7.5: 分解多项式的通用策略

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 识别并使用适当的方法将多项式完全分解

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 因子$y^{2}-2 y-24$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 7.2.19。
2. 因子$3 t^{2}+17 t+10$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 7.3.28。
3. 因子$36 p^{2}-60 p+25$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 7.4.1。
4. 因子$5 x^{2}-80$。
   如果您错过了此问题，请查看练习 7.4.31。

识别并使用适当的方法完全分解多项式

现在，您已经熟悉了本课程中需要的所有保理方法。 （在你的下一个代数课程中，更多方法将添加到你的曲目中。） 下图总结了我们介绍的所有分解方法。 图中$\PageIndex{1}$概述了在分解多项式时应使用的策略。

图$\PageIndex{1}$

因子多项式。

1. 有最大的共同因素吗？
   • 把它排除在外。
2. 多项式是二项式、三项式还是超过三个项？
   • 如果是二项式：
     是总和吗？
     • 正方形？ 平方和不分解。
     • 多维数据集？ 使用立方体总和模式。
     有区别吗？
     • 正方形？ 因子是共轭物的乘积。
     • 多维数据集？ 使用立方体差异图案。
   • 如果是三项式：
     是这样的$x^{2}+b x+c ?$吗？ 撤消 FOIL。
     是这样的吗$a x^{2}+b x+c$？
     • 如果 aa 和 cc 是正方形，请检查它是否符合三项式方形图案。
     • 使用反复试验或 “ac” 方法。
   • 如果它有三个以上的术语：
     使用分组方法。
3. 查看。
   • 完全考虑了吗？
   • 这些因子会乘回原来的多项式吗？

请记住，如果除单项式以外，多项式的因子是素数，则该多项式是完全分解的！

练习$\PageIndex{1}$

完全考虑以下因素：$4 x^{5}+12 x^{4}$

回答

\ (\ begin {array} {ll}\ text {有 GCF 吗？ } &\ text {是的，} 4 x^ {4} & 4 x^ {5} +12 x^ {4}\\\ text {除去 GCF。} & &4 x^ {4} (x+3)\\ text {在括号中，是二项式，a} &\\ text {三项式，还是有三个以上的术语？ } &\ text {二项式。} &\\\ quad\ text {是总和吗？ } &\ text {是的。}\\\ quad\ text {Of squares？ 多维数据集？ } &\ text {No.}\\\ text {Check。}
\\\\\ quad\ text {表达式完全考虑了吗？ } &\ text {是。}\\\ quad\ text {乘法。}\\\ begin {array} {l} {4 x^ {4} (x+3)}\\ {4 x^ {4}\\ {4 x^ {5} +12 x^ {4}\ checkmark\ end {array}\ end {数组}\)

练习$\PageIndex{2}$

完全考虑以下因素：$3 a^{4}+18 a^{3}$

回答

3$a^{3}(a+6)$

练习$\PageIndex{3}$

完全考虑以下因素：$45 b^{6}+27 b^{5}$

回答

9$b^{5}(5 b+3)$

练习$\PageIndex{4}$

完全考虑以下因素：$12 x^{2}-11 x+2$

回答

有全球气候基金吗？	不。
它是二项式、三项式还是超过 三个项？	三项式。
a 和 c 是完美的正方形吗？	不，a = 12， 不是一个完美的正方形。
使用反复试验或 “ac” 方法。 我们将在这里使用反复试验。

查看。 $\begin{array}{l}{(3 x-2)(4 x-1)} \\ {12 x^{2}-3 x-8 x+2} \\ {12 x^{2}-11 x+2 }\checkmark \end{array}$

练习$\PageIndex{5}$

完全考虑以下因素：$10 a^{2}-17 a+6$

回答

$(5 a-6)(2 a-1)$

练习$\PageIndex{6}$

完全考虑以下因素：$8 x^{2}-18 x+9$

回答

$(2 x-3)(4 x-3)$

练习$\PageIndex{7}$

完全考虑以下因素：$g^{3}+25 g$

回答

$\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, g.} &g^{3}+25 g \\\text { Factor out the GCF. } & &g\left(g^{2}+25\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } &\text { Binomial. } & \\ \quad \text { Is it a sum? Of squares? } & \text { Yes. } & \text { Sums of squares are prime. } \\\text { Check. } \\ \\ \quad \text { Is the expression factored completely? } &\text { Yes. } \\ \quad \text { Multiply. } \\ \qquad \begin{array}{l}{g\left(g^{2}+25\right)} \\ {g^{3}+25 g }\checkmark \end{array} \end{array}$

