7.3：前导系数不是 1 的因子二次三项式
- Page ID
- 204519
在本节结束时，您将能够：
- 认识完全分解多项式的初步策略
- \(ax^{2}+bx+c\)以 GCF 为形式的因子三项式
- 使用反复试验对三项式进行分数
- 使用 'ac' 方法因子三项式
认识保理的初步策略
让我们总结一下分解多项式到目前为止的情况。 在本章的前两节中，我们使用了三种分解方法：分解GCF、按分组分解以及通过 “撤消” FOIL 对三项式进行分解。 随着你继续阅读本章以及后面的代数学习，将有更多方法跟进。
你怎么知道何时使用每种保理方法？ 当你学习更多的保理方法时，你将如何知道何时应用每种方法而不让它们感到困惑？ 这将有助于将分解方法组织成可以指导你使用正确方法的策略。
当你开始分解多项式时，一定要先问：“有最大的共同因子吗？” 如果有，请先将其考虑在内。
接下来要考虑的是多项式的类型。 它有多少个术语？ 它是二项式吗？ 三项式？ 还是它有三个以上的学期？
- 如果它是三项式且前导系数为一\(x^{2}+b x+c\)，则使用 “撤消 FOIL” 方法。
- 如果它有三个以上的检索词，请尝试使用分组方法。 这是用于超过三个项的多项式的唯一方法。
有些多项式无法分解。 它们被称为 “主要”。 下面我们总结了到目前为止我们所使用的方法。
- 有最大的共同因素吗？
- 把它排除在外。
- 多项式是二项式、三项式还是超过三个项？
- 如果它是二项式，那么现在我们没有方法将其分解。
- 如果它是\(x^{2}+b x+c\)以下形式的三项式：撤消 FOIL\((x\qquad)(x\qquad)\)
- 如果它有三个以上的术语：使用分组方法。
- 通过乘以因子进行检查。
使用初步策略完全分解多项式。 如果除单项式以外的所有因子均为素数，则多项式将被完全分解。
确定用于分解每个多项式的最佳方法。
- \(6 y^{2}-72\)
- \(r^{2}-10 r-24\)
- \(p^{2}+5 p+p q+5 q\)
- 回答 a
-
\[\begin{array}{ll} &6 y^{2}-72\\ \text { Is there a greatest common factor? } & \text {Yes, 6. } \\ \text { Factor out the } 6 &6\left(y^{2}-12\right) \\ \text { Is it a binomial, trinomial, or are there } & \text {Binomial, we have no method to factor } \\ \text { more than } 3 \text { terms? } & \text {binomials yet. } \end{array} \nonumber\]
- 答案 b
-
\[\begin{array}{ll} &r^{2}-10 r-24\\ \text { Is there a greatest common factor? }& \text {No, there is no common factor. } \\\text { Is it a binomial, trinomial, or are there } &\text {Trinomial, with leading coefficient } 1, \text { so } \\ \text { more than three terms? }& \text {"undo" FOIL. }\end{array} \nonumber\]
- 答案 c
-
\[\begin{array}{ll} &p^{2}+5 p+p q+5 q\\ \text { Is there a greatest common factor? }& \text {No, there is no common factor. } \\\text { Is it a binomial, trinomial, or are there } &\text {More than three terms, so factor using }\\ \text { more than three terms? }& \text {grouping. }\end{array} \nonumber\]
确定用于分解每个多项式的最佳方法：
- \(4 y^{2}+32\)
- \(y^{2}+10 y+21\)
- \(y z+2 y+3 z+6\)
- 回答 a
-
没办法
- 答案 b
-
使用 FOIL 撤消
- 答案 c
-
带分组的因子
确定用于分解每个多项式的最佳方法：
- \(a b+a+4 b+4\)
- \(3 k^{2}+15\)
- \(p^{2}+9 p+8\)
- 回答 a
-
使用分组进行因子
- 答案 b
-
没办法
- 答案 c
-
使用 FOIL 撤消
形式为 a x 2 + bx + c 的因子三项式带有 GCF
现在我们已经整理了到目前为止所涵盖的内容，我们可以分解前导系数不是 1 的三项式，即形式的三项式\(a x^{2}+b x+c\)。 记得一定要先查看 GCF！ 有时，在将 GCF 分解后，三项式的前导系数变为 1，您可以使用上一节中的方法将其分解。 让我们举几个例子来看看它是如何工作的。 注意接下来的两个例子中的标志。
完全考虑因素:\(2 n^{2}-8 n-42\).
