2.9: 向量的乘积（第 2 部分）

两个向量的向量乘积（交叉积）

两个向量的向量乘法生成向量乘积。

矢量乘积（交叉乘积）

两个向量的向量$\vec{A}$乘积，$\vec{B}$用$\vec{A}$ × 表示$\vec{B}$，通常被称为叉积。 向量积是一种方向垂直于两个向量$\vec{A}$和向量的向量$\vec{B}$。 换句话说，向量$\vec{A}$ ×$\vec{B}$ 垂直于包含向量的平面$\vec{A}$$\vec{B}$，如图所示$\PageIndex{1}$。 向量积的大小定义为

$$|\vec{A} × \vec{B}| = AB \sin \varphi, \label{2.35}$$

其中$\varphi$，两个向量之间的角度是从矢量$\vec{A}$（乘积中的第一个向量）到矢量$\vec{B}$（乘积中的第二个向量）测量的，如图所示$\PageIndex{1}$，介于 0° 和 180° 之间。

根据方程\ ref {2.35}，平行（$\varphi$= 0°）或反平行（= 180°）的向量对的向量积会消失，因为 sin 0° = sin 180° = 0。$\varphi$

图$\PageIndex{1}$：两个向量的矢量乘积是在三维空间中绘制的。 (a) 向量乘积$\vec{A} \times \vec{B}$是垂直于平面的向量，其中包含向量$\vec{A}$和$\vec{B}$。 以透视方式绘制的小方块标记与之间$\vec{A}$以及与之间的$\vec{B}$直角$\vec{C}$，$\vec{C}$因此，如果$\vec{A}$和$\vec{B}$位于地板上，矢量垂直向上$\vec{B}$指向天花板。 (b) 向量乘积$\vec{B} \times \vec{A}$是与向量反平行的向量$\vec{A} \times \vec{B}$。

在垂直于包含向量的平面的直线上$\vec{A}$，$\vec{B}$有两个替代方向（向上或向下，如图所示$\PageIndex{1}$），矢量积的方向可能是其中之一。 在标准右手方向下，向量之间的角度是从第一个向量逆时针测量的，向量$\vec{A} \times \vec{B}$指向上方，如图$\PageIndex{1}$ (a) 所示。 如果我们反转乘法顺序，使现在乘积中排$\vec{B}$在第一位，则向量$\vec{B} \times \vec{A}$必须指向下方，如图$\PageIndex{1}$ (b) 所示。 这意味着向量$\vec{A} \times \vec{B}$和彼此$\vec{B} \times \vec{A}$是反平行的，向量乘法不是可交换的，而是反交换的。 反交换特性意味着当乘法顺序相反时，矢量积会反转符号：

$$\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} \ldotp \label{2.36}$$

开瓶器右手法则是一种常用的助记词，用于确定向量乘积的方向。 如图所示$\PageIndex{2}$，开瓶器放置在垂直于包含向量$\vec{A}$和的平面的方向上$\vec{B}$，其手柄朝乘积中从第一个向量到第二个向量的方向旋转。 十字积的方向由开瓶器的进度给出。

图$\PageIndex{2}$：开瓶器右手定律可用于确定十字积的方向$\vec{A} \times \vec{B}$。 在垂直于包含向量和的平面的方向上放置一个开瓶器$\vec{B}$，$\vec{A}$然后将其朝乘积中从第一个向量到第二个向量的方向转动。 十字积的方向由开瓶器的进度给出。 (a) 向上移动意味着交叉积向量指向上方。 (b) 向下移动意味着交叉积向量指向下移动。

示例$\PageIndex{1}$: The Torque of a Force

熟悉的工具（称为扳手）所提供的机械优势（图$\PageIndex{3}$）取决于施加力的大小F、其相对于扳手手柄的方向以及施加力离螺母的距离。 从螺母到附着力向量的$\vec{F}$点的距离 R 称为杠杆臂，由径向向量表示$\vec{R}$。 使螺母转动的物理矢量量称为扭矩（表示为$\vec{\tau}$），它是杠杆臂与力:的矢量乘积$\vec{\tau} = \vec{R} \times \vec{F}$。

