5.5：使用方程组求解混合应用

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学习目标

在本节结束时，您将能够：

求解混合应用
解决利息申请

注意

在开始之前，请参加这个准备测验。

乘以 4.025 (1,562)。
如果您错过了此问题，请查看练习 1.8.22。
将 8.2% 写成十进制。
如果您错过了此问题，请查看练习 1.8.46。
伯爵的晚餐账单为32.50美元，他想留下18％的小费。小费应该是多少？
如果您错过了此问题，请查看练习 3.2.10。

求解混料应用程序

当我们之前用硬币和彩票解决混合应用程序时，我们首先创建了一个表格，这样我们就可以整理信息。举一个带有镍和硬币的硬币示例，表格如下所示：

$这是一个包含三行四列的表。表的第一行是标题行，每个单元格为其下方的一列或多列命名。左起第一个单元格被命名为 “类型”。第二个单元格包含等式 “数字” 乘以 “值” 等于 “总值”，其中一列对应 “数字”，一列对应 “值”，一列对应总值。因此，“数字” 列的内容乘以 “值” 列的内容等于 “总值” 列的内容。在表的第二行中，“类型” 列包含 “镍”，“数字” 列为空白，“值” 列包含 0.05，“总值” 列为空白。在表的第三行中，“类型” 列包含 “角钱”，“数字” 列为空，“值” 列包含 0.10，“总值” 列为空。$

使用一个变量意味着我们必须将镍的数量和一角钱的数量联系起来。我们必须决定是让 n 成为镍的数量，然后用 n 写出硬币的数量，还是让 d 成为一角钱并用 d 写出镍的数量。

现在我们知道如何用两个变量求解方程组，我们只让 n 是镍数，d 是角钱数。我们将像以前一样根据总值列写一个方程，另一个方程将来自数字列。

在第一个例子中，我们将解决门票问题，门票价格以整美元为单位，因此我们暂时不需要使用小数。

练习$\PageIndex{1}$

转换为方程组并求解：

一家电影院的票房售出了147张晚间节目的门票，总收入为1,302美元。售出了多少张11美元的成人票和多少8美元的儿童票？

回答

第 1 步。阅读问题。	我们将创建一个表来组织信息。
第 2 步。确定我们在寻找什么。	我们正在寻找成人票的数量和售出的儿童票数量。
第 3 步。说出我们要找的东西。	假设 a= 成人票的数量。 c= 儿童票的数量
表格将帮助我们整理数据。我们有两种类型的门票：成人和儿童。	写上 a 和 c 作为门票数量。
在 “号码” 列的底部写下售出的门票总数。	总共售出了 147 个。
在 “值” 列中写下每种类型票证的值。	每张成人票的价值为11美元。每张儿童票的价值为8美元。
乘以该值得出总价值，因此成人票的总价值为 $a\cdot 11=11a$，儿童票的总价值为$c\cdot 8=8c$。	$。$
门票的总价值为 1,302美元。	填写总值列。
第 4 步。转换为方程组。
“数字” 列和 “总值 ” 列为我们提供了方程组。我们将使用消除方法来解决这个系统。	$。$
将第一个方程乘以 −8。	$。$
简化并添加，然后求解 a。	$示例 5.45.jpg$
	$。$
用 a = 42 代入第一个方程，然后求解 c。	$。$
	$。$
第 5 步。检查问题中的答案。 42 张成人票，每张门票 11 美元，每张票为 462 美元 105 张儿童票，每张门票 8 美元，每张 840 美元。总收入为1,302美元。 ✓
第 6 步。回答问题。	电影院售出了 42 张成人票和 105 张儿童票。

