10.1：使用平方根属性求解二次方程

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• $ax^2=k$使用平方根属性求解形式的二次方程
• $a(x−h)^2=k$使用平方根属性求解形式的二次方程

在@@ 开始之前，请参加这个准备测验。

1. 简化：$\sqrt{75}$。
2. 简化：$\sqrt{\dfrac{64}{3}}$
3. 因子：$4x^{2} − 12x + 9$。

二次方程是形式的方程式$ax^{2} + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。 它们与线性方程的不同之处在于，它们包含一个将变量提高到二次幂的项。 我们使用与线性方程不同的方法来求解二次方程 s，因为仅仅相加、减去、乘和除项并不能隔离变量。

我们已经看到，一些二次方程可以通过分解来求解。 在本章中，我们将使用其他三种方法来求解二次方程。

$ax^2=k$使用平方根属性求解形式的二次方程

我们已经通过分解求解了一些二次方程。 让我们回顾一下我们是如何使用分解来求解二次方程的$x^{2} = 9$。

$$\begin{array}{ll} {}&{x^2=9}\\ {\text{Put the equation in standard form.}}&{x^2−9=0}\\ {\text{Factor the left side.}}&{(x - 3)(x + 3) = 0}\\ {\text{Use the Zero Product Property.}}&{(x - 3) = 0, (x + 3) = 0}\\ {\text{Solve each equation.}}&{x = 3, x = -3}\\ {\text{Combine the two solutions into} \pm \text{form}}&{x=\pm 3}\\ \nonumber \end{array}$$

（解读$x$为 “等于正或负”$3$。）

我们可以很容易地使用因子分解来找到相似方程的解，比如$x^{2}=16$和$x^{2} = 25$，因为$16$和$25$是完美的正方形。 但是当我们有这样的方程式时会发生什么$x^{2}=7$？ 由于$7$不是完美的正方形，因此我们无法通过分解来求解方程。

这些方程都是形式上的$x^{2}=k$。
我们用这种方式定义了数字的平方根：

如果$n^{2} = m$，$n$则为的平方根$m$。

这就产生了平方根属性。

定义：平方根属性

如果$x^{2}=k$、和$k \geq 0$、然后$x = \sqrt{k}$或$x = -\sqrt{k}$。

请注意，平方根属性为形式的方程给出了两个解$x^2=k$：k 的主平方根及其对立面。 我们也可以将解决方案写成$x=\pm \sqrt{k}$

现在，我们将$x^{2} = 9$再次求解方程，这次是使用平方根属性。

$$\begin{array}{ll} {}&{x^{2} = 9}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{x = \pm\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify the radical.}}&{x = \pm 3}\\ {\text{Rewrite to show the two solutions.}}&{x = 3, x = −3}\\ \nonumber \end{array}$$

当常量不是完美正方形时会发生什么？ 让我们使用平方根属性来求解方程$x^2=7$。

$$\begin{array} {ll} {\text{Use the Square Root Property. }}&{x = \pm\sqrt{7}}\\ {\text{Rewrite to show two solutions.}}&{x = \sqrt{7}, x = −\sqrt{7}}\\ {\text{We cannot simplify} \sqrt{7} \text{ so we leave the answer as a radical.}}&{}\\ \nonumber \end{array}$$

示例$\PageIndex{1}$

解决：$x^{2} = 169$

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{x^2=169}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{x=\pm\sqrt{169}}\\ {\text{Simplify the radical.}}&{x = \pm13}\\{\text{Rewrite to show two solutions.}}&{x = 13, x = −13}\\ \nonumber \end{array}$$

示例$\PageIndex{2}$

解决：$x^2=81$

回答

x=9，x=−9

示例$\PageIndex{3}$

解决：$y^{2} = 121$

回答

y = 11，y = −11

如何$ax^{2} = k$使用平方根属性求解这种形式的二次方程

示例$\PageIndex{4}$

解决：$x^{2} − 48 = 0$

回答

示例$\PageIndex{5}$

解决：$x^{2} − 50 = 0$

回答

$x = 5\sqrt{2}, x = −5\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{6}$

解决：$y^{2} − 27 = 0$

回答

$y = 3\sqrt{3}, x = −3\sqrt{3}$

定义：使用平方根属性求解二次方程。

1. 分离二次项并将其系数设为一。
2. 使用平方根属性。
3. 简化激进。
4. 检查解决方案。

要使用平方根属性，变量项的系数必须等于 1。 在下一个示例中，在使用平方根属性之前，我们必须将方程的两边除以 5。

示例$\PageIndex{7}$

解决：$5m^2=80$

回答

二次项是孤立的。		$5m^2=80$
除以 5 得出 cofficient 1。		$\frac{5m^2}{5}=\frac{80}{5}$
简化。		$m^2=16$
使用平方根属性。		$m=\pm\sqrt{16}$
简化激进。		$m=\pm 4$
重写以显示两个解决方案。		m=4，m=−4
检查解决方案。