要松开生锈的螺母，在扳手手柄上施加20.00-N的力，角度$\varphi$ = 40°，距离螺母0.25 m，如图$\PageIndex{3}$ (a) 所示。 找出施加到螺母上的扭矩的大小和方向。 如果以角度$\varphi$ = 45° 施加力，扭矩的大小和方向会是多少，如图$\PageIndex{3}$ (b) 所示？ 对于哪个角度$\varphi$值，扭矩的最大幅度是多少？

图$\PageIndex{3}$：扳手在施加扭矩转动螺母方面具有抓地力和机械优势。 (a) 逆时针旋转以松开螺母。 (b) 顺时针旋转以拧紧螺母。

策略

我们采用图中所示的参考框架$\PageIndex{3}$，其中向量$\vec{R}$和$\vec{F}$位于 xy 平面中，原点位于螺母的位置。 沿向量的径向方向$\vec{R}$（指向远离原点）是测量角度的参考方向，$\varphi$因为$\vec{R}$是矢量积中的第一个向量$\vec{\tau}$ =$\vec{R} \times \vec{F}$。 向量$\vec{\tau}$必须沿 z 轴放置，因为这是垂直于 xy 平面的轴，两者都$\vec{R}$$\vec{F}$位于其中。 为了计算大小$\tau$，我们使用方程\ ref {2.35}。 为了找出方向$\vec{\tau}$，我们使用开瓶器右手法则（图$\PageIndex{2}$）。

解决方案

对于 (a) 中的情况，开瓶器规则给出了 z 轴正方向的方向。$\vec{R} \times \vec{F}$ 从物理上讲，这意味着扭矩矢量$\vec{\tau}$指向页外，垂直于扳手手柄。 我们确定 F = 20.00 N 和 R = 0.25 m，然后使用方程\ ref {2.35} 计算幅度：

$$\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 40^{o} = 3.21\; N \cdotp m \ldotp$$

对于 (b) 中的情况，开瓶器规则给出了 z 轴负方向的方向。$\vec{R} \times \vec{F}$ 从物理上讲，这意味着矢量$\vec{\tau}$指向页面，垂直于扳手手柄。 这个扭矩的大小是

$$\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 45^{o} = 3.53\; N \cdotp m \ldotp$$

当 sin$\varphi$ = 1 时，扭矩的值最大，这种情况发生在$\varphi$ = 90° 时。 从物理上讲，这意味着当我们施加垂直于扳手手柄的力时，扳手最有效，为我们提供了最好的机械优势。 在本示例中，最佳扭矩值为$\tau_{best}$ = RF = (0.25 m) (20.00 N) = 5.00 N • m。

意义

在解决力学问题时，我们通常根本不需要使用开瓶器规则，正如我们现在将在以下等效解决方案中看到的那样。 请注意，一旦我们确定向量$\vec{R} \times \vec{F}$位于 z 轴上，我们就可以用 z 轴的单位向量$\hat{k}$来写这个向量：

$$\vec{R} \times \vec{F} = RF \sin \varphi \hat{k} \ldotp$$

在此方程中，相乘的数字$\hat{k}$是向量的标量 z 分量$\vec{R} \times \vec{F}$。 在计算该分量时，必须注意从$\vec{R}$（第一个向量）到$\vec{F}$（第二个向量）逆时针测量角度$\varphi$。按照这个角度原理，我们得到 (a) 中情况的 RF sin (+ 40°) = + 3.2 N • m，然后得到 RF sin (−45°) = −3.5 N • m 表示 (b) 中的情况。 在后一种情况下，角度为负，因为图中的图表$\PageIndex{3}$表示角度是顺时针测量的；但是，逆时针测量该角度时会得到相同的结果，因为 + (360° − 45°) = + 315°，sin (+ 315°) = sin (−45°)。 通过这种方式，我们无需参考开瓶器规则即可获得解决方案。 对于 (a) 中的情况，解为$\vec{R} \times \vec{F}$ = + 3.2 N • m$\hat{k}$；对于 (b) 中的情况，解为$\vec{R} \times \vec{F}$ = −3.5 N • m$\hat{k}$。

