顺时针旋转以拧紧螺母。

    策略

    我们采用图中所示的参考框架\(\PageIndex{3}\)，其中向量\(\vec{R}\)和\(\vec{F}\)位于 xy 平面中，原点位于螺母的位置。 沿向量的径向方向\(\vec{R}\)（指向远离原点）是测量角度的参考方向，\(\varphi\)因为\(\vec{R}\)是矢量积中的第一个向量\(\vec{\tau}\) =\(\vec{R} \times \vec{F}\)。 向量\(\vec{\tau}\)必须沿 z 轴放置，因为这是垂直于 xy 平面的轴，两者都\(\vec{R}\)\(\vec{F}\)位于其中。 为了计算大小\(\tau\)，我们使用方程\ ref {2.35}。 为了找出方向\(\vec{\tau}\)，我们使用开瓶器右手法则（图\(\PageIndex{2}\)）。

    解决方案

    对于 (a) 中的情况，开瓶器规则给出了 z 轴正方向的方向。\(\vec{R} \times \vec{F}\) 从物理上讲，这意味着扭矩矢量\(\vec{\tau}\)指向页外，垂直于扳手手柄。 我们确定 F = 20.00 N 和 R = 0.25 m，然后使用方程\ ref {2.35} 计算幅度：

    \[\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 40^{o} = 3.21\; N \cdotp m \ldotp\]

    对于 (b) 中的情况，开瓶器规则给出了 z 轴负方向的方向。\(\vec{R} \times \vec{F}\) 从物理上讲，这意味着矢量\(\vec{\tau}\)指向页面，垂直于扳手手柄。 这个扭矩的大小是

    \[\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 45^{o} = 3.53\; N \cdotp m \ldotp\]

    当 sin\(\varphi\) = 1 时，扭矩的值最大，这种情况发生在\(\varphi\) = 90° 时。 从物理上讲，这意味着当我们施加垂直于扳手手柄的力时，扳手最有效，为我们提供了最好的机械优势。 在本示例中，最佳扭矩值为\(\tau_{best}\) = RF = (0.25 m) (20.00 N) = 5.00 N • m。

    意义

    在解决力学问题时，我们通常根本不需要使用开瓶器规则，正如我们现在将在以下等效解决方案中看到的那样。 请注意，一旦我们确定向量\(\vec{R} \times \vec{F}\)位于 z 轴上，我们就可以用 z 轴的单位向量\(\hat{k}\)来写这个向量：

    \[\vec{R} \times \vec{F} = RF \sin \varphi \hat{k} \ldotp\]

    在此方程中，相乘的数字\(\hat{k}\)是向量的标量 z 分量\(\vec{R} \times \vec{F}\)。 在计算该分量时，必须注意从\(\vec{R}\)（第一个向量）到\(\vec{F}\)（第二个向量）逆时针测量角度\(\varphi\)。按照这个角度原理，我们得到 (a) 中情况的 RF sin (+ 40°) = + 3.2 N • m，然后得到 RF sin (−45°) = −3.5 N • m 表示 (b) 中的情况。 在后一种情况下，角度为负，因为图中的图表\(\PageIndex{3}\)表示角度是顺时针测量的；但是，逆时针测量该角度时会得到相同的结果，因为 + (360° − 45°) = + 315°，sin (+ 315°) = sin (−45°)。 通过这种方式，我们无需参考开瓶器规则即可获得解决方案。 对于 (a) 中的情况，解为\(\vec{R} \times \vec{F}\) = + 3.2 N • m\(\hat{k}\)；对于 (b) 中的情况，解为\(\vec{R} \times \vec{F}\) = −3.5 N • m\(\hat{k}\)。

    练习 2.15

    对于图 2.3.6 中给出的向量，找到向量乘积\(\vec{A} \times \vec{B}\)和\(\vec{C} \times \vec{F}\)。

    与点积（方程 2.8.10）类似，叉积具有以下分布特性：

    \[\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \ldotp \label{2.37}\]

    当向量以其分量形式（以笛卡尔轴的单位向量表示）时，经常应用分布特性。 当我们将交叉积方程\ ref {2.35} 的定义应用于单位向量\(\hat{i}\)\(\hat{j}\)\(\hat{k}\)，并定义空间中 x、y 和 z 方向的正向量时，我们发现

    \[\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0 \ldotp \label{2.38}\]