- 回答
-
使用初步策略。
\(\begin{array}{ll} \text { Is there a greatest common factor? }&2 n^{2}-8 n-42\\ \text { Yes, GCF }=2 . \text { Factor it out. }& 2\left(n^{2}-4 n-21\right) \\\text { Inside the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there }&\\ \text { more than three terms? }& \\ \text { It is a trinomial whose coefficient is } 1, \text { so undo FOIL. } & 2(n\qquad )(n\qquad) \\ \text { Use } 3 \text { and }-7 \text { as the last terms of the binomials. } & 2(n+3)(n-7) \end{array}\)
−21 的因子 因子总和 1, −21 1+ (−21) =−20 3, −7 3+ (−7) =−4* \(\begin{array}{l}{\text {Check. }} \\ {2(n+3)(n-7)} \\ {2\left(n^{2}-7 n+3 n-21\right)} \\ {2\left(n^{2}-4 n-21\right)} \\ {2 n^{2}-8 n-42 }\checkmark \end{array}\)
完全考虑以下因素：\(4 m^{2}-4 m-8\)
- 回答
-
4\((m+1)(m-2)\)
完全考虑以下因素：\(5 k^{2}-15 k-50\)
- 回答
-
5\((k+2)(k-5)\)
完全考虑以下因素：\(4 y^{2}-36 y+56\)
- 回答
-
使用初步策略。
\(\begin{array}{ll} \text { Is there a greatest common factor? }&4 y^{2}-36 y+56\\ \text { Yes, GCF }=4 . \text { Factor it out. }&4\left(y^{2}-9 y+14\right) \\\text { Inside the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are there }&\\ \text { more than three terms? }& \\ \text { It is a trinomial whose coefficient is } 1, \text { so undo FOIL. } & 4(y\qquad )(y\qquad) \\\text { Use a table like the one below to find two numbers that multiply to }&\\ 14 \text { and add to }-9\\ \text { Both factors of } 14 \text { must be negative. } & 4(y-2)(y-7) \end{array}\)14 的因子 因子总和 −1、−14 −1+ (−14) =−15 −2、−7 −2+ (−7) =−9* \(\begin{array}{l}{\text { Check. }} \\ {4(y-2)(y-7)} \\ {4\left(y^{2}-7 y-2 y+14\right)} \\ {4\left(y^{2}-9 y+14\right)} \\ {4 y^{2}-36 y+42 } \checkmark \end{array}\)
完全考虑以下因素：\(3 r^{2}-9 r+6\)
- 回答
-
3\((r-1)(r-2)\)
完全考虑以下因素：\(2 t^{2}-10 t+12\)
- 回答
-
2\((t-2)(t-3)\)
在下一个示例中，GCF 将包含一个变量。
完全考虑以下因素：\(4 u^{3}+16 u^{2}-20 u\)
- 回答
-
使用初步策略。
