5.6: 绘制线性不等式系统的图表

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

确定有序对是否为线性不等式组的解
通过绘图求解线性不等式系统
解决不等式系统的应用

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

在数字行上绘制图形 x>2。
如果您错过了此问题，请查看练习 2.7.1。
求解不等式 2a<5a+12。
如果您错过了此问题，请查看练习 2.7.22。
确定订购的配对是否$(3,\frac{1}{2})$是系统的解决方案$\left\{\begin{array}{l}{x+2 y=4} \\ {y=6 x}\end{array}\right.$。
如果您错过了此问题，请查看练习 5.1.1。

确定有序对是否为线性不等式组的解

线性不等式组的定义与线性方程组的定义非常相似。

线性不等式系统

组合在一起的两个或多个线性不等式构成线性不等式系统。

线性不等式系统看起来像线性方程组，但它有不等式而不是方程。由两个线性不等式组成的系统如下所示。

\[\left\{\begin{array}{l}{x+4 y \geq 10} \\ {3 x-2 y<12}\end{array}\right.\]

为了求解线性不等式系统，我们将找到两个不等式的解的变量的值。我们使用每个不等式的图来求解系统，并将解显示为图表。我们将在平面上找到包含所有使两个不等式都成真的有序对 (x, y) (x, y) 的区域。

线性不等式系统的解

线性不等式系统的解是使所有不等式都成真的变量的值。

线性不等式组的解显示为 x-y 坐标系中的阴影区域，该区域包括所有点的有序对使不等式成真。

为了确定有序对是否是两个不等式组的解，我们将变量的值替换为每个不等式。如果有序对使两个不等式都成立，则这是系统的解。

练习$\PageIndex{1}$

确定订购的配对是否是系统的解决方案。 $\left\{\begin{array}{l}{x+4 y \geq 10} \\ {3 x-2 y<12}\end{array}\right.$

(−2, 4)
(3,1)

回答

1。有序对（−2，4）是解决方案吗？
$这个数字说：“我们用 x = -2 和 y = 4 代替两个不等式。第一个不等式，x + 4 y 大于或等于 10 变成 -2 加 4 倍 4 大于或小于 10 或 14 大于或小于 10，这是真的。第二个不等式，3x — 2y 小于 12 变成 3 倍 -2 — 2 倍 4 小于 12 或 -14 小于 12 这是事实。$

有序对 (−2, 4) 使两个不等式都成真。因此 (−2, 4) 是这个系统的解决方案。

2。订购对 (3,1) 是解决方案吗？
$这个数字说：“我们用 x 3 和 y = 1 代替两个不等式。” 第一个不等式，x + 4y 大于或等于 10 变成 3 + 4 倍 1 大于或等于 10 或 y 大于或等于 10，这是错误的。第二个不等式，3x -2y 小于 12 变成 3 倍 3 — 两倍 1 小于 12 或 7 小于 12，这是事实。$

有序对（3,1）使一个不等式成立，但另一个不等式是错误的。因此 (3,1) 不是该系统的解决方案。

练习$\PageIndex{2}$

确定订购的配对是否是系统的解决方案。 $\left\{\begin{array}{l}{x-5 y>10} \\ {2 x+3 y>-2}\end{array}\right.$

(3, −1)
(6, −3)

回答

不
是的

练习$\PageIndex{3}$

确定订购的配对是否是系统的解决方案。 $\left\{\begin{array}{l}{y>4 x-2} \\ {4 x-y<20}\end{array}\right.$

(2,1)
(4, −1)

回答

通过绘图求解线性不等式系统

单个线性不等式的解是边界线一侧的区域，该区域包含使不等式成真的所有点。由两个线性不等式组成的系统的解是一个包含两个不等式解的区域。为了找到这个区域，我们将分别绘制每个不等式的图表，然后找到两者均为真的区域。解总是以图表形式显示。

练习$\PageIndex{4}$: How to Solve a System of Linear inequalities

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{y \geq 2 x-1} \\ {y<x+1}\end{array}\right.$