    这三个单位向量的所有其他交叉积必须是单位大小的向量\(\hat{i}\)，因为\(\hat{j}\)、和\(\hat{k}\)是正交的。 例如，对于 and\(\hat{i}\)\(\hat{j}\)，幅度为 |\(\hat{i} \times \hat{j}\) | = ij sin 90° = (1) (1) (1) (1) = 1。 矢量积的方向\(\hat{i} \times \hat{j}\)必须与 xy 平面正交，这意味着它必须沿 z 轴方向。 沿 z 轴的唯一单位向量是 −\(\hat{k}\) 或 +\(\hat{k}\)。 根据开瓶器规则，向量方向\(\hat{i} \times \hat{j}\)必须平行于 z 轴正向。 因此，乘\(\hat{i} \times \hat{j}\)法结果与 + 相同\(\hat{k}\)。 我们可以对剩下的单位向量对重复类似的推理。 这些乘法的结果是

    \[\begin{cases} \hat{i} \times \hat{j} = + \hat{k}, \\ \hat{j} \times \hat{k} = + \hat{i}, \\ \hat{k} \times \hat{i} = + \hat{j} \ldotp \end{cases} \label{2.39}\]

    请注意，在方程\ ref {2.39} 中，三个单位向量\(\hat{i}\)\(\hat{j}\)、和以图\(\PageIndex{4}\) (a) 图中所示的循环顺序\(\hat{k}\)出现。 循环顺序是指在乘积公式中，\(\hat{i}\)跟随\(\hat{k}\)并出现在之前\(\hat{j}\)，或者\(\hat{k}\)跟\(\hat{j}\)在前面\(\hat{i}\)，或者\(\hat{j}\)跟\(\hat{i}\)在前面\(\hat{k}\)。 两个不同单位向量的交叉积始终是第三个单位向量。 当交叉积中的两个单位向量以循环顺序出现时，这种乘法的结果是剩余的单位向量，如图\(\PageIndex{4}\) (b) 所示。 当叉积中的单位向量以不同的顺序出现时，结果是一个与剩余单位向量反平行的单位向量（即，结果带有负号，如图\(\PageIndex{4}\) (c) 和图\(\PageIndex{4}\) (d) 中的示例所示。 实际上，当任务是寻找以向量分量形式给出的向量的交叉积时，这个单位向量交叉乘法规则非常有用。

    图 a：显示了 x y z 坐标系的单位向量，即 I hat、j hat 和 k hat。 箭头表示从 I hat 到 j hat 再到 k hat 再到 I hat 再到 I hat 的顺序。 图 b：显示了 x y z 坐标系的单位向量，即 I hat、j hat 和 k hat。 我帽子等于 j hat cross k hat。j hat 等于 k hat cross 我帽子。k hat 等于我帽子 cross j hat 图 c：单位向量 I hat 和 j hat 以及指向下方的负 k hat 一起显示。 减去 k hat 等于 j hat cross i hat i 图 d：单位向量 I hat 和 k hat 以及指向左边的减去 j hat 一起显示。 减去 j hat 等于 i hat cross k hat。
    图\(\PageIndex{4}\)：(a) 坐标轴单位向量的循环顺序图。 (b) 单位向量以循环顺序出现的唯一交叉积。 这些产品有积极的迹象。 (c, d) 两个交叉积示例，其中单位向量不按循环顺序出现。 这些产品带有负面标志。

    假设我们想找到向量\(\vec{A}\) = A x\(\hat{i}\) + A y + A z\(\hat{k}\) 和\(\vec{B}\) = B x\(\hat{j}\) + B y\(\hat{i}\)\(\hat{j}\) + B z 的交叉积\(\hat{k}\)。\(\vec{A} \times \vec{B}\) 我们可以使用分布属性（方程\ ref {2.37}）、反交换属性（方程\ ref {2.36}）以及单位向量的方程\ ref {2.38} 和方程\ ref {2.39} 中的结果来执行以下代数：

    \[\begin{split} \vec{A} \times \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}\; \hat{i} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{y}\; \hat{j} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{z}\; \hat{k} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i} \times \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{i} \times \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \times \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j} \times \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \times \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k} \times \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k} \times \hat{k} \\ & = A_{x}B_{x}(0) + A_{x}B_{y}(+\hat{k}) + A_{x}B_{z}(-\hat{j}) \\ & + A_{y}B_{x}(-\hat{k}) + A_{y}B_{y}(0) + A_{y}B_{z}(+\hat{i}) \\ & + A_{z}B_{x}(+\hat{j}) + A_{z}B_{y}(- \hat{i}) + A_{z}B_{z}(0) \ldotp \end{split}\]