\(\begin{array}{ll} \text { Is there a greatest common factor? }&4 u^{3}+16 u^{2}-20 u\\ \text { Yes, GCF }=4 u . \text { Factor it. }&4 u\left(u^{2}+4 u-5\right) \\\text { Binomial, trinomial, or more than three terms? }&\\ \text { more than three terms? }& \\ \text { It is a trinomial. So "undo FOIL." } & 4u(u\qquad )(u\qquad) \\\text { Use a table like the table below to find two numbers that }&4 u(u-1)(u+5)\\ \text { multiply to }-5 \text { and add to } 4\end{array}\)−5 的因子 因子总和 −1,5 −1+5=4* 1, −5 1+ (−5) =−4 查看。
\(\begin{array}{l}{4 u(u-1)(u+5)} \\ {4 u\left(u^{2}+5 u-u-5\right)} \\ {4 u\left(u^{2}+4 u-5\right)} \\ {4 u^{3}+16 u^{2}-20 u }\checkmark \end{array}\)
完全考虑以下因素：\(5 x^{3}+15 x^{2}-20 x\)
- 回答
-
5\(x(x-1)(x+4)\)
完全考虑以下因素：\(6 y^{3}+18 y^{2}-60 y\)
- 回答
-
6\(y(y-2)(y+5)\)
使用反复试验因子三项式
当前导系数不为 1 且没有 GCF 时会发生什么？ 有几种方法可以用来分解这些三项式。 首先，我们将使用 “反复试验” 方法。
让我们考虑三项式\(3 x^{2}+5 x+2\)
根据我们之前的工作，我们预计这将分为两个二项式。
\[\begin{array}{c}{3 x^{2}+5 x+2} \\ {( \qquad)( \qquad)}\end{array}\]
我们知道二项式因子的第一个项会乘以得出 3\(x^{2}\)。 3 的唯一因素\(x^{2}\)是\(1 x, 3 x\)。 我们可以将它们放在二项式中。
查看。 是吗\(1 x \cdot 3 x=3 x^{2}\)？
我们知道二项式的最后一项将乘以 2。 由于这个三项式都有正项，我们只需要考虑正因素即可。 2 的唯一因子是 1 和 2。 但是我们现在有两个案例需要考虑，因为如果我们写 1、2 或 2、1 会有所不同。
哪些因素是正确的？ 为了决定这一点，我们将内部和外部项相乘。
由于三项式的中间项为 5 x，因此第一种情况中的因子将起作用。 让我们来看看吧。
\[\begin{array}{l}{(x+1)(3 x+2)} \\ {3 x^{2}+2 x+3 x+2} \\ {3 x^{2}+5 x+2}\checkmark \end{array}\]
我们的保理结果是：
\[\begin{array}{l}{3 x^{2}+5 x+2} \\ {(x+1)(3 x+2)}\end{array}\]
完全考虑以下因素：\(3 y^{2}+22 y+7\)
- 回答
-
完全考虑以下因素：\(2 a^{2}+5 a+3\)
- 回答
-
\((a+1)(2 a+3)\)
完全考虑以下因素：\(4 b^{2}+5 b+1\)
- 回答
-
\((b+1)(4 b+1)\)
形式的@@
- 按度数的降序写出三项式。
- 找出第一个项的所有因子对。
- 找出第三项的所有因子对。
- 测试所有可能的因子组合，直到找到正确的乘积。
- 乘法检查。
当中间项为负数而最后一个项为正时，二项式中的符号必须均为负数。
完全考虑以下因素：\(6 b^{2}-13 b+5\)
- 回答
-
考虑所有因子组合。三项式已经按降序排列了。 
找出第一个术语的因素。 
找出最后一个学期的因素。 考虑一下这些迹象。 自上一个学期以来，5 为正，其因子必须均为正数或均为负数。 中间项的系数为负，因此我们使用负因子。 