练习 2.15

对于图 2.3.6 中给出的向量，找到向量乘积$\vec{A} \times \vec{B}$和$\vec{C} \times \vec{F}$。

与点积（方程 2.8.10）类似，叉积具有以下分布特性：

$$\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \ldotp \label{2.37}$$

当向量以其分量形式（以笛卡尔轴的单位向量表示）时，经常应用分布特性。 当我们将交叉积方程\ ref {2.35} 的定义应用于单位向量$\hat{i}$$\hat{j}$$\hat{k}$，并定义空间中 x、y 和 z 方向的正向量时，我们发现

$$\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0 \ldotp \label{2.38}$$

这三个单位向量的所有其他交叉积必须是单位大小的向量$\hat{i}$，因为$\hat{j}$、和$\hat{k}$是正交的。 例如，对于 and$\hat{i}$$\hat{j}$，幅度为 |$\hat{i} \times \hat{j}$ | = ij sin 90° = (1) (1) (1) (1) = 1。 矢量积的方向$\hat{i} \times \hat{j}$必须与 xy 平面正交，这意味着它必须沿 z 轴方向。 沿 z 轴的唯一单位向量是 −$\hat{k}$ 或 +$\hat{k}$。 根据开瓶器规则，向量方向$\hat{i} \times \hat{j}$必须平行于 z 轴正向。 因此，乘$\hat{i} \times \hat{j}$法结果与 + 相同$\hat{k}$。 我们可以对剩下的单位向量对重复类似的推理。 这些乘法的结果是

$$\begin{cases} \hat{i} \times \hat{j} = + \hat{k}, \\ \hat{j} \times \hat{k} = + \hat{i}, \\ \hat{k} \times \hat{i} = + \hat{j} \ldotp \end{cases} \label{2.39}$$

请注意，在方程\ ref {2.39} 中，三个单位向量$\hat{i}$$\hat{j}$、和以图$\PageIndex{4}$ (a) 图中所示的循环顺序$\hat{k}$出现。 循环顺序是指在乘积公式中，$\hat{i}$跟随$\hat{k}$并出现在之前$\hat{j}$，或者$\hat{k}$跟$\hat{j}$在前面$\hat{i}$，或者$\hat{j}$跟$\hat{i}$在前面$\hat{k}$。 两个不同单位向量的交叉积始终是第三个单位向量。 当交叉积中的两个单位向量以循环顺序出现时，这种乘法的结果是剩余的单位向量，如图$\PageIndex{4}$ (b) 所示。 当叉积中的单位向量以不同的顺序出现时，结果是一个与剩余单位向量反平行的单位向量（即，结果带有负号，如图$\PageIndex{4}$ (c) 和图$\PageIndex{4}$ (d) 中的示例所示。 实际上，当任务是寻找以向量分量形式给出的向量的交叉积时，这个单位向量交叉乘法规则非常有用。

图$\PageIndex{4}$：(a) 坐标轴单位向量的循环顺序图。 (b) 单位向量以循环顺序出现的唯一交叉积。 这些产品有积极的迹象。 (c, d) 两个交叉积示例，其中单位向量不按循环顺序出现。 这些产品带有负面标志。

假设我们想找到向量$\vec{A}$ = A _x$\hat{i}$ + A _y + A _z$\hat{k}$ 和$\vec{B}$ = B _x$\hat{j}$ + B _y$\hat{i}$$\hat{j}$ + B _z 的交叉积$\hat{k}$。$\vec{A} \times \vec{B}$ 我们可以使用分布属性（方程\ ref {2.37}）、反交换属性（方程\ ref {2.36}）以及单位向量的方程\ ref {2.38} 和方程\ ref {2.39} 中的结果来执行以下代数：

$$\begin{split} \vec{A} \times \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}\; \hat{i} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{y}\; \hat{j} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{z}\; \hat{k} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i} \times \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{i} \times \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \times \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j} \times \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \times \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k} \times \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k} \times \hat{k} \\ & = A_{x}B_{x}(0) + A_{x}B_{y}(+\hat{k}) + A_{x}B_{z}(-\hat{j}) \\ & + A_{y}B_{x}(-\hat{k}) + A_{y}B_{y}(0) + A_{y}B_{z}(+\hat{i}) \\ & + A_{z}B_{x}(+\hat{j}) + A_{z}B_{y}(- \hat{i}) + A_{z}B_{z}(0) \ldotp \end{split}$$