    在执行涉及交叉积的代数运算时，要非常小心地保持正确的乘法顺序，因为交叉积是反交换的。 要完成任务，我们还需要做的最后两个步骤是，首先，对包含公共单位向量的项进行分组，其次是分解。 通过这种方式，我们可以获得以下用于计算交叉积的非常有用的表达式：

    \[\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = (A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y})\; \hat{i} + (A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z})\; \hat{j} + (A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x})\; \hat{k} \ldotp \label{2.40}\]

    在此表达式中，交叉积向量的标量分量为

    \[\begin{cases} C_{x} = A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y}, \\ C_{y} = A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z}, \\ C_{z} = A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x} \ldotp \end{cases} \label{2.41}\]

    实际上，在求交叉积时，我们可以使用方程\ ref {2.35} 或方程\ ref {2.40}，这取决于其中哪一个在计算上似乎不那么复杂。 他们都得出了相同的最终结果。 确保最终结果是否正确的一种方法是同时使用它们。

    示例\(\PageIndex{2}\): A Particle in a Magnetic Field

    在磁场中移动时，某些粒子可能会受到磁力。 在不详细介绍的情况下（将在后面的章节中详细研究磁现象），让我们承认磁场\(\vec{B}\)是一个矢量，磁力\(\vec{F}\)是一个矢量，而粒\(\vec{u}\)子的速度是一个向量。 磁力矢量与速度向量与磁场矢量的向量乘积成正比，我们将其表示为\(\vec{F}\) =\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\)。 在这个方程中，常数\(\zeta\)负责物理单位的一致性，因此我们可以省略向量\(\vec{u}\)和上的物理单位\(\vec{B}\)。 在这个例子中，让我们假设常量\(\zeta\)为正。 在空间中移动的速度向量\(\vec{u}\) = −5.0\(\hat{i}\) − 2.0\(\hat{j}\) + 3.5 的粒子\(\hat{k}\)进入有磁场的区域并承受磁力。 在磁场矢量为 (a)\(\vec{B}\) = 7.2\(\hat{i}\) −\(\hat{j}\) − 2.4\(\hat{k}\) 和 (b)\(\vec{B}\) = 4.5 的区域的入口处找到该粒子\(\vec{F}\)上的磁力\(\hat{k}\)。 在每种情况下，求出磁力的幅度 F 以及力向量与给定磁场矢\(\vec{F}\)量形成的角度\(\theta\)\(\vec{B}\)。

    策略

    首先，我们要找到矢量积\(\vec{u} \times \vec{B}\)，因为这样我们就可以使用\(\vec{F}\) = 来确定磁力\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\)。 量级 F 可以通过使用分量 F =\(\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}\) 或直接使用方程\ ref {2.35} 计算幅度\(\vec{u} \times \vec{B}\) | | 来找到。 在后一种方法中，我们必须找到向量\(\vec{u}\)和之间的角度\(\vec{B}\)。 当我们有了时\(\vec{F}\)，求出方向角的一般方法\(\theta\)包括计算标量乘积\(\vec{F} \cdotp \vec{B}\)，然后将其替换为方程 2.8.13。 要计算向量积，我们可以使用方程\ ref {2.40} 或直接计算乘积，无论哪种方法更简单。