回答: $这是一个包含三列和几行的表。第一行说：“第 1 步：绘制第一个不等式图。我们将绘制 y 大于或等于 2x — 1 的图。” 给定了两个方程，y 大于或等于 2x — 1，y 小于 x + 1。然后表格上写着：“绘制边界线。我们绘制直线 y = 2x — 1。这是一条实线，因为不等号大于或等于。存在不等式的边界线一侧的阴影。我们选择 (0, 0) 作为测试点。它是 y 大于或等于 2x — 1 的解，所以我们在边界线的左侧加了阴影。” 有一个在 x y 坐标平面上绘制的直线图。线条左边的区域有阴影。$ $然后第二行说：“步骤2：在同一个网格上，绘制第二个不等式。我们将在同一个网格上绘制 y 小于 x + 1 的图。绘制边界线。我们绘制直线 y = x + 1 的图形。这是一条虚线，因为不等式符号小于。有一张图显示了在 x y 坐标平面上绘制的两条线。一条线左边的区域有阴影。第二条线右边的区域有阴影。阴影区域有一小块区域重叠。然后表格上写着：“在不等式属实的那条边界线一侧遮住阴影。我们再次使用 (0, 0) 作为测试点。这是一个解决方案，所以我们在直线 y = x + 1 的那一侧做阴影。$ $然后第三行说：“第 3 步：解决方案是阴影重叠的区域。边界线相交的点不是解，因为它不是 y 的解，小于 x + 1。解决方案是紫色阴影区域中的所有点。”$ $然后第四行说：“第 4 步：通过选择测试点进行检查。我们将使用 (-1, -1) 作为测试点。 (-1, -1) y 的解是否大于或等于 2x — 1？ -1 大于或等于 2 倍 -1 — 1 或 -1 大于或等于 -3 真。”$

练习$\PageIndex{5}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{y<3 x+2} \\ {y>-x-1}\end{array}\right.$

回答: $下图显示了 y 小于 3x +2 且 y 大于 —x — 1 的 x y 坐标平面上的图形。每条线右侧区域的阴影颜色略有不同，重叠区域的阴影颜色也略有不同。两条线都是虚线的。$

练习$\PageIndex{6}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{y<-\frac{1}{2} x+3} \\ {y<3 x-4}\end{array}\right.$

回答: $下图显示了 y 小于 — (1/2) x + 3 且 y 小于 3x — 4 的 x y 坐标平面上的图形。每条线右侧或下方的区域的阴影颜色略有不同，重叠区域的阴影颜色也略有不同。两条线都是虚线的。$

通过绘图求解线性不等式系统。

绘制第一个不等式的图表。
- 绘制边界线图。
- 存在不等式的边界线一侧的阴影。
在同一个网格上，绘制第二个不等式。
- 绘制边界线图。
- 在不等式为真的那条边界线一侧的阴影。
解决方案是阴影重叠的区域。
通过选择测试点进行检查。

练习$\PageIndex{7}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{x-y>3} \\ {y<-\frac{1}{5} x+4}\end{array}\right.$

回答

通过绘制 x − y = 3 并
测试一个点来绘制图 x − y > 3。

截距为 x = 3 和 y = −3，边界
线将以虚线表示。

测试 (0, 0)。它使不平等成为错误。因此，将不包含 (0, 0) 的一面涂上红色
阴影。

$。$

使用斜率 m=−15 和 y −intercept
b = 4 绘制 y=−15x+4 来绘制 y<−15x+4 的图形。边界线将用虚线表示。

测试 (0, 0)。它使不等式成真，因此请将包含 (0, 0) 的一面遮住蓝色。

在解中选择一个测试点并验证它是否是两个不等式的解。

$。$

两条线的交点不包括在内，因为两条边界线都是虚线。解决方案是两次阴影区域，即阴影较暗的区域。

练习$\PageIndex{8}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{x+y \leq 2} \\ {y \geq \frac{2}{3} x-1}\end{array}\right.$