练习$\PageIndex{2}$

转换为方程组并求解：

动物园的售票处有一天售出了553张门票。收据总额为3,936美元。售出了多少张9美元的成人票和多少6美元的儿童票？

回答: 共售出206张成人票，售出347张儿童票。

练习$\PageIndex{3}$

转换为方程组并求解：

一个科学中心在一个繁忙的周末售出了1,363张门票。收据总额为12,146美元。售出了多少张 12 美元的成人票和多少 7 美元的儿童票？

回答: 共售出521张成人票，售出842张儿童票。

在练习中，$\PageIndex{4}$我们将解决硬币问题。既然我们已经知道如何使用由两个变量组成的系统，那么在 “数字” 列中命名变量就很容易了。

练习$\PageIndex{4}$

转换为方程组并求解：

Priam拥有一系列镍和四分之一，总价值为7.30美元。镍的数量是六个，少于季度数的三倍。他有多少镍和多少个季度？

回答

第 1 步。阅读问题。	我们将创建一个表来组织信息。
第 2 步。确定我们在寻找什么。	我们正在寻找镍的数量和季度数。
第 3 步。说出我们要找的东西。	假设 n= 镍的数量。 q = 季度数
表格将帮助我们整理数据。我们有两种类型的硬币，镍和硬币。	写上 n 和 q 作为每种硬币的编号。
在 “价值” 列中填写每种硬币的价值。	每种镍的价值为0.05美元。每个季度的价值为0.25美元。
该值的乘以得出总值，因此，镍的总值为 n (0.05) = 0.05 n，季度的总值为 q (0.25) = 0.25 q。这些硬币的总价值为7.30美元。	$。$
第 4 步。转换为方程组。
总值列给出一个方程。	$。$
我们还知道镍的数量比季度数少了六倍。翻译得到第二个方程。	$。$
现在我们有了要解决的系统。	$。$
第 5 步。求解方程组我们将使用替换方法。将 n = 3 q − 6 代入第一个方程。简化并求解 q。	$。$
	$。$
	$。$
	$。$
	$。$
	$。$
要找到镍的数量，请在第二个方程中替换 q = 19。	$。$
	$。$
	$。$
第 6 步。检查问题中的答案。 $\begin{aligned} 19 \text { quarters at } \$ 0.25 &=\$ 4.75 \\ 51 \text { ickels at } \$ 0.05 &=\$ 2.55 \\ \text { Total } &=\$ 7.30 \checkmark \\ 3 \cdot 19-16 &=51 \checkmark\end{aligned}$
第 7 步。回答问题。	Priam 有 19 个四分之一和 51 个镍。

练习$\PageIndex{5}$

转换为方程组并求解：

玛蒂尔达有几个季度和一毛钱，总价值为8.55美元。季度数为 3，是硬币数的两倍多。她有多少毛钱，有多少季度？

回答: 玛蒂尔达有 13 毛钱和 29 个季度。

练习$\PageIndex{6}$

转换为方程组并求解：

胡安有一袋镍和一角钱。硬币的总价值为8.10美元。硬币的数量为9，少于镍数的两倍。胡安有多少镍和多少硬币？

回答: 胡安有 36 个镍和 63 角钱。

一些混合物的应用涉及混合食物或饮料。示例情况可能包括将葡萄干和坚果混合制成混合物，或者使用两种类型的咖啡豆制作混合物。

练习$\PageIndex{7}$

转换为方程组并求解：

卡森想用坚果和巧克力片制作 20 磅的混合物。他的预算要求混合越野车每磅花费7.60美元。坚果的价格为每磅9.00美元，巧克力片的价格为每磅2.00美元。他应该用多少磅的坚果和多少磅的巧克力片？

回答

第 1 步。阅读问题。	我们将创建一个表来组织信息。
第 2 步。确定我们在寻找什么。	我们正在寻找坚果的磅数和巧克力片的磅数。
第 3 步。说出我们要找的东西。	假设 n= 坚果的磅数。 c= 筹码的磅数
Carson 会混合坚果和巧克力片来混合。用 n 和 c 写下坚果和巧克力片的磅数。会有 20 磅的越野混合物。在 “价值” 列中输入每件商品的每磅价格。使用填写最后一列	$。$
数字·价值 = 总价值
第 4 步。转换为方程组。我们从 “数字” 和 “总值” 列中获得方程。	$。$
第 5 步。求解方程组我们将使用消除来求解方程组。
将第一个方程乘以 −2 即可消除 c。	$。$
简化并添加。求解 n。	$。$
	$。$
要求出巧克力片的磅数，请在第一个方程中替换 n = 16，然后求解 c。	$。$ $。$
	c=4
第 6 步。检查问题中的答案。 $\begin{aligned} 16+4 &=20 \checkmark \\ 9 \cdot 16+2 \cdot 4 &=152 \checkmark \end{aligned}$
第 7 步。回答问题。	Carson 应该将 16 磅的坚果和 4 磅的巧克力片混合，制成混合物。