示例$\PageIndex{8}$

解决：$2x^2=98$。

回答

x=7，x=−7

示例$\PageIndex{9}$

解决：$3z^2=108$。

回答

z=6，z=−6

平方根属性以表示 “$x^2=k$If an$k\ge 0$ d” 开头。 如果会发生什么$k<0$？ 在下一个示例中，情况将如此。

示例$\PageIndex{10}$

解决：$q^2+24=0$。

回答

$$\begin{array}{ll} {}&{q^2=24}\\ {\text{Isolate the quadratic term.}}&{q^2=−24}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{q=\pm\sqrt{-24}}\\ {\text{The} \sqrt{-24} \text{is not a real number}}& {\text{There is no real solution}}\\ \nonumber \end{array}$$

示例$\PageIndex{11}$

解决：$c^2+12=0$。

回答

没有真正的解决方案

示例$\PageIndex{12}$

解决：$d^2+81=0$。

回答

没有真正的解决方案

请记住，我们首先分离二次项，然后使系数等于一。

示例$\PageIndex{13}$

解决：$\frac{2}{3}u^2+5=17$。

回答

		$\frac{2}{3}u^2+5=17$
分离二次项。		$\frac{2}{3}u^2=12$
乘$\frac{3}{2}$以得出系数 1。		$\frac{3}{2}·\frac{2}{3}u^2=\frac{3}{2}·12$
简化。		$u^2=18$
使用平方根属性。		$u=\pm\sqrt{18}$
简化激进。		$u=\pm\sqrt{9}\sqrt{2}$
简化。		$u=\pm3\sqrt{2}$
重写以显示两个解决方案。		$u=3\sqrt{2}$，$u=−3\sqrt{2}$
查看。

示例$\PageIndex{14}$

解决：$\frac{1}{2}x^2+4=24$

回答

$x=2\sqrt{10}$，$x=−2\sqrt{10}$

示例$\PageIndex{15}$

解决：$\frac{3}{4}y^2−3=18$。

回答

$y=2\sqrt{7}$，$y=−2\sqrt{7}$

某些方程的解在自由基内部可能有分数。 当这种情况发生时，我们必须使分母合理化。

示例$\PageIndex{16}$

解决：$2c^2−4=45$。

回答

		$2c^2−4=45$
分离二次项。		$2c^2=49$
除以 2 得出系数 1。		$\frac{2c^2}{2}=\frac{49}{2}$
简化。		$c^2=\frac{49}{2}$
使用平方根属性。		$c=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}}$
简化激进。		$c=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}}$
合理化分母。		$c=\pm\frac{\sqrt{49}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}$
简化。		$c=\pm\frac{7\sqrt{2}}{2}$
重写以显示两个解决方案。		$c=\frac{7\sqrt{2}}{2}$，$c=−\frac{7\sqrt{2}}{2}$
查看。 我们把支票留给你。

示例$\PageIndex{17}$

解决：$5r^2−2=34$。

回答

$r=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$r=−\frac{6\sqrt{5}}{5}$

示例$\PageIndex{18}$

解决：$3t^2+6=70$。

回答

$t=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，$t=−\frac{8\sqrt{3}}{3}$

$a(x-h)^2=k$使用平方根属性求解形式的二次方程

我们也可以使用平方根属性来求解方程。$(x−3)^2=16$ 我们将整个二项式 (x−3) 视为二次项。

示例$\PageIndex{19}$

解决：$(x−3)^2=16$。

回答

		$(x−3)^2=16$
使用平方根属性。		$x−3=\pm\sqrt{16}$
简化。		$x−3=\pm 4$
写成两个方程式。		$x−3=4$，$x−3=−4$
解决。		x=7，x=−1
查看。

示例$\PageIndex{20}$

解决：$(q+5)^2=1$。

回答

q=−6，q=−4

示例$\PageIndex{21}$

解决：$(r−3)^2=25$。

回答

r=8，r=−2

示例$\PageIndex{22}$

解决：$(y−7)^2=12$。

回答

		$(y−7)^2=12$。
使用平方根属性。		$y−7=\pm\sqrt{12}$
简化激进。		$y−7=\pm2\sqrt{3}$
求解 y。		$y=7\pm2\sqrt{3}$
重写以显示两个解决方案。		$y=7+2\sqrt{3}$，$y=7−2\sqrt{3}$
查看。

示例$\PageIndex{23}$

解决：$(a−3)^2=18$。

回答

$a=3+3\sqrt{2}$，$a=3−3\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{24}$

解决：$(b+2)^2=40$。

回答

$b=−2+2\sqrt{10}$，$b=−2−2\sqrt{10}$

记住，当我们取分数的平方根时，我们可以分别取分子和分母的平方根。

示例$\PageIndex{25}$

解决：$(x−\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$。

回答

		$(x−\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$
使用平方根属性。		$(x−\frac{1}{2})=\pm\sqrt\frac{5}{4}$
将基数重写为平方根的分数。		$(x−\frac{1}{2})=\pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$
简化激进。		$(x−\frac{1}{2})=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
求解 x。		$x=\frac{1}{2}+\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
重写以显示两个解决方案。		$x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x=\frac{1}{2}−\frac{\sqrt{5}}{2}$
查看。 我们把支票留给你

