7.2：前导系数 1 的因子二次三项式
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在本节结束时，您将能够：
- 形式的因子三项式\(x^{2}+b x+c\)
- 形式的因子三项式\(x^{2}+b x y+c y^{2}\)
形式的因子三项式 \(x^{2}+b x+c\)
你已经学会了如何使用 FOIL 乘以二项式。 现在你需要 “撤消” 这个乘法——从乘积开始，最后是因子。 让我们来看一个乘以二项式来刷新记忆的例子。
分解三项式意味着从乘积开始\(x^{2}+5 x+6\)，以因子结束\((x+2)(x+3)\)。 你需要考虑三项式中的每个术语来自哪里。
第一个项来自于将每个二项式中的第一个项相乘。 因此，要获得\(x^{2}\)乘积，每个二项式必须以 x 开头。
\[\begin{array}{l}{x^{2}+5 x+6} \\ {(x\quad)(x\quad)}\end{array}\]
三项式中的最后一个项来自于将每个二项式中的最后一个项相乘。 因此，最后一个项必须乘以6。
哪两个数字乘以 6？
6 的因子可以是 1 和 6，也可以是 2 和 3。 你怎么知道该用哪一对？
以中间学期为例。 它来自于添加外部和内部术语。
因此，乘积必须为 6 的数字的总和为 5。 我们将测试这两种可能性并在表中总结结果 \(\PageIndex{1}\)——当你处理可以用许多不同方式分解的数字时，该表将非常有用。
| 6 的因子 | 因子总和 |
|---|---|
| 1,6 | \(1+6=7\) |
| 2,3 | \(2+3=5\) |
我们看到 2 和 3 是乘以 6 再加上 5 的数字。 因此，我们有以下因素\(x^{2}+5 x+6\)。 他们是\((x+2)(x+3)\)。
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {\text { product }} \\ {(x+2)(x+3)} & {\text { factors }}\end{array}\]
你应该通过乘法来检查这一点。
回顾过去\(x^{2}+5 x+6\)，我们从 b=5 和 c=6 开始。\(x^{2}+b x+c\) 我们将其分解为两个二项式，形式为 (x+m) 和 (x+n)。
\[\begin{array}{ll}{x^{2}+5 x+6} & {x^{2}+b x+c} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
为了获得正确的因子，我们找到了两个数字 m 和 n，其乘积为 c，总和为 b。
因子：\(x^{2}+7 x+12\)
- 回答
-
因子：\(x^{2}+6 x+8\)
因子：\(y^{2}+8 y+15\)
让我们总结一下我们用来寻找因子的步骤。
该形式的因子三项式\(x^{2}+b x+c\)。
第 1 步。 将因子写成两个二项式，第一个项为 x：\((x \quad)(x \quad )\)
第 2 步。 找到两个数字 m 和 n，它们
乘以 c，相\(m \cdot n=c\)
加 b，\(m+n=b\)
第 3 步。 使用 m 和 n 作为因子的最后一项：\((x+m)(x+n)\)
第 4 步。 通过乘以因子进行检查。
因子：\(u^{2}+11 u+24\)
- 回答
-
请注意，变量为 u，因此因子的第一个项为 u。
\(\begin{array}{ll} & u^{2}+11 u+24\\ {\text { Write the factors as two binomials with first terms } u \text { . }} & (u \quad)(u\quad) \\ {\text { Find two numbers that: multiply to } 24 \text { and add to } 11 .} & \end{array}\)
24 的因子 因子总和 1,24 1+24=25 2,12 2+12=14 3,8 3+8=11* 4,6 4+6=10 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 3 \text { and } 8 \text { as the last terms of the binomials. } & (u+3)(u+8)\\ \\ \text { Check. } \\ \\ \begin{array}{l}{(u+3)(u+8)} \\ {u^{2}+3 u+8 u+24} \\ {u^{2}+11 u+24 v} \checkmark\end{array}\end{array}\)
因子：\(q^{2}+10 q+24\)
因子：\(t^{2}+14 t+24\)
因子：\(y^{2}+17 y+60\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll} & y^{2}+17 y+60\\ \text { Write the factors as two binomials with first terms y. } & (y \quad)(y\quad)\end{array}\)
找出两个乘以 60 然后相加到 17 的数字。
