9.6: 用平方根求解方程

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 求解激进方程
• 在应用程序中使用平方根

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 简化：ⓐ$\sqrt{9}$ ⓑ$9^2$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 9.1.1 和练习 1.3.22。
2. 求解：5 (x+1) −4=3 (2x−7)。
   如果您错过了此问题，请查看练习 2.4.16。
3. 解决：$n^2−6n+8=0$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 7.6.13。

求解激进方程

在本节中，我们将求解以平方根的基数为变量的方程。 这种类型的方程称为激进方程。

定义：激进方程

变量位于平方根的基数中的方程称为激进方程。

像往常一样，在求解这些方程时，我们对方程的一侧所做的事情也必须对另一侧做的事情。 由于求平量和取平方根是 “相反的” 运算，因此我们将对两边进行平方，以移除激进符号并求解内部变量。

但是请记住，当我们写作时，$\sqrt{a}$我们指的是主平方根。 所以$\sqrt{a} \ge 0$总是这样。 当我们通过将两边求平来求解激进方程时，我们可能会得到一个代数解，该解会为$\sqrt{a}$负数。 这个代数解不是原始激进方程的解；它是一个无关的解。 当我们求解有理方程时，我们也看到了无关的解。

示例$\PageIndex{1}$

对于方程式$\sqrt{x+2}=x$：

1. x=2 是解决方案吗？
2. x=−1 是一个解决方案吗？

回答

1。 x=2 是解决方案吗？

假设 x = 2。
简化。
	2 是一个解决方案。

2。 x=−1 是一个解决方案吗？

假设 x = −1。
简化。
	−1 不是解。
	−1 是方程的外来解。

示例$\PageIndex{2}$

对于方程式$\sqrt{x+6}=x$：

1. x=−2 是解决方案吗？
2. x=3 是解决方案吗？

回答

1. 不
2. 是的

示例$\PageIndex{3}$

对于方程式$\sqrt{−x+2}=x$：

1. x=−2 是解决方案吗？
2. x=1 是解决方案吗？

回答

1. 不
2. 是的

现在我们将看看如何求解激进方程。 我们的策略基于取平方根和平方之间的关系。

对于$a \ge 0$，$(\sqrt{a})^2=a$

如何求解激进方程

示例$\PageIndex{4}$

解决：$\sqrt{2x−1}=7$

回答

示例$\PageIndex{5}$

解决：$\sqrt{3x−5}=5$。

回答

10

示例$\PageIndex{6}$

解决：$\sqrt{4x+8}=6$。

回答

7

定义：求解激进方程。

1. 分离方程一侧的自由基。
2. 对方程的两边进行平方。
3. 求解新方程。
4. 检查答案。

示例$\PageIndex{7}$

解决：$\sqrt{5n−4}−9=0$。

回答

要隔离激进分子，请在两边加上 9。
简化。
对方程的两边进行平方。
求解新方程。
检查答案。
	解是 n = 17。

示例$\PageIndex{8}$

解决：$\sqrt{3m+2}−5=0$。

回答

$\frac{23}{3}$

示例$\PageIndex{9}$

解决：$\sqrt{10z+1}−2=0$。

回答

$\frac{3}{10}$

示例$\PageIndex{10}$

解决：$\sqrt{3y+5}+2=5$。

回答

要隔离根部，请从两边减去 2。
简化。
对方程的两边进行平方。
求解新方程。
检查答案。
	解决的办法是$y=\frac{4}{3}$

示例$\PageIndex{11}$

解决：$\sqrt{3p+3}+3=5$。

回答

$\frac{1}{3}$

示例$\PageIndex{12}$

解决：$\sqrt{5q+1}+4=6$。

回答

$\frac{3}{5}$

当我们使用激进符号时，我们指的是主根或正根。 如果一个方程的平方根等于负数，则该方程将没有解。

示例$\PageIndex{13}$

解决：$\sqrt{9k−2}+1=0$。

回答

要隔离根部，请从两边减去 1。
简化。
由于平方根等于负数，因此方程没有解。

示例$\PageIndex{14}$

解决：$\sqrt{2r−3}+5=0$

回答

没有解决办法

示例$\PageIndex{15}$

解决：$\sqrt{7s−3}+2=0$。

回答

没有解决办法

如果方程的一边是二项式，我们在求方时使用二项式平方公式。

定义：二项式方块

$$\begin{array}{cc} {(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}&{(a−b)^2=a^2−2ab+b^2}\\ \nonumber \end{array}$$