    解决方案

    速度向量的分量为 u x = −5.0、u y = −2.0 和 u z = 3.5。 (a) 磁场向量的分量为 B x = 7.2、B y = −1.0 和 B z = −2.4。 将它们代入方程\ ref {2.41} 可以得出向量的标量分量\(\vec{F} = \zeta \vec{u} \times \vec{B}\)：

    \[\begin{cases} F_{x} = \zeta (u_{y}B_{z} - u_{z}B_{y}) = \zeta [(-2.0)(-2.4) - (3.5)(-1.0)] = 8.3 \zeta \\ F_{y} = \zeta (u_{z}B_{x} - u_{x}B_{z}) = \zeta [(3.5)(7.2) - (-5.0)(-2.4)] = 13.2 \zeta \\ F_{z} = \zeta (u_{x}B_{y} - u_{y}B_{x}) = \zeta [(-5.0)(-1.0) - (-2.0)(7.2)] = 19.4 \zeta \end{cases}\]

    因此，磁力为\(\vec{F}\) =\(\zeta\) (8.3\(\hat{i}\) + 13.2\(\hat{j}\) + 19.4\(\hat{k}\))，其大小为

    \[F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(8.3)^{2} + (13.2)^{2} + (19.4)^{2}} = 24.9 \zeta \ldotp\]

    要计算角度\(\theta\)，我们可能需要找到磁场向量的大小

    \[B = \sqrt{B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2}} = \sqrt{(7.2)^{2} + (-1.0)^{2} + (-2.4)^{2}} = 7.6,\]

    和标量乘积\(\vec{F} \cdotp \vec{B}\)：

    \[\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (8.3 \zeta)(7.2) + (13.2 \zeta)(-1.0) + (19.4 \zeta)(-2.4) = \ldotp\]

    现在，代入方程式 2.8.13 可以得出角度\(\theta\)：

    \[\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdotp \vec{B}}{FB} = \frac{0}{(18.2 \zeta)(7.6)} = 0 \Rightarrow \theta = 90^{o} \ldotp\]

    因此，磁力矢量垂直于磁场矢量。 （如果我们早点计算标量乘积，我们本可以节省一些时间。）

    (b) 因为向量\(\vec{B}\) = 4.5\(\hat{k}\) 只有一个分量，所以我们可以快速执行代数并直接找到向量积：

    \[\begin{split} \vec{F} & = \zeta \vec{u} \times \vec{B} = \zeta (-5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 3.5 \hat{k}) \times (4.5 \hat{k}) \\ & = \zeta [(-5.0)(4.5) \hat{i} \times \hat{k} + (-2.0)(4.5) \hat{j} \times \hat{k} + (3.5)(4.5) \hat{k} \times \hat{k}] \\ & = \zeta [-22.5 (- \hat{j}) - 9.0 (+ \hat{i}) + 0] = \zeta (-9.0 \hat{i} + 22.5 \hat{j}) \ldotp \end{split}\]

    磁力的大小是

    \[F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(-9.0)^{2} + (22.5)^{2} + (0.0)^{2}} = 24.2 \zeta \ldotp\]

    因为标量乘积是

    \[\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (-9.0 \zeta)(90) + (22.5 \zeta)(0) + (0)(4.5) = 0,\]

    磁力矢\(\vec{F}\)量垂直于磁场矢量\(\vec{B}\)。

    意义

    即使没有实际计算标量乘积，我们也可以预测由于该向量的构造方式，磁力矢量必须始终垂直于磁场矢量。 也就是说，磁力矢量是矢量乘积\(\vec{F}\) =\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\)，根据向量乘积的定义（见图\(\PageIndex{1}\)），向量\(\vec{F}\)必须垂直于两个向量\(\vec{u}\)和\(\vec{B}\)。

    练习 2.16

    给定两个向量\(\vec{A} = - \hat{i} + \hat{j}\)和\(\vec{B}\) = 3\(\hat{i}\) −\(\hat{j}\)，求出 (a)\(\vec{A} \times \vec{B}\)、(b)\(\vec{A} \times (\vec{B}\) | |、(c)\(\vec{A}\) 和之间的角度\(\vec{B}\)，以及 (d)\(\vec{A} \times \vec{B}\) 和向量之间的角度\(\vec{C} = \hat{i} + \hat{k}\)。

    在本节的总结中，我们要强调的是 “点积” 和 “交叉积” 是完全不同的数学对象，具有不同的含义。 点积是标量；交叉积是向量。 后面的章节互换使用点积和标量积这两个术语。 同样，交叉积和向量积这两个术语可以互换使用。