回答: $此图显示了 x y 坐标平面上的 x y 坐标平面上的图形，y 小于或等于 2，y 大于或等于 (2/3) x — 1。每条线左侧的区域用不同的颜色着色，重叠区域也用不同的颜色着色。$

练习$\PageIndex{9}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y \leq 6} \\ {y>-\frac{1}{4} x+5}\end{array}\right.$

回答: $此图显示了 x y 坐标平面 3 的图形，即 3x — 2y 小于或等于 6，y 大于 — (1/4) x + 5。每条线左侧或上方的区域阴影颜色略有不同，重叠区域的阴影颜色也略有不同。一条线是虚线的。$

练习$\PageIndex{10}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{x-2 y<5} \\ {y>-4}\end{array}\right.$

回答

通过绘制 x−2y=5 并测试一个点来绘制 x−2y<5 图。
截距为 x = 5 和 y = −2.5，边界线将以虚线表示。

测试 (0, 0)。它使不平等成为现实。因此，将包含 (0, 0) 的一面
涂上红色阴影。

$。$

Graph y > −4，通过绘制 y = −4 并识别出它是穿过 y = −4 的
水平线。边界线将用虚线表示。

测试 (0, 0)。它使不平等成为现实。因此，
将包含 (0, 0) 的一面遮光（蓝色）。

$。$

点 (0, 0) 在解中，我们已经发现它是每个不等式的解。两条线的交点不包括在内，因为两条边界线都是虚线。

解决方案是两次阴影区域，即阴影较暗的区域。

练习$\PageIndex{11}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{y \geq 3 x-2} \\ {y<-1}\end{array}\right.$

回答: $下图显示了 y 大于或等于 3x-2 且 y 小于 -1 的 x y 坐标平面上的图形。每条线左侧或下方的区域用不同的颜色着色，重叠区域也用不同的颜色着色。一条线是虚线的。$

练习$\PageIndex{12}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{x>-4} \\ {x-2 y \leq-4}\end{array}\right.$

回答: $下图显示了 x 大于负 4 且 x — 2y 小于或等于负 4 的 x y 坐标平面上的图形。每条线右侧或下方的区域的阴影颜色略有不同，重叠区域的阴影颜色也略有不同。一条线是虚线的。$

边界线平行的线性不等式系统可能没有解。我们将在示例中看到这一点$\PageIndex{13}$。

练习$\PageIndex{13}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{4 x+3 y \geq 12} \\ {y<-\frac{4}{3} x+1}\end{array}\right.$

回答

绘制图形$4x+3y\geq 12$，通过绘制 4x+3y=12 并测试一个点来绘制。
截距为 x = 3 和 y = 4，边界线将为实线。

测试 (0, 0)。它使不平等成为错误。因此，将不包含 (0, 0) 的一面涂上红色
阴影。

$。$

$y=−\frac{4}{3}x+1$使用
斜率$m = \frac{4}{3}$和 y 截距 b = 1 绘制图$y<−\frac{4}{3}x+1$形。边界线将用虚线表示。

测试 (0, 0)。它使不平等成为现实。因此，将包含 (0, 0) 的一面涂上蓝色
阴影。

$。$

两个阴影区域都没有点，因此系统没有解。这个系统没有解决办法。

练习$\PageIndex{14}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{3 x-2 y \leq 12} \\ {y \geq \frac{3}{2} x+1}\end{array}\right.$

回答

没有解决办法

$此图显示了 x y 坐标平面上的 3x — 2y 小于或等于 12，y 大于或等于 (3/2) x + 1。每条线左侧或右侧的区域使用不同的颜色进行阴影。没有重叠区域。$

练习$\PageIndex{15}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{x+3 y>8} \\ {y<-\frac{1}{3} x-2}\end{array}\right.$

回答

没有解决办法

$此图显示了 x y 坐标平面上的 x + 3y 大于 8 且 y 小于 — (1/3) x — 2 的图形。每条线上方或下方的区域阴影颜色略有不同。没有重叠区域。两条线都是虚线的。$