别忘了中间学期！

示例$\PageIndex{16}$

解决：$\sqrt{p−1}+1=p$。

回答

要隔离根部，请从两边减去 1。
简化。
对方程的两边进行平方。
简化，然后求解新方程。
它是一个二次方程，所以在一边求零。
将右侧考虑在内。
使用零乘积属性。
求解每个方程。
查看答案。
	解是 p = 1，p = 2。

示例$\PageIndex{17}$

解决：$\sqrt{x−2}+2=x$。

回答

2、3

示例$\PageIndex{18}$

解决：$\sqrt{y−5}+5=y$。

回答

5、6

示例$\PageIndex{19}$

解决：$\sqrt{r+4}−r+2=0$。

回答

	$\sqrt{r+4}−r+2=0$
隔离激进分子。	$\sqrt{r+4}=r−2$
对方程的两边进行平方。	$(\sqrt{r+4})^2=(r−2)^2$
求解新方程。	$r+4=r^2−4r+4$
它是一个二次方程，所以在一边求零。	$0=r^2−5r$
将右侧考虑在内。	$0=r(r−5)$
使用零乘积属性。	0=r 0=r−5
求解方程。	r=0 r=5
检查答案。	r=5
	r=0 是一个无关的解。

示例$\PageIndex{20}$

解决：$\sqrt{m+9}−m+3=0$。

回答

7

示例$\PageIndex{21}$

解决：$\sqrt{n+1}−n+1=0$

回答

3

当激进前面有一个系数时，我们也必须将其平方。

示例$\PageIndex{22}$

解决：$3\sqrt{3x−5}−8=4$。

回答

	$3\sqrt{3x−5}−8=4$
隔离激进分子。	$3\sqrt{3x−5}=12$
对方程的两边进行平方。	$(3\sqrt{3x−5})^2=(12)^2$
简化，然后求解新方程。	9 (3x−5) =144
分发。	27x−45=144
求解方程。	27x=189
	x=7
检查答案。	解决方案是 x=7。

示例$\PageIndex{23}$

解决：$\sqrt{24a+2}−16=16$。

回答

$\frac{127}{2}$

示例$\PageIndex{24}$

解决：$\sqrt{36b+3}−25=50$。

回答

$\frac{311}{3}$

示例$\PageIndex{25}$

解决：$\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}$。

回答

	$\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}$
激进的术语是孤立的	$\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}$
对方程的两边进行平方。	$(\sqrt{4z−3})^2=(\sqrt{3z+2})^2$
简化，然后求解新方程	4z−3=3z+2
	z−3=2
	z=5
	x=7
检查答案。 我们留给你出示 5 张支票！	解是 z=5。

示例$\PageIndex{26}$

解决：$\sqrt{2x−5}=\sqrt{5x+3}$。

回答

没有解决办法

示例$\PageIndex{27}$

解决：$\sqrt{7y+1}=\sqrt{2y−5}$。

回答

没有解决办法

有时候，在对方程的两边进行平方之后，我们在激进内部还有一个变量。 发生这种情况时，我们重复程序的第 1 步和第 2 步。 我们将方程的两边分离出来，然后再平方。

示例$\PageIndex{28}$

解决：$\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}$。

回答

	$\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}$
右边的激进分子是孤立的。 两边都是正方形	$(\sqrt{m}+1)^2=(\sqrt{m+9})^2$
简化——乘法时要非常小心！	$m+2\sqrt{m}+1=m+9$
方程式中还有一个激进分子。 因此，我们必须重复前面的步骤。 隔离激进分子。	$2\sqrt{m}=8$
两边都是正方形。	$(2\sqrt{m})^2=(8)^2$
简化，然后求解新方程。	4m=64
	m=16
检查答案。 我们留给你来证明那张 m=16 支票！	解决方案是 m=16。