练习$\PageIndex{8}$

完全考虑以下因素：$x^{3}+36 x$

回答

$x\left(x^{2}+36\right)$

练习$\PageIndex{9}$

完全考虑以下因素：$27 y^{2}+48$

回答

3$\left(9 y^{2}+16\right)$

练习$\PageIndex{10}$

完全考虑以下因素：$12 y^{2}-75$

回答

$\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 3.} &12 y^{2}-75 \\\text { Factor out the GCF. } & &3\left(4 y^{2}-25\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } &\text { Binomial. } & \\ \text { Is it a sum?} & \text { No. } & \\ \text { Is it a difference? Of squares or cubes? } &\text { Yes, squares. } & 3\left((2 y)^{2}-(5)^{2}\right) \\ \text { Write as a product of conjugates. } & &3(2 y-5)(2 y+5)\\\text { Check. } \\ \\ \text { Is the expression factored completely? } & \text{ Yes.}& \\ \text { Neither binomial is a difference of } \\ \text { squares. } \\ \text{ Multiply.} \\ \quad \begin{array}{l}{3(2 y-5)(2 y+5)} \\ {3\left(4 y^{2}-25\right)} \\ {12 y^{2}-75}\checkmark \end{array} \end{array}$

练习$\PageIndex{11}$

完全考虑以下因素：$16 x^{3}-36 x$

回答

4$x(2 x-3)(2 x+3)$

练习$\PageIndex{12}$

完全考虑以下因素：$27 y^{2}-48$

回答

3$(3 y-4)(3 y+4)$

练习$\PageIndex{13}$

完全考虑以下因素：$4 a^{2}-12 a b+9 b^{2}$

回答

有全球气候基金吗？	不。
它是二项式、三项式还是 还有其他术语？
三项式与$a\neq 1$. 但是第一个术语是一个 完美的方块。
最后一个术语是完美的正方形吗？	是的。
它符合图案$a^{2}-2 a b+b^{2}$吗，？	是的。
把它写成正方形。
检查你的答案。
这个表达式是完全考虑的吗？
是的。
二项式不是平方差。
乘以。
$(2 a-3 b)^{2}$
$(2 a)^{2}-2 \cdot 2 a \cdot 3 b+(3 b)^{2}$
$4 a^{2}-12 a b+9 b^{2} \checkmark$

练习$\PageIndex{14}$

完全考虑以下因素：$4 x^{2}+20 x y+25 y^{2}$

回答

$(2 x+5 y)^{2}$

练习$\PageIndex{15}$

完全考虑以下因素：$9 m^{2}+42 m n+49 n^{2}$

回答

$(3 m+7 n)^{2}$

练习$\PageIndex{16}$

完全考虑以下因素：$6 y^{2}-18 y-60$

回答

$\begin{array}{lll} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 6.} &6 y^{2}-18 y-60 \\\text { Factor out the GCF. } & \text { Trinomial with leading coefficient } 1&6\left(y^{2}-3 y-10\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more terms? } & & \\ \text { "Undo' FOIL. } & 6(y\qquad )(y\qquad ) &6(y+2)(y-5) \\ \text { Check your answer. } \\ \text { Is the expression factored completely? } & & \text{ Yes.} \\ \text { Neither binomial is a difference of squares. } \\ \text { Multiply. } \\ \\\qquad \begin{array}{l}{6(y+2)(y-5)} \\ {6\left(y^{2}-5 y+2 y-10\right)} \\ {6\left(y^{2}-3 y-10\right)} \\ {6 y^{2}-18 y-60} \checkmark \end{array} \end{array}$

练习$\PageIndex{17}$

完全考虑以下因素：$8 y^{2}+16 y-24$

回答

8$(y-1)(y+3)$

练习$\PageIndex{18}$

完全考虑以下因素：$5 u^{2}-15 u-270$

回答

5$(u-9)(u+6)$

练习$\PageIndex{19}$

完全考虑以下因素：$24 x^{3}+81$

回答

有全球气候基金吗？	是的，3。	$24 x^{3}+81$
把它排除在外。		3$\left(8 x^{3}+27\right)$
在括号中，它是二项式、三项式 还是超过三个项？	二项式。
是总和还是差异？	总和。
正方形还是立方体？	立方体总和。
使用立方体总和模式进行编写。
这个表达式是完全考虑的吗？	是的。	3$(2 x+3)\left(4 x^{2}-6 x+9\right)$
乘法检查。		我们把支票留给你。