练习$\PageIndex{16}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{y>\frac{1}{2} x-4} \\ {x-2 y<-4}\end{array}\right.$

回答

$y=\frac{1}{2}x−4$
使用斜率$m=\frac{1}{2}$和截距
b = −4 绘制图$y>\frac{1}{2}x−4$形。边界线将用虚线表示。
测试 (0, 0)。它使不平等成为现实。因此，将包含 (0, 0) 的一面涂上红色
阴影。

$。$

通过绘制 x−2y=−4x−2y=−4 并测试一个点来绘制 x−2y<−4 图 x−2y<−4。
截距为 x = −4 和 y = 2，边界
线将以虚线表示。

在解中选择一个测试点并
验证它是否是两个不等式的解。

$。$

解中不包括边界线上的任何点，因为两条线都是虚线。

解是经过两次阴影的区域，这也是 x−2y<−4 的解。

练习$\PageIndex{17}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{y \geq 3 x+1} \\ {-3 x+y \geq-4}\end{array}\right.$

回答

$y \geq 3 x+1$

$此图显示了 y 大于或等于 3x + 1 且 -3x + y 大于或等于 -4 的 x y 坐标平面上的图形。每条线左侧的区域都带有阴影，重叠区域的阴影颜色略有不同。$

练习$\PageIndex{18}$

通过绘图求解系统。 $\left\{\begin{array}{l}{y \leq-\frac{1}{4} x+2} \\ {x+4 y \leq 4}\end{array}\right.$

回答

$x+4 y \leq 4$

$此图显示了 y 小于或等于 — (1/4) x + 2 且 x + 4y 小于或等于 4 的 x y 坐标平面上的图形。每条线下方的区域都有阴影，重叠区域的阴影颜色略有不同。$

求解不等式系统的应用

要解决不等式系统的应用，我们需要做的第一件事就是将每个条件转化为不等式。然后我们像上面那样绘制系统图，以查看包含解的区域。许多情况只有在两个变量均为正时才是真实的，因此它们的图表只会显示 Quadrant I。

练习$\PageIndex{19}$

克里斯蒂在街头集市的摊位上出售她的照片。一开始，她希望在自己的展位上展示至少 25 张照片。她展示的每张小照片要花4美元，每张大照片要花10美元。她不想花超过200美元购买要展示的照片。

编写一个不等式系统来模拟这种情况。
绘制系统图表。
她能展示15张小照片和5张大照片吗？
她能展示3张大照片和22张小照片吗？

回答

1.让 x= 小照片的数量。

y= 大型照片的数量
要找到不等式系统，请翻译信息。
$\begin{array}{c}{\text { She wants to have at least } 25 \text { photos. }} \\ {\text { The number of small plus the number of large should be at least } 25 .} \\ {x+y \geq 25} \\ {\$ 4 \text { for each small and } \$ 10 \text { for each large must be no more than } \$ 200} \\ {4 x+10 y \leq 200}\end{array}$
我们有我们的不平等体系。 $\left\{\begin{array}{l}{x+y \geq 25} \\ {4 x+10 y \leq 200}\end{array}\right.$

2。

要绘制图形$x+y\geq 25$，请将 x + y = 25 绘制为实线。
选择 (0, 0) 作为测试点。由于它不能使不等式成
真，因此请将不包括点 (0, 0) 的一侧涂成红色。

要绘制图表$4x+10y\leq 200$，请将 4 x + 10 y = 200 绘制为实线。
选择 (0, 0) 作为测试点。由于它不能使不等式成
真，因此请将包含点 (0, 0) 的边变为蓝色。

$。$

系统的解决方案是图形的区域呈双重阴影，因此阴影较暗。

3。为了确定 10 张小照片和 20 张大照片是否有效，我们看看点 (10、20) 是否在解区内。不是。克里斯蒂不会显示 10 张小照片和 20 张大照片。

4。为了确定 20 张小照片和 10 张大照片是否有效，我们看看点 (20、10) 是否在解区内。确实如此。克里斯蒂可以选择显示 20 张小照片和 10 张大照片。