\(\begin{array} {ll} \text { Use } 5 \text { and } 12 \text { as the last terms. } & (y+5)(y+12) \\ \text{ Check.} & \\ \\ \begin{array}{l}{(y+5)(y+12)} \\ {\left(y^{2}+12 y+5 y+60\right)} \\ {\left(y^{2}+17 y+60\right) }\checkmark \end{array} \end{array}\)60 的因子 因子总和 1,60 1+60=61 2,30 2+30=32 3,20 3+20=23 4,15 4+15=19 5,12 5+12=17* 6,10
因子：\(x^{2}+19 x+60\)
因子：\(v^{2}+23 v+60\)
形式为 x 2 + bx + c 的因子三项式，b 为负，c 为正
在目前为止的例子中，三项式中的所有项都是正数。 当有负数条件时会发生什么？ 好吧，这取决于哪个术语是负数。 让我们先来看看只有中间项为负的三项式。
请记住：要获得负和和和正积，这两个数字都必须为负数。
再想一想 FOIL 以及三项式中每个术语的来源。 和以前一样，
- 第一个项来自每个二项式因子 x 和 y 中前两个项的乘积；\(x^2\)
- 最后一个正数项是最后两个学期的乘积
- 负中间项是外部项和内部项的总和。
你如何得到正乘积和负和？ 有两个负数。
因子：\(t^{2}-11 t+28\)
- 回答
-
同样，对于最后一个正数 28 和负中间项 −11t，我们需要两个负因子。 找出两个乘以 28 并相加到 −11 的数字。
\(\begin{array} {ll} & t^{2}-11 t+28 \\ \text {Write the factors as two binomials with first terms } t & (t\qquad)(t\qquad)\end{array}\)
找出两个数字：乘以 28，相加到 −11。
\(\begin{array} {ll} \text { Use }-4,-7 \text { as the last terms of the binomials. }& (t-4)(t-7) \\ \text { Check. } \\\\ \begin{array}{l}{(t-4)(t-7)} \\ {t^{2}-7 t-4 t+28} \\ {t^{2}-11 t+28}\checkmark\end{array}\end{array}\)28 的因子 因子总和 −1、−28 −1+ (−28) =−29 −2、−14 −2+ (−14) =−16 −4、−7 \(-4+(-7)=-11^{*}\)
因子：\(u^{2}-9 u+18\)
因子：\(y^{2}-16 y+63\)
形式为 x2+bx+c 的因子三项式，c 为负
现在，如果三项式中的最后一个项是负数呢？ 想想 FOIL。 最后一个项是两个二项式中最后一个项的乘积。 将两个具有相反符号的数字相乘得出负乘积。 你必须非常谨慎地选择因素，以确保你也得到中间学期的正确符号。
请记住：要获得负数乘积，数字必须有不同的符号。
因子：\(z^{2}+4 z-5\)
- 回答
-
要获得最后一个负数，请将一个正数和一个负数相乘。 我们需要 −5 的因子加上正数 4。
−5 的因子 因子总和 1, −5 1+ (−5) =−4 −1,5 −1+5=4* 注意：我们同时列出了 1、−5 和 −1,5，以确保中间术语的符号正确。
\(\begin{array} {ll} &z^{2}+4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }-1,5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z-1)(z+5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z-1)(z+5)} \\ {z^{2}+5 z-1 z-5} \\ {z^{2}+4 z-5 }\checkmark\end{array} \end{array}\)
因子：\(h^{2}+4 h-12\)
- 回答
-
\((h-2)(h+6)\)
因子：\(: 2^{2}+k-20\)
- 回答
-
\((k-4)(k+5)\)
让我们对最后一个三项式稍作改动，看看它对因子有什么影响。
因子：\(z^{2}-4 z-5\)
- 回答
-
这次，我们需要 −5 的因子与 −4 相加。
−5 的因子 因子总和 1, −5 1+ (−5) =−4* −1,5 −1+5=4 \(\begin{array} {ll} &z^{2}-4 z-5 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms z. }& (z\qquad)(z\qquad)\\ \text { Use }1,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (z+1)(z-5)\\ \text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(z+1)(z-5)} \\z^{2}-5 z+1 z-5 \\ z^{2}-4 z-5\checkmark\end{array} \end{array}\)