\(\begin{array}{ll}\text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} & (2 b-1)(3 b-5)\\\\\text {Check by multiplying. } \\\\\begin{array}{l}{(2 b-1)(3 b-5)} \\ {6 b^{2}-10 b-3 b+5} \\ {6 b^{2}-13 b+5 v}\checkmark \end{array}\end{array}\)\(6 b^{2}-13 b+5\) 可能的因素 产品 \ (6 b^ {2} -13 b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” class= “lt-math-15168"> (b−1) (6b−5) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) 产品” data-valign= “top” class= “lt-math-15168">\(6 b^{2}-11 b+5\) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” class= “lt-math-15168"> (b−5) (6b−1) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) 产品” data-valign= “top” class= “lt-math-15168">\(6 b^{2}-31 b+5\) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” class= “lt-math-15168"> (2b−1) (3b−5) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) 产品” data-valign= “top” class= “lt-math-15168">\(6 b^{2}-13 b+5\) * \ (6 b^ {2} -13 b+5\) 可能的因素” data-valign= “top” class= “lt-math-15168"> (2b−5) (3b−1) \ (6 b^ {2} -13 b+5\) 产品” data-valign= “top” class= “lt-math-15168">\(6 b^{2}-17 b+5\)
完全考虑以下因素：\(8 x^{2}-14 x+3\)
- 回答
-
\((2 x-3)(4 x-1)\)
完全考虑以下因素：\(10 y^{2}-37 y+7\)
- 回答
-
\((2 y-7)(5 y-1)\)
当我们对一个表达式进行分解时，我们总是首先寻找一个最大的共同因子。 如果表达式没有最大公因子，则其因子中也不能有最大公因子。 这可能有助于我们消除一些可能的因子组合。
完全考虑以下因素：\(14 x^{2}-47 x-7\)
- 回答
-
考虑所有因子组合。 我们使用每对 14 的因子\(x^{2}\)，每对因子为 −7。三项式已经按降序排列了。 
找出第一个术语的因素。 
找出最后一个学期的因素。 考虑一下这些迹象。 由于它是负数，因此一个因子必须为正，一个因子必须为负。 
的因素\(14x^2\) 配对 −7 的因子 \ (14x^2\)” data-valign= “top” class= “lt-math-15168">\(x, 14 x\) 11、−7
−7、11
（反向顺序）\ (14x^2\)” data-valign= “top” class= “lt-math-15168">\(x, 14 x\) −1、77 7
7、−1
（反向顺序）\ (14x^2\)” data-valign= “top” class= “lt-math-15168">\(2x,7x\) 11、−7
−7、11
（反向顺序）\ (14x^2\)” data-valign= “top” class= “lt-math-15168">\(2x,7x\) −1、77 7
7、−1
（反向顺序）这些配对导致以下八种组合。
\(\begin{array}{ll}\text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} & (2 x-7)(7 x+1)\\\\\text {Check by multiplying. } \\\\\begin{array}{l}{(2 b-1)(3 b-5)} \\ {6 b^{2}-10 b-3 b+5} \\ {6 b^{2}-13 b+5 }\checkmark \end{array}\end{array}\)
完全考虑以下因素：\(8 a^{2}-3 a-5\)
- 回答
-
\((a-1)(8 a+5)\)
完全考虑以下因素：\(6 b^{2}-b-15\)
- 回答
-
\((2 b+3)(3 b-5)\)
完全考虑以下因素：\(18 n^{2}-37 n+15\)
- 回答
-
三项式已经按降序排列了。 \(18 n^{2}-37 n+15\) 找出第一个术语的因素。 