示例$\PageIndex{29}$

解决：$\sqrt{x}+3=\sqrt{x+5}$。

回答

没有解决办法

示例$\PageIndex{30}$

解决：$\sqrt{m}+5=\sqrt{m+16}$。

回答

没有解决办法

示例$\PageIndex{31}$

解决：$\sqrt{q−2}+3=\sqrt{4q+1}$。

回答

	$\sqrt{q−2}+3=\sqrt{4q+1}$
右边的激进分子是孤立的。 两边都是正方形	$(\sqrt{q−2}+3)^2=(\sqrt{4q+1})^2$
简化。	$q−2+6\sqrt{q−2}+9=4q+1$
方程式中还有一个激进分子。 因此，我们必须重复前面的步骤。 隔离激进分子。	$6\sqrt{q−2}=3q−6$
两边都是正方形。	$(6\sqrt{q−2})^2=(3q−6)^2$
简化，然后求解新方程。	$36(q−2)=9q^2−36q+36$
分发。	$36q−72=9q^2−36q+36$
它是一个二次方程，所以在一边求零。	$0=9q^2−72q+108$
将右侧考虑在内。	$0=9(q^2−8q+12)$ $0=9(q−6)(q−2)$
使用零乘积属性	$$\begin{array}{ll} {q−6=0}&{q−2=0}\\ {q=6}&{q=2}\\ \nonumber \end{array}$$
支票留给你了。 （两种解决方案都应该有效。）	解是 q=6 和 q=2。

示例$\PageIndex{32}$

解决：$\sqrt{y−3}+2=\sqrt{4y+2}$。

回答

没有解决办法

示例$\PageIndex{33}$

解决：$\sqrt{n−4}+5=\sqrt{3n+3}$。

回答

没有解决办法

在应用程序中使用平方根

随着大学课程的进展，你会遇到在许多学科中都包含平方根的公式。 我们已经使用公式来求解几何应用程序。

我们将使用几何应用程序的问题解决策略，稍作修改，为我们提供一个使用任何学科公式求解应用程序的计划。

定义：使用公式求解应用程序。

1. 阅读问题并确保所有文字和想法都被理解。 在适当的时候，画一个图形并用给定的信息贴上标签。
2. 确定我们在寻找什么。
3. 通过选择一个变量来表示我们要找的东西来@@ 命名它。
4. 通过编写适合情况的公式或模型将其@@ 转换为方程。 在给定的信息中替换。
5. 使用良好的代数技巧求@@ 解方程。
6. 检查问题中的答案并确保答案合理。
7. 用完整的句子@@ 回答问题。

我们使用公式 A=L·W 来求出长度为 L 、宽 W 的矩形的面积。 正方形是长度和宽度相等的矩形。 如果我们将 s 设为正方形边的长度，则正方形的面积为\(s^2\)。

如果我们知道边的长度，则该公式会$A=s^2$给出正方形的面积。 如果我们想找到给定区域的一条边的长度怎么办？ 然后我们需要求解 s 的方程。

$$\begin{array}{ll} {}&{A=s^2}\\ {\text{Take the square root of both sides.}}&{\sqrt{A}=\sqrt{s^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{s=\sqrt{A}}\\ \nonumber \end{array}$$

我们可以使用这个公式$s=\sqrt{A}$来计算给定面积的正方形边的长度。

定义：正方形的面积

我们将在下一个示例中举一个这样的例子。

示例$\PageIndex{34}$

Mike 和 Lychelle 想做一个方形露台。 他们有足够的混凝土来铺设 200 平方英尺的面积。 使用公式计算$s=\sqrt{A}$露台两侧的长度。 将答案四舍五入到最接近的十分之一英尺。

回答

第 1 步。 阅读问题。 画一个图形并用给定的信息贴上 标签。
	A = 200 平方英尺
第 2 步。 确定你在找什么。	方形露台一侧的长度。
第 3 步。 通过 选择一个变量来表示你要找的东西来命名它。	假设 s = 边的长度。
第 4 步。 通过编写 适合情况的公式或模型将其转换为方程。 替换给定的信息。
第 5 步。 使用良好的代数 技巧求解方程。 四舍五入到小数点后一位。
第 6 步。 检查问题中的答案并 确保答案合理。
这已经足够接近了，因为我们四舍五入了 平方根。 侧面为 14.1 英尺的露台是否合理？ 是的。
第 7 步。 用完整的 句子回答问题。	露台的两侧应为 14.1 英尺。

示例$\PageIndex{35}$

凯蒂想在她的前院种一块方形草坪。 她有足够的草皮覆盖370平方英尺的面积。 使用公式计算$s=\sqrt{A}$草坪两侧的长度。 将答案四舍五入到最接近的十分之一英尺。

回答

19.2 英尺

示例$\PageIndex{36}$

塞尔吉奥想制作一个方形的马赛克作为他正在建造的桌子的镶嵌物。 他有足够的瓷砖覆盖2704平方厘米的面积。 使用公式$s=\sqrt{A}$求出他的马赛克每边的长度。 将答案四舍五入到最接近的十分之一英尺。