练习$\PageIndex{20}$

完全考虑以下因素：$250 m^{3}+432$

回答

2$(5 m+6)\left(25 m^{2}-30 m+36\right)$

练习$\PageIndex{21}$

完全考虑以下因素：$81 q^{3}+192$

回答

$3(3q+4)\left(9q^{2}-12 q+16\right)$

练习$\PageIndex{22}$

完全考虑以下因素：$2 x^{4}-32$

回答

$\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 2.} &2 x^{4}-32 \\\text { Factor out the GCF. } & &2\left(x^{4}-16\right) \\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } & & \\ \text { or are there more than three terms? } & \text { Binomial. }& \\ \text { Is it a sum or difference? } &\text { Yes. }& \\\text { Of squares or cubes? } & \text { Difference of squares. } & 2\left(\left(x^{2}\right)^{2}-(4)^{2}\right) \\ \text { Write it as a product of conjugates. } & & 2\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { The first binomial is again a difference of squares. } & & 2\left((x)^{2}-(2)^{2}\right)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { Write it as a product of conjugates. } & & 2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) \\ \text { Is the expression factored completely? } &\text { Yes. } & \\ \\ \text { None of these binomials is a difference of squares. } \\ \text { Check your answer. } \\ \text{ Multiply. }\\ \\ \qquad \qquad \begin{array}{l}{2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ {2(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right)} \\ {2(x-10)} \\ {2 x^{4}-32} \checkmark \end{array} \end{array}$

练习$\PageIndex{23}$

完全考虑以下因素：$4 a^{4}-64$

回答

4$\left(a^{2}+4\right)(a-2)(a+2)$

练习$\PageIndex{24}$

完全考虑以下因素：$7 y^{4}-7$

回答

7$\left(y^{2}+1\right)(y-1)(y+1)$

练习$\PageIndex{25}$

完全考虑以下因素：$3 x^{2}+6 b x-3 a x-6 a b$

回答

$\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 3.} &3 x^{2}+6 b x-3 a x-6 a b\\\text { Factor out the GCF. } & &3\left(x^{2}+2 b x-a x-2 a b\right)\\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } &\text { More than } 3 & \\ \text { or are there more terms? } &\text { terms. } & \\ \text { Use grouping. } & & \begin{array}{c}{3[x(x+2 b)-a(x+2 b)]} \\ {3(x+2 b)(x-a)}\end{array} \\ \text { Check your answer. } \\ \\ \text { Is the expression factored completely? Yes. } \\ \text { Multiply. } \\\qquad \qquad \begin{array}{l}{3(x+2 b)(x-a)} \\ {3\left(x^{2}-a x+2 b x-2 a b\right)} \\ {3 x^{2}-3 a x+6 b x-6 a b} \checkmark \end{array}\end{array}$

练习$\PageIndex{26}$

完全考虑以下因素：$6 x^{2}-12 x c+6 b x-12 b c$

回答

6$(x+b)(x-2 c)$

练习$\PageIndex{27}$

完全考虑以下因素：$16 x^{2}+24 x y-4 x-6 y$

回答

2$(4 x-1)(x+3 y)$

练习$\PageIndex{28}$

完全考虑以下因素：$10 x^{2}-34 x-24$

回答

$\begin{array}{llc} \text { Is there a GCF? } & \text{Yes, 2.} &10 x^{2}-34 x-24\\\text { Factor out the GCF. } & &2\left(5 x^{2}-17 x-12\right)\\ \text { In the parentheses, is it a binomial, trinomial, } &\text { Trinomial with } & \\ \text { or are there more than three terms? } &\space a \neq 1 & \\ \text { Use trial and error or the "ac" method. } & & 2\left(5 x^{2}-17 x-12\right) \\ & & 2(5 x+3)(x-4) \\ \text { Check your answer. Is the expression factored } \\\text { completely? Yes. }\\ \\ \text { Multiply. } \\ \qquad \begin{array}{l}{2(5 x+3)(x-4)} \\ {2\left(5 x^{2}-20 x+3 x-12\right)} \\ {2\left(5 x^{2}-17 x-12\right)} \\ {10 x^{2}-34 x-24}\checkmark \end{array}\end{array}$

练习$\PageIndex{29}$

完全考虑以下因素：$4 p^{2}-16 p+12$

回答

4$(p-1)(p-3)$

练习$\PageIndex{30}$

完全考虑以下因素：$6 q^{2}-9 q-6$

回答

3$(q-2)(2 q+1)$

关键概念

• 分解多项式的通用策略见图$\PageIndex{1}$。
• 如何分解多项式
  1. 有最大的共同因素吗？ 把它排除在外。
  2. 多项式是二项式、三项式还是超过三个项？
     • 如果是二项式：
       是总和吗？
       • 正方形？ 平方和不分解。
       • 多维数据集？ 使用立方体总和模式。
       有区别吗？
       • 正方形？ 因子是共轭物的乘积。
       • 多维数据集？ 使用立方体差异图案。
     • 如果是三项式：
       是这样的$x^{2}+b x+c$吗？ 撤消 FOIL。
       是这样的吗$a x^{2}+b x+c$？
       • 如果 'a' 和 'c' 是正方形，请检查它是否符合三项式方形图案。
       • 使用反复试验或 “ac” 方法。
     • 如果它有三个以上的术语：
       使用分组方法。
  3. 查看。 完全考虑了吗？ 这些因子会乘回原来的多项式吗？