6.6: 除以多项式
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在本节结束时，您将能够：
- 将多项式除以单项式
- 将多项式除以二项式
将多项式除以单项式
在上一节中，您学习了如何将单项式除以单项式。 随着你继续积累对多项式的了解，下一步是将一个包含两个或更多项的多项式除以一个单项式。
我们将使用将多项式除以单项式的方法基于分数加法的属性。 因此，我们将从一个示例开始，回顾分数加法。
\(\begin{array}{ll}{\text { The sum, }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}} \\ {\text { simplifies to }} & {\dfrac{y+2}{5}}\end{array}\)
现在我们将反向执行此操作，将单个分数拆分为单独的分数。
我们将在这里陈述分数加法属性，就像你学到的那样，反之亦然。
如果 a、b 和 c 是数字，其中\(c\neq 0\)，那么
\[\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \quad \text { and } \quad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\]
我们使用左边的形式来添加分数，然后使用右边的形式将多项式除以单项式。
\(\begin{array}{ll}{\text { For example, }} & {\dfrac{y+2}{5}} \\ {\text { can be written }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}}\end{array}\)
我们使用这种形式的分数加法将多项式除以单项式。
要将多项式除以单项式，请将多项式的每个项除以单项式。
找到商：\(\dfrac{7 y^{2}+21}{7}\)
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-
\(\begin{array}{ll} & \dfrac{7 y^{2}+21}{7}\\\text{Divide each term of the numerator by the denominator.} & \dfrac{7 y^{2}}{7}+\dfrac{21}{7} \\ \text {Simplify each fraction. } & y^{2}+3 \end{array}\)
找到商：\(\dfrac{8 z^{2}+24}{4}\)
- 回答
-
\(2 z^{2}+6\)
找到商：\(\dfrac{18 z^{2}-27}{9}\)
- 回答
-
\(2 z^{2}-3\)
请记住，除法可以用分数表示。 当你被要求将一个多项式除以一个单项式并且它还不是分数形式时，写一个分数，其中多项式在分子中，单项式在分母中。
找到商：\(\left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll} & \left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\\\text { Rewrite as a fraction. } & \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}}{6 x}-\dfrac{36 x^{2}}{6 x}\\ \text { Simplify. } &3 x^{2}-6 x\end{array}\)
找到商：\(\left(27 b^{3}-33 b^{2}\right) \div 3 b\)
- 回答
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\(9 b^{2}-11 b\)
找到商：\(\left(25 y^{3}-55 y^{2}\right) \div 5 y\)
- 回答
-
\(5 y^{2}-11 y\)
当我们除以负数时，我们必须格外小心符号。
找到商：\(\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! }& -3 d^{2}+4 d\end{array}\)
找到商：\(\dfrac{25 y^{2}-15 y}{-5}\)
- 回答
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\(-5 y^{2}+3 y\)
找到商：\(\dfrac{42 b^{2}-18 b}{-6}\)
- 回答
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\(-7 b^{2}+3 b\)
找到商：\(\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Separate the terms. }& \dfrac{105 y^{5}}{5 y^{2}}+\dfrac{75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Simplify. }& 21 y^{3}+15 y\end{array}\)
找到商：\(\dfrac{60 d^{7}+24 d^{5}}{4 d^{3}}\)
- 回答
-
\(15 d^{4}+6 d^{2}\)
找到商：\(\dfrac{216 p^{7}-48 p^{5}}{6 p^{3}}\)
- 回答
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\(36 p^{4}-8 p^{2}\)