找出最后一个学期的因素。 考虑一下这些迹象。 由于 15 为正而中间项系数为负，因此我们使用负因子。 
考虑所有因子组合。
\(\begin{array}{ll}\text{The correct factors are those whose product} & \\ \text{is the original trinomial.} & (2 n-3)(9 n-5)\\\\\text {Check by multiplying. } \\\\ \begin{array}{l}{(2 n-3)(9 n-5)} \\ {18 n^{2}-10 n-27 n+15} \\ {18 n^{2}-37 n+15 } \checkmark\end{array} \end{array}\)
完全考虑以下因素：\(18 x^{2}-3 x-10\)
- 回答
-
\((3 x+2)(6 x-5)\)
完全考虑以下因素：\(30 y^{2}-53 y-21\)
- 回答
-
\((3 y+1)(10 y-21)\)
别忘了先寻找GCF。
完全考虑以下因素：\(10 y^{4}+55 y^{3}+60 y^{2}\)
- 回答
-
\(10 y^{4}+55 y^{3}+60 y^{2}\) 注意最大的共同因子，然后先将其考虑在内。 5\(y^{2}\left(2 y^{2}+11 y+12\right)\) 将三项式分解为因子。 
考虑所有的组合。
\(\begin{array}{ll}\text{The correct factors are those whose product} &5 y^{2}(y+4)(2 y+3) \\ \text{is the original trinomial. Remember to include} & \\\text {the factor } 5 y^{2}\\\text {Check by multiplying. } \\\\ \begin{array}{l}{5 y^{2}(y+4)(2 y+3)} \\ {5 y^{2}\left(2 y^{2}+8 y+3 y+12\right)} \\ {10 y^{4}+55 y^{3}+60 y^{2}}\checkmark\end{array} \end{array}\)
完全考虑以下因素：\(15 n^{3}-85 n^{2}+100 n\)
- 回答
-
5\(n(n-4)(3 n-5)\)
完全考虑以下因素：\(56 q^{3}+320 q^{2}-96 q\)
- 回答
-
8\(q(q+6)(7 q-2)\)
使用 “ac” 方法因子三项式
分解这种形式的三项式的另一种方法\(ax^2+bx+c\)是 “ac” 方法。 （“ac” 方法有时称为分组方法。） “ac” 方法实际上是你在上一节中使用的方法的扩展，用于分解系数为前导系数为一的三项式。 这种方法非常结构化（即分步进行），并且始终有效！
因子：\(6 x^{2}+7 x+2\)
- 回答
-
因子：\(6 x^{2}+13 x+2\)
- 回答
-
\((x+2)(6 x+1)\)
因子：\(4 y^{2}+8 y+3\)
- 回答
-
\((2 y+1)(2 y+3)\)
- 将任何 GCF 考虑在内。
- 查找产品 ac.
- 找出两个数字 m 和 n 那个：
\(\begin{array}{ll}{\text { Multiply to } a c} & {m \cdot n=a \cdot c} \\ {\text { Add to } b} & {m+n=b}\end{array}\) - 使用 m 和 n 拆分中间项：
- 按分组进行因子排序。
- 通过乘以因子进行检查。
当三项式的第三项为负数时，第三项的因子将具有相反的符号。
因子：\(8 u^{2}-17 u-21\)
- 回答
-
有最大的共同因素吗？ 不。 
查找\(a\cdot c\) \(a\cdot c\) 8 (−21) −168 找出两个相乘为 −168 的数字，相加为 −17。 较大的因子必须为负数。