回答

52.0 厘米

平方根的另一种应用与重力有关。

定义：坠落物体

在地球上，如果物体从 hh feet 的高度掉落，则使用以下公式得出到达地面所需的时间（以秒为单位）

$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$

例如，如果一个物体从 64 英尺的高度掉落，我们可以通过在公式中替换 h=64 来计算到达地面所需的时间。

以 64 的平方根为例。
简化分数。

从 64 英尺高处掉落的物体需要 2 秒钟才能到达地面。

示例$\PageIndex{37}$

克里斯蒂把太阳镜从河上方400英尺的一座桥上掉下来。 使用公式计算$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$太阳镜到达河里花了多少秒钟。

回答

第 1 步。 阅读问题。
第 2 步。 确定你在找什么。	太阳镜到达河里所花费 的时间。
第 3 步。 通过 选择一个变量来表示你要找的东西来命名它。	让 t = 时间。
第 4 步。 通过编写 适合情况的公式或模型将其转换为方程。 在给定的信息中替换。
第 5 步。 使用良好的代数 技巧求解方程。
第 6 步。 检查问题中的答案并 确保答案合理。
5=5 ✓
5 秒钟看起来合理吗？ 是的。
第 7 步。 用完整的 句子回答问题。	太阳镜落水需要 5 秒钟。

练习$\PageIndex{38}$

一架直升机从1,296英尺的高度投下了一个救援包。 使用公式计算$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$包裹到达地面花了多少秒。

回答

9 秒

示例$\PageIndex{39}$

洗窗器从人行道上方 196 英尺的平台上掉了一$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$把刮刀使用公式计算刮刀到达人行道花了多少秒钟。

回答

3.5 秒

调查车祸的警官测量人行道上防滑痕迹的长度。 然后，他们使用平方根来确定汽车在刹车前行驶的速度，以英里/小时为单位。

定义：汽车的防滑痕迹和速度

如果防滑痕迹的长度为 d 英尺，则可以使用以下公式得出刹车前汽车的速度 s

$s=\sqrt{24d}$

示例$\PageIndex{40}$

车祸发生后，一辆汽车的防滑痕迹长达 190 英尺。 在施加制动之前，使用该公式$s=\sqrt{24d}$找出汽车的速度。 将答案四舍五入到最接近的十分之一。

回答

第 1 步。 阅读问题。
第 2 步。 确定我们在寻找什么。	汽车的速度。
第 3 步。 说出我们要找的东西。	假设 s = 速度。
第 4 步。 通过编写相应的公式将其@@ 转换为方程。
替换给定的信息。
第 5 步。 求解方程。
四舍五入到小数点后一位。
第 6 步。 检查问题中的答案。 67.5β？ 24 (190) 67.5？ 4560 67.5？ 67.5277...
67.5 英里/小时是合理的速度吗？	是的。
第 7 步。 用完整的句子@@ 回答问题。	汽车的速度约为每小时 67.5 英里。

示例$\PageIndex{41}$

事故调查员测量了汽车的防滑痕迹。 防滑痕迹的长度为 76 英尺。 在施加制动之前，使用该公式$s=\sqrt{24d}$找出汽车的速度。 将答案四舍五入到最接近的十分之一。

回答

42.7 英尺

示例$\PageIndex{42}$

发生事故的车辆的防滑痕迹长达 122 英尺。 在施加制动之前，使用该公式$s=\sqrt{24d}$找出车辆的速度。 将答案四舍五入到最接近的十分之一。

回答

54.1 英尺

关键概念

• 要求解激进方程：
  1. 分离方程一侧的自由基。
  2. 对方程的两边进行平方。
  3. 求解新方程。
  4. 检查答案。 获得的某些解在原始方程中可能不起作用。
• 使用公式求解应用程序
  1. 阅读问题并确保所有文字和想法都被理解。 在适当的时候，画一个图形并用给定的信息贴上标签。
  2. 确定我们在寻找什么。
  3. 通过选择一个变量来表示我们要找的东西来@@ 命名它。
  4. 通过编写适合情况的公式或模型将其@@ 转换为方程。 在给定的信息中替换。
  5. 使用良好的代数技巧求@@ 解方程。
  6. 检查问题中的答案并确保答案合理。
  7. 用完整的句子@@ 回答问题。
• 正方形的面积
  
• 坠落物体
  • 在地球上，如果物体从 hh feet 的高度掉落，则使用公式得出到达地面所需的时间（以秒为单位）$t=\frac{\sqrt{h}}{4}$。
• 汽车的防滑痕迹和速度
  • 如果防滑痕迹的长度为 d 英尺，则可以使用公式得出刹车前汽车的速度 s$s=\sqrt{24d}$。

词汇表

激进方程

变量位于平方根的基数中的方程称为激进方程