找到商：\(\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll} &\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\\ \text { Rewrite as a fraction. }& \dfrac{15 x^{3} y-35 x y^{2}}{-5 x y}\\\text { Separate the terms. Be careful with the signs! }& \dfrac{15 x^{3} y}{-5 x y}-\dfrac{35 x y^{2}}{-5 x y}\\ \text { Simplify. } & -3 x^{2}+7 y\end{array}\)
找到商：\(\left(32 a^{2} b-16 a b^{2}\right) \div(-8 a b)\)
- 回答
-
\(-4 a+2 b\)
找到商：\(\left(-48 a^{8} b^{4}-36 a^{6} b^{5}\right) \div\left(-6 a^{3} b^{3}\right)\)
- 回答
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\(8 a^{5} b+6 a^{3} b^{2}\)
找到商：\(\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll} &\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y}+\dfrac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y}-\dfrac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\ \text { Simplify. } & 4 x y+3 y-y^{2}\end{array}\)
找到商：\(\dfrac{40 x^{3} y^{2}+24 x^{2} y^{2}-16 x^{2} y^{3}}{8 x^{2} y}\)
- 回答
-
\(5 x y+3 y-2 y^{2}\)
找到商：\(\dfrac{35 a^{4} b^{2}+14 a^{4} b^{3}-42 a^{2} b^{4}}{7 a^{2} b^{2}}\)
- 回答
-
\(5 a^{2}+2 a^{2} b-6 b^{2}\)
找到商：\(\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5 x}\)
- 回答
-
\(\begin{array}{ll}&\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5x}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{10 x^{2}}{5 x}+\dfrac{5 x}{5 x}-\dfrac{20}{5 x}\\ \text { Simplify. } &2 x+1-\dfrac{4}{x}\end{array}\)
找到商：\(\dfrac{18 c^{2}+6 c-9}{6 c}\)
- 回答
-
\(3 c+1-\dfrac{3}{2 c}\)
找到商：\(\dfrac{10 d^{2}-5 d-2}{5 d}\)
- 回答
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\(2 d-1-\dfrac{2}{5 d}\)
将多项式除以二项式
要将多项式除以二项式，我们遵循的过程与数字的长除法非常相似。 因此，让我们仔细看看我们将 3 位数的数字 875 除以 2 位数 25 时所采取的步骤。
| 我们写长除法 |  |
| 我们将前两位数字 87 除以 25。 |  |
| 我们将乘以3乘以25，然后将乘积写在87之下。 |  |
| 现在我们从 87 中减去 75。 |  |
| 然后我们降低分红的第三位数，即5。 |  |
| 重复该过程，将 25 分成 125。 |  |
我们通过将商乘以除数来检查除法。
如果我们正确地进行了分割，则该乘积应等于分红。
\[\begin{array}{l}{35 \cdot 25} \\ {875}\checkmark\end{array}\]
现在我们将三项式除以二项式。 在通读示例时，请注意这些步骤与上面的数字示例有多相似。
找到商：\(\left(x^{2}+9 x+20\right) \div(x+5)\)
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把它写成一个长分割问题。 确保分红是标准形式。 
将 x 2 除以 x。 问问自己：“我需要将 x 乘以什么才能得到 x 2？” 将答案 x 放在 x 项上的商中。 
将 x 乘以 x + 5。 在分红下排列类似条款。 
从 x 2 + 9 x 中减去 x 2 + 5 x。 
然后降低最后一个任期，即20个学期。
将 4 x 除以 x。 问问自己：“我需要将 x
乘以什么才能得到 4 x？” 可能会有所帮助将答案 4 放在常量项的商中。 
乘以 4 倍 x + 5。 
从 4 x + 20 中减去 4 x + 20。 
查看： 将商乘以除数。 (x + 4) (x + 5) 你应该得到分红。 x 2 + 9 x + 20 ✓
找到商：\(\left(y^{2}+10 y+21\right) \div(y+3)\)
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y+7
找到商：\(\left(m^{2}+9 m+20\right) \div(m+4)\)
- 回答
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m+5
当除数有减号时，我们在乘以偏商然后减去时必须格外小心。 更安全的做法是表明我们更改了标志，然后添加了符号。
找到商：\(\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \div(x-3)\)
- 回答
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把它写成一个长分割问题。 确保分红是标准形式。 
将 2 x 2 除以 x。
将答案 2 x 放在 x 项上的商中。
乘以 2 x 乘以 x − 3。 在分红下排列类似条款。 