−168 的因子 因子总和 1, −168 1+ (−168) =−167 2, −84 2+ (−84) =−82 3, −56 3+ (−56) =−53 4, −42 4+ (−42) =−38 6, −28 6+ (−28) =−22 7, −24 7+ (−24) =−17* 8, −21 8+ (−21) =−13 \(\begin{array}{lc}\text { Split the middle term using } 7 u \text { and }-24 u &8 u^{2}-17 u-21 \\ & \qquad\space \swarrow\searrow \\ & \underbrace{8 u^{2}+7 u} \underbrace{-24 u-21} \\ \text { Factor by grouping. } & u(8 u+7)-3(8 u+7) \\ & (8 u+7)(u-3) \\ \text { Check by multiplying. } & \begin{array}{l}{(8 u+7)(u-3)} \\ {8 u^{2}-24 u+7 u-21} \\ {8 u^{2}-17 u-21} \checkmark \end{array} \end{array}\)
因子：\(20 h^{2}+13 h-15\)
- 回答
-
\((4 h-5)(5 h+3)\)
因子：\(6 g^{2}+19 g-20\)
- 回答
-
\((q+4)(6 q-5)\)
因子：\(2 x^{2}+6 x+5\)
- 回答
-
有最大的共同因素吗？ 不。 
找到 a⋅c a⋅c 2 (5) 10 找出两个乘以 10 然后相加到 6 的数字。
10 的因子 因子总和 1,10 1+10=11 2、5 2+5=7 没有任何因子会乘以 10 再加成 6。 多项式是素数。
因子：\(10 t^{2}+19 t-15\)
- 回答
-
\((2 t+5)(5 t-3)\)
因子：\(3 u^{2}+8 u+5\)
- 回答
-
\((u+1)(3 u+5)\)
别忘了寻找一个共同的因素！
因子：\(10 y^{2}-55 y+70\)
- 回答
-
有最大的共同因素吗？ 是的。 GCF 为 5。 
将其考虑在内。 在整个解决方案中都要小心保持系数为5！ 
括号内的三项式的前导系数不是 1。 
将三项式分解为因子。 
将所有三个因子相乘进行检查。 5\(\left(2 y^{2}-2 y-4 y+14\right)\) 5\(\left(2 y^{2}-11 y+14\right)\) \(10 y^{2}-55 y+70\)✓
因子：\(16 x^{2}-32 x+12\)
- 回答
-
4\((2 x-3)(2 x-1)\)
因子：\(18 w^{2}-39 w+18\)
- 回答
-
3\((3 w-2)(2 w-3)\)
我们现在可以更新初步分解策略，如图所示，\(\PageIndex{1}\)并在选择完全分解多项式的策略（已更新）中进行了详细介绍，以包括这种形式的三项式\(a x^{2}+b x+c\)。 请记住，有些多项式是素数，因此不能将其分解。
- 有最大的共同因素吗？
- 将其考虑在内。
- 多项式是二项式、三项式还是超过三个项？
- 如果它是二项式，那么现在我们没有方法将其分解。
- 如果它是 Undo FOIL\ 形式的\(x^{2}+b x+c\)
三项式\((x\qquad)(x\qquad)\)。 - 如果它是表格的三项式，\(a x^{2}+b x+c\)
请使用反复试验或 “ac” 方法。 - 如果它有三个以上的术语，
请使用分组方法。
- 通过乘以因子进行检查。
关键概念
- \(a x^{2}+b x+c\)使用@@ 反复试验对表格的三项式进行分数：参见示例。
- 按度数的降序写出三项式。
- 找出第一个项的所有因子对。
- 找出第三项的所有因子对。
- 测试所有可能的因子组合，直到找到正确的乘积。
- 乘法检查。
- \(a x^{2}+b x+c\)使用 “ac” 方法@@ 对形式的三项式进行分数：参见示例。
- 将任何 GCF 考虑在内。
- 查找产品 ac.
- 找出两个数字 m 和 n 那个：\(\begin{array}{ll}{\text { Multiply to } a c} & {m \cdot n=a \cdot c} \\ {\text { Add to } b} & {m+n=b}\end{array}\)
- 使用 m 和 n 拆分中间项：
- 按分组进行因子排序。
- 通过乘以因子进行检查。
- 选择完全分解多项式的策略（已更新）：
- 有最大的共同因素吗？ 将其考虑在内。
- 多项式是二项式、三项式还是超过三个项？
如果它是二项式，那么现在我们没有方法将其分解。
如果它是 Undo FOIL 形式的三\(x^2+bx+c\)
项式\((x\qquad)(x\qquad)\)。
如果它是表格的三项式，\(ax^2+bx+c\)
请使用反复试验或 “ac” 方法。
如果它有三个以上的术语，
请使用分组方法。 - 通过乘以因子进行检查。
词汇表
- 素数多项式
- 无法分解的多项式是素多项式。