练习$\PageIndex{8}$

转换为方程组并求解：

Greta 想用花生和腰果制成 5 磅的坚果混合物。她的预算要求混合物每磅花费6美元。花生为每磅4美元，腰果为每磅9美元。她应该用多少磅花生和多少磅腰果？

回答: Greta 应该使用 3 磅花生和 2 磅腰果。

练习$\PageIndex{9}$

转换为方程组并求解：

萨米拥有制作大批辣椒所需的大部分食材。他唯一缺少的物品是豆子和碎牛肉。他总共需要20磅的豆类和碎牛肉，每磅的预算为3美元。豆类的价格为每磅1美元，碎牛肉的价格为每磅5美元。他应该买多少磅的豆子和多少磅的碎牛肉？

回答: 萨米应该购买 10 磅的豆子和 10 磅的碎牛肉。

混合物问题的另一个应用涉及浓缩清洁用品、其他化学品和混合饮料。浓度以百分比给出。例如，浓缩20％的家用清洁剂意味着总量的20％是清洁剂，其余是水。要制成 35 盎司的 20% 浓度，请将 7 盎司（35 盎司的 20%）的洁面乳与 28 盎司的水混合。

对于这类混合问题，我们将使用百分比而不是表中其中一列的值。

练习$\PageIndex{10}$

转换为方程组并求解：

萨希娜是她所在社区学院的实验室助理。她需要用 40% 的硫酸溶液制成 200 毫升用于实验室实验。实验室的储藏室里只有 25% 和 50% 的溶液。她应该将 25% 和 50% 的解决方案混合多少才能制成 40% 的解决方案？

回答

第 1 步。阅读问题。	一个数字可以帮助我们可视化情况，然后我们将创建一个表格来组织信息。
Sasheena 必须将 25％的溶液中的一部分和 50％的溶液中的一部分混合在一起，才能获得 200 毫升 40％的溶液。	$。$
第 2 步。确定我们在寻找什么。	我们正在寻找她需要多少解决方案。
第 3 步。说出我们要找的东西。	假设 x= 25% 溶液的毫升数。 y= 50% 溶液的毫升数
表格将帮助我们整理数据。她将 x ml 的 25% 和 y ml 混合，获得 200 毫升 40% 的溶液。我们在图表中将百分比写成小数。我们将单位数乘以浓度得出每种溶液中的硫酸总量。	$。$
第 4 步。转换为方程组。我们从 “数字” 列和 “金额 ” 列中获得方程。
现在我们有了系统。	$。$
第 5 步。求解方程组。我们将通过淘汰来解决系统。将第一个方程乘以 −0.5 即可消除 y。	$。$
简化并添加以求解 x。	$。$
要求解 y，请在第一个方程中替换 x = 80。	$。$
	$。$
	$。$
第 6 步。检查问题中的答案。 $\begin{array}{rll} 80+120 &=&120 \checkmark\\ 0.25(80)+0.50(120) &=&80 \checkmark \\ &&\text{Yes!} \end{array}$
第 7 步。回答问题。	Sasheena 应将 80 毫升 25% 的溶液与 120 毫升的 50% 溶液混合，获得 40% 溶液中的 200 毫升。

练习$\PageIndex{11}$

转换为方程组并求解：

勒布朗需要150毫升的30％硫酸溶液进行实验室实验，但只能获得25％和50％的溶液。他应该混合多少 25% 和 50% 溶液中的多少才能制成 30% 的溶液？

回答: 勒布朗需要 120 毫升 25% 的溶液和 30 毫升的 50% 溶液。

练习$\PageIndex{12}$

转换为方程组并求解：

为了进行实验室实验，Anatole 需要用 25% 的盐酸溶液制成 250 毫升。实验室在储藏室中只有 10% 的溶液和 40% 的溶液。他应该混合多少 10% 和 40% 的溶液中的多少才能制成 25% 的解决方案？