从 2 x 2 − 5 x 中减去 2 x 2 − 6 x。
更改标志，然后添加。
然后取消最后一个学期。
将 x 除以 x。
将答案 1 放在常量项的商中。
乘以 1 倍 x − 3。 
通过更改符号和相加，从 x − 3 中减去 x − 3。 
要进行检查，请乘以 (x − 3) (2 x + 1)。 结果应为 2 x 2 − 5 x − 3。
找到商：\(\left(2 x^{2}-3 x-20\right) \div(x-4)\)
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2x+5
找到商：\(\left(3 x^{2}-16 x-12\right) \div(x-6)\)
- 回答
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3x+2
当我们将 875 除以 25 时，我们没有余数。 但是有时候数字的除法确实会留下余数。 当我们分割多项式时也是如此。 在练习中\(\PageIndex{25}\)，我们将有一个剩余部分的除法。 我们将余数写成分数，以除数作为分母。
找到商：\(\left(x^{3}-x^{2}+x+4\right) \div(x+1)\)
- 回答
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把它写成一个长分割问题。 确保分红是标准形式。 
将 x 3 除以 x。
将答案 x 2 放在 x 2 项上的商中。
将 x 乘以 2 倍 x + 1。 在分红下排列类似条款。
通过更改符号和相加，从 x 3 − x 2 中减去 x 3 + x 2。
然后下个学期。
将 −2 x 2 除以 x。
将答案 −2 x 放在 x 项上的商中。
将 −2 x 乘以 x + 1。 在分红下排列类似条款。
通过更改符号和加法从 − 2 x 2 + x 中减去 −2 x 2 − 2 x。
然后取消最后一个学期。
将 3 x 除以 x。
将答案 3 放在常量项的商中。
乘以 3 倍 x + 1。 在分红下排列类似条款。
通过更改符号和相加，从 3 x + 4 中减去 3 x + 3。
将余数写成分数，以除数作为分母。
要检查，请乘\((x+1)\left(x^{2}-2 x+3+\dfrac{1}{x+1}\right)\)
以结果应为\(x^{3}-x^{2}+x+4\)
找到商：\(\left(x^{3}+5 x^{2}+8 x+6\right) \div(x+2)\)
- 回答
-
\(x^{2}+3 x+2+\dfrac{2}{x+2}\)
找到商：\(\left(2 x^{3}+8 x^{2}+x-8\right) \div(x+1)\)
- 回答
-
\(2 x^{2}+6 x-5-\dfrac{3}{x+1}\)
回过头来看看示例、示例和示例中的分红。 这些术语按学位降序编写，没有缺失学位。 示例中的分红将为\(x^{4}-x^{2}+5 x-2\)。 它缺少一个\(x^{3}\)术语。 我们将添加\(0x^{3}\)为占位符。
找到商：\(\left(x^{4}-x^{2}+5 x-2\right) \div(x+2)\)
- 回答
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请注意，分红中没有\(x^{3}\)期限。 我们将添加\(0x^{3}\)为占位符。
把它写成一个长分割问题。 确保分红采用标准形式，并带有缺失条款的占位符。 
将 x 4 除以 x。
将答案 x 3 放在 x 3 项上的商中。
将 x 乘以 3 倍 x + 2。 用相似的术语排成一列。
减去然后降低下一个学期。
将 −2 x 3 除以 x。
将答案 −2 x 2 放在 x 2 项的商中。
将 −2 x 2 乘以 x + 1。 用相似的术语排成一列。
减去并降低下一个学期。
将 3 x 2 除以 x。
将答案 3 x 放在 x 项上的商中。
将 3 x 乘以 x + 1。 用相似的术语排成一列。
减去并降低下一个学期。
将 − x 除以 x。
将答案 −1 放在常量项的商中。
将 −1 乘以 x + 1。 用相似的术语排成一列。
更改标志，添加。
要检查，请乘以\((x+2)\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x-1\right)\) 结果应该是\(x^{4}-x^{2}+5 x-2\)
找到商：\(\left(x^{3}+3 x+14\right) \div(x+2)\)
- 回答
-
\(x^{2}-2 x+7\)
找到商：\(\left(x^{4}-3 x^{3}-1000\right) \div(x+5)\)
- 回答
-
\(x^{3}-8 x^{2}+40 x-200\)
在练习中\(\PageIndex{31}\)，我们将除以\(2a−3\)。 当我们进行划分时，我们必须考虑常量和变量。
找到商：\(\left(8 a^{3}+27\right) \div(2 a+3)\)
- 回答
-
这次我们将一步展示所有分区。 我们需要添加两个占位符才能进行划分。
要检查，请乘以\((2 a+3)\left(4 a^{2}-6 a+9\right)\)
结果应该是\(8 a^{3}+27\)
找到商：\(\left(x^{3}-64\right) \div(x-4)\)
- 回答
-
\(x^{2}+4 x+16\)
找到商：\(\left(125 x^{3}-8\right) \div(5 x-2)\)
- 回答
-
\(25 x^{2}+10 x+4\)
访问以下在线资源，获取有关除法多项式的更多指导和练习：
- 将多项式除以单项式
- 将多项式除以单项式 2
- 将多项式除以二项式
关键概念
- 分数加法
- 如果 a、b 和 c 是数字\(c\neq 0\)，其中，则
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}\)和\(\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}\)
- 如果 a、b 和 c 是数字\(c\neq 0\)，其中，则
- 将多项式除以单项式
- 要将多项式除以单项式，请将多项式的每个项除以单项式。