因子：\(x^{2}-4 x-12\)
- 回答
-
\((x+2)(x-6)\)
因子：\(y^{2}-y-20\)
- 回答
-
\((y+4)(y-5)\)
因子：\(q^{2}-2 q-15\)
- 回答
-
\(\begin{array} {ll} &q^{2}-2 q-15\\ \text { Factors will be two binomials with first terms q. }& (q\qquad)(q\qquad)\\ \text { You can use }3,-5 \text { as the last terms of the binomials. } & (q+3)(q-5)\\ \end{array}\)
−15 的因子 因子总和 1, −15 1+ (−15) =−14 −1,15 −1+15=14 3, −5 3+ (−5) =−2* −3,5 \(\begin{array}{ll}\text { Check. } & \\ \\ \begin{array}{l}{(q+3)(q-5)} \\q^{2}-5 q+3 z-15 \\ q^{2}-2q-15\checkmark\end{array} \end{array}\)
因子：\(r^{2}-3 r-40\)
- 回答
-
\((r+5)(r-8)\)
因子：\(s^{2}-3 s-10\)
- 回答
-
\((s+2)(s-5)\)
有些三项式是素数。 确定三项式是素数的唯一方法是列出所有可能性，并表明它们都不起作用。
因子：\(y^{2}-6 y+15\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll}&y^{2}-6 y+15 \\ \text { Factors will be two binomials with first } & (y \qquad)(y\qquad) \\\text { terms y. } \end{array}\)
15 的因子 因子总和 −1、−15 −1+ (−15) =−16 −3、−5 −3+ (−5) =−8 如表所示，没有一个因子加起来为 −6；因此，表达式是素数。
因子：\(m^{2}+4 m+18\)
- 回答
-
主要
因子：\(n^{2}-10 n+12\)
- 回答
-
主要
因子：\(2 x+x^{2}-48\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll}&2 x+x^{2}-48 \\ \text { First we put the terms in decreasing degree order. } & x^{2}+2 x-48 \\ \text { Factors will be two binomials with first terms } x \text { . }& (x \qquad)(x\qquad) \end{array}\)
如表所示，可以使用 −6,8 作为二项式的最后一个项。
\[(x-6)(x+8)\]
−48 的因子 因子总和 −1,48 −1+48=47 −2,24
−3,16
−4,12
−6,8−2+24=22
−3+16=13
−4+12=8
−6+8=2\(\begin{array}{l}{\text { Check. }} \\ {(x-6)(x+8)} \\ {x^{2}-6 q+8 q-48} \\ {x^{2}+2 x-48}\checkmark \end{array}\)
因子：\(9 m+m^{2}+18\)
- 回答
-
\((m+3)(m+6)\)
因子：\(-7 n+12+n^{2}\)
- 回答
-
\((n-3)(n-4)\)
让我们总结一下我们刚刚开发的用于分解这种形式的三项式的方法\(x^{2}+b x+c\)
当我们分解三项式时，我们首先看其项的符号，以确定二项式因子的符号。
\[\begin{array}{c}{x^{2}+b x+c} \\ {(x+m)(x+n)}\end{array}\]
当 c 为正数时，m 和 n 具有相同的符号。
\[\begin{array}{cc}{\text { b positive }} & {\text { b negative }} \\ {m, n \text { positive }} & {m, n \text { negative }} \\ {x^{2}+5 x+6} & {x^{2}-6 x+8} \\ {(x+2)(x+3)} & {(x-4)(x-2)} \\ {\text { same signs }} & {\text { same signs }}\end{array}\]
当 c 为负数时，m 和 n 具有相反的符号。
\[\begin{array}{cc}{x^{2}+x-12} & {x^{2}-2 x-15} \\ {(x+4)(x-3)} & {(x-5)(x+3)} \\ {\text { opposite signs }} & {\text { opposite signs }}\end{array}\]
请注意，在 m 和 n 具有相反符号的情况下，绝对值较大的符号与 b 的符号匹配。
形式因子三项式 x 2 + bxy + cy 2