在执行涉及交叉积的代数运算时，要非常小心地保持正确的乘法顺序，因为交叉积是反交换的。 要完成任务，我们还需要做的最后两个步骤是，首先，对包含公共单位向量的项进行分组，其次是分解。 通过这种方式，我们可以获得以下用于计算交叉积的非常有用的表达式：

$$\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = (A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y})\; \hat{i} + (A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z})\; \hat{j} + (A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x})\; \hat{k} \ldotp \label{2.40}$$

在此表达式中，交叉积向量的标量分量为

$$\begin{cases} C_{x} = A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y}, \\ C_{y} = A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z}, \\ C_{z} = A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x} \ldotp \end{cases} \label{2.41}$$

实际上，在求交叉积时，我们可以使用方程\ ref {2.35} 或方程\ ref {2.40}，这取决于其中哪一个在计算上似乎不那么复杂。 他们都得出了相同的最终结果。 确保最终结果是否正确的一种方法是同时使用它们。

示例$\PageIndex{2}$: A Particle in a Magnetic Field

在磁场中移动时，某些粒子可能会受到磁力。 在不详细介绍的情况下（将在后面的章节中详细研究磁现象），让我们承认磁场$\vec{B}$是一个矢量，磁力$\vec{F}$是一个矢量，而粒$\vec{u}$子的速度是一个向量。 磁力矢量与速度向量与磁场矢量的向量乘积成正比，我们将其表示为$\vec{F}$ =$\zeta \vec{u} \times \vec{B}$。 在这个方程中，常数$\zeta$负责物理单位的一致性，因此我们可以省略向量$\vec{u}$和上的物理单位$\vec{B}$。 在这个例子中，让我们假设常量$\zeta$为正。 在空间中移动的速度向量$\vec{u}$ = −5.0$\hat{i}$ − 2.0$\hat{j}$ + 3.5 的粒子$\hat{k}$进入有磁场的区域并承受磁力。 在磁场矢量为 (a)$\vec{B}$ = 7.2$\hat{i}$ −$\hat{j}$ − 2.4$\hat{k}$ 和 (b)$\vec{B}$ = 4.5 的区域的入口处找到该粒子$\vec{F}$上的磁力$\hat{k}$。 在每种情况下，求出磁力的幅度 F 以及力向量与给定磁场矢$\vec{F}$量形成的角度$\theta$$\vec{B}$。

策略

首先，我们要找到矢量积$\vec{u} \times \vec{B}$，因为这样我们就可以使用$\vec{F}$ = 来确定磁力$\zeta \vec{u} \times \vec{B}$。 量级 F 可以通过使用分量 F =$\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}$ 或直接使用方程\ ref {2.35} 计算幅度$\vec{u} \times \vec{B}$ | | 来找到。 在后一种方法中，我们必须找到向量$\vec{u}$和之间的角度$\vec{B}$。 当我们有了时$\vec{F}$，求出方向角的一般方法$\theta$包括计算标量乘积$\vec{F} \cdotp \vec{B}$，然后将其替换为方程 2.8.13。 要计算向量积，我们可以使用方程\ ref {2.40} 或直接计算乘积，无论哪种方法更简单。