请注意，我们还可以通过将值替换为每个不等式来测试可能的解决方案。

练习$\PageIndex{20}$

拖车的最大重量为 160 磅，最大体积为 15 立方英尺。微波炉重 30 磅，体积为 2 立方英尺，而打印机重 20 磅，有 3 立方英尺的空间。

编写一个不等式系统来模拟这种情况。
绘制系统图表。
这辆拖车能否携带 4 台微波炉和 2 台打印机？
这辆拖车能否携带 7 台微波炉和 3 台打印机？

回答

$\left\{\begin{array}{l}{30 m+20 p \leq 160} \\ {2 m+3 p \leq 15}\end{array}\right.$

$此图显示了 x y 坐标平面上的 30m + 20p 小于或等于 160 且 2m + 3p 小于或等于 15 的图形。每条线左侧的区域都带有阴影，重叠区域的阴影颜色略有不同。$

3. 是的

4. 没有

练习$\PageIndex{21}$

玛丽需要购买答卷和铅笔用品，以便为高中的大三学生提供标准化考试。所需的答卷数量至少比铅笔数量多 5 张。铅笔的价格为2美元，答卷的价格为1美元。玛丽购买这些用品的预算允许的最高费用为400美元。

编写一个不等式系统来模拟这种情况。
绘制系统图表。
玛丽可以买 100 支铅笔和 100 张答卷吗？
玛丽可以买 150 支铅笔和 150 张答卷吗？

回答

$\left\{\begin{array}{l}{a \geq p+5} \\ {a+2 p \leq 400}\end{array}\right.$

$此图显示了在 x y 坐标平面上的图形，a 大于或等于 p + 5，+ 2p 小于或等于 400。每条线左侧的区域用不同的颜色着色，重叠区域也用不同的颜色着色。$

3. 没有

4. 没有

练习$\PageIndex{22}$

奥马尔在进行团队练习之前需要消耗至少 800 卡路里的热量。他想要的只是汉堡包和饼干，而且他不想花超过5美元。在他学院附近的汉堡店，每个汉堡包含有240卡路里的热量，价格为1.40美元。每个饼干含有160卡路里的热量，价格为0.50美元。

编写一个不等式系统来模拟这种情况。
绘制系统图表。
他能吃 1 块饼干和 3 个汉堡包吗？
他能吃 4 个饼干和 2 个汉堡包吗？

回答

假设 h = 汉堡包的数量。
c= cookie 的数量
要找到不等式系统，请翻译信息。
每个汉堡包的卡路里为240卡路里，再加上饼干中每个160卡路里的热量必须超过800卡路里。

\[240 h+160 c \geq 800\]

购买汉堡包的金额为每个 1.40 美元，加上购买饼干的每个 0.50 美元，必须不超过 5.00 美元。

\[1.40 h+0.50 c \leq 5\]

$\text { We have our system of inequalities. } \quad \left\{\begin{array}{l}{240 h+160 c \geq 800} \\ {1.40 h+0.50 c \leq 5}\end{array}\right.$

2。

将$240h+160c\geq 800$图形 240h+160c=800 绘制为实线。
选择 (0, 0) 作为测试点。它不会使不等式成真。
因此，对不包括点 (0, 0) 的一侧进行阴影（红色）。

如图所$1.40 h+0.50 c \leq 5$示，将 1.40h+0.50c=5 绘制为实线。
选择 (0,0) 作为测试点。它使不平等成为现实。因此，将包含该点的一面加上阴影
（蓝色）。

$示例 5.58.jpg$

系统的解决方案是图形的区域呈双重阴影，因此阴影较暗。

3。为了确定 1 个饼干和 3 个汉堡包是否符合奥马尔的标准，我们看看点 (1、3) 是否在解决方案区域。不是。
4。为了确定 4 个饼干和 2 个汉堡包是否符合奥马尔的标准，我们看看问题（4、2）是否在解决方案区域。确实如此。他可能会选择吃 4 个饼干和 2 个汉堡包。