回答: Anatole 应混合 125 毫升 10% 溶液和 125 毫升 40% 溶液。

解决利息申请

对利息申请进行建模的公式为 I = P rt。利息 I 是本金 P、利率 r 和时间 t 的乘积。在我们的工作中，我们将计算一年内获得的利息，因此 t 将为 1。

我们修改混合表中的列标题以显示兴趣公式，如您将在练习中看到的那样$\PageIndex{13}$。

练习$\PageIndex{13}$

转换为方程组并求解：

阿德南有40,000美元可供投资，并希望每年赚取7.1％的利息。他将把一部分资金存入年利率为8％的股票基金，其余资金投入年利3％的债券。他应该向每只基金投入多少钱？

回答

2,000股股票和7,200美元的债券。” >

第 1 步。阅读问题。	图表将帮助我们整理信息。
第 2 步。确定我们在寻找什么。	我们正在寻找每只基金的投资金额。
第 3 步。说出我们要找的东西。	假设s=投资于股票的金额。 b = 投资于债券的金额。
将每只基金的利率写成小数。乘以：本金·利率·是时候拿到利息了。	$。$
第 4 步。转换为方程组。我们从 “本金” 列和 “ 利息” 列中获得方程组。	$。$
第 5 步。求解方程组通过消除求解。将顶部方程乘以 −0.03。	$。$
简化并添加以求解 s。	$。$
	$。$
要找出 b，请将 s = 32,800 替换到第一个方程中。	$。$ $。$
	$。$
第 6 步。检查问题中的答案。	我们把支票留给你。
第 7 步。回答问题。	阿德南应该投资32,800 美元的股票和7,200美元的债券。

您是否注意到 “本金” 栏代表投资的总金额，而 “利息” 列仅代表所得利息？同样，我们系统中的第一个方程 s + b = 40,000 表示投资的总金额，第二个方程式 0.08 s + 0.03 b = 0.071 (40,000)，代表所得利息。

练习$\PageIndex{14}$

转换为方程组并求解：

莱昂有5万美元可以投资，并希望每年赚取6.2％的利息。他将把一部分资金存入每年收入7％的股票基金，其余的存入年收入2％的储蓄账户。他应该向每只基金投入多少钱？

回答: 莱昂应该将42,000美元存入股票基金，将8000美元存入储蓄账户。

练习$\PageIndex{15}$

转换为方程组并求解：

朱利叶斯向两项股票投资投资了7,000美元。一只股票支付了11％的利息，另一只股票支付了13％的利息。他赚取了总投资的12.5％的利息。他在每只股票里投入了多少钱？

回答: 朱利叶斯以11％的价格投资了1,750美元，以13％的价格投资了5,250美元。

练习$\PageIndex{16}$

转换为方程组并求解：

罗茜的两笔学生贷款欠了21,540美元。她的银行贷款利率为10.5％，联邦贷款的利率为5.9％。她去年支付的利息总额为1,669.68美元。每笔贷款的本金是多少？

回答

第 1 步。阅读问题。	图表将帮助我们整理信息。
第 2 步。确定我们在寻找什么。	我们正在寻找每笔贷款的本金。
第 3 步。说出我们要找的东西。	让 b = 银行贷款的本金。 f = 联邦贷款的本金
贷款总额为21,540美元。
在图表中将利率记录为小数。	$。$
使用公式 l = Pr t 进行乘以得利息。
第 4 步。转换为方程组。方程组来自 “ 本金” 列和 “利息 ” 列。	$。$
第 5 步。求解方程组我们将使用替换来求解。求解 b 的第一个方程。	$。$
将 b = − f + 21,540 代入第二个方程。	$。$
简化并求解 f。	$。$
	$。$
	$。$
	$。$
要找出 b，请将 f = 12,870 替换到第一个方程中。	$。$ $。$
	$。$
第 6 步。检查问题中的答案。	我们把支票留给你。
第 7 步。回答问题。	银行贷款的本金为12,870美元，联邦贷款的本金为8,670美元。