解决方案

速度向量的分量为 u _x = −5.0、u _y = −2.0 和 u _z = 3.5。 (a) 磁场向量的分量为 B _x = 7.2、B _y = −1.0 和 B _z = −2.4。 将它们代入方程\ ref {2.41} 可以得出向量的标量分量$\vec{F} = \zeta \vec{u} \times \vec{B}$：

$$\begin{cases} F_{x} = \zeta (u_{y}B_{z} - u_{z}B_{y}) = \zeta [(-2.0)(-2.4) - (3.5)(-1.0)] = 8.3 \zeta \\ F_{y} = \zeta (u_{z}B_{x} - u_{x}B_{z}) = \zeta [(3.5)(7.2) - (-5.0)(-2.4)] = 13.2 \zeta \\ F_{z} = \zeta (u_{x}B_{y} - u_{y}B_{x}) = \zeta [(-5.0)(-1.0) - (-2.0)(7.2)] = 19.4 \zeta \end{cases}$$

因此，磁力为$\vec{F}$ =$\zeta$ (8.3$\hat{i}$ + 13.2$\hat{j}$ + 19.4$\hat{k}$)，其大小为

$$F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(8.3)^{2} + (13.2)^{2} + (19.4)^{2}} = 24.9 \zeta \ldotp$$

要计算角度$\theta$，我们可能需要找到磁场向量的大小

$$B = \sqrt{B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2}} = \sqrt{(7.2)^{2} + (-1.0)^{2} + (-2.4)^{2}} = 7.6,$$

和标量乘积$\vec{F} \cdotp \vec{B}$：

$$\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (8.3 \zeta)(7.2) + (13.2 \zeta)(-1.0) + (19.4 \zeta)(-2.4) = \ldotp$$

现在，代入方程式 2.8.13 可以得出角度$\theta$：

$$\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdotp \vec{B}}{FB} = \frac{0}{(18.2 \zeta)(7.6)} = 0 \Rightarrow \theta = 90^{o} \ldotp$$

因此，磁力矢量垂直于磁场矢量。 （如果我们早点计算标量乘积，我们本可以节省一些时间。）

(b) 因为向量$\vec{B}$ = 4.5$\hat{k}$ 只有一个分量，所以我们可以快速执行代数并直接找到向量积：

$$\begin{split} \vec{F} & = \zeta \vec{u} \times \vec{B} = \zeta (-5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 3.5 \hat{k}) \times (4.5 \hat{k}) \\ & = \zeta [(-5.0)(4.5) \hat{i} \times \hat{k} + (-2.0)(4.5) \hat{j} \times \hat{k} + (3.5)(4.5) \hat{k} \times \hat{k}] \\ & = \zeta [-22.5 (- \hat{j}) - 9.0 (+ \hat{i}) + 0] = \zeta (-9.0 \hat{i} + 22.5 \hat{j}) \ldotp \end{split}$$

磁力的大小是

$$F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(-9.0)^{2} + (22.5)^{2} + (0.0)^{2}} = 24.2 \zeta \ldotp$$

因为标量乘积是

$$\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (-9.0 \zeta)(90) + (22.5 \zeta)(0) + (0)(4.5) = 0,$$

磁力矢$\vec{F}$量垂直于磁场矢量$\vec{B}$。

意义

即使没有实际计算标量乘积，我们也可以预测由于该向量的构造方式，磁力矢量必须始终垂直于磁场矢量。 也就是说，磁力矢量是矢量乘积$\vec{F}$ =$\zeta \vec{u} \times \vec{B}$，根据向量乘积的定义（见图$\PageIndex{1}$），向量$\vec{F}$必须垂直于两个向量$\vec{u}$和$\vec{B}$。

练习 2.16

给定两个向量$\vec{A} = - \hat{i} + \hat{j}$和$\vec{B}$ = 3$\hat{i}$ −$\hat{j}$，求出 (a)$\vec{A} \times \vec{B}$、(b)$\vec{A} \times (\vec{B}$ | |、(c)$\vec{A}$ 和之间的角度$\vec{B}$，以及 (d)$\vec{A} \times \vec{B}$ 和向量之间的角度$\vec{C} = \hat{i} + \hat{k}$。

在本节的总结中，我们要强调的是 “点积” 和 “交叉积” 是完全不同的数学对象，具有不同的含义。 点积是标量；交叉积是向量。 后面的章节互换使用点积和标量积这两个术语。 同样，交叉积和向量积这两个术语可以互换使用。

贡献者

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