有时候你需要\(x^{2}+b x y+c y^{2}\)用两个变量对形式的三项式进行分解，例如\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\)。 第一个项是二项式因子的第一个项的乘积\(x \cdot x\)。\(x^2\) 最后一个项\(y^2\)中的表示二项式因子的第二个项必须各包含 y。 要获得系数 b 和 c，应使用上一个目标中总结的相同过程。
因子：\(x^{2}+12 x y+36 y^{2}\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll }&x^{2}+12 x y+36 y^{2} \\ \text { Note that the first terms are } x, \text { last terms } &\left(x_{-} y\right)\left(x_{-} y\right) \\ \text { contain } y\end{array}\)
找出乘以 36 然后相加到 12 的数字。
36 的因子 因子总和 1、36 1+36=37 2、18 2+18=20 3、12 3+12=15 4、9 4+9=13 6、6 6+6=12* \(\begin{array}{ll}{\text { Use } 6 \text { and } 6 \text { as the coefficients of the last terms. }} & (x+6 y)(x+6 y)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(x+6 y)(x+6 y)} \\ {x^{2}+6 x y+6 x y+36 y^{2}} \\ {x^{2}+12 x y+36 y^{2}}\checkmark \end{array}\)
因子：\(u^{2}+11 u v+28 v^{2}\)
- 回答
-
\((u+4 v)(u+7 v)\)
因子：\(x^{2}+13 x y+42 y^{2}\)
- 回答
-
\((x+6 y)(x+7 y)\)
因子：\(r^{2}-8 r s-9 s^{2}\)
- 回答
-
我们在每个二\(r\)项式的第一个项和第二个项\(s\)中都需要。 三项式的最后一个项是负数，因此因子必须具有相反的符号。
\(\begin{array}{ll }& r^{2}-8 r s-9 s^{2} \\ \text { Note that the first terms are } r, \text { last terms contain } s &\left(r_{-} s\right)\left(r_{-} s\right) \end{array}\)
−9 的因子 因子总和 1, −9 1+ (−9) =−8* −1,9 −1+9=8 3, −3 3+ (−3) =0 \(\begin{array}{ll}\text { Use } 1,-9 \text { as coefficients of the last terms. }&(r+s)(r-9 s)\\ {\text { Check your answer. }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{(r-9 s)(r+s)} \\ {r^{2}+r s-9 r s-9 s^{2}} \\ {r^{2}-8 r s-9 s^{2}} \checkmark \end{array}\)
因子：\(a^{2}-11 a b+10 b^{2}\)
- 回答
-
\((a-b)(a-10 b)\)
因子：\(m^{2}-13 m n+12 n^{2}\)
- 回答
-
\((m-n)(m-12 n)\)
因子：\(u^{2}-9 u v-12 v^{2}\)
- 回答
-
我们在每个二项式的第一个项中需要 u，在第二个项中需要 v。 三项式的最后一个项是负数，因此因子必须具有相反的符号。
\(\begin{array}{ll }& u^{2}-9 u v-12 v^{2} \\ \text { Note that the first terms are } u, \text { last terms contain } v &\left(u_{-} v\right)\left(u_{-} v\right) \end{array}\)
找出相乘为 −12 并相加到 −9 的数字。
−12 的因子 因子总和 1, −12 1+ (−12) =−11 −1,12 −1+12=11 2, −6 2+ (−6) =−4 −2,6 −2+6=4 3, −4 3+ (−4) =−1 −3,4 −3+4=1 请注意，没有任何因子对可以给我们 −9 作为总和。 三项式是素数。
因子：\(x^{2}-7 x y-10 y^{2}\)
- 回答
-
主要
因子：\(p^{2}+15 p q+20 q^{2}\)
- 回答
-
主要
关键概念
- 形式的因子三项式\(x^{2}+b x+c\)
- 将因子写成带有第一个项的两个二项式\(x\)：\((x\qquad)(x\qquad)\)
- 找到两个数字\(n\)，\(m\)然后
乘以\(c\)，相\(m \cdot n=c\)
加\(b\)，\(m+n=b\) - 使用\(m\)和\(n\)作为因素的最后一个术语:\((x+m)(x+n)\).
- 通过乘以因子进行检查。