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示例$\PageIndex{26}$

解决：$(x−\frac{1}{3})^2=\frac{5}{9}$。

回答

$x=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}$，$x=\frac{1}{3}−\frac{\sqrt{5}}{3}$

示例$\PageIndex{27}$

解决：$(y−\frac{3}{4})^2=\frac{7}{16}$。

回答

$y=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}$,$y=\frac{3}{4}−\frac{\sqrt{7}}{4}$,

我们将通过隔离二项式来开始下一个示例的解。

示例$\PageIndex{28}$

解决：$(x−2)^2+3=30$。

回答

		$(x−2)^2+3=30$
分离二项式项。		$(x−2)^2=27$
使用平方根属性。		$x−2=\pm\sqrt{27}$
简化激进。		$x−2=\pm3\sqrt{3}$
求解 x。		$x=2+\pm3\sqrt{3}$
$x−2=\pm3\sqrt{3}$		$x=2+3\sqrt{3}$，$x=2−3\sqrt{3}$
查看。 我们把支票留给你

示例$\PageIndex{29}$

解决：$(a−5)^2+4=24$。

回答

$a=5+2\sqrt{5}$，$a=5−2\sqrt{5}$

示例$\PageIndex{30}$

解决：$(b−3)^2−8=24$。

回答

$b=3+4\sqrt{2}$，$b=3−4\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{31}$

解决：$(3v−7)^2=−12$。

回答

		$(3v−7)^2=−12$
使用平方根属性。		$3v−7=\pm\sqrt{−12}$
$\sqrt{−12}$不是实数。		没有真正的解决方案。

示例$\PageIndex{32}$

解决：$(3r+4)^2=−8$。

回答

没有真正的解决方案

在接下来的两个例子中，方程的左边似乎不是这种形式$a(x−h)^2$。 但是它们是完美的正方三项式，所以我们会考虑把它们变成我们需要的形式。

示例$\PageIndex{33}$

解决：$p^2−10p+25=18$。

回答

方程的左侧是一个完美的方形三项式。 我们将首先将其考虑在内。

		$p^2−10p+25=18$
将完美的正方三项式分解出来。		$(p−5)^2=18$
使用平方根属性。		$p−5=\pm\sqrt{18}$
简化激进。		$p−5=\pm3\sqrt{2}$
求解 p。		$p=5\pm3\sqrt{2}$
重写以显示两个解决方案。		$p=5+3\sqrt{2}$，$p=5−3\sqrt{2}$
查看。 我们把支票留给你。

示例$\PageIndex{34}$

解决：$x^2−6x+9=12$。

回答

$x=3+2\sqrt{3}$，$x=3−2\sqrt{3}$

示例$\PageIndex{35}$

解决：$y^2+12y+36=32$。

回答

$y=−6+4\sqrt{2}$，$y=−6−4\sqrt{2}$

示例$\PageIndex{36}$

解决：$4n^2+4n+1=16$。

回答

同样，我们注意到方程的左侧是一个完美的方形三项式。 我们将首先将其考虑在内。

		$4n^2+4n+1=16$
将完美的正方三项式分解出来。		$(2n+1)^2=16$
使用平方根属性。		$(2n+1)=\pm\sqrt{16}$
简化激进。		$(2n+1)=\pm4$
求解 n。		$2n=−1\pm4$
将每边除以 2。		$\frac{2n}{2}=\frac{−1\pm4}{2}$ $n=\frac{−1\pm4}{2}$
重写以显示两个解决方案。		$n=\frac{−1+4}{2}$，$n=\frac{−1−4}{2}$
简化每个方程。		$n=\frac{3}{2}$，$n=−\frac{5}{2}$
查看。

示例$\PageIndex{37}$

解决：$9m^2−12m+4=25$。

回答

$m=\frac{7}{3}$，$m=−1$

示例$\PageIndex{38}$

解决：$16n^2+40n+25=4$。

回答

$n=−\frac{3}{4}$, $n=−\frac{7}{4}$

访问以下在线资源，获取有关求解二次方程的更多指导和练习：

• 求解二次方程：取平方根求解
• 使用平方根求解二次方程
• 求解二次方程：平方根法

关键概念

• 平方根属性 I
  f$x^2=k$、and$k\ge 0$、then$x=\sqrt{k}$ or$x=−\sqrt{k}$。

词汇表

二次方程

二次方程是形式$ax^2+bx+c=0$为 where 的方程$a \ne 0$。

平方根属性

平方根属性指出 if、an$x^2=k$ d$k\ge 0$、then$x=\sqrt{k}$ or$x=−\sqrt{k}$。