我们还可以通过将值替换为每个不等式来测试可能的解决方案。

练习$\PageIndex{23}$

紧张情绪每天至少需要额外消耗 1,000 卡路里的热量，为跑马拉松做准备。他只有25美元可以花在他需要的额外食物上，并且会花在0.75美元的甜甜圈上，每个甜甜圈含有360卡路里的热量和含有110卡路里的2美元的能量饮料。

写一个不等式系统来模拟这种情况。
绘制系统图表。
他能买 8 个甜甜圈和 4 杯能量饮料吗？
他能买 1 个甜甜圈和 3 杯能量饮料吗？

回答

$\left\{\begin{array}{l}{0.75 d+2 e \leq 25} \\ {360 d+110 e \geq 1000}\end{array}\right.$

$此图显示了 x y 坐标平面上的 0.75d + 2e 小于或等于 25 且 360d + 110e 大于或等于 1000 的图形。每条线左侧或右侧区域的阴影颜色略有不同，重叠区域的阴影颜色也略有不同。$

3. 是的

4. 没有

练习$\PageIndex{24}$

菲利普的医生告诉他，他应该在日常饮食中每天至少增加1000卡路里的热量。菲利普想购买每块价格为1.80美元、含有140卡路里的蛋白质棒，以及每瓶价格为1.25美元、含有125卡路里的果汁。他不想花超过12美元。

写一个不等式系统来模拟这种情况。
绘制系统图表。
他能买 3 块蛋白棒和 5 瓶果汁吗？
他能买 5 块蛋白棒和 3 瓶果汁吗？

回答

$\left\{\begin{array}{l}{140 p+125 j \geq 1000} \\ {1.80 p+1.25 j \leq 12}\end{array}\right.$

$下图显示了 x y 坐标平面上的 140p + 125j 大于或等于 1000，1.80p + 1.25j 小于或等于 12。每条线左侧或右侧区域的阴影颜色略有不同，重叠区域的阴影颜色也略有不同。$

3. 是的

4. 没有

注意

访问这些在线资源，获取有关线性不等式绘图系统的更多指导和练习。

不等式的图形系统
不平等体系
通过绘图求解线性不等式组

关键概念

通过绘图求解线性不等式系统
1. 绘制第一个不等式的图表。
  - 绘制边界线图。
  - 存在不等式的边界线一侧的阴影。
2. 在同一个网格上，绘制第二个不等式。
  - 绘制边界线图。
  - 在不等式为真的那条边界线一侧的阴影。
3. 解决方案是阴影重叠的区域。
4. 通过选择测试点进行检查。

词汇表

线性不等式系统: 组合在一起的两个或多个线性不等式构成线性不等式系统。

线性不等式系统

线性不等式系统的解

练习\(\PageIndex{1}\)

练习\(\PageIndex{2}\)

练习\(\PageIndex{3}\)

练习\(\PageIndex{4}\): How to Solve a System of Linear inequalities

练习\(\PageIndex{5}\)

练习\(\PageIndex{6}\)

通过绘图求解线性不等式系统。

练习\(\PageIndex{7}\)

练习\(\PageIndex{8}\)

练习\(\PageIndex{9}\)

练习\(\PageIndex{10}\)

练习\(\PageIndex{11}\)

练习\(\PageIndex{12}\)

练习\(\PageIndex{13}\)

练习\(\PageIndex{14}\)

练习\(\PageIndex{15}\)

练习\(\PageIndex{16}\)

练习\(\PageIndex{17}\)

练习\(\PageIndex{18}\)

练习\(\PageIndex{19}\)

练习\(\PageIndex{20}\)

练习\(\PageIndex{21}\)

练习\(\PageIndex{22}\)

练习\(\PageIndex{23}\)

练习\(\PageIndex{24}\)

注意